Хилиагон
| Правильный хилиагон | |
|---|---|
 Обычный хилиагон | |
| Тип | Правильный многоугольник |
| Ребра и вершины | 1000 |
| Символ Шлефли | {1000}, т{500}, тт{250}, тт{125} |
| Диаграммы Кокстера – Динкина |      |
| Группа симметрии | Двугранник (Д 1000 ), заказ 2×1000 |
| Внутренний угол ( градусы ) | 179.64° |
| Характеристики | Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный |
| Двойной полигон | Себя |
В геометрии хилиагон — ( / ˈ k ɪ l i ə ɡ ɒ n / ) или 1000-угольник это многоугольник с 1000 сторон. Философы обычно ссылаются на хилиагоны, чтобы проиллюстрировать идеи о природе и работе мысли, значении и мысленном представлении.
Правильный хилиагон
[ редактировать ]Правильный , хилиагон представлен символом Шлефли {1000} и может быть построен в виде усеченного 500-угольника, t{500}, дважды усеченного 250-угольника, tt{250}, или трижды усеченного 125-угольника ттт{125}.
Размер каждого внутреннего угла правильного хилиагона равен 179°38'24"/ рад. Площадь a правильного хилиагона сторонами длины со определяется выражением
Этот результат отличается от площади описанной окружности менее чем на 4 части на миллион .
Потому что 1000 = 2 3 × 5 3 , число сторон не является ни произведением различных простых чисел Ферма , ни степенью двойки. Таким образом, правильный чилиагон не является конструктивным многоугольником . В самом деле, его невозможно построить даже с использованием трисектора угла, поскольку число сторон не является ни произведением различных простых чисел Пьерпона , ни произведением степеней двойки и трех. Следовательно, построение хилиагона требует других методов, таких как квадратриса Гиппия , спираль Архимеда или другие вспомогательные кривые. Например, угол 9° можно сначала построить с помощью циркуля и линейки, а затем дважды разделить его на пять равных частей, используя вспомогательную кривую, чтобы получить требуемый внутренний угол 21 фут 36 дюймов.
Философское применение
[ редактировать ]Рене Декарт использует хилиагон в качестве примера в своем «Шестом размышлении», чтобы продемонстрировать разницу между чистым мышлением и воображением. Он говорит, что, когда человек думает о хилиагоне, он «не представляет себе тысячу сторон и не видит их так, как если бы они присутствовали» перед ним – как, например, он делает, когда представляет себе треугольник. Воображение создает «смятенное представление», ничем не отличающееся от того, которое оно создает в отношении мириагона (многоугольника с десятью тысячами сторон). Однако он ясно понимает, что такое хилиагон, так же, как понимает, что такое треугольник, и способен отличить его от многоугольника. Следовательно, утверждает Декарт, интеллект не зависит от воображения, поскольку он способен воспринимать ясные и отчетливые идеи, когда воображение не может этого сделать. [1] Философ Пьер Гассенди , современник Декарта, критически относился к этой интерпретации, полагая, что, хотя Декарт мог представить себе хилиагон, он не мог его понять: можно «понять, что слово «хилиагон» означает фигуру с тысячей углов [но] это всего лишь смысл этого термина, и из этого не следует, что вы понимаете тысячи углов фигуры лучше, чем вы их себе представляете». [2]
На пример хилиагона ссылаются и другие философы. Дэвид Юм указывает, что «невозможно на глаз определить, что углы хилиагона равны 1,996 прямых углов, или сделать какое-либо предположение, приближающееся к этой пропорции». [3] Готфрид Лейбниц комментирует использование хилиагона Джоном Локком , отмечая, что можно иметь представление о многоугольнике, не имея его изображения, и, таким образом, отличать идеи от изображений. [4] Иммануил Кант вместо этого ссылается на эннеаконтагексагон (96-угольник), но отвечает на тот же вопрос, который поднял Декарт. [5]
Анри Пуанкаре использует хилиагон как доказательство того, что «интуиция не обязательно основана на данных чувств», потому что «мы не можем представить себе хилиагон, но тем не менее мы рассуждаем интуитивно о многоугольниках вообще, которые включают хилиагон как конкретный элемент». случай." [6]
Вдохновленный примером хилиагона Декарта, Родерик Чизхолм и другие философы 20-го века использовали аналогичные примеры, чтобы высказать аналогичные соображения. » Чисхолма « Пятнистая курица , для успешного представления которой не обязательно иметь определенное количество пятен, пожалуй, самая известная из них. [7]
Симметрия
[ редактировать ]
Правильный хилиагон имеет Dih 1000 двугранную симметрию порядка 2000, представленную 1000 линиями отражения. Dih 1000 имеет 15 двугранных подгрупп: Dih 500 , Dih 250 , Dih 125 , Dih 200 , Dih 100 , 50 Dih , Dih 25 , Dih 40 , Dih 20 , Dih 10 , Dih , 5 8 Dih 4 , Dih , Dih 2 и Дих 1 . Он также имеет еще 16 циклических симметрий в виде подгрупп: Z 1000 , Z 500 , Z 250 , Z 125 , Z 200 , Z 100 , Z 50 , Z 25 , Z 40 , Z 20 , Z 10 , Z 5 , Z 8 , Z 4 , Z 2 и Z 1 , где Z n π/ n представляет радианную вращательную симметрию .
Джон Конвей обозначает эти низшие симметрии буквой, и порядок симметрии следует за буквой. [8] Он дает d (диагональ) с зеркальными линиями, проходящими через вершины, p с зеркальными линиями, проходящими через края (перпендикулярно), i с зеркальными линиями, проходящими как через вершины, так и через края, и g для вращательной симметрии. a1 обозначает отсутствие симметрии.
Эти более низкие симметрии допускают степень свободы в определении неправильных хилиагонов. Только подгруппа g1000 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .
Хилиаграмма
[ редактировать ]Хилиаграмма — это 1000-сторонний звездчатый многоугольник . Существует 199 правильных форм. [а] задается символами Шлефли формы {1000/ n }, где n — целое число от 2 до 500, взаимно простое с 1000. также находится 300 обычных фигурок звезд В остальных корпусах .
Например, правильный звездчатый многоугольник {1000/499} состоит из 1000 почти радиальных ребер. Каждая вершина звезды имеет внутренний угол 0,36 градуса. [б]
 |  Центральная зона с муаровыми узорами |
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Медитация VI Декарта (английский перевод).
- ^ Сепкоски, Дэвид (2005). «Номинализм и конструктивизм в математической философии XVII века» . История Математики . 32 : 33–59. дои : 10.1016/j.hm.2003.09.002 .
- ^ Дэвид Хьюм, Философские произведения Дэвида Юма , Том 1, Black and Tait, 1826, стр. 101.
- ^ Джонатан Фрэнсис Беннетт (2001), Учимся у шести философов: Декарта, Спинозы, Лейбница, Локка, Беркли, Хьюма , Том 2, Oxford University Press, ISBN 0198250924 , с. 53.
- ^ Иммануил Кант, «Об открытии», пер. Генри Эллисон, в «Теоретической философии после 1791 года» , изд. Генри Эллисон и Питер Хит, Кембриджский университет, 2002 г. [Академия 8:121].
- ^ Анри Пуанкаре (1900) «Интуиция и логика в математике» в книге Уильяма Брэгга Эвальда (редактор) От Канта до Гильберта: Справочник по основам математики , Том 2, Oxford University Press, 2007, ISBN 0198505361 , с. 1015.
- ^ Родерик Чисхолм, «Проблема крапчатой курицы», Mind 51 (1942): стр. 368–373. «Все эти проблемы являются потомками аргумента Декарта о «хилиагоне» в шестых его «Размышлениях» (Джозеф Хит, Следуя правилам: практическое рассуждение и деонтическое ограничение , Оксфорд: OUP, 2008, стр. 305, примечание 15).
- ^ Симметрии вещей , Глава 20