Икосаэдрическая симметрия

Выбранные группы точек в трех измерениях
Группа многогранников , [n,3], (*n32)
Инволюционная симметрия С ₎ , (* [ ] =	Циклическая симметрия C _нв , (*nn) [н] =	Двугранная симметрия Днх _, (*n22) [п,2] =
Тетраэдрическая симметрия Т _д , (*332) [3,3] =	Октаэдрическая симметрия О _х , (*432) [4,3] =	Икосаэдрическая симметрия I _h, (*532) [5,3] =

В математике, и особенно в геометрии, объект обладает икосаэдрической симметрией , если он обладает той же симметрией , что и правильный икосаэдр . Примеры других многогранников с икосаэдрической симметрией включают правильный додекаэдр ( двойник икосаэдра) и ромбический триаконтаэдр .

Каждый многогранник с икосаэдрической симметрией имеет 60 вращательных (или сохраняющих ориентацию) симметрий и 60 симметрий, меняющих ориентацию (которые сочетают в себе вращение и отражение ), для общего порядка симметрии 120. Полная группа симметрии - это группа Коксетера типа $H. 3$ . Его можно представить с помощью обозначений Кокстера $[5,3]$ и диаграммы Кокстера. . Множество вращательных симметрий образует подгруппу, изоморфную знакопеременной группе $A 5$ на 5 буквах.

Описание

Икосаэдрическая симметрия — математическое свойство объектов, указывающее на то, что объект имеет ту же симметрию , что и правильный икосаэдр .

Как точечная группа

Помимо двух бесконечных серий призматической и антипризматической симметрии, вращательная икосаэдрическая симметрия или киральная икосаэдрическая симметрия киральных объектов и полная икосаэдральная симметрия или ахиральная икосаэдрическая симметрия представляют собой дискретные точечные симметрии (или, что эквивалентно, симметрии на сфере ) с наибольшими группами симметрии .

Икосаэдрическая симметрия несовместима с трансляционной симметрией , поэтому не существует связанных с ней кристаллографических точечных групп или пространственных групп .

Хороший.	Коксетер		Орб.	Абстрактный структура	Заказ
я	[5,3] ⁺		532	A_А5	60
I _h	[5,3]		*532	A ₅×2	120

Презентации, соответствующие вышеизложенному:

I:\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle \

I_{h}:\langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle .\

Они соответствуют икосаэдрическим группам (вращательным и полным), представляющим собой (2,3,5) группы треугольников .

Первая презентация была сделана Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1856 году в его статье об икосианском исчислении . ^[1]

Заметим, что возможны и другие представления, например, в виде чередующейся группы (для I ).

Визуализации

Полной группой симметрии является группа Кокстера типа $H 3$ . Его можно представить с помощью обозначений Кокстера $[5,3]$ и диаграммы Кокстера. . Множество вращательных симметрий образует подгруппу, изоморфную знакопеременной группе $A 5$ на 5 буквах.

Обувь. ( Орб. )	Коксетер обозначение	Элементы	Зеркальные схемы
Обувь. ( Орб. )	Коксетер обозначение	Элементы	Ортогональный	Стереографическая проекция
I _h (*532)	[5,3]	Зеркало линии: 15
я (532)	[5,3] ⁺	Вращение баллы: 12 ₅ 20 ₃ 30 ₂

Структура группы

Каждый многогранник с икосаэдрической симметрией имеет 60 вращательных (или сохраняющих ориентацию) симметрий и 60 симметрий, изменяющих ориентацию (которые сочетают в себе вращение и отражение ), что дает общий порядок симметрии 120.


Края сферического соединения пяти октаэдров представляют собой 15 зеркальных плоскостей в виде цветных больших кругов. Каждый октаэдр своими гранями может представлять три ортогональные зеркальные плоскости.

Пиритоэдрическая симметрия представляет собой подгруппу икосаэдрической симметрии индекса 5 с 3 ортогональными зелеными линиями отражения и 8 красными точками вращения третьего порядка. Существует 5 различных направлений пиритоэдрической симметрии.

The икосаэдра I имеет порядок 60. Группа I изоморфна вращения A Группа ₅ , чередующейся группе четных перестановок пяти объектов. Этот изоморфизм может быть реализован путем воздействия I на различные соединения, в частности на соединение пяти кубов (которые вписаны в додекаэдр ), на соединение пяти октаэдров или на любое из двух соединений пяти тетраэдров (которые являются энантиоморфами и вписаны в додекаэдр). додекаэдр). Группа содержит 5 версий с _Th 20 версиями D ₃ (10 осей, по 2 на ось) и 6 версиями D ₅ .

The Полная икосаэдрическая группа I _h имеет порядок 120. Она имеет I как нормальную подгруппу индекса , 2. Группа I _h изоморфна I × Z ₂ или A ₅ × Z ₂ , с инверсией в центре, соответствующей элементу (тождество -1), где Z ₂ записывается мультипликативно.

I _h действует на соединение пяти кубов и соединение пяти октаэдров , но −1 действует как тождество (поскольку кубы и октаэдры центрально симметричны). Он действует на соединение десяти тетраэдров : I действует на две киральные половины ( соединения пяти тетраэдров ), а −1 меняет местами две половины.Примечательно, что она не действует как S ₅ , и эти группы не изоморфны; подробности см. ниже.

В группе 10 вариантов D _3d и 6 вариантов D _5d (симметрии типа антипризм).

I также изоморфен PSL ₂ (5), но I _h не изоморфен SL ₂ (5).

Изоморфизм I с A ₅

Полезно подробно описать, как изоморфизм между I и A5 _. выглядит В следующей таблице перестановки Pi _и Qi _{действуют} матрицы вращения Mi _{являются} элементами I. на 5 и 12 элементов соответственно, а Если Pk _{является} продуктом взятия перестановки Pi _и применения _{к ней Pj} , то для тех же значений i , j и k также верно, что Qk _{является} продуктом взятия Qi _и применения _Qj , а также то, что предварительное умножение вектора на Mk _— это то же самое, что предварительное умножение этого вектора на Mi _, затем предварительное умножение этого результата на Mj _, то есть _Mk = _Mj × _Mi. а Поскольку все перестановки Pi _— это 60 четных перестановок из 12345, взаимно однозначное соответствие становится явным, а значит, и изоморфизм.

Матрица вращения	Перестановка 5 1 2 3 4 5	Перестановка 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
$M_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$	$P_{1}$ = ()	$Q_{1}$ = ()
$M_{2}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{2}$ = (3 4 5)	$Q_{2}$ = (1 11 8)(2 9 6)(3 5 12)(4 7 10)
$M_{3}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{3}$ = (3 5 4)	$Q_{3}$ = (1 8 11)(2 6 9)(3 12 5)(4 10 7)
$M_{4}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{4}$ = (2 3)(4 5)	$Q_{4}$ = (1 12)(2 8)(3 6)(4 9)(5 10)(7 11)
$M_{5}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{5}$ = (2 3 4)	$Q_{5}$ = (1 2 3)(4 5 6)(7 9 8)(10 11 12)
$M_{6}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{6}$ = (2 3 5)	$Q_{6}$ = (1 7 5)(2 4 11)(3 10 9)(6 8 12)
$M_{7}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{7}$ = (2 4 3)	$Q_{7}$ = (1 3 2)(4 6 5)(7 8 9)(10 12 11)
$M_{8}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\end{bmatrix}}$	$P_{8}$ = (2 4 5)	$Q_{8}$ = (1 10 6)(2 7 12)(3 4 8)(5 11 9)
$M_{9}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{9}$ = (2 4)(3 5)	$Q_{9}$ = (1 9)(2 5)(3 11)(4 12)(6 7)(8 10)
$M_{10}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{10}$ = (2 5 3)	$Q_{10}$ = (1 5 7)(2 11 4)(3 9 10)(6 12 8)
$M_{11}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}$	$P_{11}$ = (2 5 4)	$Q_{11}$ = (1 6 10)(2 12 7)(3 8 4)(5 9 11)
$M_{12}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{12}$ = (2 5)(3 4)	$Q_{12}$ = (1 4)(2 10)(3 7)(5 8)(6 11)(9 12)
$M_{13}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}$	$P_{13}$ = (1 2)(4 5)	$Q_{13}$ = (1 3)(2 4)(5 8)(6 7)(9 10)(11 12)
$M_{14}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{14}$ = (1 2)(3 4)	$Q_{14}$ = (1 5)(2 7)(3 11)(4 9)(6 10)(8 12)
$M_{15}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{15}$ = (1 2)(3 5)	$Q_{15}$ = (1 12)(2 10)(3 8)(4 6)(5 11)(7 9)
$M_{16}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{16}$ = (1 2 3)	$Q_{16}$ = (1 11 6)(2 5 9)(3 7 12)(4 10 8)
$M_{17}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{17}$ = (1 2 3 4 5)	$Q_{17}$ = (1 6 5 3 9)(4 12 7 8 11)
$M_{18}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{18}$ = (1 2 3 5 4)	$Q_{18}$ = (1 4 8 6 2)(5 7 10 12 9)
$M_{19}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{19}$ = (1 2 4 5 3)	$Q_{19}$ = (1 8 7 3 10)(2 12 5 6 11)
$M_{20}={\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{bmatrix}}$	$P_{20}$ = (1 2 4)	$Q_{20}$ = (1 7 4)(2 11 8)(3 5 10)(6 9 12)
$M_{21}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{21}$ = (1 2 4 3 5)	$Q_{21}$ = (1 2 9 11 7)(3 6 12 10 4)
$M_{22}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{22}$ = (1 2 5 4 3)	$Q_{22}$ = (2 3 4 7 5)(6 8 10 11 9)
$M_{23}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{bmatrix}}$	$P_{23}$ = (1 2 5)	$Q_{23}$ = (1 9 8)(2 6 3)(4 5 12)(7 11 10)
$M_{24}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{24}$ = (1 2 5 3 4)	$Q_{24}$ = (1 10 5 4 11)(2 8 9 3 12)
$M_{25}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{25}$ = (1 3 2)	$Q_{25}$ = (1 6 11)(2 9 5)(3 12 7)(4 8 10)
$M_{26}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{26}$ = (1 3 4 5 2)	$Q_{26}$ = (2 5 7 4 3)(6 9 11 10 8)
$M_{27}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{27}$ = (1 3 5 4 2)	$Q_{27}$ = (1 10 3 7 8)(2 11 6 5 12)
$M_{28}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{28}$ = (1 3)(4 5)	$Q_{28}$ = (1 7)(2 10)(3 11)(4 5)(6 12)(8 9)
$M_{29}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{29}$ = (1 3 4)	$Q_{29}$ = (1 9 10)(2 12 4)(3 6 8)(5 11 7)
$M_{30}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{30}$ = (1 3 5)	$Q_{30}$ = (1 3 4)(2 8 7)(5 6 10)(9 12 11)
$M_{31}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{31}$ = (1 3)(2 4)	$Q_{31}$ = (1 12)(2 6)(3 9)(4 11)(5 8)(7 10)
$M_{32}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{32}$ = (1 3 2 4 5)	$Q_{32}$ = (1 4 10 11 5)(2 3 8 12 9)
$M_{33}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{33}$ = (1 3 5 2 4)	$Q_{33}$ = (1 5 9 6 3)(4 7 11 12 8)
$M_{34}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{34}$ = (1 3)(2 5)	$Q_{34}$ = (1 2)(3 5)(4 9)(6 7)(8 11)(10 12)
$M_{35}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{35}$ = (1 3 2 5 4)	$Q_{35}$ = (1 11 2 7 9)(3 10 6 4 12)
$M_{36}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{36}$ = (1 3 4 2 5)	$Q_{36}$ = (1 8 2 4 6)(5 10 9 7 12)
$M_{37}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{37}$ = (1 4 5 3 2)	$Q_{37}$ = (1 2 6 8 4)(5 9 12 10 7)
$M_{38}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\1&0&0\end{bmatrix}}$	$P_{38}$ = (1 4 2)	$Q_{38}$ = (1 4 7)(2 8 11)(3 10 5)(6 12 9)
$M_{39}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{39}$ = (1 4 3 5 2)	$Q_{39}$ = (1 11 4 5 10)(2 12 3 9 8)
$M_{40}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{40}$ = (1 4 3)	$Q_{40}$ = (1 10 9)(2 4 12)(3 8 6)(5 7 11)
$M_{41}={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}$	$P_{41}$ = (1 4 5)	$Q_{41}$ = (1 5 2)(3 7 9)(4 11 6)(8 10 12)
$M_{42}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{42}$ = (1 4)(3 5)	$Q_{42}$ = (1 6)(2 3)(4 9)(5 8)(7 12)(10 11)
$M_{43}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{43}$ = (1 4 5 2 3)	$Q_{43}$ = (1 9 7 2 11)(3 12 4 6 10)
$M_{44}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{44}$ = (1 4)(2 3)	$Q_{44}$ = (1 8)(2 10)(3 4)(5 12)(6 7)(9 11)
$M_{45}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{45}$ = (1 4 2 3 5)	$Q_{45}$ = (2 7 3 5 4)(6 11 8 9 10)
$M_{46}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{46}$ = (1 4 2 5 3)	$Q_{46}$ = (1 3 6 9 5)(4 8 12 11 7)
$M_{47}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{47}$ = (1 4 3 2 5)	$Q_{47}$ = (1 7 10 8 3)(2 5 11 12 6)
$M_{48}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}$	$P_{48}$ = (1 4)(2 5)	$Q_{48}$ = (1 12)(2 9)(3 11)(4 10)(5 6)(7 8)
$M_{49}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{49}$ = (1 5 4 3 2)	$Q_{49}$ = (1 9 3 5 6)(4 11 8 7 12)
$M_{50}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\end{bmatrix}}$	$P_{50}$ = (1 5 2)	$Q_{50}$ = (1 8 9)(2 3 6)(4 12 5)(7 10 11)
$M_{51}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{51}$ = (1 5 3 4 2)	$Q_{51}$ = (1 7 11 9 2)(3 4 10 12 6)
$M_{52}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{52}$ = (1 5 3)	$Q_{52}$ = (1 4 3)(2 7 8)(5 10 6)(9 11 12)
$M_{53}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}$	$P_{53}$ = (1 5 4)	$Q_{53}$ = (1 2 5)(3 9 7)(4 6 11)(8 12 10)
$M_{54}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{54}$ = (1 5)(3 4)	$Q_{54}$ = (1 12)(2 11)(3 10)(4 8)(5 9)(6 7)
$M_{55}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{55}$ = (1 5 4 2 3)	$Q_{55}$ = (1 5 11 10 4)(2 9 12 8 3)
$M_{56}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}$	$P_{56}$ = (1 5)(2 3)	$Q_{56}$ = (1 10)(2 12)(3 11)(4 7)(5 8)(6 9)
$M_{57}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{57}$ = (1 5 2 3 4)	$Q_{57}$ = (1 3 8 10 7)(2 6 12 11 5)
$M_{58}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{58}$ = (1 5 2 4 3)	$Q_{58}$ = (1 6 4 2 8)(5 12 7 9 10)
$M_{59}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}$	$P_{59}$ = (1 5 3 2 4)	$Q_{59}$ = (2 4 5 3 7)(6 10 9 8 11)
$M_{60}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$	$P_{60}$ = (1 5)(2 4)	$Q_{60}$ = (1 11)(2 10)(3 12)(4 9)(5 7)(6 8)

Группы, которые часто путают

Все следующие группы имеют порядок 120, но не изоморфны:

S ₅ , симметрическая группа из 5 элементов
I _h , полная группа икосаэдра (предмет этой статьи, также известная как H ₃ )
2 I , бинарная группа икосаэдра

Им соответствуют следующие короткие точные последовательности (последняя из которых не расщепляется) и произведение

1\to A_{5}\to S_{5}\to Z_{2}\to 1

I_{h}=A_{5}\times Z_{2}

1\to Z_{2}\to 2I\to A_{5}\to 1

Другими словами,

$A_{5}$ является нормальной подгруппой $S_{5}$
$A_{5}$ является фактором $I_{h}$ , который является прямым произведением
$A_{5}$ представляет факторгруппу собой $2I$

Обратите внимание, что $A_{5}$ имеет исключительное неприводимое трехмерное представление (как группа икосаэдра вращения), но $S_{5}$ не имеет неприводимого трехмерного представления, что соответствует полной икосаэдрической группе, не являющейся симметричной группой.

Их также можно отнести к линейным группам над конечным полем с пятью элементами, которые непосредственно демонстрируют подгруппы и накрывающие группы; ни один из них не является полной группой икосаэдра:

$A_{5}\cong \operatorname {PSL} (2,5),$ проективная специальная линейная группа , см. здесь ; доказательство
$S_{5}\cong \operatorname {PGL} (2,5),$ проективная общая линейная группа ;
$2I\cong \operatorname {SL} (2,5),$ специальная линейная группа .

Классы сопряженности

120 симметрий делятся на 10 классов сопряженности.

классы сопряженности
я	дополнительные занятия I _ч
личность, порядок 1 12 × поворот на ±72°, порядка 5, вокруг 6 осей, проходящих через центры граней додекаэдра 12 × поворот на ±144°, порядка 5, вокруг 6 осей, проходящих через центры граней додекаэдра 20 × поворот на ±120°, порядка 3, вокруг 10 осей, проходящих через вершины додекаэдра 15 × поворот на 180°, порядок 2, вокруг 15 осей, проходящих через середины ребер додекаэдра	центральная инверсия, порядок 2 12 × роторное отражение на ±36°, порядка 10, вокруг 6 осей, проходящих через центры граней додекаэдра. 12 × роторное отражение на ±108°, порядка 10, вокруг 6 осей, проходящих через центры граней додекаэдра. 20 × роторное отражение на ±60°, порядка 6, вокруг 10 осей, проходящих через вершины додекаэдра 15 × отражение, порядок 2, в 15 плоскостях через ребра додекаэдра

Подгруппы полной группы икосаэдрической симметрии

Каждая строка в следующей таблице представляет один класс сопряженных (т. е. геометрически эквивалентных) подгрупп. Колонка «Мульт». (кратность) дает количество различных подгрупп в классе сопряженности.

Пояснения к цветам: зеленый = группы, порожденные отражениями, красный = киральные (сохраняющие ориентацию) группы, содержащие только вращения.

Группы описываются геометрически в терминах додекаэдра.

Аббревиатура «hts(edge)» означает «полуповорот, меняющий местами это ребро на противоположное», а также «грани» и «вершины».

Хороший.	Коксетер	Орб.	ХМ	Структура	Заказ	Индекс	Много.	Описание
I _h	[5,3]	*532	53 2/м	A ₅×Z ₂	120	1	1	полная группа
Д _{2 часа}	[2,2]	*222	М-м-м	Д ₄ ×Д ₂ =Д ₂³	8	15	5	фиксируем два противоположных края, возможно меняя их местами
С _5В	[5]	*55	5 м	Д ₁₀	10	12	6	исправление лица
С _3В	[3]	*33	3m	Д ₆ =С ₃	6	20	10	фиксация вершины
С _{2 в}	[2]	*22	2 мм	Д ₄ =Д ₂²	4	30	15	фиксация края
С _с	[ ]	*	2 или м	D_Д2	2	60	15	отражение, меняющее местами две конечные точки ребра
Т _ч	[3 ⁺,4]	3*2	m 3	A ₄×Z ₂	24	5	5	пиритоэдрическая группа
Д _5д	[2 ⁺,10]	2*5	10 м2	Д ₂₀ =З ₂ ×Д ₁₀	20	6	6	исправление двух противоположных граней, возможно их замена местами
Д _3д	[2 ⁺,6]	2*3	3 m	Д ₁₂ =З ₂ ×Д ₆	12	10	10	фиксация двух противоположных вершин, возможно их замена местами
Д _1д = С _2ч	[2 ⁺,2]	2*	2/м	Д ₄ = Z ₂ ×D ₂	4	30	15	полуоборот вокруг средней точки края плюс центральная инверсия
С ₁₀	[2 ⁺,10 ⁺]	5×	5	Z ₁₀ =Z ₂ ×Z ₅	10	12	6	вращения лица плюс центральная инверсия
S_S6	[2 ⁺,6 ⁺]	3×	3	Z ₆ =Z ₂ ×Z ₃	6	20	10	вращения вокруг вершины плюс центральная инверсия
S_S2	[2 ⁺,2 ⁺]	×	1	З ₂	2	60	1	центральная инверсия
я	[5,3] ⁺	532	532	A_А5	60	2	1	все вращения
Т	[3,3] ⁺	332	332	A ₄	12	10	5	вращения содержащегося тетраэдра
Д ₅	[2,5] ⁺	522	522	Д ₁₀	10	12	6	вращения вокруг центра лица и hts(face)
Д ₃	[2,3] ⁺	322	322	Д ₆ =С ₃	6	20	10	вращения вокруг вершины и hts(вершина)
D_Д2	[2,2] ⁺	222	222	Д ₄ =З ₂²	4	30	15	полуоборот вокруг средней точки края и hts(край)
С ₅	[5] ⁺	55	5	Z_Z5	5	24	6	вращения вокруг центра лица
С ₃	[3] ⁺	33	3	Z3 = _А3	3	40	10	вращения вокруг вершины
С ₂	[2] ⁺	22	2	З ₂	2	60	15	полуоборот вокруг середины края
С ₁	[ ] ⁺	11	1	З ₁	1	120	1	тривиальная группа

Вершинные стабилизаторы

Стабилизаторы противоположной пары вершин можно интерпретировать как стабилизаторы порождаемой ими оси.

стабилизаторы вершин в I дают циклические группы C ₃
стабилизаторы вершин в I _h дают группы диэдра D ₃
стабилизаторы противоположной пары вершин в I дают группы диэдра D ₃
стабилизаторы противоположной пары вершин в I _h дают $D_{3}\times \pm 1$

Краевые стабилизаторы

Стабилизаторы противоположной пары ребер можно интерпретировать как стабилизаторы порождаемого ими прямоугольника.

стабилизаторы ребер в I дают циклические группы Z ₂
стабилизаторы ребер в I _h дают четырехгруппы Клейна $Z_{2}\times Z_{2}$
стабилизаторы пары ребер Клейна четырехгруппах в $Z_{2}\times Z_{2}$ ; их 5, заданных вращением на 180° по 3 перпендикулярным осям.
стабилизаторы пары ребер в I _h дают $Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2}$ ; их 5, заданных отражениями в 3-х перпендикулярных осях.

Стабилизаторы лица

Стабилизаторы противоположной пары граней можно интерпретировать как стабилизаторы генерируемой ими антипризмы .

стабилизаторы граней в I дают циклические группы C ₅
стабилизаторы граней в I _ч дают диэдральные группы Д ₅
стабилизаторы противоположной пары граней в I дают группы диэдра D ₅
стабилизаторы противоположной пары граней в I _h дают $D_{5}\times \pm 1$

Стабилизаторы многогранников

Для каждого из них существует 5 сопряженных копий, и действие сопряжения дает отображение, точнее, изоморфизм: $I{\stackrel {\sim }{\to }}A_{5}<S_{5}$ .

стабилизаторы вписанных тетраэдров в I являются копией T
стабилизаторы вписанных тетраэдров в I _h являются копией T
стабилизаторы вписанных кубов (или противоположных пар тетраэдров, или октаэдров) в I являются копией T
стабилизаторы вписанных кубов (или противоположных пар тетраэдров, или октаэдров) в I _h являются копией T _h

Генераторы групп Кокстера

Полная группа икосаэдрической симметрии [5,3] ( ) порядка 120 имеет генераторы, представленные матрицами отражения R ₀ , R ₁ , R ₂ ниже, с соотношениями R ₀² = _Р1² = _Р2² = (R ₀×R ₁) ⁵ = (R ₁×R ₂) ³ = (R ₀×R ₂) ² = Личность. Группа [5,3] ⁺ ( ) порядка 60 порождается любыми двумя вращениями S _0,1 , S _1,2 , S _0,2 . Роторное отражение порядка 10 генерируется V _0,1,2 , продуктом всех трёх отражений. Здесь $\phi ={\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$ обозначает золотое сечение .

[5,3],
	Размышления			Ротации			Роторное отражение
Имя	р ₀	Р ₁	Р ₂	С _0,1	С _1,2	С _0,2	В _0,1,2
Группа
Заказ	2	2	2	5	3	2	10
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$
	(1,0,0) _н	$({\begin{smallmatrix}{\frac {\phi }{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {\phi -1}{2}}\end{smallmatrix}})$ _н	(0,1,0) _н	$(0,-1,\phi )$ _ось	$(1-\phi ,0,\phi )$ _ось	$(0,0,1)$ _ось

Фундаментальный домен

Фундаментальные области для группы вращения икосаэдра и полной группы икосаэдра определяются следующим образом:

Группа икосаэдрического вращения я	Полная группа икосаэдра I _h	Грани триаконтаэдра Дисдиакиса являются фундаментальной областью.

В триаконтаэдре дисдиакиса одна полная грань является фундаментальной областью; другие твердые тела с той же симметрией можно получить, регулируя ориентацию граней, например, сглаживая выбранные подмножества граней для объединения каждого подмножества в одну грань, или заменяя каждую грань несколькими гранями или искривленной поверхностью.

Многогранники с икосаэдрической симметрией

Примеры других многогранников с икосаэдрической симметрией включают правильный додекаэдр ( двойник икосаэдра) и ромбический триаконтаэдр .

Киральные многогранники

Сорт	Символы	Картина
Архимед	ср{5,3}
каталонский	В3.3.3.3.5

Полная икосаэдрическая симметрия

Платоново твердое тело	Многогранники Кеплера – Пуансо		Архимедовы тела
{5,3}	{5/2,5}	{5/2,3}	т{5,3}	т{3,5}	г{3,5}	рр{3,5}	тр{3,5}
Платоново твердое тело	Многогранники Кеплера – Пуансо		Каталонские твердые тела
{3,5} =	{5,5/2} =	{3,5/2} =	В3.10.10	Версия 5.6.6	В3.5.3.5	Версия 3.4.5.4	Версия 4.6.10

Другие объекты с икосаэдрической симметрией

Примеры икосаэдрической симметрии

Циркогонии икосаэдры , радиолярии.

Капсид аденовируса

ион Додекаборат- [B ₁₂ H ₁₂ ] ²⁻

Поверхности Барта
Структура вируса и капсид
В химии додекаборат- ион ([B ₁₂ H ₁₂ ] ²⁻) и молекула додекаэдрана (C ₂₀ H ₂₀ )

Жидкие кристаллы с икосаэдрической симметрией.

Для промежуточной материальной фазы, называемой жидкими кристаллами, существование икосаэдрической симметрии было предложено Х. Кляйнертом и К. Маки. ^[2]и его структура впервые была подробно проанализирована в этой статье. Обзорную статью смотрите здесь .В алюминии икосаэдрическая структура была обнаружена экспериментально через три года после этого.Дэна Шехтмана , которая принесла ему Нобелевскую премию в 2011 году.

Связанные геометрии

Икосаэдрическая симметрия эквивалентно проективной специальной линейной группе PSL(2,5) и группе симметрии модулярной кривой X(5), а в более общем смысле PSL(2, p ) - это группа симметрии модулярной кривой X( p ). Модульная кривая X (5) геометрически представляет собой додекаэдр с острием в центре каждой многоугольной грани, что демонстрирует группу симметрии.

Эта геометрия и связанная с ней группа симметрии изучались Феликсом Кляйном как группы монодромии поверхности Белого - римановой поверхности с голоморфным отображением в сферу Римана, разветвленной только в точках 0, 1 и бесконечности ( функция Белого ) - точки возврата — это точки, лежащие над бесконечностью, а вершины и центры каждого ребра лежат над 0 и 1; степень покрытия (количество листов) равна 5.

Это возникло в результате его попыток дать геометрическое обоснование того, почему икосаэдрическая симметрия возникла при решении уравнения пятой степени , с помощью теории, изложенной в знаменитой книге ( Кляйн, 1888 ); современное изложение дано в ( Tóth 2002 , раздел 1.6, Дополнительная тема: теория икосаэдра Кляйна, стр. 66 ).

Исследования Клейна продолжились открытием им симметрий 7-го и 11-го порядка в ( Кляйн 1878 ) и ( Кляйн 1879 ) (и связанных с ними накрытий степени 7 и 11) и рисунков детей , первое из которых дало квартику Клейна , связанная с ней геометрия мозаика из 24 семиугольников (с точкой возврата в центре каждого).

Аналогичная геометрия встречается для PSL(2, n ) и более общих групп для других модулярных кривых.

Более экзотично, существуют особые связи между группами PSL(2,5) (порядок 60), PSL(2,7) (порядок 168) и PSL(2,11) (порядок 660), которые также допускают геометрические интерпретации - PSL (2,5) — симметрии икосаэдра (род 0), PSL(2,7) квартики Клейна (род 3) и PSL(2,11) поверхности бакибола (род 70). Эти группы образуют « троицу » в смысле Владимира Арнольда , которая дает основу для различных отношений; см . в Троицах подробности .

Существует тесная связь с другими Платоновыми телами .

См. также

Ссылки

^ Сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1856 г.), «Меморандум о новой системе корней единства» (PDF) , Philosophical Magazine , 12 : 446
^ Кляйнерт Х. и Маки К. (1981). «Решеточные текстуры в холестерических жидких кристаллах» (PDF) . Достижения физики . 29 (5): 219–259. дои : 10.1002/prop.19810290503 .

Кляйн, Ф. (1878). порядка «О преобразовании эллиптических функций семи ». Математические летописи . 14 (3): 428–471. дои : 10.1007/BF01677143 . S2CID 121407539 . Переведено на Леви, Сильвио, изд. (1999). Восьмеричный путь . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-66066-2 . МР 1722410 .
Кляйн, Ф. (1879), «О преобразовании эллиптических функций одиннадцатого порядка» , Mathematical Annals , 15 (3–4): 533–555, doi : 10.1007/BF02086276 , S2CID 120316938 , собрано как стр. 140–165 в Творчество, Том 3
Кляйн, Феликс (1888), Лекции по икосаэдру и решению уравнений пятой степени , Trübner & Co., ISBN 0-486-49528-0 транс . Джордж Гэвин Моррис {{citation}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
Тот, Габор (2002), Конечные группы Мёбиуса, минимальные погружения сфер и модули
Питер Р. Кромвель, Многогранники (1997), с. 296
Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, ISBN 978-1-56881-220-5
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
Н. В. Джонсон : Геометрии и трансформации (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Конечные группы симметрии , 11.5 Сферические группы Кокстера

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Группа икосаэдра» . Математический мир .
ПОДГРУППЫ W(H3). Архивировано 30 августа 2021 г. в Wayback Machine ( Подгруппы других групп Коксетера. Архивировано 2 августа 2020 г. в Wayback Machine ). Готц Пфайффер.

[1] Сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1856 г.), «Меморандум о новой системе корней единства» (PDF) , Philosophical Magazine , 12 : 446

[2] Кляйнерт Х. и Маки К. (1981). «Решеточные текстуры в холестерических жидких кристаллах» (PDF) . Достижения физики . 29 (5): 219–259. дои : 10.1002/prop.19810290503 .

[1]

[2]