Шестиугольник

Правильный шестиугольник
Правильный шестиугольник
	Правильный шестиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	16
Символ Шлефли	{16}, т{8}, тт{4}
Диаграммы Кокстера – Динкина	;
Группа симметрии	Двугранник (Д 16 ), заказ 2×16
Внутренний угол ( градусы )	157.5°
Характеристики	Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный
Двойной полигон	Себя

В математике шестиугольник (иногда называемый шестиугольником или 16-угольником ) — это шестнадцатисторонний многоугольник . ^[1]

Правильный шестиугольник

шестиугольник Правильный – это шестиугольник , у которого все углы равны и все стороны конгруэнтны. Его символ Шлефли — {16}, и его можно построить в виде усечённого восьмиугольника t{8} и дважды усечённого квадрата tt{4}. Усеченный шестиугольник t{16} является триаконтадигоном {32}.

Строительство

Как 16 = 2 ⁴ ( степень двойки ), правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки : это было уже известно древнегреческим математикам. ^[2]

Построение правильного шестиугольника
на заданной окружности

Построение правильного шестиугольника
при заданной длине стороны, анимация. (Конструкция очень похожа на конструкцию восьмиугольника с заданной длиной стороны .)

Измерения

Каждый угол правильного шестиугольника равен 157,5 градусов , а общий угол любого шестиугольника равен 2520 градусов.

Площадь ребра правильного шестиугольника с длиной t равна

{\begin{aligned}A=4t^{2}\cot {\frac {\pi }{16}}=&4t^{2}\left(1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\right)\\=&4t^{2}({\sqrt {2}}+1)({\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}+1).\end{aligned}}

Поскольку число сторон шестиугольника равно степени двойки , его площадь можно вычислить через радиус описанной окружности R, усекая формулу Вьета :

A=R^{2}\cdot {\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2}}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}=4R^{2}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}.

Так как площадь описанной окружности равна $\pi R^{2},$ правильный шестиугольник заполняет примерно 97,45% описанной окружности.

Симметрия

Симметрия
	14 симметрий правильного шестиугольника. Линии отражений обозначены синим цветом через вершины, фиолетовым через края, а порядок вращения указан в центре. Вершины окрашены в соответствии с их положением симметрии.

Правильный шестиугольник имеет симметрию Dih ₁₆ , порядок 32. Существует 4 подгруппы диэдра: Dih ₈ , Dih ₄ , Dih ₂ и Dih ₁ , а также 5 циклических подгрупп : Z ₁₆ , Z ₈ , Z ₄ , Z ₂ и Z _{1 .} , последнее не подразумевает отсутствия симметрии.

В правильном шестиугольнике имеется 14 различных симметрий. Джон Конвей обозначает полную симметрию как r32 , а отсутствие симметрии обозначается как a1 . Двугранные симметрии делятся в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров). Циклические симметрии в среднем столбце помечены буквой g для их центрального порядка вращения. ^[3]

Наиболее распространенными шестиугольниками высокой симметрии являются d16 , изогональный шестиугольник, построенный из восьми зеркал, которые могут чередовать длинные и короткие ребра, и p16 , изотоксический шестиугольник, построенный с равными длинами ребер, но вершины чередуются с двумя разными внутренними углами. Эти две формы двойственны друг другу и имеют половину порядка симметрии правильного шестидесятиугольника.

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g16 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .

Диссекция

16-кубовая проекция	112 ромбовидное рассечение
	Обычный	изотоксал

Коксетер утверждает, что каждый зоногон (2- метровый угольник, противоположные стороны которого параллельны и одинаковой длины) можно разрезать на m ( m -1)/2 параллелограмма. ^[4]В частности, это верно для правильных многоугольников с четным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Для правильного шестиугольника = 8 , m и его можно разделить на 28: 4 квадрата и 3 набора по 8 ромбов. Это разложение основано на Петри многоугольной проекции 8-куба с 28 из 1792 граней. В списке OEIS : A006245 количество решений указано как 1232944, включая до 16-кратных вращений и киральные формы в отражении.

Рассечение на 28 ромбов.
8-кубовый

Наклон шестиугольника

3 обычных косых зигзагообразных шестиугольника
{8}#{ }	{ 8 ⁄ 3 }#{ }	{ 8 ⁄ 5 }#{ }

Правильный косой шестиугольник рассматривается как зигзагообразные края восьмиугольной антипризмы , октаграммной антипризмы и октаграммной скрещенной антипризмы .

Косой шестиугольник — это косой многоугольник с 24 вершинами и ребрами, но не расположенный в одной плоскости. Внутренняя часть такого шестиугольника обычно не определена. Косой зигзагообразный шестиугольник имеет вершины, чередующиеся в двух параллельных плоскостях.

Правильный косой шестиугольник является вершинно-транзитивным с равными длинами ребер. В трехмерном измерении это будет зигзагообразный косой шестиугольник, который можно увидеть в вершинах и боковых гранях восьмиугольной антипризмы с тем же D _8d , [2 ⁺,16] симметрия, порядок 32. Октаграммная антипризма s{2,16/3} и октаграммная скрещенная антипризма s{2,16/5} также имеют правильные косые восьмиугольники.

Полигоны Петри

Правильный шестиугольник — это многоугольник Петри для многих многогранников более высокой размерности, показанных в этих косо ортогональных проекциях , в том числе:

В ₁₅	Б ₈		Д ₉		2Б ₂ (4Д)
15-симплекс	8-ортоплекс	8-кубовый	6 ₁₁	1 ₆₁	8-8 дуопирамида	8-8 дуопризма

Связанные цифры

Шестнадцатигранный звездчатый многоугольник , обозначаемый символом {16/n}. Есть три правильных звездчатых многоугольника : {16/3}, {16/5}, {16/7}, использующие одни и те же вершины, но соединяющие каждую третью, пятую или седьмую точку. Также есть три соединения: {16/2} сокращается до 2{8} как два восьмиугольника , {16/4} сокращается до 4{4} как четыре квадрата и {16/6} сокращается до 2{8/3. } как две октаграммы и, наконец, {16/8} сокращается до 8{2} как восемь двуугольников .

Составные и звездчатые шестиугольники
Form	Convex polygon	Compound	Star polygon	Compound
Image	{16/1} or {16}	{16/2} or 2{8}	{16/3}	{16/4} or 4{4}
Interior angle	157.5°	135°	112.5°	90°
Form	Star polygon	Compound	Star polygon	Compound
Image	{16/5}	{16/6} or 2{8/3}	{16/7}	{16/8} or 8{2}
Interior angle	67.5°	45°	22.5°	0°

Более глубокие усечения правильного восьмиугольника и октаграммы могут привести к образованию изогональных ( вершинно-транзитивных ) промежуточных форм гексадекаграммы с одинаково расположенными вершинами и двумя длинами ребер. ^[5]

Усеченный восьмиугольник — это шестиугольник, t{8}={16}. Квазиусеченный восьмиугольник, перевернутый как {8/7}, представляет собой гексадекаграмму: t{8/7}={16/7}. Усеченная октаграмма {8/3} представляет собой гексадекаграмму: t{8/3}={16/3}, а квазиусеченная октаграмма, перевернутая как {8/5}, представляет собой гексадекаграмму: t{8/5}={16 /5}.

Изогональные усечения восьмиугольника и октаграммы
Quasiregular	Isogonal	Quasiregular
t{8}={16}		t{8/7}={16/7}
t{8/3}={16/3}		t{8/5}={16/5}

В искусстве

В начале 16 века Рафаэль первым сконструировал перспективное изображение правильного шестиугольника: башня на его картине «Брак Богородицы» имеет 16 сторон, развивая восьмигранную башню на предыдущей картине Пьетро Перуджино . ^[6]

Гексадекаграммы (16-гранные звездчатые многоугольники ) включены в узоры Гирих в Альгамбре . ^[7]

Неправильные шестиугольники

Восьмиугольную звезду можно рассматривать как вогнутый шестиугольник:

Последний можно увидеть во многих архитектурах, от христианских до исламских, а также в логотипе IRIB TV4 .

См. также

Ссылки

^ Вайсштейн, Эрик В. (2002). CRC Краткая математическая энциклопедия, второе издание . ЦРК Пресс. п. 1365. ИСБН 9781420035223 .
^ Коши, Томас (2007), Элементарная теория чисел с приложениями (2-е изд.), Academic Press, стр. 142, ISBN 9780080547091 .
^ Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275-278)
^ Коксетер , Математические развлечения и очерки, тринадцатое издание, стр.141
^ Светлая сторона математики: материалы конференции памяти Эжена Стренса по развлекательной математике и ее истории (1994), Метаморфозы многоугольников , Бранко Грюнбаум
^ Спейзер, Дэвид (2011), «Архитектура, математика и теология в картинах Рафаэля», в книге Уильямс, Ким (ред.), Перекресток: история науки, история искусства. Очерки Дэвида Спайзера, том. II , Springer, стр. 29–39, номер документа : 10.1007/978-3-0348-0139-3_3 . Первоначально опубликовано в журнале Nexus III: Architecture and Mathematics , Ким Уильямс , изд. (Оспедалетто, Пиза: Pacini Editore, 2000), стр. 147–156.
^ Хэнкин, Э. Хэнбери (май 1925 г.), «Примеры методов рисования геометрических арабесок», The Mathematical Gazette , 12 (176): 370–373, doi : 10.2307/3604213 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Шестидесятиугольник» . Математический мир .

[Weisstein2002-1] Вайсштейн, Эрик В. (2002). CRC Краткая математическая энциклопедия, второе издание . ЦРК Пресс. п. 1365. ИСБН 9781420035223 .

[2] Коши, Томас (2007), Элементарная теория чисел с приложениями (2-е изд.), Academic Press, стр. 142, ISBN 9780080547091 .

[3] Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275-278)

[4] Коксетер , Математические развлечения и очерки, тринадцатое издание, стр.141

[5] Светлая сторона математики: материалы конференции памяти Эжена Стренса по развлекательной математике и ее истории (1994), Метаморфозы многоугольников , Бранко Грюнбаум

[6] Спейзер, Дэвид (2011), «Архитектура, математика и теология в картинах Рафаэля», в книге Уильямс, Ким (ред.), Перекресток: история науки, история искусства. Очерки Дэвида Спайзера, том. II , Springer, стр. 29–39, номер документа : 10.1007/978-3-0348-0139-3_3 . Первоначально опубликовано в журнале Nexus III: Architecture and Mathematics , Ким Уильямс , изд. (Оспедалетто, Пиза: Pacini Editore, 2000), стр. 147–156.

[7] Хэнкин, Э. Хэнбери (май 1925 г.), «Примеры методов рисования геометрических арабесок», The Mathematical Gazette , 12 (176): 370–373, doi : 10.2307/3604213 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]