Jump to content

Плотность (многогранник)

(Перенаправлено с Плотность (многоугольник) )
Граница правильной эннеаграммы {9/4} обвивается вокруг ее центра 4 раза, поэтому ее плотность равна 4.

В геометрии плотность , звездчатого многогранника является обобщением понятия числа витков из двух измерений в более высокие измерения представляющее количество витков многогранника вокруг центра симметрии многогранника. Его можно определить, проведя луч от центра до бесконечности, проходя только через грани многогранника, а не через какие-либо элементы более низкой размерности, и подсчитав, через сколько граней он проходит. Для многогранников, у которых это количество не зависит от выбора луча и у которых центральная точка сама не находится ни на одной грани, плотность определяется этим количеством скрещенных граней.

Тот же расчет можно выполнить для любого выпуклого многогранника , даже без симметрии, выбрав любую точку внутри многогранника в качестве его центра. Для этих многогранников плотность будет равна 1.В более общем смысле, для любого несамопересекающегося (акоптического) многогранника плотность может быть вычислена как 1 с помощью аналогичного расчета, который выбирает луч из внутренней точки, который проходит только через грани многогранника, и добавляет единицу, когда этот луч проходит из внутреннюю часть к внешней части многогранника и вычитает единицу, когда этот луч проходит из внешней части многогранника во внутреннюю часть. Однако такое присвоение знаков пересечениям вообще не применимо к звездчатым многогранникам, поскольку они не имеют четко выраженной внутренней и внешней части.

Тесселяции с перекрывающимися гранями могут аналогичным образом определять плотность как количество покрытий граней в любой заданной точке. [1]

Полигоны

[ редактировать ]

Плотность многоугольника — это количество раз, которое граница многоугольника оборачивается вокруг его центра. Для выпуклых многоугольников и, в более общем смысле, простых многоугольников (не самопересекающихся) плотность равна 1 по теореме Жордана о кривой .

Плотность многоугольника также можно назвать числом его поворота ; сумма углов поворота всех вершин, деленная на 360°. Это будет целое число для всех уникурсальных путей на плоскости.

Плотность составного многоугольника равна сумме плотностей составляющих его многоугольников.

Правильные звездчатые многоугольники

[ редактировать ]

Для правильного звездчатого многоугольника { p / q } плотность равна q . Его можно определить визуально, посчитав минимальное количество пересечений ребер луча от центра до бесконечности.

Многогранники

[ редактировать ]

Многогранник и его двойник имеют одинаковую плотность.

Полная кривизна

[ редактировать ]

Многогранник можно рассматривать как поверхность с гауссовой кривизной, сосредоточенной в вершинах и определяемой угловым дефектом . Плотность многогранника равна общей кривизне (суммированной по всем его вершинам), деленной на 4π. [2]

Например, куб имеет 8 вершин, в каждой из которых по 3 квадрата , поэтому дефект угла равен π/2. 8×π/2=4π. Значит, плотность куба равна 1.

Простые многогранники

[ редактировать ]

Плотность многогранника с простыми гранями и фигурами вершин равна половине эйлеровой характеристики χ. Если его род g , его плотность равна 1- g .

χ = V E + F = 2 D = 2(1- g ).

Правильные звездчатые многогранники

[ редактировать ]

Артур Кэли использовал плотность как способ изменить формулу многогранника Эйлера ( V E + F = 2) для работы с правильными звездчатыми многогранниками , где d v — плотность вершинной фигуры , d f грани и D многогранника. в целом:

[3]

Например, большой икосаэдр {3, 5/2} имеет 20 треугольных граней ( d f = 1), 30 ребер и 12 пентаграммных вершинных фигур ( d v = 2), что дает

1·20 = 14 = 2 Д. 2·12 − 30 +

Это подразумевает плотность 7. Немодифицированная формула многогранника Эйлера не работает для малого звездчатого додекаэдра {5/2, 5} и его двойственного большого додекаэдра {5, 5/2}, для которых V - E + F = -6.

Правильные звездчатые многогранники существуют в двух двойственных парах, причем каждая фигура имеет ту же плотность, что и ее двойник: одна пара (малый звездчатый додекаэдр — большой додекаэдр) имеет плотность 3, а другая ( большой звездчатый додекаэдр — большой икосаэдр) имеет плотность 7.

Невыпуклый большой икосаэдр {3,5/2} имеет плотность 7, как показано на этом прозрачном виде в поперечном сечении справа.

Общие звездчатые многогранники

[ редактировать ]

Эдмунд Гесс обобщил формулу звездчатых многогранников с разными типами граней, некоторые из которых могут складываться назад по отношению к другим. Полученное значение плотности соответствует количеству раз, когда соответствующий сферический многогранник покрывает сферу.

Это позволило Кокстеру и соавт. определить плотности большинства однородных многогранников , имеющих один тип вершин и несколько типов граней. [4]

Неориентируемые многогранники

[ редактировать ]

Для полумногогранников , часть граней которых проходит через центр, плотность определить невозможно. Неориентируемые многогранники также не имеют четко определенных плотностей.

Правильные 4-многогранники

[ редактировать ]
Большой звёздчатый 120-клеточный имеет плотность 191.

Существует 10 правильных звездчатых 4-многогранников (называемых 4-многогранниками Шлефли – Гесса ), которые имеют плотности между 4, 6, 20, 66, 76 и 191. Они бывают двойственными парами, за исключением самодуального. Цифры плотность-6 и плотность-66.

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Коксетер, HS M; Красота геометрии: двенадцать эссе (1999), Dover Publications, LCCN   99-35678 , ISBN   0-486-40919-8 (206–214, Плотность правильных сот в гиперболическом пространстве)
  2. ^ Геометрия и воображение в Миннеаполисе 17. Угловой дефект многогранника; 20. Кривизна поверхностей; 21. Гауссова кривизна; 27.3.1 Кривизна многогранников стр. 32-51
  3. ^ Кромвель, П.; Многогранники , CUP хбк (1997), пбк. (1999). (Страница 258)
  4. ^ Коксетер, 1954 (Раздел 6, Плотность и Таблица 7, Однородные многогранники)
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 8c7118510ecefbbeaf06b37b06983123__1713387600
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/8c/23/8c7118510ecefbbeaf06b37b06983123.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Density (polytope) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)