Просмотры

Самый маленький голигон имеет 8 сторон. Это единственное решение, имеющее менее 16 сторон. Он содержит два вогнутых угла и помещается на сетку 8×10. Это также спиролатерал , 8 _90°. ^1,5 .

Голигон многоугольник или, в более общем смысле, последовательный изогон 90° — это любой ), стороны которого имеют со всеми прямыми углами ( прямолинейный многоугольник последовательные целые длины. Голигоны были изобретены и названы Ли Саллоузом и популяризированы А. К. Дьюдни в колонке Scientific American в 1990 году (Смит). Вариации определения голигонов включают в себя разрешение пересечения ребер, использование последовательностей длин ребер, отличных от последовательных целых чисел, и учет углов поворота, отличных от 90 °.

Свойства

В любом голигоне все горизонтальные ребра имеют одинаковую четность , как и все вертикальные ребра. Следовательно, число сторон n должно допускать решение системы уравнений

$\pm 1\pm 3\pm \cdots \pm (n-1)=0$

$\pm 2\pm 4\pm \cdots \pm n=0.$

Отсюда следует, что n должно быть кратно 8. Например, на рисунке мы имеем $-1+3+5-7=0$ и $2-4-6+8=0$.

Количество голигонов для данного допустимого значения n можно эффективно вычислить с помощью производящих функций (последовательность A007219 в OEIS ). Число голигонов для допустимых значений n равно 4, 112, 8432, 909288 и т.д. Найти количество решений, соответствующих непересекающимся голигонам, кажется существенно сложнее.

Существует уникальный восьмигранный голигон (показан на рисунке); он может замостить плоскость, повернув ее на 180 градусов, используя критерий Конвея .

Примеры

• 
  16-сторонний вид. Спиролатеральная 16 _90° ^1,3,6,8,11
• 
  32-сторонний вид. Спиролатеральный 32 _90° ^{1,3,5,7,11,12,14,17,19,21,23,26,29,31}

Обобщения

Изогон с последовательными сторонами порядка n — это замкнутый многоугольник с постоянным углом в каждой вершине и имеющий последовательные стороны длиной 1, 2,..., n единиц. Многоугольник может быть самопересекающимся. Голигоны — это частный случай изогонов с серийными сторонами.

Спиролатерал представляет собой аналогичную конструкцию, условно n _θ ^{я ₁ , я ₂ ,..., я _к} какие последовательности имеют длину 1,2,3,..., n с внутренними углами θ, с возможностью повторения до тех пор, пока они не вернутся к исходной вершине. Верхние индексы i ₁ , i ₂ ,..., i _k перечисляют ребра, которые следуют в противоположных направлениях поворота.

• 
  Последовательный изогон порядка 9, внутренний угол 60°.
  Спиролатеральный 60° ₉ ^1,4,7 .
• 
  Последовательный изогон порядка 11, внутренний угол 60°.
  Спиролатеральный 60° ₁₁ ^4,5,7,8 .
• 
  Порядковый изогон порядка 12, внутренний угол 120°.
  Спиролатеральный 120° ₁₂ ^1,4,8 .
• 
  Последовательносторонний изогон пятого порядка, внутренние углы 60° и 120°.

Голиэдр

Трехмерное обобщение голигона называется голиэдром – замкнутой односвязной объемной фигурой, ограниченной гранями кубической решетки и имеющей площади граней в последовательности 1, 2, ..., n , для некоторого целого числа n ,впервые представлено в вопросе MathOverflow.

Были найдены многогранники со значениями n, равными 32, 15, 12 и 11 (минимально возможным).

Внешние ссылки

• Голигоны в Электронной энциклопедии целочисленных последовательностей