Спиролатеральный
 3 90° (4 цикла) |  3 108° (5 циклов) |  9 90° спираль против часовой стрелки |  9 90° (4 цикла) |
 100 120° спираль |  100 120° (4 цикла) | ||
В евклидовой геометрии спиролатераль созданный представляет собой многоугольник, последовательностью фиксированных внутренних углов вершин и последовательных длин ребер 1,2,3,..., n , которые повторяются до тех пор, пока фигура не закроется. Количество необходимых повторений называется циклами. [1] Простой спиролатерал имеет только положительные углы. Простая спираль соответствует части архимедовой спирали . Общий спиролатерал допускает положительные и отрицательные углы.
Спиролатерал , который завершается за один оборот , представляет собой простой многоугольник , а требующий более 1 поворота — это звездчатый многоугольник и должен быть самопересекающимся. [2] Простой спиролатерал может быть равноугольным простым многоугольником <p> с p вершинами или равноугольным звездчатым многоугольником < p / q > с p вершинами и q поворотами.
Спиролатерали были изобретены и названы Фрэнком К. Оддсом, когда он был подростком в 1962 году, как квадратные спиролатерали с углами 90°, нарисованные на миллиметровой бумаге . В 1970 году Оддс обнаружил треугольные и шестиугольные спиролатеральные формы с углами 60° и 120°, которые можно нарисовать на изометрических изображениях. [3] (треугольная) миллиметровая бумага. [4] Оддс написал Мартину Гарднеру , который посоветовал ему опубликовать результаты в журнале Mathematics Teacher. [5] в 1973 году. [3]
Процесс можно представить в виде черепашьей графики , чередуя угол поворота и инструкции движения вперед, но ограничивая поворот фиксированным рациональным углом. [2]
Самый маленький голигон - спиролатеральный, 7 90°. 4 , состоящая из 7 прямых углов и длиной 4, следует за вогнутыми поворотами. Голигоны отличаются тем, что они должны закрываться одной последовательностью 1,2,3,.. n , в то время как спиролатерал будет повторять эту последовательность до тех пор, пока не закроется.
Классификации
[ редактировать ] Простой 6 90° , 2 цикла, 3 оборота |  Обычный неожиданный закрытый спиролатеральный угол, 8 90°. 1,5 |  Неожиданно закрытая спиролатеральная 7 90° 4 |  Перекрещенный прямоугольник (1,2,-1,-2) 60° |
 Перекрещенный шестиугольник (1,1,2,-1,-1,-2) 90° |  (-1.2.4.3.2) 60° |  (2...4) 90° |  (2,1,-2,3,-4,3) 120° |
Простой спиролатерал имеет повороты в одном направлении. [2] Он обозначается n θ , где n — количество последовательных целых длин ребер, а θ — внутренний угол , как любой рациональный делитель 360°. Последовательные длины ребер могут быть явно выражены как (1,2,..., n ) θ .
Примечание. Угол θ может сбить с толку, поскольку он представляет собой внутренний угол, тогда как дополнительный угол поворота может иметь больше смысла. Эти два угла одинаковы для 90°.
Это определяет равноугольный многоугольник формы < kp / kq >, где угол θ = 180(1−2 q / p ), с k = n / d и d = НОД ( n , p ). Если d = n , паттерн никогда не закрывается. В противном случае он имеет kp вершин и kq плотность . Циклическая симметрия простого спиролатераля p / d -кратна.
Правильный многоугольник { p } — это частный случай спиролатераля, 1 180(1−2/ p )° . Правильный звездчатый многоугольник { p / q } — это частный случай спиролатераля, 1 180(1−2 q / p )° . — Изогональный многоугольник это особый случай спиролатеральной формы, 2 180(1−2/ p )° или 2 180(1−2 q / p )° .
Общий спиролатерал может поворачиваться влево или вправо. [2] Его обозначают n θ и 1 ,... и k , где a i — индексы с отрицательными или вогнутыми углами. [6] Например, 2 60° 2 представляет собой перекрещенный прямоугольник с внутренними углами ±60°, изгибающийся влево или вправо.
Неожиданная замкнутая спираль возвращается в первую вершину за один цикл. Не закрываться могут только общие спиролатерали. Голигон — это правильная неожиданная замкнутая спираль , закрывающаяся в ожидаемом направлении. Неправильная неожиданная замкнутая спиральная латераль — это та, которая возвращается в первую точку, но не в том направлении. Например 7 90° 4 . Для возврата к началу в правильном направлении требуется 4 цикла. [2]
Современный спиролатерал , также называемый петлей-де-петлями. [7] педагогом Анной Вельтман, обозначается ( i 1 ,..., i n ) θ , что позволяет использовать любую последовательность целых чисел в качестве длин ребер, от i 1 до i n . [8] Например, (2,3,4) 90° имеет длину ребер, повторяющуюся 2,3,4. Поворотам в противоположном направлении можно задать отрицательную целочисленную длину ребра. Например, скрещенный прямоугольник может быть задан как (1,2,−1,−2) θ .
никогда Открытый спиролатерал не закрывается. Простой спиролатерал n θ никогда не закрывается, если n θ кратно 360 °, НОД( p , n ) = p . Общий спиролатерал также может быть открытым, если половина углов положительна, а половина – отрицательна.
А (частичный) бесконечный простой спиролатерал, 4 90°
Закрытие
[ редактировать ]количество циклов, необходимое для закрытия с противоположными k спиролатераля n θ поворотами , p / q = 360/(180- θ Можно вычислить ). Сократите дробь ( p -2 q )( n -2 k )/2 p = a / b . Фигура повторяется после циклов и полного оборотов количества . b Если b =1, фигура никогда не закрывается. [1]
Явно число циклов равно 2 p / d , где d= НОД (( p -2 q )( n -2 k ),2 p ). Если d =2 p , он закрывается через 1 цикл или никогда.
Количество циклов можно рассматривать как порядок вращательной симметрии спиролатеральной части.
- н 90°
1 90° , 4 цикла, 1 оборот
2 90° , 2 цикла, 1 оборот
3 90° , 4 цикла, 3 оборота
4 90° , никогда не закрывается
5 90° , 4 цикла, 5 оборотов
6 90° , 2 цикла, 3 оборота
7 90° , 4 цикла, 6 оборотов
8 90° , никогда не закрывается
9 90° , 4 цикла, 9 оборотов
10 90° , 2 цикла, 5 оборотов
- н 60°
1 60° , 3 цикла, 1 оборот
2 60° , 3 цикла, 2 оборота
3 60° , никогда не закрывается
4 60° , 3 цикла, 4 оборота
5 60° , 3 цикла, 5 оборотов
6 60° , никогда не закрывается
7 60° , 3 цикла, 7 оборотов
8 60° , 3 цикла, 8 оборотов
9 60° , никогда не закрывается
10 60° , 3 цикла, 10 оборотов
Маленькие простые спиролатерали
[ редактировать ]Спиролатералы можно построить из любого рационального делителя 360°. В столбцах первой таблицы выбраны углы из небольших правильных многоугольников, а во второй таблице — из звездчатых многоугольников, с примерами до n = 6.
Равноугольный многоугольник < p / q > имеет p вершин и q плотность. < np / nq > можно уменьшить на d = gcd( n , p ).
- Малые целые углы делителя
| я | 60° | 90° | 108° | 120° | 128 4/7° | 135° | 140° | 144° | 147 3/11° | 150° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 180-я Угол поворота | 120° | 90° | 72° | 60° | 51 3/7° | 45° | 40° | 36° | 32 8/11° | 30° |
| п θ \ р | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 1 я Обычный { п } |  1 60° {3} |  1 90° {4} |  1 108° {5} |  1 120° {6} |  1 128.57° {7} |  1 135° {8} |  1 140° {9} |  1 144° {10} |  1 147.27° {11} |  1 150° {12} |
| 2 я изогональный <2 п /2> |  2 60° <6/2> |  2 90° <8/2> → <4> |  2 108° <10/2> |  2 120° <12/2> → <6> |  2 128.57° <14/2> |  2 135° <16/2> → <8> |  2 140° <18/2> |  2 144° <20/2> → <10> |  2 147° <22/2> |  2 150° <24/2> → <12> |
| 3 я 2-изогональный <3 п /3> |  3 60° открыть |  3 90° <3/12> |  3 108° <15/3> |  3 120° <18/3> → <6> |  3 128.57° <21/3> |  3 135° <24/3> |  3 140° <27/3> → <9> |  3 144° <30/3> |  3 147° <33/3> |  3 150° <36/3> → <12> |
| 4 я 3-изогональный <4 п /4> |  4 60° <4/12> |  4 90° открыть |  4 108° <20/4> |  4 120° <24/4> → <12/2> |  4 128.57° <28/4> |  4 135° <32/4> → <8> |  4 140° <36/4> |  4 144° <40/4> → <20/2> |  4 147° <44/4> |  4 150° <48/4> → <12> |
| 5 я 4-изогональный <5 п /5> |  5 60° <15/5> |  5 90° <20/5> |  5 108° открыть |  5 120° <30/5> |  5 128.57° <35/5> |  5 135° <40/5> |  5 140° <45/5> |  5 144° <50/5> → <10> |  5 147° <55/5> |  5 150° <60/5> |
| 6 я 5-изогональный <6 стр /6> |  6 60° Открыть |  6 90° <24/6> → <12/3> |  6 108° <30/6> |  6 120° Открыть |  6 128.57° <42/6> |  6 135° <48/6> → <24/3> |  6 140° <54/6> → <18/2> |  6 144° <60/6> → <30/3> |  6 147° <66/6> |  6 150° <72/6> → <12> |
- Малые рациональные углы делителя
| я | 15° | 16 4/11° | 20° | 25 5/7° | 30° | 36° | 45° | 49 1/11° | 72° | 77 1/7° | 81 9/11° | 100° | 114 6/11° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 180-я Угол поворота | 165° | 163 7/11° | 160° | 154 2/7° | 150° | 144° | 135° | 130 10/11° | 108° | 102 6/7° | 98 2/11° | 80° | 65 5/11° |
| п θ \ р / q | 24/11 | 11/5 | 9/4 | 7/3 | 12/5 | 5/2 | 8/3 | 11/4 | 10/3 | 7/2 | 11/3 | 9/2 | 11/2 |
| 1 я Обычный { п / д } |  1 15° {24/11} |  1 16.36° {11/5} |  1 20° {9/4} |  1 25.71° {7/3} |  1 30° {12/5} |  1 36° {5/2} |  1 45° {8/3} |  1 49.10° {11/4} |  1 72° {10/3} |  1 77.14° {7/2} |  1 81.82° {11/3} |  1 100° {9/2} |  1 114.55° {11/2} |
| 2 я изогональный <2 п /2 кв > |  2 15° <48/22> → <24/11> |  2 16.36° <22/10> |  2 20° <18/8> |  2 25.71° <14/6> |  2 30° <24/10> → <12/5> |  2 36° <10/4> |  2 45° <16/6> → <8/3> |  2 49.10° <22/8> |  2 72° <20/6> → <10/3> |  2 77.14° <14/4> |  2 81.82° <22/6> |  2 100° <18 апреля> |  2 114.55° <22/4> |
| 3 я 2-изогональный <3 п /3 кв > |  3 15° <72/33> → <24/11> |  3 16.36° <33/15> |  3 20° <27/12> → <9/4> |  3 25.71° <21 сентября> |  3 30° <36/15> → <12/5> |  3 36° <15/6> |  3 45° <24/9> |  3 49.10° <33/12> |  3 72° <30/9> |  3 77.14° <21/6> |  3 81.82° <33/9> |  3 100° <27/6> → <9/2> |  3 114.55° <33/6> |
| 4 я 3-изогональный <4 п /4 кв > |  4 15° <96/44> → <24/11> |  4 16.36° <44/20> |  4 20° <36/12> |  4 25.71° <28 апреля> |  4 30° <48/40> → <12/5> |  4 36° <20/8> |  4 45° <32/12> → <8/3> |  4 49.10° <44/16> |  4 72° <40/12> → <20/6> |  4 77.14° <28/8> |  4 81.82° <44/12> |  4 100° <36/8> |  4 114.55° <44/8> |
| 5 я 4-изогональный <5 п /5 кв > |  5 15° <120/55> |  5 16.36° <55/25> |  5 20° <45/20> |  5 25.71° <35/15> |  5 30° <60/25> |  5 36° открыть |  5 45° <40/15> |  5 49.10° <55/20> |  5 72° <50/15> → <10/3> |  5 77.14° <35/10> |  5 81.82° <55/15> |  5 100° <45/10> |  5 114.55° <55/10> |
| 6 я 5-изогональный <6 п /6 кв > |  6 15° <144/66> → <24/11> |  6 16.36° <66/30> |  6 20° <54/24> → <18/8> |  6 25.71° <42/18> |  6 30° <72/30> → <12/5> |  6 36° <30/12> |  6 45° <48/18> → <24/9> |  6 49.10° <66/24> |  6 72° <60/18> → <30/9> |  6 77.14° <42/12> |  6 81.82° <66/18> |  6 100° <54/12> → <18/4> |  6 114.55° <66/12> |
См. также
[ редактировать ]
- Графика черепахи представляет собой компьютерный язык, который определяет путь открытия или закрытия с помощью длины хода и углов поворота.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Гарднер, М. Червячные пути, гл. 17 Пончики с узлами и другие математические развлечения. Нью-Йорк: WH Freeman, стр. 205–221, 1986. [1]
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с д и Абельсон, Гарольд, диСесса, Андера, 1980, Геометрия черепахи , MIT Press, стр. 37–39, 120–122.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Сосредоточьтесь на... выпуске 78 вторичного журнала «Спиролатералы»
- ^ [2] Фрэнк Оддс, британский биохимик, 29 августа 1945 г. - 7 июля 2020 г.
- ↑ Оддс, Фрэнк К. Спиролатералс , учитель математики, февраль 1973 г., том 66: выпуск 2, стр. 121–124 DOI
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Спиролатеральная» . Математический мир .
- ^ Анна Вельтман, Это не книга по математике, а книга с графическими заданиями , Кейн Миллер; Акт CSM издание, 2017 г.
- ^ «Практика умножения с помощью простой спиролатеральной математики» . 23 июля 2015 г.
- Алиса Касеберг Швандт Спиролатерали: расширенное исследование с элементарной точки зрения , Учитель математики, Том 72, 1979, 166-169 [3]
- Маргарет Кенни и Стэнли Безушка, Преподавание математики с квадратными спиролатералами , том 95, 1981, стр. 22–27 [4]
- Гаскойн, Серафим Черепаха Fun ЛОГОТИП для Spectrum 48K стр. 42-46 | Спиролатералы 1985 г.
- Уэллс, Д. Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin , Лондон: Penguin, стр. 239–241, 1991.
- Кравчик, Роберт, «Строительные блоки Гильберта», Математика и дизайн, Университет Страны Басков, стр. 281–288, 1998.
- Кравчик, Роберт, Спиролатерали, сложность от простоты , Международное общество искусств, математики и архитектуры 99, Университет Страны Басков, стр. 293–299, 1999. [5]
- Кравчик, Роберт Дж. Искусство спиролатеральных разворотов [6]
Внешние ссылки
[ редактировать ]- для спиролатералей Javascript-приложение