Хендекагон
Обычный Hendecagon | |
---|---|
Тип | Правильный многоугольник |
Ребра и вершины | 11 |
Символ Шлефли | {11} |
Диаграммы Кокстера – Динкина | |
Группа симметрии | Двугранник (Д 11 ), заказ 2×11 |
Внутренний угол ( градусы ) | ≈147.273° |
Характеристики | Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный |
Двойной полигон | Себя |
В геометрии шестнадцатеричный ) (также недесятиугольник [1] [2] или концеугольник [3] ) или 11-угольник — это одиннадцатисторонний многоугольник . (Название hendecagon , от греческого hendeka «одиннадцать» и –gon «угол», часто предпочтительнее гибридного ундекагона , первая часть которого образована от латинского undecim «одиннадцать». [4] )
Обычный Hendecagon
[ редактировать ]Правильный . девятиугольник представлен символом Шлефли {11}
Правильный девятиугольник имеет внутренние углы 147,27 . градусов (=147) градусов). [5] Площадь правильного десятиугольника со стороной a определяется выражением [2]
Поскольку 11 не является простым числом Ферма , правильный девятиугольник невозможно построить с помощью циркуля и линейки . [6] Поскольку 11 не является простым числом Пьерпона , построение правильного девятиугольника пока невозможно даже с использованием трисектора угла .
Могут быть построены близкие приближения к правильному десятиугольнику. Например, древнегреческие математики оценили длину стороны десятиугольника, вписанного в единичный круг, как 14/25 единиц. [7]
Гендекагон можно построить именно с помощью конструкции neusis. [8] а также с помощью двойного оригами. [9]
Примерная конструкция
[ редактировать ]Следующее описание конструкции дано Т. Драммондом от 1800 г.: [10]
- « Нарисуйте радиус AB , разделите его пополам по C — с раскрытием циркуля, равным половине радиуса, по A и C, поскольку центры описывают дуги CDI и AD — с расстоянием ID по я описываю дугу DO и провожу линию CO , что будет достаточно точной для практики длиной одной стороны девятиугольника » .
На единичном круге:
- Длина стороны построенного шестиугольника
- Теоретическая длина стороны шестиугольника
- Абсолютная ошибка – если АВ составляет 10 м, то эта ошибка составляет примерно 2,3 мм.
Симметрия
[ редактировать ]Правильный десятиугольник имеет Dih 11 симметрию , порядок 22. Поскольку 11 - простое число, существует одна подгруппа с диэдральной симметрией: Dih 1 и 2 циклических групп симметрии : Z 11 и Z 1 .
Эти 4 симметрии можно увидеть в 4 различных симметриях на десятиугольнике. Джон Конвей маркирует их буквенным и групповым порядком. [11] Полная симметрия правильной формы — это r22 , а симметрия не помечена как a1 . Двугранные симметрии делятся в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров), и i , когда линии отражения проходят как через ребра, так и через вершины. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g в соответствии с их центральными порядками вращения.
Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g11 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .
Использование в чеканке монет
[ редактировать ]Монета канадского доллара , канадка , похожа, но не совсем, на правильную шестиугольную призму . [12] как и индийская номиналом 2 рупии. монета [13] и несколько других менее используемых монет других стран. [14] Поперечное сечение канады на самом деле представляет собой hendecagon Reuleaux . Доллар США Сьюзен Б. Энтони имеет шестиугольный контур по внутренней стороне. [15]
Связанные цифры
[ редактировать ]Гендекагон имеет тот же набор из 11 вершин, что и четыре обычные гендекаграммы :
{11/2} | {11/3} | {11/4} | {11/5} |
См. также
[ редактировать ]- 10-симплекс - можно рассматривать как полный граф в правильной шестиугольной ортогональной проекции.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Холдеман, Сайрус Б. (1922), «Построение правильного ундекагона с помощью секстической кривой», Обсуждения, American Mathematical Monthly , 29 (10), doi : 10.2307/2299029 , JSTOR 2299029 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Лумис, Элиас (1859), Элементы плоской и сферической тригонометрии: с их применением к измерениям, геодезии и навигации , Харпер, стр. 65 .
- ^ Брюэр, Эбенезер Кобэм (1877), Речевые и орфографические ошибки , Лондон: У. Тегг и компания, стр. iv .
- ^ Hendecagon - из Wolfram MathWorld
- ^ Макклейн, Кей (1998), Математика Гленко: приложения и связи , Glencoe/McGraw-Hill, с. 357 , ISBN 9780028330549 .
- ^ Как доказал Гаусс , многоугольник с простым числом p сторон можно построить тогда и только тогда, когда p - 1 является степенью двойки , что неверно для 11. См. Клайн, Моррис (1990), Математическая мысль от древности до современности , том. 2, Oxford University Press, стр. 753–754, ISBN. 9780199840427 .
- ^ Хит, сэр Томас Литтл (1921), История греческой математики, Vol. II: От Аристарха до Диофанта , The Clarendon Press, стр. 329 .
- ^ Бенджамин, Эллиот; Снайдер, К. Математические труды Кембриджского философского общества 156.3 (май 2014 г.): 409–424.; https://dx.doi.org/10.1017/S0305004113000753
- ^ Лусеро, JC (2018). «Построение правильного пятиугольника с помощью двустворчатого оригами» . Crux Mathematicorum . 44 : 207–213.
- ^ Т. Драммонд, (1800) ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ для молодых леди и джентльменов, в книге «Измерение высоты и расстояний...», Описание конструкции, стр. 15–16. Рис. 40: прокрутите со страницы 69 ... на страницу 76. Часть I. Второе издание. , получено 26 марта 2016 г.
- ^ Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275-278)
- ^ Моссингхофф, Майкл Дж. (2006), «Проблема в 1 доллар» (PDF) , American Mathematical Monthly , 113 (5): 385–402, doi : 10.2307/27641947 , JSTOR 27641947
- ^ Кухай, Джордж С.; Майкл, Томас (2012), Стандартный каталог монет мира с 2001 г. по настоящее время , 2013 г., Krause Publications, стр. 402, ISBN 9781440229657 .
- ^ Кухай, Джордж С.; Майкл, Томас (2011), Необычные монеты мира (6-е изд.), Krause Publications, стр. 23, 222, 233, 526, ISBN 9781440217128 .
- ^ Палата представителей США, 1978 , с. 7.
Цитируемые работы
[ редактировать ]- Палата представителей США (1978 г.). Предлагаемая монета достоинством в один доллар меньшего размера . Вашингтон, округ Колумбия: Государственная типография.