600-ячеечный

600-ячеечный
600-ячеечный
	Диаграмма Шлегеля , вершинно-центрированная ; (вершины и ребра)
Тип	Выпуклый правильный 4-многогранник
Символ Шлефли	{3,3,5}
Диаграмма Кокстера
Клетки	600 ( {3,3} )
Лица	1200 {3}
Края	720
Вершины	120
Вершинная фигура	; икосаэдр
Полигон Петри	30-угольник
Группа Коксетера	H 4 , [3,3,5], порядка 14400
Двойной	120-ячеечный
Характеристики	выпуклый , изогональный , изотоксальный , изоэдральный
Единый индекс	35

В геометрии — 600-ячейка это выпуклый правильный 4-многогранник (четырёхмерный аналог платонова тела ) с символом Шлефли {3,3,5}.Он также известен как C ₆₀₀ , гексакосихорон. ^[1] и гексакосиэдроид . ^[2]Его еще называют тетраплексом (сокращенно от «тетраэдрический комплекс») и политетраэдром , поскольку он ограничен тетраэдрическими ячейками .

Граница из 600 ячеек состоит из 600 тетраэдрических ячеек , по 20 соприкасающихся в каждой вершине.Вместе они образуют 1200 треугольных граней, 720 ребер и 120 вершин.Это четырехмерный аналог икосаэдра сходящихся на каждом ребре, точно так же , , поскольку он имеет пять тетраэдров, как икосаэдр имеет пять треугольников, сходящихся в каждой вершине.Его двойной многогранник — это 120-ячеечный .

Геометрия

600-ячеечный является пятым в последовательности из 6 выпуклых правильных 4-многогранников (в порядке сложности и размера при том же радиусе). ^[а]Его можно разобрать на двадцать пять перекрывающихся экземпляров своего непосредственного предшественника, 24-клеточного . ^[5] поскольку 24-ячейку можно разобрать на три перекрывающихся экземпляра своего предшественника, тессеракта (8-ячейку) , а 8-ячейку можно разобрать на два перекрывающихся экземпляра своего предшественника, 16-ячейку . ^[6]

Обратная процедура построения каждого из них из экземпляра его предшественника сохраняет радиус предшественника, но обычно создает преемника с меньшей длиной ребра.Длина ребра 24-ячеечной ячейки равна ее радиусу, но длина ребра 600-ячеечной ячейки примерно в 0,618 раза превышает ее радиус, ^[7] что такое золотое сечение .

Правильные выпуклые 4-многогранники
Symmetry group	A₄	B₄		F₄	H₄
Name	5-cell Hyper-tetrahedron 5-point	16-cell Hyper-octahedron 8-point	8-cell Hyper-cube 16-point	24-cell 24-point	600-cell Hyper-icosahedron 120-point	120-cell Hyper-dodecahedron 600-point
Schläfli symbol	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
Coxeter mirrors
Mirror dihedrals	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠
Graph
Vertices	5 tetrahedral	8 octahedral	16 tetrahedral	24 cubical	120 icosahedral	600 tetrahedral
Edges	10 triangular	24 square	32 triangular	96 triangular	720 pentagonal	1200 triangular
Faces	10 triangles	32 triangles	24 squares	96 triangles	1200 triangles	720 pentagons
Cells	5 tetrahedra	16 tetrahedra	8 cubes	24 octahedra	600 tetrahedra	120 dodecahedra
Tori	1 5-tetrahedron	2 8-tetrahedron	2 4-cube	4 6-octahedron	20 30-tetrahedron	12 10-dodecahedron
Inscribed	120 in 120-cell	675 in 120-cell	2 16-cells	3 8-cells	25 24-cells	10 600-cells
Great polygons		2 squares x 3	4 rectangles x 4	4 hexagons x 4	12 decagons x 6	100 irregular hexagons x 4
Petrie polygons	1 pentagon x 2	1 octagon x 3	2 octagons x 4	2 dodecagons x 4	4 30-gons x 6	20 30-gons x 4
Long radius	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
Edge length	${\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581$	${\sqrt {2}}\approx 1.414$	$1$	$1$	${\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618$	${\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0.270$
Short radius	${\tfrac {1}{4}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$
Area	$10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\approx 10.825$	$32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 27.713$	$24$	$96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 41.569$	$1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198.48$	$720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 90.366$
Volume	$5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329$	$16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333$	$8$	$24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314$	$600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693$	$120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118$
4-Content	${\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146$	${\tfrac {2}{3}}\approx 0.667$	$1$	$2$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193$

Координаты

Единичный радиус в декартовых координатах

Вершины 600-ячейки единичного радиуса с центром в начале 4-мерного пространства и ребрами длиной ⁠ 1 / φ ⁠ ≈ 0,618 (где φ = ⁠ 1 + 5/2 ⁠ √ 1,618 ≈ — золотое сечение), можно дать ^[8] следующее:

8 вершин получены из

(0, 0, 0, ±1)

перестановкой координат и 16 вершин вида:

(± ⁠ 1 2 ⁠ , ± ⁠ 1 2 ⁠ , ± ⁠ 1 2 ⁠ , ± ⁠ 1 2 ⁠ )

Остальные 96 вершин получаются четными перестановками

(± ⁠ φ 2 ⁠ , ± ⁠ 1 2 ⁠ , ± ⁠ φ ⁻¹2 ⁠ , 0)

Обратите внимание, что первые 8 — это вершины 16-ячейки , вторые 16 — вершины тессеракта , а эти 24 вершины вместе — вершины 24-ячейки .Остальные 96 вершин являются вершинами курносой 24-клетки , которую можно найти, последовательно разбив каждое из 96 ребер другой 24-клетки (двойственной первой) в золотом сечении. ^[9]

Если интерпретировать как кватернионы , ^[б] это единичные икосианцы .

В 24-клетке имеются квадраты , шестиугольники и треугольники , лежащие на больших окружностях (в центральных плоскостях через четыре или шесть вершин). ^[с]В 600-ячейке имеется двадцать пять перекрывающихся вписанных 24-ячеек, при этом каждая вершина и квадрат используются пятью 24-ячейками, а каждый шестиугольник или треугольник - двумя 24-ячейками. ^[и]В каждой 24-клетке имеется три непересекающихся 16-клетки, поэтому в 600-ячейке имеется 75 перекрывающихся вписанных 16-клеток. ^[ф]Каждая 16-ячейка представляет собой отдельную ортонормированную основу для выбора системы координат .

60 осей и 75 16-ячеек 600-ячейки составляют геометрическую конфигурацию , которая на языке конфигураций записывается как 60 ₅ 75 ₄ , чтобы указать, что каждая ось принадлежит 5 16-ячейкам, а каждая 16-ячейка содержит 4 топоры. ^[10]Каждая ось ортогональна ровно 15 другим, и это всего лишь ее компаньоны в 5 16-ячейках, в которых она встречается.

Сферические координаты Хопфа

В 600-ячейке имеются также большие пятиугольники и декагоны кругов (в центральных плоскостях через десять вершин). ^[11]

Только края десятиугольника являются видимыми элементами 600-ячейки (поскольку они являются краями 600-ячейки). Края других многоугольников большого круга являются внутренними хордами 600-ячеечного объекта, которые не показаны ни на одном из 600-ячеечных изображений в этой статье (кроме случаев, когда они показаны пунктирными линиями). ^[к]

По симметрии через каждую вершину проходит равное количество многоугольников каждого типа; поэтому все 120 вершин можно рассматривать как пересечение набора центральных многоугольников только одного вида: десятиугольников, шестиугольников, пятиугольников, квадратов или треугольников. Например, 120 вершин можно рассматривать как вершины 15 пар полностью ортогональных квадратов, не имеющих общих вершин, или как 100 двойственных пар неортогональных шестиугольников, между которыми все пары осей ортогональны, или как 144 неортогональных шестиугольника. пятиугольники, шесть из которых пересекаются в каждой вершине.Эта последняя пятиугольная симметрия 600-ячеечной ячейки фиксируется набором координат Хопфа. ^[13] (𝜉 _я , 𝜂, 𝜉 _j ) ^[н] дано как:

({<10} ⁠ 𝜋 5 ⁠ , {≤5} ⁠ 𝜋 10 ⁠ , {<10} ⁠ 𝜋 5 ⁠ )

где {<10} — перестановка десяти цифр (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9), а {≤5} — перестановка шести цифр (0 1 2 3 4 5). Координаты 𝜉 _i и 𝜉 _j располагаются в пределах 10 вершин десятиугольников большого круга; четные и нечетные цифры обозначают вершины двух пятиугольников большого круга, вписанных в каждый декагон. ^[the]

Структура

Многогранные сечения

Взаимные расстояния вершин, измеренные в градусах дуги на описанной гиперсфере , имеют только значения 36° = ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ , 60° = ⁠ 𝜋 / 3 ⁠ , 72° = ⁠ 2𝜋 / 5 ⁠ , 90° = ⁠ 𝜋 / 2 ⁠ , 108° = ⁠ 3𝜋 / 5 ⁠ , 120° = ⁠ 2𝜋 / 3 ⁠ , 144° = ⁠ 4𝜋 / 5 ⁠ и 180° = 𝜋.Выйдя из произвольной вершины V, мы имеем под углами 36° и 144° 12 вершин икосаэдра : ^[п] при 60° и 120° — 20 вершин додекаэдра , при 72° и 108° — 12 вершин большего икосаэдра, при 90° — 30 вершин икосододекаэдра и , наконец, при 180° — антиподальная вершина V. ^[14]^[15]^[16]Их можно увидеть в проекциях плоскости Коксетера H3 с окрашенными перекрывающимися вершинами. ^[17]

Эти многогранные сечения являются твердыми телами в том смысле, что они трехмерны, но, конечно, все их вершины лежат на поверхности 600-ячеек (они полые, а не сплошные).Каждый многогранник лежит в евклидовом 4-мерном пространстве как параллельное сечение 600-ячейки (гиперплоскости).В искривленном трехмерном пространстве оболочки граничной поверхности из 600 ячеек многогранник окружает вершину V так же, как он окружает свой собственный центр.Но ее собственный центр находится внутри 600-клетки, а не на ее поверхности.На самом деле V не находится в центре многогранника, потому что он смещен наружу от этой гиперплоскости в четвертом измерении, к поверхности 600-ячейки.Таким образом, V — вершина 4-пирамиды, основанной на многограннике.

Концентрические корпуса
	600-ячеечная проецируется в 3D с использованием ортонормированного базиса. Вершины сортируются и подсчитываются по их 3D-норме. Создание все более прозрачной оболочки каждого набора подсчитанных норм показывает: 1) две точки в начале координат 2) два икосаэдра 3) два додекаэдра 4) два икосаэдра большего размера 5) и одиночный икосододекаэдр всего 120 вершин. Это вид из любой исходной вершины. Ячейка из 600 ячеек содержит 60 различных наборов этих концентрических оболочек, по одному в центре каждой пары противоположных вершин.

Золотые аккорды

120 вершин распределены ^[18] на восьми разных длинах хорд друг от друга.Эти ребра и хорды 600-клеточного элемента являются просто ребрами и хордами пяти его больших многоугольников-кругов. ^[19]В порядке возрастания длины это √ 0.𝚫 , √ 1 , √ 1.𝚫 , √ 2 , √ 2.𝚽 , √ 3 , √ 3.𝚽 и √ 4 . ^[с]

Обратите внимание, что четыре гиперкубические хорды 24-клетки ( √ 1 , √ 2 , √ 3 , √ 4 ) ^[с] чередуются с четырьмя новыми хордами дополнительных больших кругов из 600 ячеек, декагонов и пятиугольников. Длины новых золотых хорд обязательно представляют собой квадратные корни из дробей, но это совершенно особые дроби, связанные с золотым сечением. ^[д] включая два золотых сечения √ 5 , как показано на диаграмме. ^[р]

Пограничные конверты

Трехмерная проекция 600 ячеек, выполняющая простое вращение . Видна трехмерная поверхность, состоящая из 600 тетраэдров.

600-ячейка дополняет 24-ячейку, добавляя еще 96 вершин между существующими 24 вершинами 24-ячейки. ^[в] по сути, добавляются еще двадцать четыре перекрывающихся 24-ячейки, вписанные в 600-ячейку. ^[ф]Образовавшаяся таким образом новая поверхность представляет собой мозаику из более мелких и более многочисленных клеток. ^[v] и грани: тетраэдры с длиной ребра ⁠ 1 / φ ⁠ ≈ 0,618 вместо октаэдров с длиной ребра 1.Он окружает края √ 1 24-клеток, которые становятся невидимыми внутренними хордами в 600-ячейке, как √ 2 и √ 3 хорды .

Трехмерная проекция 24-клеточного элемента, выполняющего простое вращение . Видна трехмерная поверхность, состоящая из 24 октаэдров. Он также присутствует в 600-ячейке, но в виде невидимой внутренней граничной оболочки.

Поскольку тетраэдры состоят из более коротких треугольных ребер, чем октаэдры (в раз ⁠ 1 / φ ⁠ , обратное золотое сечение), 600-ячейка не имеет единичной длины ребра в системе координат с единичным радиусом, как это делают 24-ячейка и тессеракт; в отличие от этих двух, 600-ячеечный не является радиально равносторонним .Как и они, он имеет особую радиально-треугольную форму. ^[С] но тот, в котором в центре встречаются золотые треугольники, а не равносторонние треугольники. ^[аа]Лишь немногие однородные многогранники обладают этим свойством, включая четырехмерный 600-ячеечный, трехмерный икосододекаэдр и двумерный декагон .(Икосододекаэдр — это экваториальное сечение икосододекаэдра, а декагон — экваториальное сечение икосододекаэдра.) Радиально золотые многогранники — это те, которые можно построить с помощью своих радиусов из золотых треугольников .

Граничная оболочка из 600 маленьких тетраэдрических ячеек окружает двадцать пять оболочек из 24 октаэдрических ячеек (добавляя некоторое четырехмерное пространство в местах между этими изогнутыми трехмерными оболочками).Форма этих промежутков должна быть какой-то октаэдрической 4-пирамидой , но в 600-ячеечной структуре она не является правильной . ^[аб]

Геодезика

Вершинные хорды 600-ячеистой ячейки расположены в геодезических многоугольниках большого круга пяти видов: декагоны, шестиугольники, пятиугольники, квадраты и треугольники. ^[22]

Ребра √ 0,𝚫 = 𝚽 образуют 72 плоских правильных центральных десятиугольника , по 6 из которых пересекаются в каждой вершине. ^[п]Точно так же, как икосододекаэдр можно разбить на 6 центральных декагонов (60 ребер = 6 × 10), 600-ячеечный можно разбить на 72 декагона (720 ребер = 72 × 10). Ребра 720 √ 0,𝚫 делят поверхность на 1200 треугольных граней и 600 тетраэдрических ячеек: 600 ячеек. 720 ребер расположены в 360 параллельных парах на расстоянии √ 3 ,𝚽 друг от друга.Как и в декагоне и икосододекаэдре, ребра образуют золотые треугольники , которые встречаются в центре многогранника.72 больших десятиугольника можно разделить на 6 наборов по 12 непересекающихся параллельных геодезических Клиффорда. ^[из] так, что только один большой десятиугольный круг в каждом наборе проходит через каждую вершину, а 12 декагонов в каждом наборе достигают всех 120 вершин. ^[24]

Хорды √ 1 образуют 200 центральных шестиугольников (25 наборов по 16, каждый шестиугольник состоит из двух наборов). ^[д] 10 из которых пересекаются в каждой вершине ^[в] (по 4 от каждой из пяти 24-клеток, которые встречаются в вершине, причем каждый шестиугольник находится в двух из этих 24-клеток). ^[я]Каждый набор из 16 шестиугольников состоит из 96 ребер и 24 вершин одной из 25 перекрывающихся вписанных 24-клеток.Хорды √ 1 соединяют вершины, находящиеся на расстоянии двух ребер √ 0,𝚫 друг от друга.Каждая хорда √ 1 представляет собой длинный диаметр пары тетраэдрических ячеек, связанных гранями ( треугольная бипирамида ), и проходит через центр общей грани.Так как граней 1200, то и хорд 1200 √ 1 , в 600 параллельных парах, √ 3 разделенных .Шестиугольные плоскости неортогональны (отстоят друг от друга на 60 градусов), но они встречаются как 100 двойственных пар , в которых все 3 оси одного шестиугольника ортогональны всем 3 осям его двойника. ^[25]200 больших шестиугольников можно разделить на 10 наборов по 20 непересекающихся параллельных геодезических Клиффорда, так что только один большой шестиугольный круг в каждом наборе проходит через каждую вершину, а 20 шестиугольников в каждом наборе достигают всех 120 вершин. ^[26]

Хорды √ 1.𝚫 образуют 144 центральных пятиугольника, по 6 из которых пересекаются в каждой вершине. ^[к]Хорды √ 1.𝚫 проходят от вершины до каждой второй вершины в тех же плоскостях, что и 72 декагона: в каждый декагон вписано два пятиугольника.Хорды √ 1.𝚫 соединяют вершины, которые находятся на расстоянии двух ребер √ 0.𝚫 друг от друга на большом геодезическом круге. Хорды 720 √ 1.𝚫 встречаются в 360 параллельных парах на расстоянии √ 2.𝚽 = φ друг от друга.

Хорды √ 2 образуют 450 центральных квадратов, 15 из которых пересекаются в каждой вершине (по 3 от каждой из пяти 24-клеток, пересекающихся в вершине).Хорды √ 2 соединяют вершины, которые находятся на расстоянии трех ребер √ 0,𝚫 друг от друга (и двух хорд √ 1 друг от друга).Всего 600 √ 2 хорд в 300 параллельных парах, √ 2 друг от друга.450 больших квадратов (225 полностью ортогональных пар) можно разделить на 15 наборов по 30 непересекающихся параллельных геодезических Клиффорда, так что только один квадратный большой круг в каждом наборе проходит через каждую вершину, а 30 квадратов (15 полностью ортогональных пар) в каждом наборе достигают всех 120 вершин. ^[27]

Хорды √ 2.𝚽 = φ образуют катеты 720 центральных равнобедренных треугольников (72 набора по 10 вписанных в каждый десятиугольник), 6 из которых пересекаются в каждой вершине.Третье ребро (основание) каждого равнобедренного треугольника имеет длину √ 3,𝚽 .Хорды √ 2,𝚽 проходят от вершины до каждой третьей вершины в тех же плоскостях, что и 72 декагона, соединяя вершины, которые находятся на расстоянии трех √ 0,𝚫 ребер друг от друга на большом геодезическом круге.Существует 720 различных аккордов √ 2 ,𝚽 в 360 параллельных парах на расстоянии √ 1, 𝚫 друг от друга.

Хорды √ 3 образуют 400 равносторонних центральных треугольников (25 наборов по 32 треугольника, каждый треугольник состоит из двух наборов), 10 из которых пересекаются в каждой вершине (по 4 от каждой из пяти 24-клеток , причем каждый треугольник находится в двух из 24-клеток). ).Каждый набор из 32 треугольников состоит из 96 √ 3 хорд и 24 вершин одной из 25 перекрывающихся вписанных 24-клеток.Хорды √ 3 проходят от вершины до каждой второй вершины в тех же плоскостях, что и 200 шестиугольников: в каждый шестиугольник вписано два треугольника. Хорды √ 3 соединяют вершины, которые находятся на расстоянии четырех ребер √ 0,𝚫 друг от друга (и двух хорд √ 1 друг от друга на большом геодезическом круге).Каждая хорда √ 3 представляет собой длинный диаметр двух кубических ячеек в одной и той же 24-ячейке. ^[ах]Всего 1200 √ 3 хорд в 600 параллельных парах с интервалом √ 1 .

Хорды √ 3.𝚽 (диагонали пятиугольников) образуют катеты 720 центральных равнобедренных треугольников (144 набора по 5 вписанных в каждый пятиугольник), 6 из которых пересекаются в каждой вершине.Третье ребро (основание) каждого равнобедренного треугольника является ребром пятиугольника длины √ 1,𝚫 , поэтому это золотые треугольники . Хорды √ 3,𝚽 проходят от вершины до каждой четвертой вершины в тех же плоскостях, что и 72 декагона, соединяя вершины, которые находятся на расстоянии четырех √ 0,𝚫 ребер друг от друга на большом геодезическом круге.Существует 720 различных аккордов √ 3 ,𝚽 в 360 параллельных парах на расстоянии √ 0 ,𝚫 друг от друга.

√ 16 4 хорды имеют 60 длинных диаметров (75 наборов по 4 ортогональных оси, каждый набор содержит ячеек ), 120 длинных радиусов 600 ячеек.Хорды √ 4 соединяют противоположные вершины, которые находятся на расстоянии пяти √ 0,𝚫 ребер друг от друга на большом геодезическом круге.Существует 25 различных, но перекрывающихся наборов по 12 диаметров, каждый из которых содержит одну из 25 вписанных 24-клеток. ^[Дж] Существует 75 различных, но перекрывающихся наборов из 4 ортогональных диаметров, каждый из которых содержит одну из 75 вписанных 16-ячеек.

Сумма квадратов длин ^[есть] из всех этих различных хорд 600-клеточного 14 400 = 120 ². ^[также]Это все центральные многоугольники, проходящие через вершины, но у 600-ячеечного многоугольника есть один примечательный большой круг, который не проходит ни через одну вершину (0-угольник). ^[ан]Более того, в 4-мерном пространстве на 3-сфере есть геодезические, вообще не лежащие в центральных плоскостях.Между двумя вершинами из 600 ячеек существуют геодезические кратчайшие пути, которые являются спиральными, а не просто круговыми; они соответствуют изоклиническим (диагональным) вращениям , а не простым вращениям. ^[к]

Все перечисленные выше геодезические многоугольники лежат в центральных плоскостях всего трех видов, каждая из которых характеризуется углом поворота: плоскостей десятиугольников ( ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ друг от друга), плоскости шестиугольника ( ⁠ 𝜋 / 3 ⁠ друг от друга, также в 25 вписанных 24-клетках), и квадратные плоскости ( ⁠ 𝜋 / 2 ⁠ отдельно, также в 75 вписанных 16-клетках и 24-клетках).Эти центральные плоскости 600-ячеистой ячейки можно разделить на 4 ортогональные центральные гиперплоскости (3-пространства), каждая из которых образует икосододекаэдр .Существует 450 больших квадратов, расположенных на расстоянии 90 градусов друг от друга; 200 больших шестиугольников, расположенных на расстоянии 60 градусов друг от друга; и 72 больших десятиугольника, расположенных на расстоянии 36 градусов друг от друга. ^[в]Каждая плоскость большого квадрата полностью ортогональна другой плоскости большого квадрата.Каждая плоскость большого шестиугольника полностью ортогональна плоскости, которая пересекает только две вершины (одна из которых √ 4 дюйма имеет диаметр ): плоскость большого двуугольника . ^[В]Каждая большая десятиугольная плоскость полностью ортогональна плоскости, не пересекающей ни одной вершины: большой нулевой плоскости. ^[ал]

Расслоения многоугольников большого круга

Каждый набор подобных многоугольников большого круга (квадратов, шестиугольников или десятиугольников) можно разделить на группы непересекающихся параллельных больших кругов Клиффорда (из 30 квадратов, 20 шестиугольников или 12 десятиугольников). ^[из]Каждый пучок волокон Клиффорда параллельны большим кругам. ^[ап] представляет собой дискретное расслоение Хопфа , которое заполняет 600 ячеек, посещая все 120 вершин только один раз. ^[32] Каждое дискретное расслоение Хопфа имеет свое трехмерное основание , которое представляет собой отдельный многогранник, который действует как карта или масштабная модель расслоения. ^[из]Многоугольники большого круга в каждом пучке спирально вращаются вокруг друг друга, очерчивая спиральные кольца связанных гранями ячеек, которые вложены друг в друга, проходят друг через друга, не пересекаясь ни в каких ячейках, и точно заполняют 600 ячеек своими непересекающимися наборами ячеек.Каждый из различных пучков волокон со своими клеточными кольцами заполняет одно и то же пространство (600 ячеек), но их волокна проходят параллельно Клиффорду в разных «направлениях»; Многоугольники большого круга в разных расслоениях не являются параллельными Клиффорда. ^[33]

Декагоны

Слоения 600-клетки включают в себя 6 расслоений ее 72 больших декагонов: 6 пучков волокон по 12 больших декагонов. ^[но] 12 параллельных десятиугольников Клиффорда в каждом пучке полностью не пересекаются. Соседние параллельные десятиугольники натянуты на края других больших десятиугольников.

Каждый пучок волокон ^[ак] очерчивает 20 спиральных колец по 30 тетраэдрических ячеек в каждом, ^{[объявление]} с пятью кольцами, расположенными вместе вокруг каждого декагона. ^[34] Карта Хопфа этого расслоения представляет собой икосаэдр , где каждая из 12 вершин поднимается до большого десятиугольника, а каждая из 20 треугольных граней поднимается до кольца из 30 ячеек. ^[из]Каждая тетраэдрическая ячейка занимает только одно из 20 клеточных колец в каждом из 6 расслоений.Тетраэдрическая ячейка вносит вклад в каждое из своих шести ребер в декагон в другом слоении, но вносит этот край в пять различных клеточных колец в слоении. ^[и]

12 больших кругов и 30-клеточных колец 600-ячеистой структуры 6 характеристических расслоений Хопфа составляют 600-клеточную геометрическую конфигурацию из 30 «точек» и 12 «линий», записанных как 30 ₂ 12 ₅ .Его называют двойной шестерки Шлефли конфигурацией в честь Людвига Шлефли . ^[36] швейцарский математик, открывший 600-ячеечный и полный набор правильных многогранников в n измерениях. ^[37]

Шестиугольники

Слоения 24-клетки включают в себя 4 расслоения ее 16 больших шестиугольников: 4 пучка волокон 4 больших шестиугольников. Четыре параллельных шестиугольника Клиффорда в каждом пучке полностью не пересекаются. Соседние параллельные шестиугольники натянуты на ребра других больших шестиугольников.Каждый пучок волокон очерчивает 4 спиральных кольца по 6 октаэдрических ячеек каждое, причем вокруг каждого шестиугольника располагаются по три кольца.Каждая октаэдрическая ячейка занимает только одно клеточное кольцо в каждом из 4 расслоений.Октаэдрическая ячейка вносит 3 из своих 12 ребер в 3 различных параллельных шестиугольника Клиффорда в каждом слоении, но вносит вклад в каждое ребро в три различных клеточных кольца в слоении.

600-ячейка содержит 25 24-ячеек, и ее можно рассматривать (10 различными способами) как соединение 5 непересекающихся 24-ячеек. ^[к]Он имеет 10 расслоений из 200 больших шестиугольников: 10 пучков волокон 20 больших шестиугольников. 20 параллельных шестиугольников Клиффорда в каждом пучке полностью не пересекаются. Соседние параллельные шестиугольники натянуты на ребра больших десятиугольников. ^[с] Каждый пучок волокон образует 20 спиральных колец по 6 октаэдрических ячеек в каждом, причем вокруг каждого шестиугольника располагаются по три кольца. Карта Хопфа этого расслоения представляет собой додекаэдр , каждая из 20 вершин которого поднимается до пучка больших шестиугольников. ^[26]Каждая октаэдрическая ячейка занимает только одно из 20 колец 6-октаэдра в каждом из 10 расслоений.20 колец 6-октаэдра принадлежат 5 непересекающимся 24-ячейкам по 4 кольца 6-октаэдра каждая; каждое гексагональное расслоение 600-клеток состоит из 5 непересекающихся 24-клеток.

Квадраты

Расслоения 16-клетки включают в себя 3 расслоения ее 6 больших квадратов: 3 пучка волокон 2 больших квадратов. Два параллельных квадрата Клиффорда в каждом пучке полностью не пересекаются. Соседние параллельные квадраты охватываются краями других больших квадратов.Каждый пучок волокон очерчивает 2 спиральных кольца по 8 тетраэдрических ячеек в каждом.Каждая тетраэдрическая ячейка занимает только одно клеточное кольцо в каждом из трех расслоений.Тетраэдрическая ячейка вносит каждое из своих 6 ребер в отдельный квадрат (вкладывая два противоположных непересекающихся ребра в каждое из трех расслоений), но вносит каждое ребро в оба из двух отдельных клеточных колец в расслоении.

600-ячейка содержит 75 16-ячеек, и ее можно рассматривать (10 различными способами) как соединение 15 непересекающихся 16-ячеек.Он имеет 15 расслоений из 450 больших квадратов: 15 пучков волокон по 30 больших квадратов. 30 параллельных квадратов Клиффорда в каждой связке полностью не пересекаются. Соседние параллельные квадраты охватываются ребрами больших десятиугольников. ^[как] Каждый пучок волокон очерчивает 30 непересекающихся спиральных колец по 8 тетраэдрических ячеек в каждом. ^[топор] Карта Хопфа этого расслоения представляет собой икосододекаэдр , каждая из 30 вершин которого поднимается до пучка больших квадратов. ^[27]Каждая тетраэдрическая ячейка занимает только одно из 30 колец 8-тетраэдра в каждом из 15 расслоений.

Кольца с параллельными ячейками Клиффорда

Плотно упакованные спиральные клеточные кольца ^[38]^[39]^[32] расслоений клеточно-непересекающиеся, но имеют общие вершины, ребра и грани.Каждое расслоение 600-клеток можно рассматривать как плотную упаковку клеточных колец, при этом соответствующие грани соседних клеточных колец соединены гранями друг с другом. ^[нет]То же расслоение можно рассматривать как минимальное разреженное расположение меньшего числа полностью непересекающихся клеточных колец, которые вообще не соприкасаются. ^[г]

Расслоения больших декагонов можно рассматривать (пятью различными способами) как 4 полностью непересекающихся кольца из 30 клеток с промежутками, разделяющими их, а не как 20 клеточных колец, связанных гранями, если исключить все клеточные кольца, кроме одного, из пяти, которые встречаются в точках. каждый декагон. ^[40]Пять различных способов сделать это эквивалентны, поскольку все пять соответствуют одному и тому же дискретному расслоению (в том же смысле, что 6 десятиугольных расслоений эквивалентны, поскольку все 6 покрывают одну и ту же 600-ячейку).Четырехклеточные кольца по-прежнему составляют полное расслоение: они включают в себя все 12 параллельных декагонов Клиффорда, посещающих все 120 вершин. ^[бб]Это подмножество 4 из 20 клеточных колец по размерам аналогично. ^{[до н. э.]} к подмножеству из 12 из 72 декагонов, поскольку оба представляют собой наборы полностью непересекающихся параллельных многогранников Клиффорда , которые посещают все 120 вершин. ^[бд]Подмножество 4 из 20 клеточных колец является одним из 5 расслоений внутри расслоения 12 из 72 декагонов: расслоение расслоения.Все расслоения имеют эту двухуровневую структуру с подрасслоениями .

Расслоения больших шестиугольников из 24 ячеек можно рассматривать (тремя разными способами) как 2 полностью непересекающихся 6-клеточных кольца с промежутками, разделяющими их, а не как 4 клеточных кольца, соединенных гранями, если исключить все клеточные кольца, кроме одного. три, которые встречаются в каждом шестиугольнике.Таким образом, каждое из 10 расслоений больших шестиугольников из 600 ячеек можно рассматривать как два полностью непересекающихся октаэдрических клеточных кольца.

Расслоения больших квадратов из 16 клеток можно рассматривать (двумя разными способами) как одно кольцо из 8-тетраэдра с соседним пустым пространством размером с клеточное кольцо, а не как два клеточных кольца, соединенных гранями, если исключить одно из двух клеточных колец, которые встречаются в каждом квадрате.Поэтому каждое из 15 расслоений больших квадратов из 600 ячеек можно рассматривать как одно тетраэдрическое клеточное кольцо. ^[топор]

Разреженные конструкции расслоений из 600 ячеек соответствуют разложениям с более низкой симметрией 600-клеточных, 24-клеточных или 16-клеточных с ячейками разного цвета, чтобы отличать клеточные кольца от пространств между ними. ^[быть]Особая форма нижней симметрии 600-ячейки, соответствующая разреженной конструкции больших декагональных расслоений, размерно аналогична ^{[до н. э.]} к курносой форме тетраэдра икосаэдра (который является основанием ^[из] этих расслоений на 2-сфере).Каждое из 20 клеточных колец Бурдейка-Коксетера. ^{[объявление]} поднимается от соответствующей грани икосаэдра. ^[бх]

Конструкции

600-ячеечный включает в себя геометрию каждого выпуклого правильного многогранника в первых четырех измерениях, за исключением 5-ячеечного, 120-ячеечного и многоугольников {7} и выше. ^[44]Следовательно, существует множество способов построить или разобрать 600-ячейку, но ни один из них не является тривиальным.Конструкцию 600-элементного аккумулятора по сравнению с его обычным предшественником, 24-элементным, сложно представить.

Строительство Госсета

Торольд Госсет открыл полуправильные 4-многогранники , в том числе курносый 24-клеточный с 96 вершинами, который находится между 24-клеточным и 600-ячеечным в последовательности выпуклых 4-многогранников возрастающего размера и сложности в том же радиусе.Конструкция Госсета из 600 ячеек из 24 ячеек состоит из двух этапов с использованием курносой 24 ячейки в качестве промежуточной формы.На первом, более сложном этапе (описанном в другом месте ) курносая 24-ячейка создается путем специального усечения 24-ячейки в золотых сечениях ее краев. ^[9]На втором этапе 600-ячейка строится простым способом путем добавления 4-пирамид (вершин) к граням курносой 24-ячейки. ^[45]

Курносая 24-ячейка представляет собой уменьшенную 600-ячейку, из которой 24 вершины (и кластер из 20 тетраэдрических ячеек вокруг каждой) были усечены. ^[в] оставляя «плоскую» икосаэдрическую ячейку на месте каждой удаленной икосаэдрической пирамиды. ^[п]Таким образом, курносая 24-ячеечная структура имеет 24 икосаэдрических ячейки и оставшиеся 120 тетраэдрических ячеек.Второй шаг конструкции Госсета из 600 ячеек представляет собой просто обратную этому убыванию: на каждую икосаэдрическую ячейку помещается икосаэдрическая пирамида из 20 тетраэдрических ячеек.

Построение 600-ячейки с единичным радиусом из ее предшественника, 24-ячейки с единичным радиусом, методом Госсета фактически требует трех шагов.24-ячеечный предшественник ячейки snub-24 не имеет того же радиуса: он больше, поскольку ячейка snub-24 является ее усечением.Начиная с 24-ячейки единичного радиуса, первым шагом является возвратно-поступательное движение ее вокруг ее средней сферы , чтобы построить ее внешний канонический двойник : более крупную 24-ячейку, поскольку 24-ячейка является самодвойственной.Эти более крупные 24 ячейки затем могут быть усечены до 24 ячеек с единичным радиусом.

Кластеры клеток

Поскольку конструкция Госсета настолько косвенна, она может не очень помочь нам непосредственно визуализировать, как 600 тетраэдрических ячеек соединяются вместе в изогнутую трехмерную поверхностную оболочку . ^[v] или как они лежат на подстилающей поверхностной оболочке октаэдрических ячеек из 24 ячеек.Для этого полезно построить 600-ячейку непосредственно из кластеров тетраэдрических ячеек.

Большинству из нас трудно визуализировать 600-клетку снаружи в 4-мерном пространстве или распознать внешний вид 600-клеток из-за полного отсутствия сенсорного опыта в 4-мерном пространстве. ^[46] но мы должны иметь возможность визуализировать поверхностную оболочку из 600 ячеек изнутри, потому что этот объем представляет собой трехмерное пространство, по которому мы действительно можем «гулять» и исследовать. ^[47]В этих упражнениях по построению 600-ячеистой ячейки из кластеров ячеек мы полностью находимся в трехмерном пространстве, хотя и в странно маленьком замкнутом искривленном пространстве , в котором мы можем отойти всего на десять длин ребер по прямой линии в любом направление и вернуться в исходную точку.

Икосаэдры

Вершинная фигура 600-ячеистой структуры — икосаэдр . ^[п]Двадцать тетраэдрических ячеек встречаются в каждой вершине, образуя икосаэдрическую пирамиду , вершиной которой является вершина, окруженная основанием икосаэдра.600-ячеечная камера имеет двугранный угол ⁠ 𝜋 / 3 ⁠ + arccos(− ⁠ 1 / 4 ⁠ ) ≈ 164.4775° . ^[49]

Целую 600-ячеечную пирамиду можно собрать из 24 таких икосаэдрических пирамид (скрепленных лицом к лицу на 8 из 20 граней икосаэдра, окрашенных в желтый цвет на иллюстрации), плюс 24 кластера по 5 тетраэдрических ячеек (четыре ячейки, соединенных гранями). вокруг единицы), которые заполняют пустоты, оставшиеся между икосаэдрами.Каждый икосаэдр связан гранями с каждым соседним кластером из 5 ячеек двумя синими гранями, имеющими общее ребро (которое также является одним из шести ребер центрального тетраэдра из пяти).Каждый икосаэдр окружен шестью кластерами по 5 ячеек, а каждый кластер из 5 ячеек окружен шестью икосаэдрами.Каждое ребро икосаэдра окружают пять тетраэдрических ячеек: две изнутри икосаэдрической пирамиды и три снаружи. ^[бл]

Вершины 24-х икосаэдрических пирамид являются вершинами 24-ячеистой, вписанной в 600-ячеистую.Остальные 96 вершин (вершины икосаэдров) являются вершинами вписанной курносой 24-клетки , которая имеет точно такую же структуру описанных здесь икосаэдров и тетраэдров, за исключением того, что икосаэдры не являются 4-пирамидами, заполненными тетраэдрическими ячейками; это всего лишь «плоские» трехмерные икосаэдрические клетки, поскольку центральная апикальная вершина отсутствует.

Ребра из 24 ячеек, соединяющие вершины икосаэдрических пирамид, проходят через центры желтых граней.Раскрасить икосаэдры с 8 желтыми и 12 синими гранями можно пятью различными способами. ^[бм]Таким образом, вершина каждой икосаэдрической пирамиды представляет собой вершину из 5 различных 24-клеток, ^[я] а 120 вершин содержат 25 (а не 5) 24-ячеек. ^[ф]

Икосаэдры соединены гранями в геодезические «прямые линии» своими противоположными желтыми гранями, согнутыми в четвертом измерении в кольцо из 6 икосаэдрических пирамид.Их вершины являются вершинами большого шестиугольника .Эта шестиугольная геодезическая пересекает кольцо из 12 тетраэдрических ячеек, поочередно соединенных лицом к лицу и вершиной к вершине. Длинный диаметр каждой пары тетраэдров, связанных гранями (каждая треугольная бипирамида ), представляет собой ребро шестиугольника (ребро из 24 ячеек).Имеется 4 кольца по 6 икосаэдрических пирамид, пересекающихся в каждой вершине-вершине, так же, как ) имеются 4 непересекающихся между собой переплетающихся кольца по 6 октаэдров в 24-клетке ( шестиугольное расслоение . ^[бк]

Тетраэдрические ячейки соединены гранями в тройные спирали , изогнутые в четвертом измерении в кольца из 30 тетраэдрических ячеек . ^{[объявление]}Три спирали представляют собой геодезические «прямые линии» из 10 ребер: большие десятиугольники круга , которые проходят параллельно Клиффорду. ^[из] друг другу.Каждый тетраэдр, имеющий шесть ребер, участвует в шести различных декагонах. ^[и] и, таким образом, во всех шести десятиугольных расслоениях 600-ячейки .

Разделение 600-ячеечной ячейки на кластеры по 20 ячеек и кластеры по 5 ячеек является искусственным, поскольку все ячейки одинаковы.Можно начать с выбора кластера икосаэдрических пирамид с центром в любой произвольно выбранной вершине, так что в 600-ячейке имеется 120 перекрывающихся икосаэдров. ^[bj]Каждая из их 120 вершин представляет собой вершину пяти 24-вершинных 24-клеток, поэтому имеется 5*120/24 = 25 перекрывающихся 24-клеток. ^[к]

Октаэдры

Есть еще один полезный способ разделить поверхность из 600 ячеек на 24 кластера по 25 тетраэдрических ячеек, который раскрывает больше структуры. ^[55] и прямая конструкция 600-элементного аккумулятора по сравнению с его предшественником, 24-элементным.

Начните с любого из кластеров из 5 ячеек (см. выше) и считайте его центральную ячейку центральным объектом нового, более крупного кластера тетраэдрических ячеек.Центральная ячейка — это первая часть 600-ячеечной ячейки, начинающаяся с ячейки.Окружив его большим количеством тетраэдрических ячеек, мы можем достичь более глубоких разделов, начиная с ячейки.

Во-первых, обратите внимание, что кластер из 5 ячеек состоит из 4 перекрывающихся пар тетраэдров, связанных гранями ( треугольных дипирамид ), длинный диаметр которых представляет собой ребро из 24 ячеек (ребро шестиугольника) длины √ 1 .Еще шесть треугольных дипирамид вписываются в вогнутости на поверхности скопления из 5, ^[бр] поэтому внешние хорды, соединяющие его 4 вершинные вершины, также являются 24-клеточными ребрами длины √ 1 .Они образуют тетраэдр с длиной ребра √ 1 , который является вторым сечением 600-ячейки, начинающимся с ячейки. ^[бс]Таких √ 1 тетраэдрических секций в 600-ячейке 600.

Поскольку шесть треугольных дипиамид помещаются во впадины, появляется 12 новых ячеек и 6 новых вершин в дополнение к 5 ячейкам и 8 вершинам исходного кластера.6 новых вершин образуют третью часть 600-ячейки, начиная с ячейки, октаэдра с длиной ребра √ 1 , очевидно, ячейки из 24 ячеек. ^[бт]Будучи частично заполненным пока (17 тетраэдрическими ячейками), этот √ 1 октаэдр имеет вогнутые грани, в которые укладывается короткая треугольная пирамида; он имеет тот же объем, что и правильная тетраэдрическая ячейка, но неправильную тетраэдрическую форму. ^[этот]Каждый октаэдр окружает 1 + 4 + 12 + 8 = 25 тетраэдрических ячеек: 17 правильных тетраэдрических ячеек плюс 8 объемно эквивалентных тетраэдрических ячеек, каждая из которых состоит из 6 фрагментов по одной шестой из 6 различных правильных тетраэдрических ячеек, каждая из которых охватывает три соседние октаэдрические ячейки. ^[бв]

Таким образом, ячейка с единичным радиусом 600 может быть построена непосредственно на основе ее предшественника, ^[аб] 24-ячейку единичного радиуса, поместив на каждую из ее октаэдрических граней усеченную ^[ш] неправильная восьмигранная пирамида из 14 вершин ^[бх] построенный (описанным выше способом) из 25 правильных тетраэдрических ячеек с длиной ребра ⁠ 1 / φ ⁠ ≈ 0.618.

Союз двух Торов

Существует еще один полезный способ разделения поверхности из 600 ячеек на кластеры тетраэдрических ячеек, который раскрывает больше структуры. ^[56] и декагональные расслоения 600-клеток.Целую 600-ячейку можно собрать вокруг двух колец из 5 икосаэдрических пирамид, соединенных вершина с вершиной в две геодезические «прямые линии».

можно 120-ячеечную структуру разложить на два непересекающихся тора .Поскольку это двойник 600-ячеечного, такая же структура двойного тора существует и в 600-ячеечном, хотя и несколько более сложном.Геодезический путь из 10 ячеек в ячейке 120 соответствует пути десятиугольника из 10 вершин в ячейке 600. ^[57]

Начните со сборки пяти тетраэдров вокруг общего ребра.Эта конструкция чем-то напоминает угловатую «летающую тарелку».Сложите десять таких штук, вершина к вершине, в стиле «блина».Заполните кольцевое кольцо между каждой парой «летающих тарелок» 10 тетраэдрами, чтобы сформировать икосаэдр.Вы можете рассматривать это как пять икосаэдрических пирамид , сложенных друг на друга вершинами , с пятью дополнительными кольцевыми промежутками, также заполненными. ^[бз]Поверхность такая же, как у десяти сложенных друг на друга пятиугольных антипризм : колонна с треугольной гранью и пятиугольным поперечным сечением. ^[58]Согнутый в столбчатое кольцо, это тор, состоящий из 150 ячеек, длиной в десять ребер, со 100 открытыми треугольными гранями. ^[что] 150 открытых ребер и 50 открытых вершин.Поместите еще один тетраэдр на каждую открытую грань.Это даст вам несколько неровный тор из 250 ячеек с 50 приподнятыми вершинами, 50 вершинами впадин и 100 краями впадин. ^[КБ]Впадины представляют собой замкнутые пути с длиной 10 ребер и соответствуют другим экземплярам упомянутого выше пути десятиугольника с 10 вершинами (декагоны большого круга).Эти декагоны закручиваются вокруг центрального декагона ядра. ^[сс] но математически все они эквивалентны (все лежат в центральных плоскостях).

Постройте второй идентичный тор из 250 ячеек, который соединяется с первым.Это составляет 500 ячеек.Эти два тора соединяются вместе, при этом вершины долины касаются приподнятых вершин, оставляя 100 тетраэдрических пустот, которые заполняются оставшимися 100 тетраэдрами, которые спариваются на краях долины.Этот последний набор из 100 тетраэдров находится на точной границе дуоцилиндра и образует тор Клиффорда . ^{[компакт-диск]}Их можно «развернуть» в квадратный массив 10×10.Между прочим, эта структура образует один тетраэдрический слой в тетраэдрически-октаэдрических сотах .С обеих сторон имеется ровно 50 углублений и выступов «яичных ящиков», которые соприкасаются с 250-клеточными торами. ^[к]В этом случае в каждую выемку вместо октаэдра, как в сотах, вписывается треугольная бипирамида, составленная из двух тетраэдров.

Такое разложение 600-ячейки имеет симметрию [[10,2 ⁺,10]], порядка 400, та же симметрия, что и у большой антипризмы . ^[59]Большая антипризма представляет собой всего лишь 600-ячеечную структуру, из которой удалены два тора по 150 ячеек, в результате чего остается только один средний слой из 300 тетраэдров, аналогичных по размерам. ^{[до н. э.]} к 10-гранному поясу икосаэдра с удаленными 5 верхними и 5 нижними гранями ( пятиугольная антипризма ). ^[Этот]

Каждый из двух 150-клеточных торов содержит по 6 клиффордовских параллельных больших декагонов (пять вокруг одного), и эти два тора являются клиффордовскими параллельными друг другу, поэтому вместе они составляют полное расслоение из 12 декагонов , которое достигает всех 120 вершин, несмотря на заполнение только половины 600-ячеечный с ячейками.

Спиральные кольца Бурдейка – Кокстера

600-ячеечная структура также может быть разделена на 20 непересекающихся переплетающихся колец по 30 ячеек. ^[34] каждые десять ребер длиной, образуя дискретное расслоение Хопфа , заполняющее всю 600-ячейку. ^[60]^[61]Каждое кольцо из 30 тетраэдров, соединенных гранями, представляет собой цилиндрическую спираль Бурдейка – Кокстера, согнутую в кольцо в четвертом измерении.

Одиночное спиральное кольцо Бурдейка-Коксетера из 30 тетраэдров внутри 600-ячеистой ячейки, видно в стереографической проекции. ^{[объявление]}	По периметру этой 30-угольной ортогональной проекции 600-ячейки можно увидеть кольцо из 30-тетраэдров. ^[ан]	Кольцо из 30 ячеек представляет собой полиграмму {30/11} с 30 ребрами, закрученную в спираль, которая закручивается вокруг своей оси 11 раз. Эта проекция вдоль оси цилиндра с 30 ячейками показывает 30 вершин на расстоянии 12 ° друг от друга вокруг круглого сечения цилиндра, причем края соединяют каждую 11-ю вершину круга. ^{[являюсь]}
30 вершинами и 30 тетраэдрами Спиральное кольцо Бурдейка – Коксетера с , разрезанное и расположенное плоско в трехмерном пространстве. три голубых параллельных больших десятиугольника Клиффорда. Кольцо окружали ^[но] Они соединены косой 30-граммовой спиралью из 30 пурпурных ребер, соединяющей все 30 вершин: многоугольник Петри из 600 ячеек. ^[см.] 15 оранжевых ребер и 15 желтых ребер образуют отдельные 15-граммовые спирали, траектории ребер изоклин .

Кольцо из 30 ячеек представляет собой трехмерное пространство, занятое 30 вершинами трех голубых параллельных больших десятиугольников Клиффорда, которые лежат рядом друг с другом, 36 ° = ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ = длина ребра на расстоянии 600 ячеек друг от друга во всех их парах вершин. ^[cg]30 пурпурных ребер, соединяющих эти пары вершин, образуют спиральную триаконтаграмму , косую 30-граммовую спираль из 30 связанных ребрами треугольных граней, то есть многоугольник Петри из 600 ячеек. ^[см.]Двойник кольца из 30 ячеек (косой 30-угольник, образованный соединением центров ячеек) — это многоугольник Петри многогранника 120-ячеечного из 600 ячеек , двойственного многогранника . ^[оу]Центральная ось кольца из 30 ячеек представляет собой большую 30-угольниковую геодезическую, которая проходит через центр 30 граней, но не пересекает ни одной вершины. ^[ан]

15 оранжевых ребер и 15 желтых ребер образуют отдельные спирали массой 15 грамм.Каждый оранжевый или желтый край пересекает два больших голубых десятиугольника.Последовательные оранжевые или желтые края этих 15-граммовых спиралей не лежат на одном и том же большом круге; они лежат в разных центральных плоскостях, наклоненных под углом 36° = ⁠ 𝝅 / 5 ⁠ друг другу. ^[в]Каждая 15-граммовая спираль примечательна как ребро-путь изоклины , геодезический путь изоклинического вращения . ^[к]Изоклина — это круговая кривая, которая пересекает каждую вторую вершину 15-грамма, пропуская вершину между ними.Одна изоклина проходит дважды вокруг каждой оранжевой (или желтой) 15-граммовой точки через каждую вторую вершину, затрагивая половину вершин в первом цикле и другую половину из них во втором цикле.Две соединенные петли образуют одну петлю Мёбиуса , косую пентадекаграмму {15/2} .Пентадекаграмма не показана на этих иллюстрациях (но см. ниже ), поскольку ее края представляют собой невидимые хорды между вершинами, которые находятся на расстоянии двух оранжевых (или двух желтых) ребер друг от друга, и на этих иллюстрациях хорды не показаны.Хотя 30 вершин кольца из 30 ячеек не лежат в одной большой 30-угольниковой центральной плоскости, ^[cg] эти невидимые изоклины пентадекаграммы представляют собой настоящие геодезические круги особого типа, которые проходят через все четыре измерения, а не лежат в двухмерной плоскости, как это делает обычный геодезический большой круг. ^[ч]

Пять из этих 30-ячеечных спиралей группируются вместе и вращаются по спирали вокруг каждого из 10-вершинных десятиугольников, образуя 150-ячеечный тор, описанный выше при разложении большой антипризмы . ^[59]Таким образом, каждый большой декагон является центральным декагоном тора из 150 ячеек. ^[Там] 600-ячеечную структуру можно разложить на 20 колец по 30 ячеек или на два тора по 150 ячеек и 10 колец по 30 ячеек, но не на четыре тора по 150 ячеек такого типа. ^[СДж] 600-ячеечный тор можно разложить на четыре 150-клеточных тора другого вида. ^[40]

Радиальные золотые треугольники

600-ячейку можно построить радиально из 720 золотых треугольников с длинами ребер √ 0,𝚫 √ 1 √ 1, которые встречаются в центре 4-многогранника, каждый из которых дает два радиуса √ 1 и ребро √ 0,𝚫 .Они образуют 1200 треугольных пирамид с вершинами в центре: неправильные тетраэдры с равносторонними основаниями √ 0,𝚫 (грани 600-клеток).Они образуют 600 тетраэдрических пирамид с вершинами в центре: неправильные 5-ячеечные с правильными основаниями √ 0,𝚫 тетраэдров (ячейки 600-ячеечного).

Характеристическая ортосхема

Характеристики 600-ячеечного ^[63]
	край ^[64]	дуга		двугранный ^[65]
𝒍	${\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618$	36°	${\tfrac {\pi }{5}}$	164°29′	$\pi -2{\text{𝟁}}$

𝟀	${\sqrt {\tfrac {2}{3\phi ^{2}}}}\approx 0.505$	22°15′20″	${\tfrac {\pi }{3}}-{\text{𝜼}}$	60°	${\tfrac {\pi }{3}}$
𝝉 ^[кк]	${\sqrt {\tfrac {1}{2\phi ^{2}}}}\approx 0.437$	18°	${\tfrac {\pi }{10}}$	36°	${\tfrac {\pi }{5}}$
𝟁	${\sqrt {\tfrac {1}{6\phi ^{2}}}}\approx 0.252$	17°44′40″	${\text{𝜼}}-{\tfrac {\pi }{6}}$	60°	${\tfrac {\pi }{3}}$

$_{0}R^{3}/l$	${\sqrt {\tfrac {3}{4\phi ^{2}}}}\approx 0.535$	22°15′20″	${\tfrac {\pi }{3}}-{\text{𝜼}}$	90°	${\tfrac {\pi }{2}}$
$_{1}R^{3}/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{4\phi ^{2}}}}\approx 0.309$	18°	${\tfrac {\pi }{10}}$	90°	${\tfrac {\pi }{2}}$
$_{2}R^{3}/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{12\phi ^{2}}}}\approx 0.178$	17°44′40″	${\text{𝜼}}-{\tfrac {\pi }{6}}$	90°	${\tfrac {\pi }{2}}$

$_{0}R^{4}/l$	$1$
$_{1}R^{4}/l$	${\sqrt {\tfrac {5+{\sqrt {5}}}{8}}}\approx 0.951$
$_{2}R^{4}/l$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{2}}{3}}}\approx 0.934$
$_{3}R^{4}/l$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$

${\text{𝜼}}$		37°44′40″	${\tfrac {{\text{arc sec }}4}{2}}$

Каждый правильный 4-многогранник имеет свою характерную 4-ортосхему — неправильную 5-клеточную . ^[х]Характеристическая 5-ячеечная из обычных 600-ячеечных представлена диаграммой Кокстера-Дынкина. , который можно прочитать как список двугранных углов между его зеркальными гранями.Это неправильная тетраэдрическая пирамида, основанная на характерном тетраэдре правильного тетраэдра .Обычная 600-ячеечная структура подразделяется своими гиперплоскостями симметрии на 14 400 экземпляров характерных 5-ячеечных ячеек, которые все встречаются в ее центре. ^{[является]}

Характеристическая 5-ячейка (4-ортосхема) имеет на четыре ребра больше, чем ее базовый характеристический тетраэдр (3-ортосхема), соединяя четыре вершины основания с ее вершиной (пятая вершина 4-ортосхемы, в центре обычный 600-ячеечный). ^[кл] Если обычная 600-ячеечная единица имеет единичный радиус и длину ребра ${\text{𝒍}}={\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618$ , десять ребер его характерной 5-ячейки имеют длину ${\sqrt {\tfrac {2}{3\phi ^{2}}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{2\phi ^{2}}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{6\phi ^{2}}}}$ вокруг его внешней грани прямоугольного треугольника (ребра, противоположные характерным углам 𝟀, 𝝉, 𝟁), ^[кк] плюс ${\sqrt {\tfrac {3}{4\phi ^{2}}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{4\phi ^{2}}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{12\phi ^{2}}}}$ (остальные три ребра внешней 3-ортосхемы ограняют характеристический тетраэдр, которые являются характеристическими радиусами правильного тетраэдра), плюс $1$ , ${\sqrt {\tfrac {5+{\sqrt {5}}}{8}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {\phi ^{2}}{3}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}$ (края являются характерными радиусами 600-ячейки).Путь с 4 ребрами вдоль ортогональных ребер ортосхемы равен ${\sqrt {\tfrac {1}{2\phi ^{2}}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{6\phi ^{2}}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{4\phi ^{2}}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}$ , сначала от вершины с 600 ячейками к центру края с 600 ячейками, затем поворот на 90 ° к центру грани с 600 ячейками, затем поворот на 90 ° к центру тетраэдрической ячейки с 600 ячейками, затем поворот на 90 ° к центру 600 ячеек центр.

Размышления

600-ячейка может быть построена путем отражения ее характерной 5-ячейки в ее собственных гранях (ее тетраэдрических зеркальных стенках). ^[см]Отражения и вращения связаны между собой: отражение в четном числе пересекающихся зеркал — это вращение. ^[67]^[68]Например, полное изоклиническое вращение 600-ячейки в декагональных инвариантных плоскостях проводит каждую из 120 вершин через 15 вершин и обратно к себе на косой пентадекаграмме ₂ геодезической изоклины окружности 5𝝅, которая обвивает 3-сферу, поскольку каждая Большой десятиугольник вращается (как колесо), а также наклоняется вбок (как подбрасывание монеты) в полностью ортогональной плоскости. ^[сп]Любой набор из четырех ортогональных пар антиподальных вершин (8 вершин одной из 75 вписанных 16-клеток) ^[бб] выполнение такой орбиты посещает 15 * 8 = 120 различных вершин и генерирует 600 ячеек последовательно за один полный изоклинический оборот, точно так же, как любая отдельная характеристическая 5-ячейка, отражающаяся в своих собственных зеркальных стенках, генерирует 120 вершин одновременно путем отражения. ^[быть]

Орбиты Вейля

Другой метод построения использует кватернионы и икосаэдрическую симметрию орбит группы Вейля . $O(\Lambda )=W(H_{4})=I$ порядка 120. ^[70] Ниже приведены орбиты весов D4 относительно группы Вейля W(D4):

O(0100) : T = {±1,±e1,±e2,±e3,(±1±e1±e2±e3)/2}

О(1000): V1

О (0010): V2

O(0001) : V3

С кватернионами $(p,q)$ где ${\bar {p}}$ является сопряженным $p$ и $[p,q]:r\rightarrow r'=prq$ и $[p,q]^{*}:r\rightarrow r''=p{\bar {r}}q$ , то группа Кокстера $W(H_{4})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace$ представляет собой группу симметрии 600-ячеечной и 120-ячеечной ячеек порядка 14400.

Данный $p\in T$ такой, что ${\bar {p}}=\pm p^{4},{\bar {p}}^{2}=\pm p^{3},{\bar {p}}^{3}=\pm p^{2},{\bar {p}}^{4}=\pm p$ и $p^{\dagger }$ как обмен $-1/\varphi \leftrightarrow \varphi$ в пределах $p$ , мы можем построить:

курносый 24-клеточный $S=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}T$
600-ячеечный $I=T+S=\sum _{i=0}^{4}\oplus p^{i}T$
ячеечный 120- $J=\sum _{i,j=0}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger j}T'$

Ротации

Правильные выпуклые 4-многогранники являются выражением лежащей в их основе симметрии , известной как SO(4) , группы вращений. ^[71] относительно неподвижной точки в 4-мерном евклидовом пространстве. ^[cx]

600-ячейка создается за счет изоклинических вращений. ^[к] из 24 ячеек на 36° = ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ (дуга длиной в одно ребро в 600 ячеек). ^[и]

Двадцать пять 24-ячеечных

В 600-ячейку входит 25 вписанных 24-клеток. ^[11]^[со]Следовательно, имеется также 25 вписанных курносых 24-клеток, 75 вписанных тессерактов и 75 вписанных 16-клеток. ^[ф]

8-вершинная 16-ячеечная имеет 4 длинных диаметра, наклоненных под углом 90° = ⁠ 𝜋 / 2 ⁠ друг к другу, часто принимаемые за 4 ортогональные оси или основу системы координат.

24-вершинная 24-ячеечная структура имеет 12 длинных диаметров, наклоненных под углом 60° = ⁠ 𝜋 / 3 ⁠ друг к другу: 3 непересекающихся набора из 4 ортогональных осей, каждый набор содержит диаметры одной из 3 вписанных 16-ячеек, изоклинически повёрнутых ⁠ 𝜋 / 3 ⁠ относительно друг друга. ^[дб]

120-вершинная 600-ячейка имеет 60 длинных диаметров: не просто 5 непересекающихся наборов по 12 диаметров, каждый из которых содержит одну из 5 вписанных 24-клеток (как мы могли бы заподозрить по аналогии), но 25 отдельных, но перекрывающихся наборов по 12 диаметров, каждый из которых состоящий из одной из 25 вписанных 24-клеток. ^[76]В только 600-ячейке 5 непересекающихся 24-ячеек, но не 5 : существует 10 различных способов разделить 600-ячейку на 5 непересекающихся 24-ячеек. ^[Дж]

Подобно 16-ячейкам и 8-ячейкам, вписанным в 24-ячейку, 25 24-ячеек, вписанным в 600-ячейку, представляют собой взаимно изоклинические многогранники .Вращательное расстояние между вписанными 24-ячейками всегда равно ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ в каждой инвариантной плоскости вращения. ^[си]

Пять 24-клеток не пересекаются, поскольку они параллельны по Клиффорду: их соответствующие вершины ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ друг от друга на двух непересекающихся параллелях Клиффорда ^[из] десятиугольные большие круги (а также ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ друг от друга в одном и том же большом десятиугольном круге). ^[но]Изоклиническое вращение декагональных плоскостей ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ переводит каждую 24-клетку в непересекающуюся 24-клетку (точно так же, как изоклиническое вращение шестиугольных плоскостей на ⁠ 𝜋 / 3 ⁠ переводит каждую 16-клетку в непересекающуюся 16-клетку). ^{[постоянный ток]} находятся 4 непересекающиеся 24-клетки Каждое изоклиническое вращение происходит в двух хиральных формах: слева от каждой 24-клетки , а справа от нее еще 4 непересекающиеся 24-клетки . ^[из]Левое и правое вращение достигают разных 24-клеток; следовательно, каждая 24-ячейка принадлежит двум различным наборам из пяти непересекающихся 24-ячеек.

Все параллельные многогранники Клиффорда являются изоклиническими, но не все изоклинические многогранники являются параллелями Клиффорда (полностью непересекающимися объектами). ^[дф]Каждая 24-ячейка изоклинична , и Клиффорд параллелен 8 другим, и изоклиничен, но не Клиффорд параллелен 16 другим. ^[д]С каждым из 16 он имеет 6 общих вершин: шестиугольную центральную плоскость. ^[я]Непересекающиеся 24-ячейки связаны простым вращением на ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ в инвариантной плоскости, пересекающей только две вершины 600-ячейки, ^[В] вращение, при котором полностью ортогональная фиксированная плоскость является их общей шестиугольной центральной плоскостью.Они также связаны изоклиническим вращением , при котором обе плоскости вращаются на ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ . ^[д]

Есть два вида ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ изоклинических вращений, которые переводят каждую 24-клетку в другую 24-клетку. ^{[постоянный ток]}Непересекающиеся 24-клетки связаны ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ изоклиническое вращение целого расслоения из 12 параллельных декагональных инвариантных плоскостей Клиффорда .(Таких наборов волокон 6, и для каждого набора возможно правое или левое изоклиническое вращение, поэтому таких различных вращений 12.) ^[из]Непересекающиеся 24-клетки связаны ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ изоклиническое вращение целого расслоения из 20 параллельных клиффордовских шестиугольных инвариантных плоскостей . ^{[диджей]}(Таких наборов волокон 10, следовательно, таких различных вращений 20.) ^[дг]

С другой стороны, каждый из 10 наборов из пяти непересекающихся 24-клеток клиффордов параллелен, потому что соответствующие ему большие шестиугольники клиффордовы параллельны.(24-клетки не имеют больших десятиугольников.)16 больших шестиугольников в каждой 24-ячейке можно разделить на 4 набора по 4 непересекающихся параллельных геодезических Клиффорда , каждый набор которых охватывает все 24 вершины 24-ячейки.200 больших шестиугольников в 600-ячейке можно разделить на 10 наборов по 20 непересекающихся параллельных геодезических Клиффорда , каждый набор которых покрывает все 120 вершин и представляет собой дискретное гексагональное расслоение .Каждый из 10 наборов по 20 непересекающихся шестиугольников можно разделить на пять наборов по 4 непересекающихся шестиугольника, каждый набор из 4 которых охватывает непересекающиеся 24 ячейки.Точно так же соответствующие большие квадраты непересекающихся 24-клеток параллельны Клиффорду.

Вращения на полиграммных изоклинах

Каждый из правильных выпуклых 4-многогранников имеет свой характерный вид правого (и левого) изоклинического вращения , соответствующий их характерному виду дискретного расслоения Хопфа больших кругов. ^[бг] Например, 600-ячейка может быть разделена шестью различными способами на набор параллельных больших декагонов Клиффорда , поэтому 600-ячейка имеет шесть различных правых (и левых) изоклинических вращений, в которых эти большие плоскости декагона являются инвариантными плоскостями вращения . Мы говорим, что эти изоклинические вращения характерны для 600-ячеек, потому что края 600-ячеек лежат в их инвариантных плоскостях. Эти вращения возникают только в 600-ячейке, хотя они также встречаются в более крупных правильных многогранниках (120-ячейка), которые содержат вписанные экземпляры 600-ячейки.

Подобно тому, как геодезические многоугольники (декагоны, шестиугольники или квадраты) в центральных плоскостях из 600 ячеек образуют расслоения параллельных больших кругов Клиффорда , соответствующие геодезические косые полиграммы (которые прослеживают пути на торе Клиффорда вершин при изоклиническом вращении) ^[79] образуют пучки волокон из параллельных изоклин Клиффорда : спиральных кругов, проходящих через все четыре измерения. ^[к]Поскольку изоклинические вращения являются киральными и происходят в левой и правой формах, каждому многоугольному расслоению соответствуют соответствующие левые и правые полиграммные расслоения. ^[80]Все расслоения являются аспектами одного и того же дискретного расслоения Хопфа , поскольку расслоение представляет собой различные выражения одной и той же отдельной пары изоклинических вращений слева направо.

Клеточные кольца являются еще одним проявлением расслоения Хопфа.Каждое дискретное расслоение имеет набор непересекающихся клеточных колец, которые замощают 4-многогранник. ^[нет]Изоклины в каждом хиральном пучке закручиваются вокруг друг друга: они представляют собой осевые геодезические колец гране-связанных ячеек.Кольца параллельных ячеек Клиффорда расслоения вложены друг в друга, проходят друг через друга, не пересекаясь ни в одной ячейке, и точно заполняют 600-ячейку своими непересекающимися наборами ячеек.

Изоклинические вращения вращают вершины твердого объекта по параллельным траекториям, при этом каждая вершина вращается внутри двух ортогональных движущихся больших кругов, подобно тому, как ткацкий станок ткет кусок ткани из двух ортогональных наборов параллельных волокон.Пакет параллельных многоугольников большого круга Клиффорда и соответствующий пакет изоклин параллельных косых полиграмм Клиффорда являются основой и утком одного и того же отдельного левого или правого изоклинического вращения, которое переносит параллельные многоугольники большого круга Клиффорда друг к другу, переворачивая их, как монеты, и вращая. их через параллельный набор центральных плоскостей Клиффорда.Между тем, поскольку многоугольники также вращаются индивидуально, как колеса, вершины смещаются вдоль спиральных параллельных изоклин Клиффорда (хорды которых образуют косую полиграмму) через вершины, которые лежат в последовательных параллельных многоугольниках Клиффорда. ^[бф]

В 600-ячейке каждое семейство изоклинических косых полиграмм (пути перемещения вершин в поворотах десятиугольника {10}, шестиугольника {6} или квадрата {4} большого многоугольника) можно разделить на пучки непересекающихся изоклин параллельных полиграмм Клиффорда. . ^[81]Пучки изоклин встречаются парами левой и правой киральности; изоклины в каждом вращении действуют как киральные объекты, как и само каждое отдельное изоклиническое вращение. ^[the]Каждое расслоение содержит равное количество левых и правых изоклин в двух непересекающихся пучках, которые прослеживают пути вершин 600-ячеечного слоя во время левого или правого изоклинического вращения расслоения соответственно.Каждый левый или правый пучок изоклин сам по себе представляет собой дискретное расслоение Хопфа, которое заполняет все 600 ячеек, посещая все 120 вершин только один раз.Это другой пучок слоев, чем пучок больших кругов параллельных многоугольников Клиффорда, но два пучка слоев описывают одно и то же дискретное расслоение , поскольку они нумеруют эти 120 вершин вместе в одном и том же отдельном правом (или левом) изоклиническом вращении путем их пересечения как ткань из переплетенных параллельных волокон.

Каждое изоклиническое вращение включает в себя пары полностью ортогональных инвариантных центральных плоскостей вращения, которые вращаются на один и тот же угол.Есть два способа сделать это: либо вращаясь в «одном и том же» направлении, либо вращаясь в «противоположных» направлениях (в соответствии с правилом правой руки , согласно которому мы условно говорим, какая сторона находится «вверх» на каждой из четырех сторон). координатные оси).Правая полиграмма и правое изоклиническое вращение условно соответствуют инвариантным парам, вращающимся в одном направлении; левая полиграмма и левое изоклиническое вращение соответствуют парам, вращающимся в противоположных направлениях. ^[78]Левая и правая изоклины — это разные пути, ведущие в разные места.Кроме того, каждое отдельное изоклиническое вращение (влево или вправо) может выполняться в положительном или отрицательном направлении вдоль круговых параллельных волокон.

Расслоение параллельных изоклин Клиффорда представляет собой набор винтовых вершинных окружностей, описываемых различным левым или правым изоклиническим вращением.Каждая движущаяся вершина перемещается вдоль изоклины, содержащейся внутри (движущегося) клеточного кольца.В то время как левое и правое изоклинические вращения дважды вращают один и тот же набор параллельных инвариантных плоскостей вращения Клиффорда , они проходят через разные наборы многоугольников большого круга, потому что левые и правые изоклинические вращения затрагивают альтернативные вершины многоугольника большого круга {2p} (где p — простое число ≤ 5). ^[дл]Левое и правое вращение используют один и тот же пучок Хопфа из {2p} многоугольных волокон, который является одновременно левым и правым пучком, но у них разные пучки {p} многоугольников. ^[82] поскольку дискретные волокна противостоят левому и правому многоугольникам {p}, вписанным в многоугольник {2p}. ^[дм]

Простое вращение является прямым и локальным: некоторые вершины переносятся в соседние вершины вдоль больших кругов, а некоторые центральные плоскости — в другие центральные плоскости внутри одной и той же гиперплоскости. (600-ячейка имеет четыре ортогональные центральные гиперплоскости , каждая из которых представляет собой икосододекаэдр.)При простом вращении существует только одна пара полностью ортогональных инвариантных центральных плоскостей вращения; оно не является расслоением.

Изоклиническое вращение является диагональным и глобальным, переводя все вершины в несмежные вершины (на расстоянии двух или более длин ребер). ^[кк] вдоль диагональных изоклин, а все многоугольники центральной плоскости — к параллельным многоугольникам Клиффорда (того же типа).Пара левых и правых изоклинических вращений образует дискретное расслоение.Все центральные плоскости, параллельные Клиффорду, являются инвариантными плоскостями вращения, разделенными двумя равными углами и лежащими в разных гиперплоскостях. ^[в]Диагональная изоклина ^[кр] — это более короткий маршрут между несмежными вершинами, чем несколько простых маршрутов между ними, доступных вдоль ребер: это самый короткий маршрут на трехмерной сфере, геодезической .

Декагоны и пентадекаграммы

Слоения 600-клеточной клетки включают 6 расслоений ее 72 больших декагонов : 6 пучков волокон по 12 больших декагонов, ^[но] каждое из которых очерчивает 20 хиральных клеточных колец по 30 тетраэдрических ячеек в каждом, ^{[объявление]} с тремя большими декагонами, ограничивающими каждое клеточное кольцо, и пятью клеточными кольцами, гнездящимися вместе вокруг каждого декагона. 12 параллельных десятиугольников Клиффорда в каждом пучке полностью не пересекаются. Соседние параллельные десятиугольники натянуты на края других больших десятиугольников. ^[ак] Каждое расслоение соответствует отдельному левому (и правому) изоклиническому вращению 600-ячейки в 12 инвариантных плоскостях большого декагона на 5𝝅 изоклинах.

Пучок из 12 параллельных десятиугольников Клиффорда делится на пучок из 12 левых пятиугольников и пучок из 12 правых пятиугольников, причем каждая левая-правая пара пятиугольников вписана в десятиугольник. ^[83]12 больших многоугольников составляют пучок расслоений, охватывающий все 120 вершин дискретного расслоения Хопфа .В расслоении имеется 20 непересекающихся 30-клеточных колец, но только 4 полностью непересекающихся 30-клеточных колец. ^[г]600-ячейка имеет шесть таких дискретных десятиугольных расслоений , и каждое из них является областью (контейнером) уникальной пары лево-правых изоклинических вращений (левые и правые пучки волокон из 12 больших пятиугольников). ^[ДН] Каждый большой декагон принадлежит только одному расслоению. ^[82] но каждое 30-клеточное кольцо принадлежит 5 из шести расслоений (и полностью не пересекается с одним другим расслоением).600-ячейка содержит 72 больших декагона, разделенных на шесть расслоений, каждое из которых представляет собой набор из 20 непересекающихся ячеек 30-клеточных колец (4 полностью непересекающихся 30-клеточных колец), но 600-ячейка имеет только 20 различных 30-клеточных колец. сотовые кольца вообще.Каждое кольцо из 30 ячеек содержит 3 из 12 параллельных декагонов Клиффорда в каждом из 5 расслоений и 30 из 120 вершин.

В этих десятиугольных изоклинических вращениях вершины перемещаются вдоль изоклин, которые следуют краям шестиугольников . ^[26] продвигаясь на пифагорово расстояние в одно ребро шестиугольника в каждой двойной единице вращения 36 ° × 36 °. ^{[диджей]}При изоклиническом вращении каждое последующее пройденное ребро шестиугольника лежит в другом большом шестиугольнике, поэтому изоклина описывает перекошенную полиграмму, а не многоугольник.При изоклиническом вращении 60°×60° (как в характерном шестиугольном вращении 24 ячеек и ниже в шестиугольном вращении 600 ячеек ) эта полиграмма является гексаграммой : изоклиническое вращение следует по круговой траектории с 6 ребрами, всего лишь как это делает простое шестиугольное вращение, хотя для перебора всех вершин в нем требуется два оборота, потому что изоклина представляет собой двойную петлю, проходящую через каждую другую вершину, а ее хорды представляют собой √ 3 хорды шестиугольника вместо √ 1 ребра шестиугольника. ^[дк] вращении 600 ячеек 36 ° × 36 ° Но в характерном десятиугольном последовательные большие шестиугольники расположены ближе друг к другу и более многочисленны, а полиграмма изоклины, образованная их 15 ребрами шестиугольников , представляет собой пентадекаграмму (15 грамм). ^[сп] Это не только не тот же период, что и у шестиугольника или простого десятиугольного вращения, но он даже не является целым кратным периоду шестиугольника, или десятиугольника, или любого из них простого вращения. Только составная триаконтаграмма {30/4}=2{15/2} (30 грамм), представляющая собой два вращающихся параллельно 15 грамма (черный и белый), кратна им всем и, таким образом, составляет вращательная единица декагонального изоклинического вращения. ^[дл]

В кольце из 30 ячеек несмежные вершины, связанные изоклиническими поворотами, находятся на расстоянии двух ребер друг от друга, а между ними лежат три другие вершины кольца. ^[дс]Две несмежные вершины соединены хордой √ 1 изоклины, которая представляет собой ребро большого шестиугольника (ребро из 24 ячеек).Хорды √ 1 кольца из 30 ячеек (без ребер из √ 0,𝚫 из 600 ячеек) образуют косую триаконтаграмму _{{30/4} = 2{15/2}} , которая содержит 2 непересекающиеся {15/2} двойные петли Мёбиуса. , левая-правая пара изоклин пентадекаграммы ₂ .Каждый левый (или правый) пучок из 12 пентагональных волокон пересекается левым (или правым) пучком из 8 параллельных пентадекаграммных волокон Клиффорда.Каждое отдельное кольцо из 30 ячеек имеет две изоклины пентадекаграммы с двойной петлей, проходящие через его четные или нечетные (черные или белые) вершины соответственно. ^[с] Спирали пентадекаграммы не имеют присущей им киральности, но каждая действует как левая или правая изоклина в любом отдельном изоклиническом вращении. ^[ДК]Два волокна пентадекаграммы относятся к левому и правому пучкам волокон пяти разных волокон.

В каждой вершине есть шесть больших декагонов и шесть изоклин пентадекаграммы (шесть черных или шесть белых), которые пересекаются в вершине. ^[дв]Восемь изоклин пентадекаграммы (четыре черных и четыре белых) составляют уникальный правый (или левый) пучок волокон изоклин, охватывающий все 120 вершин в отдельном правом (или левом) изоклиническом вращении.Каждое расслоение имеет уникальное левое и правое изоклиническое вращение и соответствующие уникальные левые и правые пучки волокон из 12 пятиугольников и 8 изоклин пентадекаграмм.В 600-ячейке имеется только 20 различных черных изоклин и 20 различных белых изоклин.Каждая отдельная изоклина принадлежит 5 пучкам волокон.

Три набора кольцевых аккордов из 30 ячеек с одной ортогональной проекции точки зрения
Пентадекаграмма {15/2}	Триаконтаграмма {30/4}=2{15/2}	Триаконтаграмма {30/6}=6{5}
Все ребра представляют собой хорды изоклины пентадекаграммы длиной √ 1 , которые также являются ребрами большого шестиугольника из 24 ячеек, вписанных в 600-клетку.		Только ребра большого пятиугольника длиной √ 1,𝚫 ≈ 1,176.

Одиночная черная (или белая) изоклина представляет собой косую пентадекаграмму с двойной петлей Мёбиуса {15/2} окружности 5𝝅. ^[сп] Хорды √ 1 представляют собой 24-клеточные ребра (ребра шестиугольника) из разных вписанных 24-клеток. Эти хорды невидимы (не показаны) на иллюстрации кольца из 30 ячеек , где они соединяют противоположные вершины двух связанных гранями тетраэдрических ячеек, которые находятся на расстоянии двух оранжевых ребер или двух желтых ребер друг от друга.	Кольцо из 30 ячеек представляет собой асимметричное соединение двух непересекающихся изоклин пентадекаграммы {15/2} (черно-белая пара, показанная здесь как оранжево-желтая). ^[с] Хорды √ 1 изоклин соединяют каждую четвертую вершину кольца из 30 клеток в прямую хорду под двумя оранжевыми ребрами или двумя желтыми ребрами. Изоклина с двойной кривизной — это геодезическая (кратчайший путь) между этими вершинами; они также находятся на расстоянии двух ребер друг от друга благодаря трем путям под разными углами вдоль ребер тетраэдров, связанных гранями.	Каждая изоклина пентадекаграммы (слева) пересекает все шесть больших пятиугольников (вверху) по двум или трем вершинам. Пятиугольники лежат на плоских 2𝝅 больших кругах в инвариантных плоскостях вращения десятиугольника. Пентадекаграммы не плоские: это спиральные 5𝝅 изоклинные круги, 15 хорд которых лежат в последовательных плоскостях большого шестиугольника , наклоненных под углом 𝝅/5 = 36° друг к другу. Говорят, что изоклина при вращении скручивается либо влево, либо вправо, но все такие пентадекаграммы прямо конгруэнтны, каждая из которых действует как левая или правая изоклина в разных расслоениях.
На этих иллюстрациях не показаны края из 600 ячеек, только невидимые внутренние хорды из 600 ячеек . В этой статье все они должны быть правильно нарисованы пунктирными линиями.

Две 15-граммовые двухпетлевые изоклины осевые к каждому 30-клеточному кольцу. Кольца из 30 ячеек являются хиральными; каждое расслоение содержит 10 правых (по спирали по часовой стрелке) колец и 10 левых (по спирали против часовой стрелки) колец, но две изоклины в каждом трехклеточном кольце прямо конгруэнтны. ^{[резюме]} Каждый действует как левая (или правая) изоклина и левое (или правое) вращение, но не имеет присущей ему киральности. ^[ДК]20 левых и 20 правых 15-грамм расслоения в общей сложности содержат 120 непересекающихся открытых пентаграмм (60 левых и 60 правых), открытые концы которых являются соседними 600-клеточными вершинами (одна √ 0,𝚫 на расстоянии друг от друга).30 хорд, соединяющих 30 вершин изоклины, представляют собой ребра шестиугольника на √ 1 (ребра из 24 ячеек), соединяющие вершины из 600 ячеек, которые представляют собой два ребра по 600 ячеек , расположенные на расстоянии √ 0,𝚫 друг от друга в большом десятиугольнике. ^[КС]Эти хорды изоклин представляют собой как ребра ребра шестиугольника, так и пентаграммы .

20 параллельных изоклин Клиффорда (кольцевые оси из 30 ячеек) каждого левого (или правого) пучка изоклин не пересекаются друг с другом.Либо отдельное вращение декагональной изоклины (влево или вправо) вращает все 120 вершин (и все 600 ячеек), но изоклины и пятиугольники пентадекаграммы соединены так, что вершины чередуются как 60 черных и 60 белых вершин (а также 300 черных и 300 белых ячеек), например черно-белые клетки шахматной доски . ^[из]В ходе вращения вершины на левой (или правой) изоклине вращаются внутри одной 15-вершинной черной (или белой) изоклины, а ячейки вращаются в пределах одного и того же черного (или белого) 30-клеточного кольца.

Шестиугольники и гексаграммы

Слоения 600-клеточной клетки включают 10 расслоений ее 200 больших шестиугольников : 10 пучков волокон 20 больших шестиугольников. 20 параллельных шестиугольников Клиффорда в каждом пучке полностью не пересекаются. Соседние параллельные шестиугольники натянуты на ребра больших десятиугольников. ^[с] Каждое расслоение соответствует отдельному левому (и правому) изоклиническому вращению 600-ячейки в 20 инвариантных плоскостях большого шестиугольника на 4𝝅 изоклинах.

Каждый пучок волокон очерчивает 20 непересекающихся прямо конгруэнтных клеточных колец по 6 октаэдрических ячеек каждое, причем вокруг каждого шестиугольника гнездятся три клеточных кольца.Пучок из 20 параллельных шестиугольных волокон Клиффорда разделен на пучок из 20 черных √ 3 больших треугольных волокон и пучок из 20 белых больших треугольных волокон, в каждый из которых вписан черный и белый треугольник, а в каждый шестиугольник - 6 черных и 6 белых треугольников. каждое 6-октаэдрическое кольцо.Черные или белые треугольники соединены тремя пересекающимися черными или белыми изоклинами, каждая из которых представляет собой особый вид спирального большого круга. ^[дк] через соответствующие вершины 10 параллельных черных (или белых) больших треугольников Клиффорда. Хорды 10 √ 1.𝚫 каждой изоклины образуют косую декаграмму {10/3} , 10 больших ребер пятиугольника, соединенных конец к концу в спиральную петлю, . трижды обвивающие 600-ячейку через все четыре измерения, а не лежащие квартира в центральной плоскости. Каждая пара черных и белых изоклин (пересекающихся противоположных вершин большого шестиугольника) образует составную 20-угольную икосаграмму {20/6}=2{10/3} .

Обратите внимание на связь между характерным вращением 24-ячеечной ячейки в инвариантных плоскостях большого шестиугольника (на изоклинах гексаграммы) и собственной версией вращения плоскостей большого шестиугольника для 600 ячеек (на изоклинах декаграммы). У них совершенно одинаковое изоклиническое вращение: у них одинаковая изоклина. Они имеют разные номера одной и той же изоклины, а хорда изоклины √ 1.𝚫 из 600 ячеек короче, чем хорда изоклины из 24 ячеек ( √ 3 ), потому что изоклина пересекает больше вершин в 600-ячейке (10), чем есть в 24-клетке (6), но обе полиграммы Клиффорда имеют длину окружности 4𝝅. ^[дп] Они имеют разные полиграммы изоклин только потому, что кривая изоклины пересекает больше вершин в 600-ячейке, чем в 24-ячейке. ^[ты]

Квадраты и октаграммы

Слоения 600-клеточной клетки включают 15 расслоений из 450 больших квадратов : 15 пучков волокон по 30 больших квадратов. 30 параллельных квадратов Клиффорда в каждой связке полностью не пересекаются. Соседние параллельные квадраты охватываются ребрами больших десятиугольников. ^[как] Каждое расслоение соответствует отдельному левому (и правому) изоклиническому повороту 600-ячейки в 30 больших квадратных инвариантных плоскостях (15 полностью ортогональных пар) на 4𝝅 изоклинах.

Каждый пучок волокон очерчивает 30 хиральных клеточных колец по 8 тетраэдрических ячеек в каждом. ^[топор] с левым и правым кольцом ячеек, вложенными вместе, чтобы заполнить каждую из 15 непересекающихся 16 ячеек, вписанных в 600 ячеек. По оси каждого кольца 8-тетраэдра находится особый вид винтового большого круга — изоклины. ^[к] При левом (или правом) изоклиническом вращении 600-ячейки в инвариантных плоскостях большого квадрата все вершины обращаются по одной из 15 параллельных изоклин Клиффорда.

30 параллельных квадратов Клиффорда в каждом пакете соединены четырьмя параллельными 24-граммовыми изоклинами Клиффорда (по одной через каждую вершину), каждая из которых пересекает одну вершину в 24 из 30 квадратов и все 24 вершины только одной из 600 ячеек. 25 24-кл. Каждая изоклина представляет собой 24-граммовый контур, пересекающий все 25 24-клеток, 24 из них только один раз и одну 24 раза. 24 вершины в каждой 24-граммовой изоклине составляют уникальную 24-ячейку; в 600-ячейке имеется 25 таких различных изоклин. Каждая изоклина представляет собой косую {24/5} 24-граммовую хорду, 24 φ = √ 2,𝚽 , соединенную конец-в-конец в спиральную петлю, 5 раз обматывающую одну 24-ячейку во всех четырех измерениях, а не лежащую ровно в центральная плоскость. Соседние вершины 24-клеточной ячейки находятся на расстоянии одной хорды √ 1 и хорды 5 φ на ее изоклине. Левый (или правый) изоклинический поворот на 720° переносит каждую 24-ячейку в каждую другую 24-ячейку и проходит через нее.

Обратите внимание на взаимосвязь между вращением 16-клеточной ячейки всего лишь в двух инвариантных больших квадратных плоскостях , вращением 24-клеточной ячейки в 6 параллельных больших квадратах Клиффорда и этим вращением 600-клеточной ячейки в 30 параллельных больших квадратах Клиффорда. Эти три вращения представляют собой одно и то же вращение, происходящее на одинаковых изоклинных кругах, которые пересекают больше вершин в 600-ячейке (24), чем в 16-ячейке (8). ^[дз] При вращении 16 ячеек расстояние между вершинами на изоклине равно длине ребра √ 2 . В 600-ячейке вершины расположены ближе друг к другу, а ее хорда √ 2,𝚽 = φ — это расстояние между соседними вершинами на одной и той же изоклине, но все эти изоклины имеют длину окружности 4𝝅.

В качестве конфигурации

Эта матрица конфигурации ^[87] представляет собой 600-ячеечную. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа показывают, сколько каждого элемента встречается во всей 600-ячейке. Недиагональные числа показывают, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним.

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}120&12&30&20\\2&720&5&5\\3&3&1200&2\\4&6&4&600\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

Вот конфигурация, расширенная k -гранными элементами и k -фигурами. Количество диагональных элементов представляет собой отношение полного порядка группы Кокстера , 14400, деленное на порядок подгруппы с удалением зеркала.

Ч ₄	к -лицо	ж _к	ж ₀	ж ₁	f_f2	f ₃	к -рис	Примечания
H_H3	( )	ж ₀	120	12	30	20	{3,5}	Н ₄ /Н ₃ = 14400/120 = 120
А ₁ Ч ₂	{ }	ж ₁	2	720	5	5	{5}	Н ₄ /Н ₂ А ₁ = 14400/10/2 = 720
А ₂ А ₁	{3}	f_f2	3	3	1200	2	{ }	Н ₄ /А ₂ А ₁ = 14400/6/2 = 1200
A_А3	{3,3}	f ₃	4	6	4	600	( )	Н ₄ /А ₃ = 14400/24 = 600

Симметрии

Икосианы представляют собой особый набор гамильтоновых кватернионов с той же симметрией, что и 600-ячеечный. ^[88]Икосианы лежат в золотом поле , ( a + b √ 5 ) + ( c + d √ 5 ) i + ( e + f √ 5 ) j + ( g + h √ 5 ) k , где восемь переменных являются рациональными числами. . ^[89]Конечные суммы 120 единичных икосианов называются икосианским кольцом .

Если интерпретировать как кватернионы , ^[б] 120 вершин 600-ячейки образуют группу при кватернионном умножении.Эту группу часто называют бинарной группой икосаэдра и обозначают 2I, она является двойным покрытием обычной группы икосаэдра I. поскольку ^[90]Он встречается дважды в группе вращательной симметрии RSG 600-ячейки как инвариантная подгруппа , а именно как подгруппа 2I _L левых умножений кватернионов и как подгруппа 2I _R правых умножений кватернионов.Каждая вращательная симметрия 600-ячейки генерируется конкретными элементами 2I _L и 2I _R ; пара противоположных элементов порождает один и тот же элемент RSG .Центр состоит из RSG Id невращающегося и центральной инверсии −Id .Имеем изоморфизм RSG ≅ (2I _L × 2I _R )/{Id, -Id} .Порядок RSG равен ⁠ 120×120 / 2 ⁠ = 7200.Алгебра кватернионов как инструмент для рассмотрения трехмерных и четырехмерных вращений и как путь к полному пониманию теории вращений в четырехмерном евклидовом пространстве описана Мебиусом. ^[91]

Бинарная группа икосаэдра SL изоморфна (2,5) .

Полной группой симметрии 600-ячейки является группа Кокстера H ₄ . ^[92]Это группа порядка 14400.Он состоит из 7200 вращений и 7200 вращений-отражений.Вращения образуют инвариантную подгруппу полной группы симметрии.Группа вращательной симметрии была впервые описана С.Л. ван Оссом. ^[93] Группа H ₄ и ее конструкция алгебры Клиффорда из трехмерных групп симметрии по индукции описаны Дечантом. ^[94]

Визуализация

Симметрию трехмерной поверхности 600-ячеечной ячейки несколько сложно визуализировать как из-за большого количества тетраэдрических ячеек, так и из-за большого количества тетраэдрических ячеек. ^[v] и тот факт, что у тетраэдра нет противоположных граней или вершин. ^[the] Можно начать с осознания того, что 600-ячеечный процессор является двойником 120-ячеечного. Можно также заметить, что 600-ячейка содержит также вершины додекаэдра, ^[44] что при некотором усилии можно увидеть в большинстве представленных ниже перспективных проекций.

2D-проекции

проекция H3 Декагональная показывает плоскость многоугольника Ван Осса .

Ортографические проекции плоскостей Кокстера ^[17]
Ч ₄	-	F_F4
[30] (Красный=1)	[20] (Красный=1)	[12] (Красный=1)
H_H3	А ₂ / Б ₃ / Д ₄	А3 / _Б2
[10] (Красный=1, оранжевый=5, желтый=10)	[6] (Красный=1, оранжевый=3, желтый=6)	[4] (Красный=1, оранжевый=2, желтый=4)

3D-проекции

Трехмерная модель 600-клеточной ячейки из коллекции Института Анри Пуанкаре была сфотографирована в 1934–1935 годах Маном Рэем и стала частью двух его более поздних картин «Шекспировское уравнение». ^[95]

Вершинная проекция
	На этом изображении показана перспективная проекция 600-ячейки по вершинам в 3D. 600-ячейка масштабируется до радиуса центра вершины, равного 1, а 4D-точка обзора размещается на расстоянии 5 единиц. Затем применяются следующие улучшения: 20 тетраэдров, встречающихся в вершине, ближайшей к 4D-точке обзора, отображаются сплошным цветом. Отчетливо показано их икосаэдрическое расположение. Тетраэдры, непосредственно примыкающие к этим 20 ячейкам, окрашены в прозрачный желтый цвет. Остальные ячейки отображаются в контуре края. Ячейки, обращенные от точки обзора 4D (те, что лежат на «дальней стороне» 600-ячеистой ячейки), были удалены, чтобы уменьшить визуальный беспорядок в окончательном изображении.
Проекция на основе клеток
	На этом изображении показана 600-ячеечная перспективная проекция в 3D. Опять же, 600 ячеек с радиусом центра вершины 1, а 4D-точка обзора расположена на расстоянии 5 единиц. Затем применяются следующие улучшения: Ближайшая к 4D-точке обзора ячейка отображается сплошным цветом и располагается в центре проекционного изображения. Ячейки, окружающие его (общая хотя бы одну вершину), отображаются прозрачно-желтым цветом. Остальные ячейки отображаются в контуре края. Ячейки, обращенные в сторону от точки зрения 4D, были удалены для ясности. Эта конкретная точка зрения показывает красивый контур пяти тетраэдров, имеющих общий край, в передней части трехмерного изображения.

Кадр синхронизированных ортогональных изометрической (слева) и перспективной (справа) проекций
Duration: 9 seconds.

Уменьшенные 600 ячеек

Курносую 24-ячейку можно получить из 600-ячейки, удалив вершины вписанной 24-ячейки и взяв выпуклую оболочку оставшихся вершин. ^[96] Этот процесс представляет собой уменьшение 600-клеточного.

Большую антипризму можно получить еще одним уменьшением 600-клеток: удалением 20 вершин, лежащих на двух взаимно ортогональных кольцах, и взятием выпуклой оболочки оставшихся вершин. ^[59]

В 600-ячейке с уменьшенными в два раза 24, со всеми трехкратно уменьшенными ячейками икосаэдра, удалено 48 вершин, в результате чего осталось 72 из 120 вершин в 600-ячейке. Двойник 600-ячеистой ячейки, уменьшенной в три-24 раза, представляет собой 600-ячеистую структуру, уменьшенную в три-24 раза, с 48 вершинами и 72 ячейками шестигранников.

Всего имеется 314 248 344 убавления 600-клеточного числа несмежными вершинами. Все они состоят из правильных тетраэдрических и икосаэдрических ячеек. ^[97]

Уменьшенные 600 ячеек
Имя	Tri-24-уменьшенный, 600 ячеек	Би-24-уменьшенный, 600 ячеек	Курносый 24-клеточный (24 уменьшенных 600 ячеек)	Большая антипризма (20 уменьшенных 600 ячеек)	600-ячеечный
Вершины	48	72	96	100	120
Вершинная фигура (Симметрия)	двойник трехмерного икосаэдра ([3], порядок 6)	тетрагональный антиклин ([2] ⁺, заказ 2)	трехмерный икосаэдр ([3], порядок 6)	двууменьшенный икосаэдр ([2], порядок 4)	Икосаэдр ([5,3], порядок 120)
Симметрия	Заказ 144 (48×3 или 72×2)		[3 ⁺,4,3] Заказ 576 (96х6)	[10,2 ⁺,10] Заказать 400 (100×4)	[5,3,3] Заказать 14400 (120х120)
Сеть
Орто Н ₄Самолет
Орто Ф ₄Самолет

Связанные многогранники и соты

600-ячеечный — один из 15 правильных и однородных многогранников с одинаковой симметрией H ₄ [3,3,5]: ^[11]

H ₄Многогранники семейства
120-cell	rectified 120-cell	truncated 120-cell	cantellated 120-cell	runcinated 120-cell	cantitruncated 120-cell	runcitruncated 120-cell	omnitruncated 120-cell

{5,3,3}	r{5,3,3}	t{5,3,3}	rr{5,3,3}	t_0,3{5,3,3}	tr{5,3,3}	t_0,1,3{5,3,3}	t_0,1,2,3{5,3,3}


600-cell	rectified 600-cell	truncated 600-cell	cantellated 600-cell	bitruncated 600-cell	cantitruncated 600-cell	runcitruncated 600-cell	omnitruncated 600-cell

{3,3,5}	r{3,3,5}	t{3,3,5}	rr{3,3,5}	2t{3,3,5}	tr{3,3,5}	t_0,1,3{3,3,5}	t_0,1,2,3{3,3,5}

Он похож на три правильных 4-многогранника : 5-ячеечный {3,3,3}, 16-ячеечный {3,3,4} евклидова 4-мерного пространства и тетраэдрические соты 6-го порядка {3,3, 6} гиперболического пространства. Все они имеют тетраэдрические клетки.

{3,3,p} многогранники
Space	S³			H³
Form	Finite			Paracompact	Noncompact
Name	{3,3,3}	{3,3,4}	{3,3,5}	{3,3,6}	{3,3,7}	{3,3,8}	... {3,3,∞}
Image
Vertex figure	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Этот 4-многогранник является частью последовательности 4-многогранника и сот с вершинными фигурами икосаэдра :

{p,3,5} многогранники
Space	S³	H³
Form	Finite	Compact		Paracompact	Noncompact
Name	{3,3,5}	{4,3,5}	{5,3,5}	{6,3,5}	{7,3,5}	{8,3,5}	... {∞,3,5}
Image
Cells	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Правильные комплексные многоугольники ₃ {5} ₃ , и ₅ {3} ₅ , , в $\mathbb {C} ^{2}$ имеют реальное представление в виде 600 ячеек в 4-мерном пространстве. Оба имеют 120 вершин и 120 ребер. Первый имеет Комплексную группу отражений ₃ [5] ₃ , порядок 360, а второй имеет симметрию ₅ [3] ₅ , порядок 600. ^[98]

Правильный комплексный многогранник в ортогональной проекции _{H 4} плоскости Кокстера ^[17]
{3,3,5} Order 14400	₃{5}₃ Order 360	₅{3}₅ Order 600

См. также

24-ячеечный , предшественник 4-многогранника , на котором основан 600-ячеечный.
120-ячеечный , двойной 4-мерный многогранник по сравнению с 600-ячеечным и его преемник
Равномерное семейство 4-многогранников с симметрией [5,3,3]
Правильный 4-многогранник
Многогранник

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б ^с Выпуклые правильные 4-многогранники можно упорядочить по размеру как мере 4-мерного содержимого (гиперобъема) для одного и того же радиуса. Это их правильный порядок нумерации, порядок, в котором они вложены друг в друга как составные части. ^[3] Каждый больший многогранник в последовательности более круглый , чем его предшественник, и содержит больше содержимого. ^[4] в том же радиусе.4-симплекс (5-ячеечный) — это наименьший случай, а 120-ячеечный — самый большой.Сложность (измеряемая путем сравнения матриц конфигурации или просто количества вершин) следует тому же порядку.Это обеспечивает альтернативную схему числового именования для правильных многогранников, в которой 600-ячеечный представляет собой 4-многогранник с 120 точками: пятый в возрастающей последовательности, которая проходит от 4-многогранника с 5 точками до 4-многогранника с 600 точками.
^ Jump up to: ^а ^б В четырехмерной евклидовой геометрии кватернион — это просто декартова координата (w, x, y, z).
^ Jump up to: ^а ^б ^с
Геометрия вершин радиально равностороннего 24-ячеечного объекта, показывающая 3 многоугольника большого круга и 4 длины хорд между вершинами.
Геометрия с 600 ячейками основана на 24-ячеечной геометрии .
Модель с 600 ячейками дополняет 24-ячейку еще двумя многоугольниками большого круга (внешний десятиугольник и внутренний пятиугольник), добавляя еще 4 длины хорд, которые чередуются с четырьмя длинами хорд 24-ячеечной модели.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж 24-ячейка содержит 16 шестиугольников. В 600-ячейке с 25 24-ячейками каждая 24-ячейка не пересекается с 8 24-ячейками и пересекает каждую из остальных 16 24-ячеек в шести вершинах, образующих шестиугольник. ^[12] В 600-ячейке содержится 25・16/2 = 200 таких шестиугольников.
^ В тех случаях, когда вписанные 4-многогранники одного и того же типа занимают непересекающиеся наборы вершин (например, две 16-ячейки, вписанные в тессеракт, или три 16-ячейки, вписанные в 24-ячейку), их наборы хорд вершин, центральные многоугольники и ячейки также должны быть непересекающимися.В тех случаях, когда они имеют общие вершины (например, три тессеракта, вписанные в 24-ячейку, или 25 24-ячеек, вписанных в 600-ячейку), они также имеют общие хорды вершин и центральные многоугольники. ^[д]
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и 600-ячейка содержит ровно 25 24-ячеек, 75 16-ячеек и 75 8-ячеек, причем каждая 16-ячейка и каждая 8-ячейка лежат только в одной 24-ячейке. ^[21]
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Многогранники полностью непересекающиеся, если все их наборы элементов не пересекаются: у них нет общих вершин, ребер, граней или ячеек.Они все еще могут перекрываться в пространстве, разделяя 4-содержание, объем, область или родословную.
^ Каждая из 25 24-клеток 600-ячейки содержит ровно одну вершину каждого большого пятиугольника. ^[12]Шесть пятиугольников пересекаются в каждой вершине из 600 ячеек, поэтому каждая 24-ячейка пересекает все 144 больших пятиугольника.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Пять 24-клеток встречаются на вершине каждой икосаэдрической пирамиды. ^[п] из 600 ячеек.Каждая 24-ячейка разделяет не одну вершину, а 6 вершин (одну из четырех шестиугольных центральных плоскостей) с каждой из четырех других 24-ячеек. ^[д]
^ Jump up to: ^а ^б ^с Скоут был первым, кто заявил (сто лет назад), что существует ровно десять способов разбить 120 вершин 600-клеток на пять непересекающихся 24-клеток.25 ячеек по 24 ячейки можно разместить в массиве 5 x 5 так, что каждая строка и каждый столбец массива разделяет 120 вершин ячейки 600 на пять непересекающихся ячеек по 24 ячейки.Строки и столбцы массива — единственные десять таких разделов 600-ячеечного массива. ^[21]
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и 600-ячейка содержит 25 отдельных 24-ячеек, связанных друг с другом пятиугольными кольцами. Каждый пятиугольник соединяет пять совершенно непересекающихся ^[г] 24 ячейки вместе, коллективные вершины которых являются 120 вершинами 600 ячеек.Каждая 24-точечная 24-ячейка содержит одну пятую всех вершин в 600-ячейке из 120 точек и связана с другими 96 вершинами (которые составляют курносую 24-ячейку ) 144 пятиугольниками 600-ячеечной ячейки.Каждая из 25 24-клеток пересекает каждый из 144 больших пятиугольников всего в одной вершине. ^[час]Пять 24-клеточных ячеек встречаются в каждой вершине из 600 ячеек. ^[я] таким образом, все 25 24-клеток связаны каждым большим пятиугольником.600-ячейку можно разделить на пять непересекающихся 24-ячеечных (10 различных способов), ^[Дж] а также на 24 непересекающихся пятиугольника (вписанных в 12 параллельных больших десятиугольников Клиффорда одного из 6 десятиугольных расслоений ), выбирая пятиугольник из того же расслоения в каждой 24-клеточной вершине.
^ Углы 𝜉 _i и 𝜉 _j — это углы вращения в двух полностью ортогональных инвариантных плоскостях, которые характеризуют вращения в 4-мерном евклидовом пространстве .Угол 𝜂 — это наклон обеих этих плоскостей от полярной оси, где 𝜂 изменяется от 0 до ⁠ 𝜋 / 2 ⁠ . Координаты (𝜉 _i , 0, 𝜉 _j ) описывают большие круги, которые пересекаются на северном и южном полюсах («линии долготы»).(𝜉 _я , ⁠ 𝜋 / 2 ⁠ , 𝜉 _j ) координаты описывают большие круги, ортогональные долготе («экваторы»); в 4-многограннике имеется более одного большого круга «экватора», поскольку экватор 3-сферы представляет собой целую 2-сферу больших кругов.Остальные координаты Хопфа (𝜉 _i , 0 < 𝜂 < ⁠ 𝜋 / 2 ⁠ , 𝜉 _j ) описывают большие круги ( не «линии широты»), которые пересекают экватор, но не проходят через северный или южный полюс.
^ Преобразование координат Хопфа (𝜉 _i , 𝜂, 𝜉 _j ) в декартовы координаты единичного радиуса (w, x, y, z):
ш = потому что 𝜉 _я грех 𝜂
х = потому что 𝜉 _j потому что 𝜂
y = грех 𝜉 _j потому что 𝜂
z = грех 𝜉 _я грех 𝜂
Полюс начала координат Хопфа (0, 0, 0) является декартовым (0, 1, 0, 0). Условный «северный полюс» декартовой стандартной ориентации равен (0, 0, 1, 0), что соответствует Хопфу ( ⁠ 𝜋 / 2 ⁠ , ⁠ 𝜋 / 2 ⁠ , ⁠ 𝜋 / 2 ⁠ ). Декартово (1, 0, 0, 0) — это Хопфа (0, ⁠ 𝜋 / 2 ⁠ , 0).
^ Координаты Хопфа представляют собой тройки трех углов:
(𝜉 _я , 𝜂, 𝜉 _j )
которые параметризуют трехмерную сферу путем нумерации точек вдоль ее больших окружностей.Координата Хопфа описывает точку как вращение от полярной точки (0, 0, 0). ^[л]Координаты Хопфа являются естественной альтернативой декартовым координатам. ^[м] для оснащения правильных выпуклых 4-многогранников, поскольку группа 4-мерных вращений , обозначаемая SO(4), порождает эти многогранники.
^ Существует 600 перестановок этих координат, но в 600-ячейке всего 120 вершин.На самом деле это координаты Хопфа вершин 120-ячейки , которая имеет 600 вершин и которую можно рассматривать (двумя разными способами) как соединение 5 непересекающихся 600-ячеек.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я В искривленном трехмерном пространстве граничной поверхности из 600 ячеек в каждой вершине можно найти двенадцать ближайших других вершин, окружающих вершину, так же, как вершины икосаэдра окружают его центр.Двенадцать ребер по 600 ячеек сходятся в центре икосаэдра, где они образуют шесть прямых линий, которые там пересекаются.Однако центр фактически смещается в 4-м измерении (радиально наружу от центра 600-ячейки) за пределы гиперплоскости, определяемой вершинами икосаэдра.Таким образом, вершинный икосаэдр на самом деле является канонической икосаэдрической пирамидой . ^[bj] состоит из 20 правильных тетраэдров на правильном основании икосаэдра, вершина которого является его вершиной. ^[бк]
^ Jump up to: ^а ^б ^с с дробным корнем Золотые хорды — это иррациональные дроби, которые являются функциями √ 5 . Они иллюстрируют, что золотое сечение φ = ⁠ 1 + √ 5/2 с ≈ 1,618 ⁠ — это отношение окружности, связанное 𝜋 : ^[20]
⁠ 𝜋 / 5 ⁠ = arccos ( ⁠ φ / 2 ⁠ )
представляет собой одно ребро десятиугольника, хорда 𝚽 = √ 0,𝚫 = √ 0,382 ~ ≈ 0,618.И наоборот, в этой функции, открытой Робертом Эверестом, выражающей φ как функцию от 𝜋 и чисел 1, 2, 3 и 5 ряда Фибоначчи:
φ = 1 – 2 потому что ( ⁠ 3𝜋 / 5 ⁠ )
⁠ 3𝜋 / 5 ⁠ — длина дуги хорды φ = √ 2, 𝚽 = √ 2,618 ~ ≈ 1,618.
^ Jump up to: ^а ^б Ребра из 600 ячеек представляют собой ребра десятиугольников длиной √ 0,𝚫 , что соответствует 𝚽, меньшему золотому сечению √ 5 ; края находятся в обратном золотом сечении ⁠ 1 / φ ⁠ к хордам шестиугольника √ 1 (ребра из 24 ячеек).Другие аккорды дробного корня также демонстрируют золотые отношения. Хорда длины √ 1,𝚫 является ребром пятиугольника.Следующая хорда дробного корня представляет собой десятиугольник длиной √ 2,𝚽 , который равен φ , большему золотому сечению √ 5 ; это в золотом сечении ^[д] хорде √ 1 (и радиусу). ^[т]Последняя хорда дробного корня представляет собой диагональ пятиугольника длины √ 3,𝚽 .Диагональ правильного пятиугольника всегда находится в золотом пропорции к его ребру, и действительно φ √ 1,𝚫 равна √ 3,𝚽 .
^ Дробные квадратные корни представлены в виде десятичных дробей, где:
𝚽 ≈ 0,618 — обратное золотое сечение. ${\tfrac {1}{\phi }}=\phi ^{-1}$
𝚫 = 1 - 𝚽 = 𝚽 ² ≈ 0.382
Например:
𝚽 = √ 0,𝚫 = √ 0,382~ ≈ 0,618
^ Обратите внимание на диаграмме, как хорда φ ( большое золотое сечение) суммируется с соседним краем 𝚽 ( меньшее золотое сечение) до √ 5 , как если бы вместе они составляли хорду √ 5, изогнутую так, чтобы поместиться внутри диаметра √ 4 .
^ Jump up to: ^а ^б Рассмотрим одну из 24-вершинных 24-клеток, вписанную в 120-вершинную 600-клетку.Остальные 96 вершин составляют курносую 24-клетку .Удаление любой 24-элементной ячейки из 600-элементной приводит к образованию курносой 24-элементной ячейки.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Каждая тетраэдрическая клетка каким-то образом соприкасается с 56 другими клетками.Одна ячейка контактирует с каждой из четырех граней; две ячейки соприкасаются с каждым из шести ребер, но не с гранью; и десять ячеек соприкасаются с каждой из четырех вершин, но не с гранью или ребром.
^ Длинный радиус (от центра до вершины) 24-ячейки равен длине ее края; таким образом, его длинный диаметр (от вершины до противоположной вершины) равен двум длинам ребра. Лишь немногие однородные многогранники обладают этим свойством, включая четырехмерный 24-ячеечный и тессеракт , трехмерный кубооктаэдр и двумерный шестиугольник . (Кубооктаэдр — это экваториальное сечение 24-клеточного элемента, а шестиугольник — это экваториальное сечение кубооктаэдра.) Радиально равносторонние многогранники — это те, которые с длинными радиусами могут быть построены из равносторонних треугольников, соприкасающихся в центре. многогранника, каждый из которых дает два радиуса и ребро.
^ Jump up to: ^а ^б Ортосхема гранями, характерный для некоторого многогранника, если он — это киральный неправильный симплекс с прямоугольными в точности заполняет этот многогранник отражениями самого себя в своих собственных гранях (своих зеркальных стенках ).Каждый правильный многогранник можно разрезать радиально на экземпляры его характерной ортосхемы, окружающей его центр.Характеристическая ортосхема имеет форму, описываемую той же диаграммой Кокстера-Дынкина, что и правильный многогранник без образующего точечного кольца.
^ Ортосхема — это обобщение прямоугольного треугольника на симплексные фигуры любого количества измерений. Любой правильный многогранник можно радиально разделить на одинаковые характеристические ортосхемы , пересекающиеся в его центре. ^[х]
^ Все многогранники можно радиально триангулировать в треугольники, пересекающиеся в центре, причем каждый треугольник имеет два радиуса и одно ребро. Существует (по крайней мере) три специальных класса многогранников, которые имеют радиально-треугольную форму треугольника особого типа. многогранники Радиально равносторонние могут быть построены из одинаковых равносторонних треугольников , пересекающихся в центре. ^[В] многогранники Радиально-золотые могут быть составлены из одинаковых золотых треугольников , соприкасающихся в центре. Все правильные многогранники являются радиально правыми многогранниками, которые могут быть построены с их различными центрами элементов и радиусами из одинаковых характеристических ортосхем , которые все встречаются в центре, разделяя правильный многогранник на характеристические прямоугольные треугольники , которые встречаются в центре. ^[и]
^ Длинный радиус (от центра до вершины) ячейки из 600 ячеек находится в золотом пропорции к длине ее края; таким образом, его радиус равен φ, если длина его ребра равна 1, а длина ребра равна ⁠ 1 / φ ⁠, если его радиус равен 1.
^ Jump up to: ^а ^б Начиная с 16-ячейки, каждый правильный выпуклый 4-многогранник в последовательности единичного радиуса вписывается в его последующий элемент. ^[6]Следовательно, преемник может быть построен путем размещения каких-либо 4-пирамид на клетках его предшественника.Между 16-клеткой и тессерактом мы имеем 16 прямоугольных тетраэдрических пирамид , вершины которых заполняют углы тессеракта. Между тессерактом и 24-клеточной мы имеем 8 канонических кубических пирамид .Но если мы поместим 24 канонические октаэдрические пирамиды на 24-ячейку, мы получим только еще один тессеракт (с удвоенным радиусом и длиной ребра), а не преемницу 600-ячейки.Между 24-ячеечной и 600-ячеечной пирамидами должно быть 24 меньших неправильных 4-пирамиды на правильном восьмигранном основании.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Шесть больших десятиугольников, проходящих мимо каждой ячейки тетраэдра по ее краям, не все пересекаются друг с другом, потому что не все шесть ребер тетраэдра имеют общую вершину.Каждый декагон пересекает четыре других (под углом 60 градусов), но пропускает только один из остальных, поскольку они проходят мимо друг друга (под углом 90 градусов) вдоль противоположных и перпендикулярных косых ребер тетраэдра.Каждый тетраэдр связывает три пары десятиугольников, не пересекающихся в вершинах тетраэдра.Однако ни один из шести десятиугольников не является параллельным Клиффорда; ^[из] каждый принадлежит разному пучку волокон Хопфа из 12.Только одно из шести ребер тетраэдра может быть частью спирали в любом тройном спиральном кольце Бурдейка-Коксетера . ^{[объявление]}Кстати, эта сноска — одна из четырех сносок тетраэдра о параллельных декагонах Клиффорда. ^[но] что все ссылаются друг на друга.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к Поскольку тетраэдры ^[и] не имеют противоположных граней, единственный способ уложить их лицом к лицу по прямой линии — это в виде скрученной цепочки, называемой спиралью Бурдейка-Коксетера .Это параллель Клиффорда. ^[из] тройная спираль, как показано на рисунке .В 600-ячейке мы находим их согнутыми в четвертом измерении в геодезические кольца.Каждое кольцо имеет 30 ячеек и соприкасается с 30 вершинами.Каждая ячейка связана гранями с двумя соседними ячейками, но одно из шести ребер каждого тетраэдра принадлежит только этой ячейке, и эти 30 ребер образуют 3 параллельных Клиффорда больших десятиугольника, которые спирально вращаются вокруг друг друга. ^[но]5 колец из 30 ячеек встречаются на каждом декагоне и закручиваются вокруг него (как 5 тетраэдров встречаются на каждом ребре).Пучок из 20 таких клеточно-непересекающихся колец заполняет все 600 ячеек, образуя таким образом дискретное расслоение Хопфа .Существует шесть различных таких расслоений Хопфа, покрывающих одно и то же пространство, но идущих в разных «направлениях».
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Две параллели Клиффорда ^[из] большие десятиугольники не пересекаются, но соответствующие им вершины соединены одним краем другого десятиугольника.Два параллельных десятиугольника и десять соединяющихся ребер образуют двойное спиральное кольцо.Три декагона также могут быть параллельными (декагоны состоят из параллельных пучков волокон по 12 штук), и три из них могут образовывать тройное спиральное кольцо.Если кольцо разрезать и разложить в трехмерном пространстве, это спираль Бурдейка – Кокстера. ^{[объявление]} 30 тетраэдров ^[и] длинный.Три параллельных десятиугольника Клиффорда можно рассматривать как голубые края на иллюстрации тройной спирали .Каждое пурпурное ребро — это одно ребро другого десятиугольника, соединяющее два параллельных десятиугольника.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п
Два параллельных больших круга Клиффорда, охватываемых скрученным кольцом .
Параллели Клиффорда — это непересекающиеся кривые линии, параллельные в том смысле, что перпендикулярное (кратчайшее) расстояние между ними одинаково в каждой точке. Двойная спираль является примером параллелизма Клиффорда в обычном трехмерном евклидовом пространстве. В 4-мерном пространстве параллели Клиффорда представляют собой большие геодезические круги на 3-сфере . ^[23] В то время как в трехмерном пространстве любые два больших геодезических круга на двухмерной сфере всегда будут пересекаться в двух противоположных точках, в четырехмерном пространстве не все большие круги пересекаются; На трехмерной сфере можно найти различные наборы параллельных непересекающихся больших геодезических кругов Клиффорда. Они закручиваются друг вокруг друга в пучки волокон Хопфа , которые в 600-ячейке посещают все 120 вершин только один раз. Например, каждый из 600 тетраэдров участвует в 6 больших декагонах. ^[и] принадлежащие 6 дискретным расслоениям Хопфа , каждое из которых заполняет всю 600-ячейку. Каждое расслоение представляет собой пучок из 12 параллельных декагонов Клиффорда, которые образуют 20 непересекающихся между собой переплетающихся колец из 30 тетраэдрических ячеек. ^{[объявление]} каждый ограничен тремя из 12 больших десятиугольников. ^[но]
^ 10 шестиугольников, пересекающихся в каждой вершине, лежат вдоль 20 коротких радиусов вершинной фигуры икосаэдра. ^[п]
^ Jump up to: ^а ^б Каждая из 25 вписанных 24-клеток имеет по 3 вписанных тессеракта, каждый из которых имеет 8 √ 1 кубических ячеек. Хорды 1200 √ 3 — это 4 длинных диаметра этих 600 кубов. Три тессеракта в каждой 24-ячейке перекрываются, и каждая хорда √ 3 представляет собой длинный диаметр двух разных кубов в двух разных тессерактах в двух разных 24-ячейках. Каждый куб принадлежит только одному тессеракту всего в одной 24-клеточной ячейке.
^ Сумма 0,𝚫・720 + 1・1200 + 1,𝚫・720 + 2・1800 + 2,𝚽・720 + 3・1200 + 3,𝚽・720 + 4・60 составляет 14 400.
^ Сумма квадратов длин всех различных хорд любого правильного выпуклого n-многогранника единичного радиуса равна квадрату числа вершин. ^[28]
^ Триаконтагон или 30-угольник — это тридцатигранный многоугольник.Триаконтагон — самый большой правильный многоугольник, внутренний угол которого представляет собой сумму внутренних углов меньших многоугольников: 168 ° — это сумма внутренних углов равностороннего треугольника (60 °) и правильного пятиугольника (108 °).
^ Jump up to: ^а ^б ^с В 600-ячейке имеется 72 больших 30-угольника: 6 наборов по 12 клиффордовских параллельных 30-угольников центральных плоскостей, каждая из которых полностью ортогональна центральной плоскости десятиугольника.В отличие от больших кругов 600-ячейки единичного радиуса, которые проходят через ее вершины, этот 30-угольник на самом деле не является большим кругом 3-сферы единичного радиуса.Поскольку он проходит через центры граней, а не через вершины, он имеет меньший радиус и лежит на меньшей трехмерной сфере.Конечно, в этой центральной плоскости существует также большой круг единичного радиуса, полностью ортогональный центральной плоскости десятиугольника, но как многоугольник большого круга он представляет собой 0-угольник, а не 30-угольник, поскольку он не пересекает ни одну из точек. из 600 ячеек.В 600-ячейке многоугольник большого круга, полностью ортогональный каждому большому десятиугольнику, представляет собой 0-угольник.
^ Jump up to: ^а ^б 30 вершин и 30 ребер кольца из 30 ячеек лежат на перекошенном {30/11} звездчатом многоугольнике с номером витка 11, называемом триаконтаграммой ₁₁ , непрерывной тугой штопорной спиралью , согнутой в петлю из 30 ребер (пурпурные ребра на иллюстрации тройной спирали ), которая оборачивается 11 раз вокруг себя в ходе одного оборота вокруг 600-ячеечного кольца, сопровождаемого одним поворотом на 360 градусов 30-ячеечного кольца. ^[34] То же кольцо из 30 ячеек можно также охарактеризовать как многоугольник Петри из 600 ячеек. ^[см.]
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Центральная плоскость каждого большого десятиугольника полностью ортогональна большому 30-угольнику. ^[и] центральная плоскость, не пересекающая ни одной вершины 600-ячейки.Каждый из 72 30-угольников представляет собой центральную ось 30-ячеечного тройного спирального кольца Бурдейка-Коксетера . ^{[объявление]} причем каждый сегмент 30-угольника проходит через тетраэдр аналогичным образом.Большой 30-угольный круг полностью находится на изогнутой трехмерной поверхности своей трехмерной сферы; ^[ал] его изогнутые сегменты не являются хордами.Он не касается ребер или вершин, но затрагивает грани.Это центральная ось косой 30-граммовой спирали, многоугольника Петри из 600 ячеек, который соединяет все 30 вершин 30-ячеечной спирали Бурдейка – Коксетера с тремя ее ребрами в каждой ячейке. ^{[являюсь]}
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н Точка при изоклиническом вращении пересекает диагональ ^[кр] прямая линия одной изоклинической геодезической , идущая непосредственно к месту назначения, вместо изогнутой линии двух последовательных простых геодезических .Геодезическая кратчайший – это путь через пространство (интуитивно, между двумя точками натянута нить).Простые геодезические — это большие круги, лежащие в центральной плоскости (единственный вид геодезических, встречающийся в трехмерном пространстве на двухсфере).Изоклинические геодезические устроены иначе: они не лежат в одной плоскости; это четырехмерные спирали, а не простые двумерные круги. ^[бф]Но они и не похожи на трехмерную резьбу , поскольку образуют замкнутую петлю, как любой круг. ^[КС]Изоклинические геодезические — это 4-мерные большие круги , и они столь же круглые, как и 2-мерные круги: фактически в два раза круглее, потому что они изгибаются по окружности сразу в двух полностью ортогональных направлениях. ^[ч]Это настоящие круги, ^[сп] и даже образуют расслоения, подобные обычным двумерным большим кругам.Эти изоклины представляют собой одномерные геодезические линии, встроенные в четырехмерное пространство.На 3-сфере ^[кт] они всегда встречаются в киральных парах как круги Вильярсо на торе Клиффорда , ^{[продолжение]} геодезические пути, пройденные вершинами при изоклиническом вращении .Они представляют собой спирали, согнутые в петлю Мёбиуса в четвертом измерении, проходящие диагональный маршрут вокруг 3-сферы через несмежные вершины скошенного многоугольника Клиффорда 4-многогранника . ^{[резюме]}
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и В четырехмерном пространстве не более четырех больших кругов могут быть параллельными Клиффорду. ^[из] и все равно угловое расстояние друг от друга. ^[30]Такие центральные плоскости взаимно изоклиничны : каждая пара плоскостей разделена двумя равными углами, и изоклинический поворот на этот угол сведет их вместе.Если три или четыре такие плоскости разделены одним и тем же углом, они называются эквиизоклиническими .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Декагональные плоскости в 600-ячейке расположены экви-изоклинически. ^[ап] группы по 3, везде, где 3 параллельных десятиугольника Клиффорда 36° ( ⁠ 𝝅 / 5 ⁠ ) друг от друга образуют 30-ячеечное тройное спиральное кольцо Бурдейка – Кокстера . ^{[объявление]}Также по Клиффорду параллельно этим 3 декагонам находятся 3 эквиизоклинических декагона 72 ° ( ⁠ 2/5 ) друг от ⁠ ( друга, 3 108° ⁠ 3/5 ) друг от друга ⁠ ( и 3 144° ⁠ 4𝝅 / 5 ⁠ ), всего 12 параллельных декагонов Клиффорда (120 вершин), которые составляют дискретное расслоение Хопфа.Поскольку большие декагоны лежат в изоклинических плоскостях, разделенных двумя равными углами, их соответствующие вершины разделены комбинированным вектором относительно обоих углов.Векторы в 4-мерном пространстве могут быть объединены с помощью кватернионного умножения , открытого Гамильтоном . ^[31]Соответствующие вершины двух больших многоугольников по 36° ( ⁠ 𝝅 / 5 ⁠ ) друг от друга при изоклиническом вращении составляют 60° ( ⁠ 𝝅 / 3 ⁠ ) друг от друга в 4-мерном пространстве.Соответствующие вершины двух больших многоугольников, равных 108° ( ⁠ 3/5 ( ⁠ ° ) друг от друга за счет изоклинического вращения также находятся на расстоянии 60 ⁠ 𝝅 / 3 ⁠ ) друг от друга в 4-мерном пространстве.Соответствующие вершины двух больших многоугольников по 72° ( ⁠ 2/5 ) друг от друга ⁠ ( при изоклиническом вращении составляют 120° ⁠ 2𝝅 / 3 ⁠ ) друг от друга в 4-мерном пространстве и соответствующие вершины двух больших многоугольников, углы которых составляют 144° ( ⁠ 4/5 ( ⁠ ° ) друг от друга за счет изоклинического вращения также находятся на расстоянии 120 ⁠ 2/3 друга ⁠ ) друг от в 4-мерном пространстве.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Шестиугольные плоскости в 600-ячейке расположены экви-изоклинически. ^[ап] группы по 4, везде, где есть 4 параллельных шестиугольника Клиффорда 60° ( ⁠ 𝝅 / 3 ⁠ ) друг от друга образуют 24 ячейки.Также по Клиффорду параллельно этим 4 шестиугольникам есть 4 равноизоклинных шестиугольника 36 ° ( ⁠ 𝝅 / 5 ⁠ ) друг от друга, 4 72° ( ⁠ 2/5 ) друг от ⁠ друга, 4 108° ( ⁠ 3/5 ) друг от друга ⁠ ( и 4 144° ⁠ 4/5 вершин) , ⁠ ( ), всего 20 параллельных шестиугольников Клиффорда 120 которые составляют дискретное расслоение Хопфа.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Квадратные плоскости в 600-ячейке расположены экви-изоклинически. ^[ап] группы по 2, везде, где 2 параллельных квадрата Клиффорда 90° ( ⁠ 𝝅 / 2 ⁠ ) друг от друга образуют 16-клеточную.Также параллельно этим 2 квадратам Клиффорда находятся 4 эквиизоклинические группы из 4, где 3 Клиффорда параллельны 16-ячейкам 60° ( ⁠ 𝝅 / 3 ⁠ ) друг от друга образуют 24 ячейки.Также параллелью Клиффорда являются 4 эквиизоклинические группы 3: 3 36° ( ⁠ 𝝅 / 5 ⁠ ) друг от друга, 3 72° ( ⁠ 2/5 ) друг от ⁠ ( друга, 3 108° ⁠ 3/5 ) друг от друга ⁠ ( и 3 144° ⁠ 4𝝅 / 5 ⁠ ), всего 30 параллельных квадратов Клиффорда (120 вершин), которые составляют дискретное расслоение Хопфа.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Два угла необходимы для фиксации взаимного положения двух плоскостей в 4-мерном пространстве. ^[29]Поскольку все плоскости в одной и той же гиперплоскости отстоят друг от друга на 0 градусов по одному из двух углов, в трехмерном пространстве требуется только один угол.Большие десятиугольники кратны (от 0 до 4) 36° ( ⁠ 𝝅 / 5 ⁠ ) друг от друга в каждом углу и может находиться под одним и тем же углом в обоих углах. ^[ак]Большие шестиугольники могут иметь угол 60° ( ⁠ 𝝅 / 3 ⁠ ) с разницей в один или оба угла и может быть кратным (от 0 до 4) 36° ( ⁠ 𝝅 / 5 ⁠ ) друг от друга в одном или обоих углах. ^[с]Большие квадраты могут иметь угол 90° ( ⁠ 𝝅 / 2 ⁠ ) друг от друга в одном или обоих углах, может составлять 60° ( ⁠ 𝝅 / 3 ⁠ ) с разницей в один или оба угла и может быть кратным (от 0 до 4) 36° ( ⁠ 𝝅 / 5 ⁠ ) друг от друга в одном или обоих углах. ^[как]Плоскости, разделенные двумя равными углами, называются изоклиническими . ^[ап]Изоклинические плоскости имеют параллельные большие круги Клиффорда. ^[из]Большой шестиугольник и большой декагон могут быть изоклиническими, но чаще всего их разделяет перемычка. ⁠ 𝝅 / 3 ⁠ (60°) угол и кратное (от 1 до 4) число ⁠ 𝝅 / 5 ⁠ (36°) угол.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д В 24-ячейке каждая плоскость большого квадрата полностью ортогональна другой плоскости большого квадрата, а каждая плоскость большого шестиугольника полностью ортогональна плоскости, которая пересекает только две противоположные вершины: плоскости большого двуугольника .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Каждое расслоение Хопфа 3-сферы на параллельные слои большого круга Клиффорда имеет отображение (называемое его основанием ), которое представляет собой обычную 2-сферу . ^[42]На этой карте каждое волокно большого круга отображается как отдельная точка.Основанием большого декагона из 600 ячеек является икосаэдр , в котором каждая вершина представляет один из 12 больших декагонов. ^[24]Для тополога основание не обязательно является какой-либо частью объекта, который он отображает: не ожидается, что базовый икосаэдр будет ячейкой или внутренней особенностью 600-ячеистой структуры, это просто сфера, аналогичная размерностям. ^{[до н. э.]} полезно для рассуждений о расслоении.Но на самом деле в 600-ячейке есть икосаэдры : 120 вершинных икосаэдрических фигур , ^[п] любой из которых можно рассматривать как его основу: трехмерную модель целых четырехмерных 600 ячеек в масштабе 1:10.Каждый трехмерный вершинный икосаэдр поднимается до четырехмерного 600-ячеечного поворота на 720 градусов изоклинического вращения . ^[к] который проходит каждую из своих 4 непересекающихся треугольных граней вокруг одного из 4 непересекающихся 30-вершинных колец из 30 тетраэдрических ячеек (каждая из которых сплетена из 3 параллельных больших десятиугольников Клиффорда), и таким образом посещает все 120 вершин 600-ячейки.Поскольку 12 больших десятиугольных кругов (из 4 колец) представляют собой параллельные декагоны Клиффорда одного и того же расслоения , мы можем геометрически увидеть, как икосаэдр работает как карта расслоения Хопфа всей 600-ячейки, и как расслоение Хопфа является выражение изоклинической симметрии . ^[43]
^ Jump up to: ^а ^б Правильный косой 30-угольник — это многоугольник Петри из 600 ячеек и его двойной многоугольник из 120 ячеек . Полигоны Петри из 120 ячеек встречаются в 600-ячейках как двойники 30-ячеечных спиральных колец Бурдейка-Коксетера : соединение их 30 клеточных центров вместе дает полигоны Петри двойных 120-ячеек, как заметил Рольфдитер Франк ( около 2001 г.). Таким образом он обнаружил, что набор вершин из 120 ячеек разбивается на 20 непересекающихся многоугольников Петри. Этот набор из 20 непересекающихся параллельных косых многоугольников Клиффорда представляет собой дискретное расслоение Хопфа 120-клеточного (точно так же, как их 20 двойных колец по 30 ячеек являются дискретным расслоением 600-клеточного).
^ Jump up to: ^а ^б ^с Это √ 2 тетраэдрические ячейки из 75 вписанных 16-ячеек, а не √ тетраэдрические 0,𝚫 ячейки из 600-ячеек.
^ Jump up to: ^а ^б ‟Многоугольники Петри платонова тела $\{p,q\}$ соответствуют экваториальным многоугольникам усечения $\{{\tfrac {p}{q}}\}$ и экваторам симплициально разделенной сферической мозаики $\{p,q\}$ . Это « симплициальное подразделение » представляет собой расположение $g=g_{p,q}$ прямоугольные сферические треугольники, на которые сфера разложена плоскостями симметрии твердого тела. Большие круги, лежащие в этих плоскостях, раньше назывались «линиями симметрии», но, возможно, более яркое название — отражающие круги . Аналогичное симплициальное подразделение сферических сот. $\{p,q,r\}$ состоит из $g=g_{p,q,r}$ тетраэдры 0123, на которые гиперсфера (в евклидовом 4-мерном пространстве) разложена гиперплоскостями симметрии многогранника $\{p,q,r\}$ . Большие сферы, лежащие в этих гиперплоскостях, естественно называть отражающими сферами . Поскольку у ортосхемы нет тупых углов, она целиком содержит дугу, измеряющую абсолютно кратчайшее расстояние 𝝅/ h [между] 2 h -тетраэдрами, [которые] нанизаны, как бусины на ожерелье, или как «вращающееся кольцо тетраэдров». .. противоположные края которого являются образующими геликоида. Два противоположных края каждого тетраэдра связаны винтовым смещением. ^[быть] Следовательно, общее количество сфер равно 2 часам ». ^[66]
^ Jump up to: ^а ^б ^с расслоения Кольца параллельных ячеек Клиффорда могут быть или не быть хиральными объектами, в зависимости от того, имеют ли ячейки 4-многогранника противоположные грани или нет.Характерные клеточные кольца 16-клеточного и 600-клеточного (с тетраэдрическими ячейками) хиральны: закручиваются либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки.Изоклины, действующие либо с левой, либо с правой киральностью (не с обоими), проходят через клеточные кольца этого типа, хотя каждое расслоение содержит как левые, так и правые клеточные кольца. ^[ДК]Характерные клеточные кольца тессеракта, 24-клеточного и 120-клеточного (с кубическими, октаэдрическими и додекаэдрическими ячейками соответственно) прямо конгруэнтны, а не хиральны: в каждом из этих 4-многогранников существует только один тип характеристического клеточного кольца. и он не скручен (у него нет скручивания ).Через такие клеточные кольца проходят пары левых и правых изоклин.Обратите внимание, что все эти 4-многогранники (кроме 16-ячеечного) содержат расслоения характеристических клеточных колец своих вписанных предшественников в дополнение к своим собственным характеристическим расслоениям, поэтому 600-ячеечный содержит как хиральные, так и прямо конгруэнтные клеточные кольца.
^ Jump up to: ^а ^б Выбор разбиения правильного 4-многогранника на клеточные кольца произволен, поскольку все его ячейки одинаковы. Никакое конкретное расслоение не выделяется, если только 4-многогранник не вращается.При изоклинических вращениях один набор клеточных колец (одно расслоение) выделяется как уникальный контейнер этой отдельной пары лево-правых вращений и ее изоклин.
^ Jump up to: ^а ^б Единственный способ разбить 120 вершин 600-клеточного кольца на 4 полностью непересекающихся кольца по 30 вершин и 30 ячеек. ^{[объявление]} заключается в разделении каждой из 15 полностью непересекающихся 16-клеток аналогичным образом на 4 симметричные части: 4 пары противоположных вершин, лежащих на 4 ортогональных осях 16-клетки.600-ячейка содержит 75 отдельных 16-ячеек, которые можно разделить на наборы по 15 полностью непересекающихся 16-ячеек.В любом наборе из 4 полностью непересекающихся 30-клеточных колец имеется набор из 15 полностью непересекающихся 16-клеточных колец, причем в каждом 30-клеточном кольце находится одна ось каждой 16-клеточной.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Можно задаться вопросом, «всегда ли работает» размерная аналогия, или, возможно, это «просто догадка», которая иногда может быть неспособна создать правильную размерную аналогичную фигуру, особенно при рассуждении от низшего измерения к высшему. Очевидно, размерная аналогия в обоих направлениях имеет прочную математическую основу. Декант ^[41] вывели группы 4D-симметрии из их аналогов из 3D-групп симметрии путем индукции, продемонстрировав, что в 4D-симметрии нет ничего, что уже не присуще 3D-симметрии. Он показал, что ни 4D-симметрия, ни 3D-симметрия не являются более фундаментальными, чем другая, поскольку одна из них может быть выведена из другой. Это верно независимо от того, вычисляются ли размерные аналогии с использованием теории групп Кокстера или геометрической алгебры Клиффорда. Эти два довольно разных вида математики дают взаимодополняющие геометрические идеи. Другим глубоким примером математики размерной аналогии является расслоение Хопфа , отображение между точками на 2-сфере и непересекающимися (параллельными Клиффорда) большими кругами на 3-сфере.
^ В отличие от ограничивающих их десятиугольников, сами кольца из 20 ячеек не все являются клиффордовскими параллельными друг другу, потому что только полностью непересекающиеся многогранники являются клиффордовскими параллельными. ^[г]20 клеточных колец имеют 5 различных подмножеств из 4 параллельных клеточных колец Клиффорда.Каждое клеточное кольцо ограничено 3 параллельными клиффордовскими большими декагонами, поэтому каждое подмножество из 4 параллельных клиффордовских клеточных колец ограничено в общей сложности 12 параллельными клиффордовскими большими декагонами (дискретное расслоение Хопфа).Фактически каждое из 5 различных подмножеств 4 клеточных колец ограничено одними и теми же 12 параллельными большими десятиугольниками Клиффорда (то же самое расслоение Хопфа); Есть 5 разных способов рассматривать одни и те же 12 десятиугольников как набор из 4 клеточных колец (и, что эквивалентно, только один способ рассматривать их как один набор из 20 клеточных колец).
^ Обратите внимание, что спирали ячеек разного цвета представляют собой разные клеточные кольца (или кольцеобразные отверстия) в одном и том же слое, а не разные слои 4-многогранника.Каждое расслоение представляет собой весь 4-многогранник.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Можно сказать, что при двойном вращении каждая вершина движется одновременно по двум полностью ортогональным большим кругам, но она не остается в пределах центральной плоскости ни одного из этих исходных больших кругов; скорее, он движется по винтовой геодезической, которая проходит по диагонали между большими кругами.Две полностью ортогональные плоскости вращения называются инвариантными, поскольку точки в каждой из них остаются на своих местах в плоскости при движении плоскости , вращаясь и наклоняясь в сторону на угол, на который поворачивается другая плоскость.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Полюса инвариантной оси вращающейся 2-сферы по размерам аналогичны паре инвариантных плоскостей вращающейся 3-сферы. Полюса вращающейся 2-сферы по размерам аналогичны соединенным между собой большим кругам 3-сферы. По аналогии с размерностями, каждая одномерная точка в 3D поднимается до двумерной линии в 4D, в данном случае круга. ^[из] Два противоположных полюса вращения поднимаются к паре кольцевых волокон Хопфа, которые не просто параллельны и связаны между собой по Клиффорду. ^[из] но и полностью ортогональны . Инвариантные большие круги четырехмерного вращения являются его полюсами. В случае изоклинического вращения существует не просто одна такая пара 2D-полюсов (полностью ортогональные слои большого круга Хопфа), таких пар много: конечное число пар окружностей, если расслоение 3-сфер дискретно (например, правильный многогранник с конечным числом вершин), или же бесконечное число пар ортогональных окружностей, полностью заполняющих 3-сферу. Каждая точка в искривленном 3-пространстве 3-сферы лежит на одной такой окружности (никогда на двух, поскольку полностью ортогональные окружности, как и все слои большой окружности Хопфа, параллельные Клиффорду, не пересекаются). Там, где 2D-вращение имеет один полюс, а 3D-вращение 2-сферы имеет 2 полюса, изоклиническое 4D-вращение 3-сферы не имеет ничего, кроме полюсов , их бесконечное количество. В дискретном 4-многограннике все параллельные инвариантные большие многоугольники вращения Клиффорда являются полюсами и заполняют 4-многогранник, проходя через каждую вершину только один раз. За один полный оборот такого вращения каждая точка пространства ровно один раз проходит через свою полюсную окружность. Круги расположены с удивительной симметрией, так что каждый полюсный круг связан с каждым другим полюсным кругом , как максимально плотная ткань четырехмерной кольчуги , в которой все круги связаны друг с другом, но никакие два круга никогда не пересекаются.
^ 4 красных грани курносого тетраэдра соответствуют 4 полностью непересекающимся клеточным кольцам разреженной конструкции расслоения (его подрасслоения ).Красные грани сосредоточены на вершинах вписанного тетраэдра и лежат в центре больших граней вписывающего тетраэдра.
^ Jump up to: ^а ^б Поскольку октаэдр можно усечь, получив икосаэдр, ^[48] Другое название икосаэдра — курносый октаэдр .Этот термин относится конкретно к с более низкой симметрией (8 граней одного цвета и 12 — другого). расположению граней икосаэдра
^ Jump up to: ^а ^б ^с 120-точечная 600-ячеечная структура имеет 120 перекрывающихся икосаэдрических пирамид. ^[п]
^ Икосаэдр не является радиально равносторонним в евклидовом 3-мерном пространстве, но икосаэдрическая пирамида радиально равносторонняя в искривленном 3-мерном пространстве поверхности из 600 ячеек ( 3-сфера ). В четырехмерном пространстве 12 ребер, исходящих из ее вершины, на самом деле не являются ее радиусами: вершина икосаэдрической пирамиды на самом деле не ее центр, а всего лишь одна из ее вершин. Но в искривленном трехмерном пространстве ребра, исходящие симметрично от вершины, являются радиусами, поэтому икосаэдр в этом искривленном трехмерном пространстве радиально равносторонний . В евклидовом 4-мерном пространстве 24 ребра, симметрично исходящие из центральной точки, образуют радиально равносторонний 24-клеточный , а симметричное подмножество из 16 таких ребер образует радиально равносторонний тессеракт .
^ Ребро икосаэдра между двумя синими гранями окружено двумя ячейками икосаэдрической пирамиды с голубыми гранями и 3 ячейками из соседнего кластера из 5 ячеек (одна из которых является центральным тетраэдром из пяти)
^ Все пятиугольные пирамиды вокруг каждой вершины икосаэдра « курносого октаэдра » выглядят одинаково, с двумя желтыми и тремя синими гранями.Каждый пятиугольник имеет пять различных ориентаций вращения.Вращение любой пятиугольной пирамиды вращает их все, поэтому пять положений вращения — это единственные пять различных способов расположения цветов.
^ Обратите внимание, что сокращение является хиральным, поскольку есть два варианта диагонали, с которых можно начать складывать квадратные грани.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Пусть Q обозначает вращение, R — отражение, T — сдвиг, и пусть Q ^д Р ^р T обозначает произведение нескольких таких преобразований, все коммутативных друг с другом. Тогда RT — скользящее отражение (в двух или трёх измерениях), QR — вращательное отражение, QT — винтовое перемещение, а Q ² представляет собой двойное вращение (в четырех измерениях). Каждое ортогональное преобразование выражается как
вопрос ^д Р ^р
где 2 q + r ≤ n — количество измерений. Преобразования, связанные с переводом, выражаются как
вопрос ^д Р ^р Т
где 2 q + р + 1 ≤ n .
В частности, для n = 4 каждое перемещение представляет собой либо двойной поворот Q ²или винтовое смещение QT (где составляющая вращения Q представляет собой простое вращение). Каждое энантиоморфное преобразование в 4-пространстве (обращающее киральность) является QRT. ^[69]
^ Эти преобразования не входят в число ортогональных преобразований групп Кокстера, порожденных отражениями. ^[быть] Они представляют собой преобразования пиритоэдрической трехмерной группы симметрии , уникальной многогранной точечной группы, которая не является ни группой вращения, ни группой отражения. ^[53]
^ Существует вершинный икосаэдр. ^[п] внутри каждой центральной секции октаэдра с 24 ячейками (не внутри октаэдрической ячейки √ 1 , а в более крупном октаэдре √ 2 , лежащем в центральной гиперплоскости) и икосаэдре большего размера внутри каждого кубооктаэдра с 24 ячейками.Два икосаэдра разного размера представляют собой вторую и четвертую части 600-ячеечного (начинающегося с вершины) .Октаэдр и кубооктаэдр — центральные сечения 24-клетки (начинающиеся с вершины и начиная с ячейки соответственно). ^[50]Кубооктаэдр, большой икосаэдр, октаэдр и малый икосаэдр гнездятся, как матрешки , и связаны между собой винтовым сжатием. ^[51]Сокращение начинается с того, что квадратные грани кубооктаэдра складываются внутрь по диагоналям, образуя пары треугольников. ^[бн]12 вершин кубооктаэдра движутся навстречу друг другу до тех точек, где образуют правильный икосаэдр (большой икосаэдр); они немного сближаются друг с другом, пока не образуют икосаэдр Джессена ; они продолжают двигаться навстречу друг другу, пока не сольются в 8 вершин октаэдра; ^[52] и они продолжают двигаться по тем же винтовым траекториям, снова разделяясь на 12 вершин курносого октаэдра (малого икосаэдра). ^[с]Геометрия этой последовательности преобразований ^[бп] в С ³ аналогична кинематике кубооктаэдра и тенсегрити-икосаэдра в R ³. Скручивающие, расширяюще-сжимающие преобразования между этими многогранниками были названы преобразованиями Джиттербага Бакминстером Фуллером . ^[54]
^ Эти 12 ячеек соединены краями с центральной ячейкой, лицевой стороной с внешними гранями кластера из 5 и соединены лицевой стороной друг с другом попарно.Это клетки с голубыми лицами в шести различных икосаэдрических пирамидах, окружающих кластер из пяти.
^ Тетраэдр √ 1 имеет объем 9 √ 0 ,𝚫 тетраэдрических ячеек.В изогнутом трехмерном объеме из 600 ячеек он заключает в себе кластер из 5 ячеек, которые не заполняют его полностью.6 дипирамид (12 ячеек), помещающиеся в вогнутости кластера из 5 ячеек, переполняют его: только треть каждой дипирамиды лежит внутри тетраэдра √ 1 .Дипирамиды вносят в него по трети каждой из 12 ячеек, что соответствует объему, соответствующему 4 ячейкам.
^ 600-ячеечная структура также содержит 600 октаэдров . Первое сечение 600-ячейки, начинающееся с ячейки, тетраэдрическое, а третье сечение — октаэдрическое. Эти внутренние октаэдры не являются ячейками 600-ячеек, поскольку они не разделены по объему, но каждый из них является ячейкой одной из 25 внутренних 24-ячеек. 600-ячейка также содержит 600 кубов, каждый из которых является ячейкой одного из 75 внутренних 8-клеточных тессерактов. ^[ах]
^ Каждое √ 1 ребро октаэдрической ячейки представляет собой длинный диаметр другой тетраэдрической дипирамиды (еще две тетраэдрические ячейки, связанные гранями).В 24-ячеечной пирамиде каждое ребро окружено тремя октаэдрическими ячейками, поэтому одна треть дипирамиды лежит внутри каждого октаэдра, разделенная между двумя соседними вогнутыми гранями.Каждая вогнутая грань заполнена на одну шестую каждой из трех дипирамид, окружающих три ее края, поэтому она имеет такой же объем, как одна тетраэдрическая ячейка.
^ Октаэдрическая ячейка √ 1 (из любой 24-ячейки, вписанной в 600-ячейку) имеет шесть вершин, которые все лежат в одной гиперплоскости: они ограничивают октаэдрическое сечение (плоский трехмерный срез) 600-ячейки.Один и тот же √ 1 октаэдр, заполненный 25 тетраэдрическими ячейками, имеет всего 14 вершин, лежащих в трех параллельных трехмерных сечениях 600-ячейки: 6-точечном √ 1 октаэдре, 4-точечном √ 1 тетраэдрическом сечении и 4-точечное √ 0,𝚫 тетраэдрическое сечение.В искривленном трехмерном пространстве поверхности из 600 ячеек октаэдр √ 1 окружает тетраэдр √ 1, который окружает тетраэдр √ 0,𝚫 , как три концентрические оболочки.Этот 14-вершинный 4-многогранник представляет собой 4-пирамиду с правильным основанием октаэдра: не каноническую октаэдрическую пирамиду с одной вершиной (которая имеет всего 7 вершин), а неправильную усеченную октаэдрическую пирамиду. Поскольку ее основанием является правильный октаэдр, который представляет собой октаэдрическую ячейку с 24 ячейками, эта 4-пирамида лежит на поверхности 24-ячеечной пирамиды.
^ Вершина канонической √ 1 октаэдрической пирамиды была усечена до правильной тетраэдрической ячейки с более короткими √ 0,𝚫 ребрами, а вершина заменена четырьмя вершинами.Усечение также создало еще четыре вершины (расположенные в виде тетраэдра √ 1 в гиперплоскости между основанием октаэдра и вершиной тетраэдрической ячейки) и связало эти восемь новых вершин с √ 0,𝚫 ребрами .Таким образом, усеченная пирамида имеет восемь вершин-вершин над гиперплоскостью ее октаэдрического основания, а не только одну вершину: всего 14 вершин.Исходная пирамида имела плоские стороны: пять геодезических маршрутов от любой базовой вершины к противоположной базовой вершине проходили вдоль двух √ 1 ребер (и только один из этих маршрутов проходил через единственную вершину).Усеченная пирамида имеет закругленные стороны: пять геодезических маршрутов от любой вершины основания к противоположной вершине основания проходят по трем √ 0,𝚫 ребрам (и проходят через две «вершины»).
^ Однородные 4-многогранники, на которые наиболее похож этот неправильный 4-многогранник с 14 вершинами и 25 ячейками, могут быть выпрямленным 5-клеточным многогранником с 10 вершинами и 10 ячейками и его двойником (он имеет характеристики обоих).
^ Jump up to: ^а ^б Как может неровный квадрат «яичного ящика» из 100 тетраэдров лежать на гладкой поверхности тора Клиффорда? ^{[компакт-диск]} Но как плоский квадрат 10x10 может представлять собой 120-вершинную 600-ячейку (где остальные 20 вершин)? При изоклиническом вращении 600-ячейки в инвариантных плоскостях большого декагона тор Клиффорда представляет собой гладкую евклидову 2-поверхность , которая пересекает средние края ровно 100 тетраэдрических ячеек. Ребра – это то, чего у тетраэдров 6. Средние ребра не являются вершинами 600-ячеечного многогранника, но все они являются 600 вершинами его двойственного многогранника равного радиуса, 120-ячеечного. В 120-ячейку вписаны 5 непересекающихся 600-ячеек, двумя разными способами. Этот отчетливый гладкий тор Клиффорда (это вращение) представляет собой дискретное расслоение 120 ячеек в 60 инвариантных плоскостях декагона и дискретное расслоение 600 ячеек в 12 инвариантных плоскостях декагона.
^ Jump up to: ^а ^б Кольцевые промежутки между икосаэдрами заполнены кольцом из 10 тетраэдров, соединенных гранями, которые встречаются в вершине, где встречаются два икосаэдра.Это кольцо из 10 ячеек имеет форму пятиугольной антипризмы , выдолбленной как чаша с верхней и нижней сторон, так что в центре оно имеет нулевую толщину.Эта центральная вершина, как и все другие вершины 600-ячеистой ячейки, сама является вершиной икосаэдрической пирамиды, где встречаются 20 тетраэдров. ^[bj]Следовательно, кольцевое кольцо из 10 тетраэдров само по себе является экваториальным кольцом икосаэдрической пирамиды, содержащим 10 из 20 ячеек ее икосаэдрической пирамиды.
^ Поверхность со 100 гранями столбца из 150 ячеек с треугольной гранью можно разрезать ножницами вдоль по пути 10 ребер, очистить и уложить ровно в виде параллелограмма треугольников 10 × 10.
^ Поскольку поверхность тора со 100 гранями попеременно выпуклая и вогнутая, 100 тетраэдров укладываются на нее парами, связанными гранями, как 50 треугольных бипирамид , которые имеют одну общую приподнятую вершину и закрывают один ранее обнаженный край долины.Треугольные бипирамиды связаны друг с другом вершинами в 5 параллельных линиях по 5 бипирамид (10 тетраэдров) в каждой, которые проходят прямо вверх и вниз по внешней поверхности столбца из 150 ячеек.
^ 5 декагонов спирали по часовой стрелке и 5 спиралей против часовой стрелки, пересекающиеся друг с другом в 50 вершинах долины.
^ Jump up to: ^а ^б — Тор Клиффорда это расслоение Хопфа определенного изоклинического вращения жесткой трехмерной сферы , включающее все ее точки. Тор , встроенный в четырехмерное пространство , как и двойное вращение, является декартовым произведением двух полностью ортогональных больших кругов . Это пончик с начинкой, а не кольцевой пончик; в 3-сфере нет дырок, кроме окружающего ее 4-шара . Правильный 4-многогранник имеет различное число характеристических торов Клиффорда, поскольку он имеет различное число характеристических вращательных симметрий. Каждый образует дискретное расслоение, которое достигает всех дискретных точек по одному разу в изоклиническом вращении с отдельным набором пар полностью ортогональных инвариантных плоскостей.
^ Тот же 10-гранный пояс икосаэдрической пирамиды представляет собой кольцевое кольцо из 10 тетраэдров вокруг вершины. ^[бз]
^ Jump up to: ^а ^б ^с из 600 ячеек Многоугольник Петри представляет собой косой триаконтагон {30} . В ортогональной проекции ее можно рассматривать как окружность триаконтаграммы спирали {30/3}=3{10} , которая делает зигзаги на 60° влево и вправо, соединяя пространство между тремя параллельными Клиффордом большими декагонами кольца из 30 ячеек. . В полностью ортогональной плоскости он проецируется на правильную триаконтаграмму {30/11} . ^[62]
^ Jump up to: ^а ^б 30 вершин кольца тройной спирали Бурдейка–Коксетера лежат в трех декагональных центральных плоскостях, которые пересекаются только в одной точке (центре 600-ячейки), хотя они не являются полностью ортогональными или вообще ортогональными: они ⁠ $π$ / 5 ⁠ друг от друга. ^[в]Их десятиугольные большие круги параллельны Клиффорду: в каждой точке расстояние между ребрами составляет 600 ячеек. ^[из]Это обычные двумерные большие круги, а не спирали, но они соединены параллельными кругами Клиффорда.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Изоклинические геодезические — это 4-мерные большие круги в том смысле, что они представляют собой 1-мерные геодезические линии , которые изгибаются в 4-мерном пространстве одновременно в двух полностью ортогональных плоскостях.Их не следует путать с большими 2-сферами . ^[73] которые являются 4-мерными аналогами ^{[до н. э.]} двумерных больших кругов в трехмерном пространстве (большие 1-сферы).
^ 20 колец по 30 ячеек являются хиральными объектами; они либо вращаются по часовой стрелке (справа), либо против часовой стрелки (слева).Тор из 150 ячеек (образованный пятью непересекающимися по ячейкам 30-клеточными кольцами одинаковой киральности, окружающими большой десятиугольник) сам по себе не является киральным объектом, поскольку его можно разложить либо на пять параллельных левых колец, либо на пять параллельных правых колец. вручил кольца.В отличие от колец из 20 ячеек, торы из 150 ячеек прямо конгруэнтны без скручивания , как и октаэдрические 6-клеточные кольца 24-клеток .Каждый большой декагон окружен пятью левыми кольцами из 30 ячеек, а также пятью окружающими его правыми кольцами из 30 ячеек; но левые и правые 30-клеточные кольца не являются клеточно-непересекающимися и принадлежат разным различным вращениям: левым и правым вращениям одного и того же расслоения.При любом изоклиническом вращении (влево или вправо) вершины 600-клеточного кольца движутся вдоль осевых 15-граммовых изоклин 20 левых 30-клеточных колец или 20 правых 30-клеточных колец.Таким образом, большие декагоны, кольца из 30 ячеек и торы из 150 ячеек представляют собой наборы параллельных взаимосвязанных кругов Клиффорда. ^[из] хотя точный способ их вложения вместе, избегания пересечения друг друга и прохождения друг через друга, образуя зацепление Хопфа , не идентичен для этих трех различных типов параллельных многогранников Клиффорда , отчасти потому, что связанные пары в различных случаях не обладают присущей им киральностью ( декагоны), одинаковая хиральность (кольца из 30 ячеек) или отсутствие чистого скручивания и как левая, так и правая внутренняя организация (торы из 150 ячеек), но прослеживается одна и та же хиральность внутренней организации при любом отчетливом вращении влево или вправо.
^ Точка на карте икосаэдра Хопфа. ^[из] декагональное расслоение 600-клеток поднимается до большого декагона; треугольное лицо переходит в кольцо из 30 ячеек; а пятиугольная пятигранная пирамида поднимается до тора из 150 ячеек. ^[58] При разложении большой антипризмы два полностью непересекающихся тора из 150 ячеек поднимаются из противоположных пятиугольников, оставляя между ними экваториальное кольцо из 10 граней икосаэдра: декагон Петри из 10 треугольников, которые поднимаются до 10 колец по 30 ячеек. Два полностью непересекающихся 150-клеточных тора содержат 12 непересекающихся (параллельных Клиффорда) декагонов и все 120 вершин, поэтому они составляют полное расслоение Хопфа; для более 150-клеточных торов такого типа нет места. Чтобы получить разложение 600-ячеечного тора на четыре тора по 150 ячеек такого типа, икосаэдрическую карту необходимо разложить на четыре пятиугольника с центрами в вершинах вписанного тетраэдра, а икосаэдр не может быть разложен таким образом.
^ Jump up to: ^а ^б ( Коксетер 1973 ) использует греческую букву 𝝓 (фи) для обозначения одного из трех характеристических углов 𝟀, 𝝓, 𝟁 правильного многогранника. Поскольку 𝝓 обычно используется для обозначения константы золотого сечения ≈ 1,618, для которой Коксетер использует 𝝉 (тау), мы переворачиваем соглашения Кокстера и используем 𝝉 для обозначения характеристического угла.
^ Четыре ребра каждой 4-ортосхемы, которые встречаются в центре правильного 4-многогранника, имеют неравную длину, поскольку они представляют собой четыре характерных радиуса правильного 4-многогранника: радиус вершины, радиус центра ребра, грань радиус центра и радиус центра ячейки.Пять вершин 4-ортосхемы всегда включают одну вершину правильного 4-многогранника, один центр ребра правильного 4-многогранника, один центр грани правильного 4-многогранника, один центр ячейки правильного 4-многогранника и центр правильного 4-многогранника.Эти пять вершин (именно в этом порядке) составляют путь вдоль четырех взаимно перпендикулярных ребер (что делает три поворота под прямым углом), что является характерной чертой 4-ортосхемы.4-ортосхема имеет пять различных граней 3-ортосхемы.
^ Отражающая поверхность (3-мерного) многогранника состоит из 2-мерных граней; отражающая поверхность (4-мерного) полихорона состоит из 3-мерных ячеек.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Изоклинический поворот на 36° — это два простых поворота на 36° одновременно. ^[дв] Он перемещает все вершины на 60° одновременно в разных направлениях. Пятнадцать последовательных диагональных приращений вращения, по 36 ° × 36 ° каждый, перемещают каждую вершину на 900 ° через 15 вершин на двойной петле Мёбиуса с окружностью 5𝝅, называемой изоклиной , обвивая 600-ячейку и возвращаясь к исходной точке, за один раз. В полтора раза меньше времени (15 приращений вращения), чем потребовалось бы при простом вращении, чтобы один раз обойти вершину вокруг 600-ячейки обычного большого круга {10} (с 10 приращениями вращения). ^[КС] Винтовая двойная изоклина 5𝝅 — это особый вид одиночного полного круга с периодом 1,5 (15 хорд вместо 10), как у простого большого круга. Изоклина — это одна истинная окружность, такая же идеально круглая и геодезическая, как и простой большой круг, даже несмотря на то, что ее хорды на φ длиннее, ее длина равна 5𝝅 вместо 2𝝅, она вращается в четырех измерениях вместо двух и действует в двух киральных формах. (слева и справа), хотя все такие круги одной и той же окружности прямо конгруэнтны. Тем не менее, чтобы избежать путаницы, мы всегда называем его изоклиной и оставляем термин «большой круг» для обычного большого круга на плоскости. ^[к]
^ Jump up to: ^а ^б 600-ячейка имеет 7200 различных вращательных смещений, каждое из которых имеет свою инвариантную плоскость вращения. 7200 различных центральных плоскостей могут быть сгруппированы в наборы параллельных инвариантных плоскостей вращения Клиффорда, состоящих из 25 различных изоклинических вращений, и обычно представляются как эти наборы. ^[75]
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Любое двойное вращение (включая изоклиническое вращение) можно рассматривать как композицию двух простых вращений a и b : левого двойного вращения как a, затем b , и правого двойного вращения как b, затем a .Простые вращения не коммутативны; вращение влево и вправо (в целом) достигает разных пунктов назначения.Разница между двойным вращением и двумя составляющими его простыми вращениями заключается в том, что двойное вращение является четырехмерно диагональным: каждая движущаяся вершина достигает своего пункта назначения напрямую, не проходя через промежуточную точку, к которой прикасается a, а затем b , или другую промежуточную точку, к которой прикасается b. затем a , вращаясь по одной винтовой геодезической (так что это кратчайший путь). ^[бф]И наоборот, любое простое вращение можно рассматривать как композицию двух равноугловых двойных вращений (левое изоклиническое вращение и правое изоклиническое вращение), как обнаружил Кэли ; Возможно, это удивительно, но эта композиция коммутативна и возможна также для любого двойного вращения. ^[72]
^ Jump up to: ^а ^б Изоклинические вращения переводят каждую вершину в несмежную вершину, расположенную на расстоянии не менее двух длин ребра.В характерных изоклинических вращениях 5-ячеечного, 16-ячеечного, 24-ячеечного и 600-ячеечного несмежная вершина находится на расстоянии ровно двух длин ребра вдоль одного из нескольких геодезических маршрутов большого круга: противоположная вершина соседнего круга. клетка.В 8-клетке она находится на расстоянии трех зигзагообразных ребер в той же ячейке: противоположная вершина куба. В ячейке со 120 ячейками она находится на расстоянии четырех зигзагообразных ребер в той же ячейке: противоположная вершина додекаэдра.
^ Jump up to: ^а ^б ^с При изоклиническом вращении каждая точка в любом месте 4-мерного многогранника перемещается на одинаковое расстояние одновременно в четырех ортогональных направлениях по 4-мерной диагонали . ^[к]Точка смещается на общее пифагорово расстояние, равное квадратному корню из четырехкратного квадрата этого расстояния.Все вершины смещаются к вершине, расположенной на расстоянии не менее двух длин ребра. ^[кк]Например, когда ячейка с единичным радиусом 600 изоклинически вращается на 36 градусов в инвариантной плоскости десятиугольника и на 36 градусов в ее полностью ортогональной инвариантной плоскости, ^[ан] каждая вершина перемещается в другую вершину, отстоящую на √ 1 (60 °), перемещаясь на √ 1/4 = 1/2 единичного радиуса в четырех ортогональных направлениях.
^ Jump up to: ^а ^б ^с 600-ячеечной Поскольку спиральная геодезическая пентадекаграмма ₂ геодезической изогнута в скрученное кольцо в четвертом измерении, как лента Мёбиуса , ее винтовая резьба удваивается поперек себя после каждого оборота, даже не меняя направления вращения (влево или вправо).Изоклинический путь с 30 вершинами следует двойной петле Мёбиуса, образуя единственную непрерывную петлю с 15 вершинами, проходимую за два оборота.Спираль Мёбиуса представляет собой геодезическую «прямую линию» или изоклину .Изоклина соединяет вершины косой полиграммы с более низкой частотой (более длинной волной), чем многоугольник Петри.Триаконтагон Петри имеет √ 0,𝚫 ребер; изоклиническая пентадекаграмма ₂ имеет √ 1 ребер, которые соединяют вершины, находящиеся на расстоянии двух √ 0,𝚫 ребер друг от друга.Каждое ребро √ 1 принадлежит отдельному большому шестиугольнику , а последующие ребра √ 1 принадлежат разным 24-клеткам, поскольку изоклиническое вращение переводит шестиугольники в параллельные шестиугольники Клиффорда и проходит через последовательные параллельные 24-клетки Клиффорда.
^ Jump up to: ^а ^б Все изоклины являются геодезическими , а изоклины в 3-сфере представляют собой круги (одинаково изогнутые в каждом измерении), но не все изоклины в 3-многообразиях в 4-мерном пространстве являются кругами.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Изоклинические вращения ^[к] разделить 600 ячеек (и 120 вершин) 600-ячейки на два непересекающихся подмножества по 300 ячеек (и 60 вершин), четных и нечетных (или черных и белых), которые смещаются местами между собой на черных или белых изоклинах, в способом, аналогичным по размерам ^{[до н. э.]} к тому, как диагональные ходы слонов ограничивают их белыми или черными клетками шахматной доски . ^[из] Черное и белое подмножества также разделены между черными и белыми инвариантными многоугольниками большого круга изоклинического вращения. При дискретном вращении (как в 4-многограннике с конечным числом вершин) черное и белое подмножества соответствуют наборам вписанных больших многоугольников {p} в инвариантные многоугольники большого круга {2p}. Например, в 600-ячейке черный и белый большой пятиугольник {5} вписаны в инвариант большого декагона {10} характерного декагонального изоклинического вращения. Важно отметить, что черно-белая пара многоугольников {p} одного и того же изоклинического вращения никогда не вписывается в один и тот же многоугольник {2p}; в каждый инвариантный многоугольник {2p} всегда вписан черный и белый многоугольники {p}, но они принадлежат разным изоклиническим вращениям: левому и правому вращениям одного и того же фибратона, которые имеют один и тот же набор инвариантных плоскостей. Черные (белые) изоклины пересекают только черные (белые) большие многоугольники {p}, поэтому каждая вершина либо черная, либо белая.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Траекторию хорды изоклины можно назвать многоугольником Клиффорда 4-многогранника , поскольку это косая многоугольная форма кругов вращения, через которые проходят вершины 4-многогранника в его характерном смещении Клиффорда . ^[86]Изоклина представляет собой спиральную двойную петлю Мёбиуса, которая дважды меняет свою киральность в ходе полного двойного контура.Обе петли полностью содержатся в одном и том же кольце ячеек , где они оба следуют хордам, соединяющим четные (нечетные) вершины: обычно противоположные вершины соседних ячеек, расположенные на расстоянии двух ребер друг от друга. ^[с]Обе «половинки» двойной петли проходят через каждую ячейку клеточного кольца, но пересекают только две четные (нечетные) вершины в каждой четной (нечетной) ячейке.Каждая пара пересекающихся вершин в четной (нечетной) ячейке лежит друг напротив друга на ленте Мёбиуса на расстоянии ровно одного ребра.Таким образом, через каждую ячейку проходят две спирали, являющиеся параллелями Клиффорда. ^[из] противоположной киральности в каждой паре параллельных точек.В глобальном масштабе эти две спирали представляют собой единый связный круг обеих киральности, ^[сп] без чистого кручения .Изоклина действует как левая (или правая) изоклина при прохождении через левое (или правое) вращение (различных расслоений).
^ Jump up to: ^а ^б Изоклины на 3-сфере встречаются в непересекающихся парах четности/нечетности координат. ^[с]Одна черная или белая изоклина образует петлю Мёбиуса, называемую торическим узлом {1,1} или кругом Вильярсо. ^[74] в котором каждый из двух «кругов», соединенных в петлю Мёбиуса «восьмерка», проходит через все четыре измерения. ^{[резюме]}Двойная петля представляет собой настоящий круг в четырех измерениях. ^[сп]Четные и нечетные изоклины также связаны не петлей Мёбиуса, а звеном Хопфа двух непересекающихся окружностей. ^[из] как и все параллельные изолинии Клиффорда расслоения Хопфа .
^ Jump up to: ^а ^б Вращение в четырехмерном пространстве полностью характеризуется выбором инвариантной плоскости, а также угла и направления (влево или вправо), на которые она вращается, а также другого угла и направления, на которые вращается ее одна полностью ортогональная инвариантная плоскость.Два вращательных смещения идентичны, если они имеют одну и ту же пару инвариантных плоскостей вращения на одни и те же углы в одних и тех же направлениях (и, следовательно, также одно и то же киральное спаривание направлений).Таким образом, общее вращение в 4-мерном пространстве — это двойное вращение , характеризующееся двумя углами.Простое вращение — это особый случай, в котором один из углов поворота равен 0. ^[сп]Изоклиническое вращение — это особый случай, похожий, но не идентичный двум простым поворотам на один и тот же угол. ^[к]
^ Jump up to: ^а ^б ^с В каждом простом вращении существует одна инвариантная плоскость и полностью ортогональная фиксированная плоскость. В каждом изоклиническом вращении существует бесконечное количество пар полностью ортогональных инвариантных плоскостей, вращающихся на один и тот же угол; ^[бг] тем не менее, не все центральные плоскости являются инвариантными плоскостями вращения .Инвариантные плоскости изоклинического вращения составляют расслоение всего 4-многогранника. ^[77]При каждом изоклиническом вращении 600-ячейки, переводящем вершины в вершины, либо 12 параллельных больших десятиугольников Клиффорда , либо 20 параллельных больших шестиугольников Клиффорда , либо 30 параллельных больших квадратов Клиффорда являются инвариантными плоскостями вращения.
^ При изоклиническом вращении каждая инвариантная плоскость является Клиффордом, параллельной плоскости, в которую она движется, и они никогда не пересекаются (кроме центральной точки). При простом вращении инвариантная плоскость пересекает плоскость, в которую она движется, по линии, и перемещается к ней, вращаясь вокруг этой линии.
^ При Клиффорда смещении , также известном как изоклиническое вращение , все параллельные Клиффорда ^[из] инвариантные плоскости ^[си] смещены сразу в четырех ортогональных направлениях (две совершенно ортогональные плоскости): они повернуты на один и тот же угол и в то же время наклонены вбок на тот же угол. Смещение Клиффорда диагональным является четырехмерным . ^[кр]Каждая плоскость, параллельная по Клиффорду одной из полностью ортогональных плоскостей, инвариантна относительно изоклинического вращения: все точки в плоскости вращаются по кругу, но остаются в плоскости, даже если вся плоскость вращается вбок. ^[ru]Все центральные многоугольники (любого типа) вращаются на один и тот же угол (хотя не все делают это инвариантно), а также смещаются вбок на один и тот же угол к параллельному многоугольнику Клиффорда (того же типа).
^ Три 16-ячейки в 24-ячейке повернуты на 60 ° ( ⁠ 𝜋 / 3 ⁠ ) изоклинически относительно друг друга.Поскольку изоклиническое вращение — это вращение в двух полностью ортогональных плоскостях одновременно, это означает, что их соответствующие вершины равны 120 ° ( ⁠ 2𝜋 / 3 ⁠ ) отдельно.В 4-многограннике единичного радиуса вершины, расположенные на расстоянии 120° друг от друга, соединены хордой √ 3 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Любое изоклиническое вращение ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ в декагональных инвариантных плоскостях ^[Из] принимает каждый центральный многоугольник , кольцо геодезических ячеек или вписанный 4-многогранник ^[ф] в 600-ячеечном параллельном многограннике Клиффорда ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ отсюда.
^ Jump up to: ^а ^б Пять 24-клеток встречаются в каждой вершине 600-ячейки. ^[я] таким образом, существует четыре разных направления, в которых вершины могут двигаться, чтобы вращать 24-ячейку (или все 24-ячейку одновременно при изоклиническом вращении). ^{[постоянный ток]}) непосредственно к соседней 24-клетке.
^ Jump up to: ^а ^б Непересекающаяся 24-ячейка , достигнутая в результате изоклинического вращения, не является ни одной из четырех соседних 24-клеток; двойное вращение ^[cx] проходит мимо (не через) соседнюю 24-ячейку, к которой он вращается, ^[дд] и влево или вправо к более удаленной 24-клетке, с которой она полностью не пересекается. ^[г]Четыре направления достигают 8 различных 24-клеток. ^[д] потому что при изоклиническом вращении каждая вершина движется по спирали сразу по двум совершенно ортогональным большим окружностям.Четыре пути имеют правую резьбу (как и большинство винтов и болтов) и движутся по окружностям в «одних и тех же» направлениях, а четыре — с левой резьбой (как у болта с обратной резьбой), перемещаясь по окружностям в том направлении, которое мы условно скажем, являются «противоположными» направлениями (согласно правилу правой руки , согласно которому мы условно говорим, какой путь находится «вверх» на каждой из 4 координатных осей). ^[78]
^ Все изоклинические многоугольники являются параллелями Клиффорда (полностью непересекающимися). ^[г]Многогранники (3-многогранники) и полихоры (4-многогранники) могут быть изоклиническими и не пересекающимися, если все соответствующие им центральные многоугольники либо параллельны по Клиффорду, либо соклеточны (в одной и той же гиперплоскости), либо совпадают (один и тот же объект, общий).Например, ячейки с 24, 600 и 120 ячейками содержат пары вписанных тессерактов (8 ячеек), которые изоклинически повернуты ⁠ 𝜋 / 3 ⁠ по отношению друг к другу, но не не пересекаются: они имеют общую 16-клеточную структуру (8 вершин, 6 больших квадратов и 4 октаэдрические центральные гиперплоскости), а некоторые соответствующие пары их больших квадратов являются коклеточными (пересекающимися), а не чем параллель Клиффорда (непересекающаяся).
^ Jump up to: ^а ^б ^с В каждой вершине 600-ячейки имеется четыре смежных (непересекающихся) ^[г] 24 ячейки, до каждой из которых можно добраться простым вращением в этом направлении. ^[дд]Каждая 24-ячейка имеет четыре больших шестиугольника, пересекающихся в каждой из ее вершин, один из которых является общим с каждой из соседних 24-клеток; при простом вращении шестиугольная плоскость остается неподвижной (ее вершины не перемещаются), а 600-ячейка вращается вокруг общей шестиугольной плоскости.Всего 24-клетка имеет 16 больших шестиугольников, поэтому она смежна (непересекающаяся) с 16 другими 24-клетками. ^[д]Помимо того, что достижимо простым вращением, до каждого из 16 объектов можно также добраться изоклиническим вращением, при котором общая шестиугольная плоскость не фиксирована : она вращается (неинвариантно) через ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ .Двойное вращение достигает соседней 24-клетки напрямую, как бы косвенно, посредством двух последовательных простых вращений: ^[сп] сначала в одну из других соседних 24-ячеек, а затем в целевую 24-ячейку (смежную с ними обеими).
^ Jump up to: ^а ^б В ячейке с 600 ячейками существует простой поворот , который переносит любую вершину непосредственно в любую другую вершину, а также перемещает большинство или все остальные вершины, но оставляет фиксированными не более 6 других вершин (вершины, которые пересекает фиксированная центральная плоскость).Вершина движется по большому кругу в инвариантной плоскости вращения между соседними вершинами большого десятиугольника, большого шестиугольника, большого квадрата или большого двуугольника . ^[В] и полностью ортогональная фиксированная плоскость пересекает 0 вершин (30-угольник), ^[ан] 2 вершины (двуугольник), 4 вершины (квадрат) или 6 вершин (шестиугольник) соответственно.Две непересекающиеся 24-клетки связаны простым вращением через ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ центральной плоскости двуугольника, полностью ортогональной их общей шестиугольной центральной плоскости.При этом простом вращении шестиугольник не перемещается.Две непересекающиеся 24-ячейки также связаны изоклиническим вращением, при котором общая шестиугольная плоскость действительно перемещается. ^[дг]
^ Любое изоклиническое вращение в декагональной инвариантной плоскости является изоклиническим вращением в 24 инвариантных плоскостях: 12 параллельных декагональных плоскостях Клиффорда, ^[си] и 12 параллельных Клиффорду 30-угольных плоскостей, полностью ортогональных каждой из этих десятиугольных плоскостей. ^[ан]Поскольку инвариантные плоскости вращаются одновременно в двух полностью ортогональных направлениях, ^[бф] все точки в плоскостях движутся вместе с ними (остаются в своих плоскостях и вращаются вместе с ними), описывая винтовые изоклины ^[к] через 4-пространство.Однако обратите внимание, что в дискретном декагональном слое 600-ячеек (где 120 вершин являются единственными рассматриваемыми точками) 12 30-угольных плоскостей не содержат точек.
^ Jump up to: ^а ^б Обратите внимание на кажущееся несоответствие вращающихся шестиугольников . ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ , поскольку только их противоположные вершины являются целыми кратными ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ друг от друга.Однако вспомните , что вершины с 600 ячейками, которые находятся на расстоянии одного ребра шестиугольника, находятся друг от друга ровно на два ребра декагона и две тетраэдрические ячейки (одна треугольная дипирамида).Шестиугольники имеют свои собственные 10 дискретных расслоений и клеточные кольца , не параллельные десятиугольным расслоениям по Клиффорду , но также по пятёркам. ^[к] в том, что пять 24-клеток встречаются в каждой вершине, причем каждая пара делит шестиугольник. ^[я]Каждый шестиугольник вращается неинвариантно на ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ в гексагональном изоклиническом вращении между непересекающимися 24-ячейками. ^[дг] И наоборот, во всех ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ изоклинические вращения в декагональных инвариантных плоскостях , все вершины перемещаются по изоклинам ^[к] которые следуют за краями шестиугольников .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Каждая изоклина не имеет присущей ей киральности, но может действовать как левая или правая изоклина; его разделяют отчетливое левое вращение и отчетливое правое вращение разных расслоений.
^ Jump up to: ^а ^б Аналогичные отношения между тремя видами изоклинических вращений {2p} в параллельных пучках Клиффорда инвариантных плоскостей большого многоугольника {4}, {6} или {10} соответственно лежат в основе сложных вложенных отношений между регулярными выпуклыми 4- многогранники . ^[а]В поворотах √ 1 шестиугольника {6}, характерных для 24-клеток , хорды изоклины (ребра полиграммы) представляют собой просто √ 3 хорды большого шестиугольника, поэтому простое вращение шестиугольника {6} и изоклиническая гексаграмма {6/2} вращение оба вращают круги из 6 вершин.Изоклина гексаграммы, особый вид большого круга, имеет длину окружности 4𝝅 по сравнению с большим кругом шестиугольника 2𝝅. ^[дк]Инвариантная центральная плоскость, полностью ортогональная каждому большому шестиугольнику {6}, представляет собой большой двуугольник {2}, ^[В] поэтому изоклиническое {6} вращение гексаграмм также является {2} вращением осей . ^[д]При поворотах √ 2 квадрата {4}, характерных для 16-клеток , полиграмма изоклины представляет собой октаграмму , а хорды изоклины — это ее √ 2 ребра и √ 4 диаметра, поэтому изоклина представляет собой круг окружности 4. При изоклиническом вращении восемь вершин октаграммы {8/3} меняются местами, каждая совершая один полный оборот на 720 °, когда изоклина обвивает трижды 3-сферу.Инвариантная центральная плоскость, полностью ортогональная каждому большому квадрату {4}, представляет собой другой большой квадрат {4}, расположенный на расстоянии √ 4 , поэтому вправо поворот квадратов влево {4} также является поворотом квадратов {4}. с 16 ячейками, Двойственный многогранник 8 -клеточный тессеракт, наследует те же простые вращения {4} и изоклинические вращения {8/3}, но его характерное изоклиническое вращение происходит в полностью ортогональных инвариантных плоскостях, которые содержат большой прямоугольник {4} или { 2} большой дигон (от его преемника 24-клеточного). В 8-ячейке это вращение √ 1 × √ 3 больших прямоугольников, а также вращение √ 4 осей, но это такое же изоклиническое вращение, как и характерное для 24-ячейки вращение {6} больших шестиугольников (в котором вписаны большие прямоугольники), как следствие того уникального обстоятельства, что 8- и 24-элементные имеют одинаковую длину края .В поворотах декагона {10} √ 0,𝚫 , характерных для 600-ячейки изоклины , хорды представляют собой √ 1 шестиугольника ребра , полиграмма изоклины представляет собой пентадекаграмму, а длина изоклины равна 5. ^[сп]Изоклиническое вращение пентадекаграммы {15/2} вращает круг из {15} вершин за то же время, что и простое вращение десятиугольника из {10} вершин.Инвариантная центральная плоскость, полностью ортогональная каждому большому десятиугольнику {10}, представляет собой большой 0-угольник {0}, ^[ал] поэтому поворот десятиугольников {10} также является поворотом {0} плоскостей, не содержащих вершин.Двойной многогранник из 600 ячеек, 120-ячеечный, наследует те же простые {10} и изоклинические вращения {15/2}, но его характерное изоклиническое вращение происходит в полностью ортогональных инвариантных плоскостях, которые содержат {2} больших двуугольников (от его преемника 5-клеточный). ^{[доктор]} Это вращение неправильных больших шестиугольников {6} с двумя чередующимися длинами ребер (аналогично большим прямоугольникам тессеракта), где два ребра разной длины представляют собой три ребра по 120 ячеек и три ребра по 5 ячеек .
^ Каждое дискретное расслоение регулярного выпуклого 4-многогранника характеризуется уникальной парой изоклинических вращений слева направо и уникальным пучком многоугольников {2p} большого круга (0 ≤ p ≤ 5) в инвариантных плоскостях этой пары вращений. .Каждое отдельное вращение имеет уникальный набор левых (или правых) многоугольников {p}, вписанных в многоугольники {2p}, и уникальный набор косых полиграмм {2p}, которые являются его дискретными левыми (или правыми) изоклинами.Полигоны {p} объединяют полиграммы {2p} в пучок, и наоборот.
^ Существует шесть конгруэнтных десятиугольных расслоений 600-ячеистой ячейки. Выбор одного декагонального расслоения означает выбор пучка из 12 прямо конгруэнтных параллельных больших десятиугольных кругов Клиффорда и набора из 20 прямо конгруэнтных колец из 30 ячеек, которые образуют мозаику из 600 ячеек. Расслоение и его большие круги не являются киральными, но имеют отдельные левые и правые выражения в паре левых и правых изоклинических вращений. При правом (левом) вращении вершины движутся вдоль правого (левого) расслоения Хопфа параллельных изоклин Клиффорда и пересекают правый (левый) расслоение Хопфа параллельных больших пятиугольников Клиффорда.Кольца из 30 ячеек — единственные хиральные объекты, кроме пучков изоклин или пятиугольников. ^[82]Правый (левый) пучок пятиугольников содержит 12 больших пятиугольников, вписанных в 12 параллельных больших десятиугольников Клиффорда .Правый (левый) пучок изоклин содержит 20 параллельных пентадекаграмм Клиффорда, по одной в каждом 30-клеточном кольце.
^ Композиция двух простых поворотов на 60 ° в паре полностью ортогональных инвариантных плоскостей представляет собой изоклинический поворот на 60 ° в четырех парах полностью ортогональных инвариантных плоскостей. ^[сп] Таким образом, изоклиническое вращение представляет собой смесь четырех простых вращений, и все 24 вершины вращаются в инвариантных плоскостях шестиугольника, а в простом вращении всего 6 вершин.
^ Jump up to: ^а ^б 24-ячеечная вращает шестиугольники на гексаграммах , а 600-ячеечная вращает шестиугольники на декаграммах, но это дискретные случаи одного и того же вида изоклинического вращения в плоскостях, инвариантных шестиугольникам. В частности, все их конгруэнтные изоклины представляют собой один и тот же геодезический круг окружности 4𝝅. ^[ДХ]
^ Jump up to: ^а ^б ^с Изоклинический поворот на 60° — это два простых поворота на 60° одновременно. ^{[делать]} Он перемещает все вершины на 120° одновременно в разных направлениях. Шесть последовательных диагональных приращений вращения, по 60°x60° каждое, перемещают каждую вершину на 720° по двойной петле Мёбиуса, называемой изоклиной , дважды вокруг 24-клеточной ячейки и обратно в исходную точку за одно и то же время (шесть единиц вращения) . ), что потребуется простое вращение, чтобы один раз обойти вершину 24-клетки обычного большого круга. Спиральная двойная петля 4𝝅 изоклины — это всего лишь еще один вид одиночного полного круга того же временного интервала и периода (6 хорд), что и простой большой круг. Изоклина – это один правильный круг, ^[ч] такой же идеально круглый и геодезический, как простой большой круг, даже если его хорды на √ 3 длиннее, его длина равна 4𝝅 вместо 2𝝅, ^[дп] он вращается в четырех измерениях вместо двух, ^{[продолжение]} и он действует в двух киральных формах (левой и правой), хотя все такие круги одной и той же окружности прямо конгруэнтны. ^{[резюме]} Тем не менее, чтобы избежать путаницы, мы всегда называем его изоклиной и оставляем термин «большой круг» для обычного большого круга на плоскости.
^ В 120-клетку вписано 120 правильных 5-клеток. 5- ячейка имеет центральные плоскости двуугольников , никакие две из которых не ортогональны. Он имеет 10 центральных плоскостей двуугольников, где каждая пара вершин является ребром, а не осью.5-ячейка самодуальна, поэтому при возвратно-поступательном движении 120-ячейка может быть вписана в правильную 5-ячейку большего радиуса. Поэтому конечная последовательность из 6 правильных 4-многогранников ^[а] вложенные, как матрешки, также можно рассматривать как бесконечную последовательность.
^ В кольце из 30 ячеек каждая изоклина проходит от вершины к несмежной вершине в третьей оболочке вершин, окружающей ее.Три другие вершины между этими двумя вершинами можно увидеть в кольце из 30 ячеек: две смежные в первой окружающей оболочке и одна во второй окружающей оболочке.
^ Хиральность и четность/нечетность — это разные вкусы.Вещи, имеющие четность/нечетность координат, являются черными или белыми: квадраты шахматной доски , ячейки , вершины и изоклины , соединяющие их изоклиническим вращением. ^[к] Все остальное черно-белое: например, соседние пары ячеек, связанных гранями , или края и хорды , которые черные на одном конце и белые на другом. (Поскольку точки и линии сложно раскрасить в белый цвет, мы иногда используем черный и красный вместо черно-белого цвета. В частности, хорды изоклин иногда изображаются черными или красными пунктирными линиями.)Вещи, обладающие киральностью, бывают правых или левых энантиоморфных форм: изоклинические вращения и киральные объекты , которые включают характерные ортосхемы , пары параллельных больших многоугольных плоскостей Клиффорда , ^[85] пучки волокон параллельных кругов Клиффорда (независимо от того, являются ли сами круги хиральными) и хиральные клеточные кольца, обнаруженные в 16- и 600-ячеечных клетках . имеют Вещи, которые не ни четности/нечетности, ни киральности, включают все ребра и грани (общие для черных и белых ячеек), многоугольники большого круга и их расслоения , а также нехиральные клеточные кольца, такие как 24-клеточные клеточные кольца октаэдров .Некоторые вещи имеют как четную/нечетную четность, так и хиральность: изоклины черные или белые, потому что они соединяют вершины одного цвета, и они действуют как левые или правые киральные объекты, когда являются путями вершин при вращении влево или вправо. , хотя сами по себе они не обладают присущей киральности. ^[ДК]Каждое левое (или правое) вращение пересекает равное количество черных и белых изоклин. ^{[резюме]}
^ Jump up to: ^а ^б Вращение изоклины влево и вправо одинаково разделяет 600 ячеек (и 120 вершин) на черное и белое. ^[17]Вращения всех слоев одного и того же большого многоугольника используют одну и ту же шахматную доску, которая представляет собой соглашение о системе координат, основанной на четных и нечетных координатах. ^[84] Левая и правая не являются цветами: при вращении влево (или вправо) половина движущихся вершин — черные, проходящие по черным изоклинам через черные вершины, а другая половина — белые вершины, вращающиеся между собой. ^[дт]
^ Каждая ось 600-ячейки касается левой изоклины каждого расслоения на одном конце и правой изоклины расслоения на другом конце.Осевая изоклина каждого кольца из 30 ячеек проходит только через одну из двух противоположных вершин каждой из 30 (из 60) осей по 600 ячеек, которых касается кольцо из 30 вершин и 30 ячеек изоклины (только на одном конце).
^ Композиция двух простых поворотов на 36 ° в паре полностью ортогональных инвариантных плоскостей представляет собой изоклинический поворот на 36 ° в двенадцати парах полностью ортогональных инвариантных плоскостей. ^[сп] Таким образом, изоклиническое вращение представляет собой смесь двенадцати простых вращений, и все 120 вершин вращаются в инвариантных плоскостях десятиугольника, а в простом вращении всего 10 вершин.
^ Все трехсферные изоклины ^[к] одной и той же окружности являются прямо равными кругами. ^[кт] Обыкновенный большой круг представляет собой изоклину окружности 2; простые вращения происходят на 2𝝅 изоклинах. Двойные вращения могут иметь изоклины, отличные от $2\pi r$ окружность. Характерным вращением правильного 4-многогранника является изоклиническое вращение, при котором центральные плоскости, содержащие его ребра, являются инвариантными плоскостями вращения. Края из 16 и 24 ячеек вращаются на изоклинах окружности 4𝝅. Край из 600 ячеек вращается на изоклинах окружности 5𝝅.
^ {20/6}=2{10/3} из 600 ячеек Спиральная икосаграмма представляет собой соединение спиральной гексаграммы {6/2} из 24 ячеек, которая вписана в нее так же, как 24-ячеечная вписана в 600-ячеечный.
^ 16-ячеечная вращает квадраты на {8/3} октаграммах , 24-ячеечная вращает квадраты на {24/9}=3{8/3} октаграммах , а 600 вращает квадраты на {24/5} 24-граммах. , но это дискретные случаи одного и того же изоклинического вращения в инвариантных плоскостях большого квадрата. В частности, все их конгруэнтные изоклины представляют собой один и тот же геодезический круг окружности 4𝝅. Они имеют разные полиграммы изоклин только потому, что кривая изоклины пересекает больше вершин в 600-ячейке, чем в 24-ячейке или 16-ячейке. Спиральная 24-грамма {24/5} 600-ячеечной структуры представляет собой соединение спиральной октаграммы {24/9} 24-клеточной, которая вписана в 600-ячеечную октаграмму так же, как спиральная октаграмма {8/3} 16-клеточной. вписан в 24-клетку.

Цитаты

^ Н. В. Джонсон : Геометрии и трансформации , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Группы конечной симметрии , 11.5 Сферические группы Кокстера , стр.249
^ Матила Гика, Геометрия искусства и жизни (1977), стр.68
^ Коксетер 1973 , с. 136, §7.8 Перечисление возможных правильных фигур.
^ Coxeter 1973 , стр. 292–293, Таблица I(ii): Шестнадцать правильных многогранников { p,q,r } в четырех измерениях; Бесценная таблица, предоставляющая все 20 метрик каждого 4-многогранника в единицах длины ребра. Их необходимо алгебраически преобразовать для сравнения многогранников единичного радиуса.
^ Коксетер 1973 , с. 153, §8.51; «Фактически, вершины {3, 3, 5}, каждая из которых взята по 5 раз, являются вершинами 25 {3, 4, 3}».
^ Jump up to: ^а ^б Коксетер 1973 , с. 305, Таблица VII: Регулярные соединения в четырех измерениях.
^ Coxeter 1973 , стр. 292–293, Таблица I(ii), столбец «600 ячеек» ₀ R/l = 2𝝓/2.
^ Коксетер 1973 , стр. 156–157, §8.7 Декартовы координаты.
^ Jump up to: ^а ^б Коксетер 1973 , стр. 151–153, §8.4 Пренебрежение {3,4,3}.
^ Waegell & Aravind 2009 , стр. 3–4, §3.2 75 оснований 600-ячеечного числа; В 600-ячеечной конфигурации «точками» и «линиями» являются оси («лучи») и 16 ячеек («основания») соответственно.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Денни и др. 2020 .
^ Jump up to: ^а ^б Денни и др. 2020 , с. 438.
^ Zamboj 2021 , стр. 10–11, §Координаты Хопфа.
^ Коксетер 1973 , с. 298, таблица V: Распределение вершин четырехмерных многогранников в параллельных сплошных сечениях (раздел 13.1); (iii) Сечения {3, 3, 5} (ребро 2𝜏 ⁻¹), начиная с вершины.
^ Осс 1899 ; ван Осс не упоминает дуговые расстояния между вершинами 600-ячейки.
^ Букенхаут и Паркер 1998 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Дечант 2021 , стр. 18–20, §6. Самолет Кокстера.
^ Коксетер 1973 , с. 298, таблица V: Распределение вершин четырехмерных многогранников в параллельных сплошных сечениях (раздел 13.1); (iii) Сечения {3, 3, 5} (ребро 2𝜏 ⁻¹) начиная с вершины; см. столбец а .
^ Штайнбах 1997 , с. 23, рис. 3; Штейнбах вывел формулу, связывающую диагонали и длины ребер последовательных правильных многоугольников, и проиллюстрировал ее диаграммой «веера хорд», подобной приведенной здесь.
^ Баэз, Джон (7 марта 2017 г.). «Пи и золотое сечение» . Азимут . Проверено 10 октября 2022 г.
^ Jump up to: ^а ^б Денни и др. 2020 , с. 434.
^ Денни и др. 2020 , стр. 437–439, §4 Плоскости 600-клетки.
^ Kim & Rote 2016 , стр. 8–10, Связь с параллелизмом Клиффорда.
^ Jump up to: ^а ^б Садок 2001 , с. 576, §2.4 Дискретизация расслоения многогранника {3, 3, 5}: винтовая ось десятикратного порядка.
^ Waegell & Aravind 2009 , с. 5, §3.4. 24 ячейки: точки, линии и конфигурация Рея; Здесь «точки» и «линии» Рея — это оси и шестиугольники соответственно. двойного шестиугольника Плоскости не ортогональны друг другу, а только пары их двойных осей. Пары двойных шестиугольников не встречаются в отдельных 24-ячейках, а только между 24-ячейками в 600-ячейке.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Sadoc 2001 , стр. 576–577, §2.4 Дискретизация расслоения многогранника {3, 3, 5}: шестикратная винтовая ось.
^ Jump up to: ^а ^б Садок 2001 , с. 577, §2.4 Дискретизация расслоения многогранника {3, 3, 5}: четырёхкратная винтовая ось.
^ Кофер 2019 , с. 6, §3.2. Теорема 3.4.
^ Ким и Роте 2016 , с. 7, §6 Углы между двумя плоскостями в 4-пространстве; «В четырех (и более высоких) измерениях нам нужны два угла, чтобы зафиксировать относительное положение между двумя плоскостями. (В более общем смысле, k углов определяются между k -мерными подпространствами.)»
^ Лемменс и Зайдель 1973 .
^ Мамоне, Пилейо и Левитт 2010 , стр. 1433, §4.1; Декартова 4-координатная точка (w,x,y,z) — это вектор в 4D-пространстве из (0,0,0,0). Четырехмерное реальное пространство — это векторное пространство: любые два вектора можно сложить или умножить на скаляр, чтобы получить другой вектор. Кватернионы расширяют векторную структуру четырехмерного реального пространства, позволяя умножать два четырехмерных вектора. $\left(w,x,y,z\right)_{1}$ и $\left(w,x,y,z\right)_{2}$ в соответствии с
${\begin{pmatrix}w_{2}\\x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}w_{1}\\x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{w_{2}w_{1}-x_{2}x_{1}-y_{2}y_{1}-z_{2}z_{1}}\\{w_{2}x_{1}+x_{2}w_{1}+y_{2}z_{1}-z_{2}y_{1}}\\{w_{2}y_{1}-x_{2}z_{1}+y_{2}w_{1}+z_{2}x_{1}}\\{w_{2}z_{1}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}+z_{2}w_{1}}\end{pmatrix}}$
^ Jump up to: ^а ^б Sadoc 2001 , стр. 575–578, §2 Геометрия {3,3,5}-многогранника в S ₃ ; Садок изучил все расслоения Хопфа 600-клеток на наборы {4}, {6} или {10} волокон большого круга на разных винтовых осях, дал их карты Хопфа и полностью проиллюстрировал характерные десятиугольные клеточные кольца.
^ Тиррелл и Семпл 1971 , стр. 6–7, §4. Изоклинические плоскости в евклидовом пространстве E ₄ .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Sadoc 2001 , стр. 577–578, §2.5 Симметрия 30/11: пример другого вида симметрии.
^ Коксетер 1973 , с. 211, §11.x Исторические замечания; «Конечная группа [3 ^{2, 2, 1}] изоморфна группе сохраняющих инцидентность перестановок 27 прямых на общей кубической поверхности. (Самое раннее описание этих строк см. в Schlafli 2.)».
^ Шлефли 1858 ; эта статья Шлефли, описывающая конфигурацию двойной шестерки, была одним из немногих фрагментов его открытия правильных многогранников в более высоких измерениях, которые были опубликованы при его жизни. ^[35]
^ Коксетер 1973 , стр. 141–144, §7. Обыкновенные многогранники в высшем пространстве; §7.x. Исторические замечания; «Практически все идеи в этой главе... принадлежат Шлефли, который открыл их до 1853 года — времени, когда Кэли, Грассман и Мёбиус были единственными людьми, которые когда-либо осознавали возможность геометрии более чем в трех измерениях».
^ Коксетер 1970 изучал клеточные кольца в общем случае их геометрии и теории групп , идентифицируя каждое клеточное кольцо как многогранник самостоятельный , который заполняет трехмерное многообразие (например, 3-сферу ) соответствующими сотами . ^{[является]} Он обнаружил, что клеточные кольца повторяют многоугольники Петри , а некоторые (но не все) клеточные кольца, а их соты скручены , встречаясь в лево- и право- хиральных формах. В частности, он обнаружил, что правильные 4-многогранники с тетраэдрическими ячейками (5-клеточные, 16-ячеечные, 600-ячеечные) имеют скрученные клеточные кольца, а остальные (у которых ячейки имеют противоположные грани) — нет. ^[the] Отдельно он классифицировал клеточные кольца в зависимости от того, формируют ли они свои соты в гиперболическом или евклидовом пространстве, причем последними являются те, которые встречаются в 4-многогранниках, которые могут замостить 4-пространство путем трансляции, образуя евклидовы соты (16-ячеечные, 8-ячеечные, 24-клеточные). -клетка).
^ Банчофф 2013 изучил разложение правильных 4-многогранников на соты торов, замощающих тор Клиффорда , показал, как соты соответствуют расслоениям Хопфа , и выполнил разложение, состоящее из колец меридианных и экваториальных ячеек, с иллюстрациями.
^ Jump up to: ^а ^б Садок 2001 , с. 578, §2.6 Многогранник {3, 3, 5}: набор из четырех спиралей.
^ Декан 2021 , §1. Введение.
^ Замбия 2021 .
^ Sadoc & Charvolin 2009 , §1.2 Подход искривленного пространства; изучает спиральную ориентацию молекул в кристаллических структурах и их несовершенные упаковки («фрустрации») в трехмерном пространстве. «Разочарование, которое возникает, когда молекулярная ориентация перемещается по двум [круговым] путям AB на рисунке 1 [спирали], вызвана самой топологической природой евклидова пространства R. ³. Этого бы не произошло, если бы молекулы были погружены в неевклидово пространство 3-сферы S. ³, или гиперсфера. Это пространство с однородной положительной кривизной действительно можно описать эквидистантными и равномерно скрученными слоями: ^[из] вдоль которого молекулы могут быть выровнены без какого-либо конфликта между компактностью и кручением .... Волокна этого расслоения Хопфа представляют собой большие круги S ³, все семейство которых еще называют параллелями Клиффорда . Два из этих слоев являются осями симметрии C _∞ всего расслоения; каждое волокно совершает один оборот вокруг каждой оси и регулярно вращается при переходе от одной оси к другой. ^[бф] Эти волокна образуют конфигурацию двойной скрутки, оставаясь при этом параллельными, т. е. без какого-либо нарушения, во всем объеме S. ³. ^[бг] Поэтому их можно использовать в качестве моделей для изучения конденсации длинных молекул при наличии ограничения двойного скручивания».
^ Jump up to: ^а ^б Коксетер 1973 , с. 303, таблица VI (iii): 𝐈𝐈 = {3,3,5}.
^ Коксетер 1973 , с. 153, §8.5 Конструкция Госсета для {3,3,5}.
^ Боровик 2006 ; «Окружающая среда, которая руководила эволюцией нашего мозга, никогда не давала нашим предкам четырехмерный опыт... [Тем не менее] мы, люди, наделены замечательным математическим программным обеспечением для обработки изображений, встроенным в наш мозг. Коксетер в полной мере использовал он и ожидал, что читатель воспользуется им... Визуализация — один из самых мощных методов интериоризации. Она закрепляет математические концепции и идеи в одной из самых мощных частей нашего мозга — теории визуальной обработки [многогранников. порожденные] конечными группами отражений, позволяют подход к их изучению, основанный на систематическом сведении сложных геометрических конфигураций к гораздо более простым двух- и трехмерным частным случаям».
^ Миядзаки 1990 ; Миядзаки показал, что поверхностная оболочка из 600 ячеек может быть архитектурно реализована в нашем обычном трехмерном пространстве в виде физических зданий (геодезических куполов).
^ Коксетер 1973 , стр. 50–52, §3.7.
^ Коксетер 1973 , с. 293; 164°29'
^ Коксетер 1973 , с. 298, таблица V: Распределение вершин четырехмерных многогранников в параллельных сплошных сечениях.
^ Коксетер 1973 , стр. 50–52, §3.7: Координаты вершин правильных и квазирегулярных тел.
^ Ито и Нара 2021 , §4. Из 24 ячеек на октаэдр; «В этой статье рассматривается 24-ячеечная структура и описывается непрерывное сглаживающее движение ее 2-скелета [кубооктаэдра], который связан с Джиттербагом Бакминстера Фуллера » .
^ Коча и др. 2016 , с. 145, 4. Пиритоэдрическая группа и родственные ей многогранники; см. Таблицу 1.
^ Верхейен, Х.Ф. (1989). «Комплектация джиттербаг-трансформаторов и анализ их движения» . Компьютеры и математика с приложениями . 17 (1–3): 203–250. дои : 10.1016/0898-1221(89)90160-0 . МР 0994201 .
^ Коксетер 1973 , с. 299, Таблица V: (iv) Упрощенные разделы {3,3,5}... начиная с ячейки.
^ Sadoc 2001 , стр. 576–577, §2.4 Дискретизация расслоения для {3, 3, 5}; «Теперь перейдем к тороидальному разложению многогранника {3, 3, 5}».
^ Коксетер 1970 , стр. 19–23, §9. 120-ячеечный и 600-ячеечный.
^ Jump up to: ^а ^б Sadoc 2001 , стр. 576–577, §2.4 Дискретизация расслоения для {3, 3, 5}, рис. 2. Столбец пятикратной симметрии; в подписи (так в оригинале) двенадцатиугольники должны быть десятиугольниками.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Дечант 2021 , стр. 20–22, §7. Большая Антипризма и H ₂ × H ₂ .
^ Банчофф 1988 .
^ Zamboj 2021 , стр. 6–12, §2 Математическая основа.
^ Коксетер 1973 , стр. 292–293, Таблица I (ii); 600 ячеек h ₁ h ₂ .
^ Коксетер 1973 , стр. 292–293, Таблица I (ii); «600-клеточный».
^ Коксетер 1973 , с. 139, §7.9 Характеристический симплекс.
^ Коксетер 1973 , с. 290, таблица I(ii); «двугранные углы».
^ Коксетер 1973 , стр. 227–233, §12.7 Ожерелье из четырехгранных бусин.
^ Коксетер 1973 , стр. 33–38, §3.1 Конгруэнтные преобразования.
^ Dechant 2017 , стр. 410–419, §6. Самолет Коксетера; см. стр. 416, Таблица 1. Сводка факторизаций версоров Кокстера четырехмерных корневых систем; «Группы Кокстера (отражения) в системе Клиффорда... дают уникально простой рецепт для отражений. Согласно теореме Картана-Дьедонне, последовательное выполнение двух отражений порождает вращение, которое в алгебре Клиффорда описывается спинором, который является просто геометрическим произведение двух векторов, порождающих отражения».
^ Коксетер 1973 , стр. 217–218, §12.2 Конгруэнтные преобразования.
^ Коджа, Аль-Аджми и Оздес Коджа 2011 , стр. 986–988, 6. Двойной курносый 24-клеточный.
^ Мамоне, Пилейо и Левитт 2010 , стр. 1438–1439, §4.5 Правильные выпуклые 4-многогранники; 600-ячейка имеет 14 400 операций симметрии (вращения и отражения), как указано в таблице 2, группа симметрии 𝛨 ₄ . ^[со]
^ Перес-Грасиа и Томас 2017 .
^ Стиллвелл 2001 , с. 24.
^ Дорст 2019 , с. 44, §1. Круги Вильярсо; «В математике путь, который прослеживает узел (1, 1) на торе, также известен как круг Вильярсо . Круги Вильярсо обычно представляются как две пересекающиеся окружности, являющиеся поперечным сечением тора хорошо выбранной плоскостью. Выбрав один такой круг и вращая его вокруг оси тора, полученное семейство кругов можно использовать для управления тором. Грамотно вложив торы, совокупность всех таких кругов затем образует расслоение Хопфа ... мы предпочитаем. рассматривать круг Вильярсо как торический узел (1, 1), а не как плоский разрез».
^ Мамоне, Пилейо и Левитт 2010 , §4.5 Правильные выпуклые 4-многогранники, Таблица 2.
^ Waegell & Aravind 2009 , стр. 2–5, §3. 600-ячеечный.
^ Kim & Rote 2016 , стр. 13–14, §8.2 Эквивалентность инвариантного семейства и расслоения Хопфа.
^ Jump up to: ^а ^б Перес-Грасиа и Томас 2017 , стр. 12–13, §5. Полезное картографирование.
^ Перес-Грасиа и Томас 2017 , стр. 2–3, §2. Изоклинические вращения.
^ Ким и Роте 2016 , с. 12—16, §8. Построение расслоений Хопфа; см. §8.3.
^ Перес-Грасиа и Томас 2017 , §1. Введение; «В этой статье [будет] получено спектральное разложение изоклинических вращений и явные формулы в матрице и алгебре Клиффорда для вычисления [изоклинической] факторизации Кэли». ^[сп]
^ Jump up to: ^а ^б ^с Ким и Роте, 2016 , с. 14, §8.3. Следствие 9. Всякий большой круг принадлежит единственному правому [(и левому)] расслоению Хопфа.
^ Kim & Rote 2016 , стр. 14–16, §8.3 Свойства расслоения Хопфа.
^ Коксетер 1973 , с. 156: «...шахматная доска имеет n-мерный аналог».
^ Ким и Роте 2016 , с. 8. Левая и правая пары изоклинических плоскостей.
^ Тиррелл и Семпл 1971 , стр. 34–57, Линейные системы параллелей Клиффорда.
^ Коксетер 1973 , с. 12, §1.8. Конфигурации.
^ ван Иттерсум 2020 , стр. 80–95, §4.3.
^ Штайнбах 1997 , с. 24.
^ Stillwell 2001 , стр. 22–23, Сфера гомологий Пуанкаре.
^ Мебиус 2015 , с. 1, « Алгебра кватернионов инструментом является преимущественно для рассмотрения трех- и четырехмерных (3D и 4D) вращений. Очевидно, что только 3D и, как следствие, 2D вращения имеют повседневное практическое значение, но теория 4D вращений оказывается предлагают самый простой путь к представлению трехмерных вращений кватернионами».
^ Денни и др. 2020 , §2 Маркировка H ₄ .
^ Нас 1899 , стр. 1–18.
^ Dechant 2021 , Аннотация; «[E] Очень трехмерная корневая система позволяет построить соответствующую четырехмерную корневую систему с помощью« теоремы индукции ». В этой статье мы подробно рассматриваем икосаэдрический случай H3 → H4 и выполняем вычисления явно. Используется алгебра Клиффорда. выполнить теоретико-групповые вычисления на основе теоремы Версора и теоремы Картана-Дьедонне... пролить свет на геометрические аспекты корневой системы H4 (600-ячейка), а также других связанных многогранников и их симметрий... включая построение плоскости Кокстера, которая используется для визуализации дополнительных пар инвариантных многогранников... Таким образом, этот подход представляет собой более систематический и общий способ выполнения вычислений, касающихся групп, в частности групп отражений и корневых систем, в клиффордовской системе координат. алгебраическая основа».
^ Гроссман, Венди А.; Себлин, Эдуард, ред. (2015), «Человеческие уравнения Ман Рэя: путешествие от математики к Шекспиру» , Хатье Канц . См., в частности, математический объект mo-6.2 , с. 58; Антоний и Клеопатра , СЭ-6, с. 59; математический объект мо-9 , с. 64; Венецианский купец , ГЭ-9, с. 65 и «Гексакосихорон», Филип Орднинг, с. 96.
^ Dechant 2021 , стр. 22–24, §8. Курносый 24-кл.
^ Сикирик, Матье; Мирволд, Венди (2007). «Специальные нарезки из 600 ячеек». Вклад в алгебру и геометрию . 49 (1). arXiv : 0708.3443 .
^ Коксетер 1991 , стр. 48–49.

Ссылки

Шлефли, Людвиг (1858), Кэли, Артур (ред.), «Попытка определить двадцать семь линий на поверхности третьего порядка и вывести такие поверхности по видам, исходя из реальности линий на поверхности». поверхность» , Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики , 2 : 55–65, 110–120.
Коксетер, HSM (1973) [1948]. Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
Коксетер, HSM (1991). Правильные комплексные многогранники (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
Коксетер, HSM (1995). Шерк, Ф. Артур; Макмаллен, Питер; Томпсон, Энтони К.; Вайс, Азия Ивич (ред.). Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера (2-е изд.). Публикация Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-01003-6 .
- (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380-407, МР 2,10]
- (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
- (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
Коксетер, HSM (1970), «Витые соты», Совет конференции серии региональных конференций математических наук по математике , 4 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество
Боровик, Александр (2006). «Теория Кокстера: когнитивные аспекты». В Дэвисе, Чендлер; Эллерс, Эрих (ред.). Наследие Кокстера . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 17–43. ISBN 978-0821837221 .
Дж. Х. Конвей и М. Дж. Т. Гай : Четырехмерные архимедовы многогранники , материалы коллоквиума по выпуклости в Копенгагене, стр. 38 и 39, 1965 г.
Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
Четырехмерные архимедовы многогранники (немецкий), Марко Мёллер, докторская диссертация 2004 г. [1]. Архивировано 22 марта 2005 г. в Wayback Machine.
Осс, Саломон Леви ван (1899). «Регулярные меры безопасности и собственные движения по самоуничтожению» . Труды Королевской (Голландской) академии наук, раздел 1 (физический факультет) . 7 (1). Амстердам: 1–18.
Букенхаут, Ф.; Паркер, М. (15 мая 1998 г.). «Количество разверток правильных выпуклых многогранников размерности <= 4» . Дискретная математика . 186 (1–3): 69–94. дои : 10.1016/S0012-365X(97)00225-2 .
Денни, Томм; Хукер, Да'Шей; Джонсон, Де'Джанеке; Робинсон, Тианна; Батлер, Маджид; Клэйборн, Сандерниш (2020). «Геометрия многогранников H4». Достижения в геометрии . 20 (3): 433–444. arXiv : 1912.06156 . дои : 10.1515/advgeom-2020-0005 . S2CID 220367622 .
Штайнбах, Питер (1997). «Золотые поля: случай семиугольника». Журнал «Математика» . 70 (февраль 1997 г.): 22–31. дои : 10.1080/0025570X.1997.11996494 . JSTOR 2691048 .
Кофер, Джессика (2019). «Суммы и произведения квадратов длин хорд правильных многогранников». arXiv : 1903.06971 [ math.MG ].
Миядзаки, Кодзи (1990). «Первичные гипергеодезические многогранники». Международный журнал космических конструкций . 5 (3–4): 309–323. дои : 10.1177/026635119000500312 . S2CID 113846838 .
ван Иттерсум, Клара (2020). Группы симметрии правильных многогранников в трех и четырех измерениях (Диссертация). Делфтский технологический университет .
Вегель, Мордехай; Аравинд, ПК (12 ноября 2009 г.). «Критические раскраски 600-клеток, доказывающие теорему Белла-Кохена-Спкера». Журнал физики А. 43 (10): 105304. arXiv : 0911.2289 . дои : 10.1088/1751-8113/43/10/105304 . S2CID 118501180 .
Замбой, Михал (8 января 2021 г.). «Синтетическая конструкция расслоения Хопфа в двойной ортогональной проекции 4-пространства». Журнал вычислительного дизайна и инженерии . 8 (3): 836–854. arXiv : 2003.09236 . doi : 10.1093/jcde/qwab018 .
Ким, Хына; Роте, Г. (2016). «Проверка конгруэнтности наборов точек в 4 измерениях». arXiv : 1603.07269 [ cs.CG ].
Садок, Жан-Франсуа (2001). «Спирали и спиральные упаковки, полученные из многогранника {3,3,5}» . Европейский физический журнал E. 5 : 575–582. дои : 10.1007/s101890170040 . S2CID 121229939 .
Садок, Дж. Ф.; Чарволин, Дж (2009). «3-сферные расслоения: инструмент для анализа скрученных материалов в конденсированном состоянии» . Журнал физики А. 42 (46): 465209. Бибкод : 2009JPhA...42T5209S . дои : 10.1088/1751-8113/42/46/465209 . S2CID 120065066 .
Лемменс, PWH; Зайдель, Джей-Джей (1973). «Эквиизоклинические подпространства евклидовых пространств» . Математические исследования (Труды) . 76 (2): 98–107. дои : 10.1016/1385-7258(73)90042-5 . ISSN 1385-7258 .
Тиррелл, Дж.А.; Семпл, Дж. Г. (1971). Обобщенный параллелизм Клиффорда . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-08042-8 .
Перес-Грасиа, Альба; Томас, Федерико (2017). «О факторизации Кэли четырехмерных вращений и приложениях» (PDF) . Адв. Прил. Алгебры Клиффорда . 27 : 523–538. дои : 10.1007/s00006-016-0683-9 . hdl : 2117/113067 . S2CID 12350382 .
Мамоне, Сальваторе; Пилейо, Джузеппе; Левитт, Малкольм Х. (2010). «Схемы ориентационной выборки на основе четырехмерных многогранников» . Симметрия . 2 (3): 1423–1449. Бибкод : 2010Symm....2.1423M . дои : 10.3390/sym2031423 .
Стиллвелл, Джон (январь 2001 г.). «История 120 ячеек» (PDF) . Уведомления АМС . 48 (1): 17–25.
Дорст, Лео (2019). «Конформные роторы Вильярсо» . Достижения в области прикладной алгебры Клиффорда . 29 (44). дои : 10.1007/s00006-019-0960-5 . S2CID 253592159 .
Банчофф, Томас Ф. (2013). «Разложения тора правильных многогранников в 4-мерном пространстве». В Сенешале, Марджори (ред.). Формирование пространства . Спрингер Нью-Йорк. стр. 257–266 . дои : 10.1007/978-0-387-92714-5_20 . ISBN 978-0-387-92713-8 .
Банчофф, Томас (1988). «Геометрия отображения Хопфа и торы Пинкала заданного конформного типа». В Тангоре, Мартин (ред.). Компьютеры в алгебре . Нью-Йорк и Базель: Марсель Деккер. стр. 57–62.
Коджа, Мехмет; Оздеш Коджа, Назифе; Аль-Барвани, Муатаз (2012). «Крутой 24-клеточный элемент, полученный из группы Кокстера-Вейля W (D4)» . Межд. Дж. Геом. Методы Мод. Физ . 09 (8). arXiv : 1106.3433 . дои : 10.1142/S0219887812500685 . S2CID 119288632 .
Коджа, Мехмет; Аль-Аджми, Музахир; Оздеш Коджа, Назифе (2011). «Кватернионное представление курносой 24-клетки и ее двойного многогранника, полученного из корневой системы E8» . Линейная алгебра и ее приложения . 434 (4): 977–989. arXiv : 0906.2109 . дои : 10.1016/j.laa.2010.10.005 . ISSN 0024-3795 . S2CID 18278359 .
Коджа, Назифе; Аль-Мухаини, Аида; Коджа, Мехмет; Аль Каноби, Амаль (1 декабря 2016 г.). «Симметрия пиритоэдра и решеток» . Научный журнал Университета Султана Кабуса [SQUJS] . 21 (2): 139. doi : 10.24200/squjs.vol21iss2pp139-149 .
Дешант, Пьер-Филипп (2021). «Спиноры Клиффорда и индукция корневой системы: H4 и большая антипризма» . Достижения в области прикладной алгебры Клиффорда . 31 (3). Springer Science and Business Media. arXiv : 2103.07817 . дои : 10.1007/s00006-021-01139-2 . S2CID 232232920 .
Дешант, Пьер-Филипп (2017). «Геометрия E8 с точки зрения Клиффорда» . Достижения в области прикладной алгебры Клиффорда . 27 : 397–421. arXiv : 1603.04805 . дои : 10.1007/s00006-016-0675-9 . S2CID 253595386 .
Ито, Джин-ичи; Нара, Чи (2021). «Непрерывное уплощение двумерного скелета обычного 24-клеточного» . Журнал геометрии . 112 (13). дои : 10.1007/s00022-021-00575-6 .
Мебиус, Йохан (июль 2015 г.) [11 января 1994 г.]. Применение кватернионов в динамическом моделировании, компьютерной графике и биомеханике (Диссертация). Делфтский технологический университет . дои : 10.13140/RG.2.1.3310.3205 .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «600-Cell» . Математический мир .
Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники (полихора) x3o3o5o - ex» .
Der 600-Zeller (600-ячеечный) Правильные многогранники Марко Мёллера в R ⁴ (Немецкий)
600-ячеечное расширение вершинно-центрированного 600-ячеечного

v т и Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники размерностей 2–10.
Семья	н	Б _н	И ₂ (п) / Д _н	Е ₆ / Е ₇ / Е ₈ / Ж ₄ / Г ₂	Ч _н
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-гон	Шестиугольник	Пентагон
Однородный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Демитессеракт	24-ячеечный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-демикуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-демикуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-демикуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-демикуб	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
Равномерный n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - демикуб	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений.

[polytopes_ordered_by_size_and_complexity-5] Jump up to: ^а ^б ^с Выпуклые правильные 4-многогранники можно упорядочить по размеру как мере 4-мерного содержимого (гиперобъема) для одного и того же радиуса. Это их правильный порядок нумерации, порядок, в котором они вложены друг в друга как составные части. ^[3] Каждый больший многогранник в последовательности более круглый , чем его предшественник, и содержит больше содержимого. ^[4] в том же радиусе.4-симплекс (5-ячеечный) — это наименьший случай, а 120-ячеечный — самый большой.Сложность (измеряемая путем сравнения матриц конфигурации или просто количества вершин) следует тому же порядку.Это обеспечивает альтернативную схему числового именования для правильных многогранников, в которой 600-ячеечный представляет собой 4-многогранник с 120 точками: пятый в возрастающей последовательности, которая проходит от 4-многогранника с 5 точками до 4-многогранника с 600 точками.

[quaternions-11] Jump up to: ^а ^б В четырехмерной евклидовой геометрии кватернион — это просто декартова координата (w, x, y, z).

[hypercubic_chords-12] Jump up to: ^а ^б ^с
Геометрия вершин радиально равностороннего 24-ячеечного объекта, показывающая 3 многоугольника большого круга и 4 длины хорд между вершинами.
Геометрия с 600 ячейками основана на 24-ячеечной геометрии .
Модель с 600 ячейками дополняет 24-ячейку еще двумя многоугольниками большого круга (внешний десятиугольник и внутренний пятиугольник), добавляя еще 4 длины хорд, которые чередуются с четырьмя длинами хорд 24-ячеечной модели.

[disjoint_from_8_and_intersects_16-13] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж 24-ячейка содержит 16 шестиугольников. В 600-ячейке с 25 24-ячейками каждая 24-ячейка не пересекается с 8 24-ячейками и пересекает каждую из остальных 16 24-ячеек в шести вершинах, образующих шестиугольник. ^[12] В 600-ячейке содержится 25・16/2 = 200 таких шестиугольников.

[14] В тех случаях, когда вписанные 4-многогранники одного и того же типа занимают непересекающиеся наборы вершин (например, две 16-ячейки, вписанные в тессеракт, или три 16-ячейки, вписанные в 24-ячейку), их наборы хорд вершин, центральные многоугольники и ячейки также должны быть непересекающимися.В тех случаях, когда они имеют общие вершины (например, три тессеракта, вписанные в 24-ячейку, или 25 24-ячеек, вписанных в 600-ячейку), они также имеют общие хорды вершин и центральные многоугольники. ^[д]

[4-polytopes_inscribed_in_the_600-cell-15] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и 600-ячейка содержит ровно 25 24-ячеек, 75 16-ячеек и 75 8-ячеек, причем каждая 16-ячейка и каждая 8-ячейка лежат только в одной 24-ячейке. ^[21]

[completely_disjoint-18] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Многогранники полностью непересекающиеся, если все их наборы элементов не пересекаются: у них нет общих вершин, ребер, граней или ячеек.Они все еще могут перекрываться в пространстве, разделяя 4-содержание, объем, область или родословную.

[distribution_of_pentagon_vertices_in_24-cells-20] Каждая из 25 24-клеток 600-ячейки содержит ровно одну вершину каждого большого пятиугольника. ^[12]Шесть пятиугольников пересекаются в каждой вершине из 600 ячеек, поэтому каждая 24-ячейка пересекает все 144 больших пятиугольника.

[five_24-cells_at_each_vertex_of_600-cell-21] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Пять 24-клеток встречаются на вершине каждой икосаэдрической пирамиды. ^[п] из 600 ячеек.Каждая 24-ячейка разделяет не одну вершину, а 6 вершин (одну из четырех шестиугольных центральных плоскостей) с каждой из четырех других 24-ячеек. ^[д]

[Schoute's_ten_ways_to_get_five_disjoint_24-cells-22] Jump up to: ^а ^б ^с Скоут был первым, кто заявил (сто лет назад), что существует ровно десять способов разбить 120 вершин 600-клеток на пять непересекающихся 24-клеток.25 ячеек по 24 ячейки можно разместить в массиве 5 x 5 так, что каждая строка и каждый столбец массива разделяет 120 вершин ячейки 600 на пять непересекающихся ячеек по 24 ячейки.Строки и столбцы массива — единственные десять таких разделов 600-ячеечного массива. ^[21]

[24-cells_bound_by_pentagonal_fibers-23] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и 600-ячейка содержит 25 отдельных 24-ячеек, связанных друг с другом пятиугольными кольцами. Каждый пятиугольник соединяет пять совершенно непересекающихся ^[г] 24 ячейки вместе, коллективные вершины которых являются 120 вершинами 600 ячеек.Каждая 24-точечная 24-ячейка содержит одну пятую всех вершин в 600-ячейке из 120 точек и связана с другими 96 вершинами (которые составляют курносую 24-ячейку ) 144 пятиугольниками 600-ячеечной ячейки.Каждая из 25 24-клеток пересекает каждый из 144 больших пятиугольников всего в одной вершине. ^[час]Пять 24-клеточных ячеек встречаются в каждой вершине из 600 ячеек. ^[я] таким образом, все 25 24-клеток связаны каждым большим пятиугольником.600-ячейку можно разделить на пять непересекающихся 24-ячеечных (10 различных способов), ^[Дж] а также на 24 непересекающихся пятиугольника (вписанных в 12 параллельных больших десятиугольников Клиффорда одного из 6 десятиугольных расслоений ), выбирая пятиугольник из того же расслоения в каждой 24-клеточной вершине.

[Hopf_coordinate_angles-25] Углы 𝜉 _i и 𝜉 _j — это углы вращения в двух полностью ортогональных инвариантных плоскостях, которые характеризуют вращения в 4-мерном евклидовом пространстве .Угол 𝜂 — это наклон обеих этих плоскостей от полярной оси, где 𝜂 изменяется от 0 до ⁠ 𝜋 / 2 ⁠ . Координаты (𝜉 _i , 0, 𝜉 _j ) описывают большие круги, которые пересекаются на северном и южном полюсах («линии долготы»).(𝜉 _я , ⁠ 𝜋 / 2 ⁠ , 𝜉 _j ) координаты описывают большие круги, ортогональные долготе («экваторы»); в 4-многограннике имеется более одного большого круга «экватора», поскольку экватор 3-сферы представляет собой целую 2-сферу больших кругов.Остальные координаты Хопфа (𝜉 _i , 0 < 𝜂 < ⁠ 𝜋 / 2 ⁠ , 𝜉 _j ) описывают большие круги ( не «линии широты»), которые пересекают экватор, но не проходят через северный или южный полюс.

[Hopf_coordinates_conversion-26] Преобразование координат Хопфа (𝜉 _i , 𝜂, 𝜉 _j ) в декартовы координаты единичного радиуса (w, x, y, z):
ш = потому что 𝜉 _я грех 𝜂
х = потому что 𝜉 _j потому что 𝜂
y = грех 𝜉 _j потому что 𝜂
z = грех 𝜉 _я грех 𝜂
Полюс начала координат Хопфа (0, 0, 0) является декартовым (0, 1, 0, 0). Условный «северный полюс» декартовой стандартной ориентации равен (0, 0, 1, 0), что соответствует Хопфу ( ⁠ 𝜋 / 2 ⁠ , ⁠ 𝜋 / 2 ⁠ , ⁠ 𝜋 / 2 ⁠ ). Декартово (1, 0, 0, 0) — это Хопфа (0, ⁠ 𝜋 / 2 ⁠ , 0).

[Hopf_coordinates-27] Координаты Хопфа представляют собой тройки трех углов:
(𝜉 _я , 𝜂, 𝜉 _j )
которые параметризуют трехмерную сферу путем нумерации точек вдоль ее больших окружностей.Координата Хопфа описывает точку как вращение от полярной точки (0, 0, 0). ^[л]Координаты Хопфа являются естественной альтернативой декартовым координатам. ^[м] для оснащения правильных выпуклых 4-многогранников, поскольку группа 4-мерных вращений , обозначаемая SO(4), порождает эти многогранники.

[28] Существует 600 перестановок этих координат, но в 600-ячейке всего 120 вершин.На самом деле это координаты Хопфа вершин 120-ячейки , которая имеет 600 вершин и которую можно рассматривать (двумя разными способами) как соединение 5 непересекающихся 600-ячеек.

[vertex_icosahedral_pyramid-29] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я В искривленном трехмерном пространстве граничной поверхности из 600 ячеек в каждой вершине можно найти двенадцать ближайших других вершин, окружающих вершину, так же, как вершины икосаэдра окружают его центр.Двенадцать ребер по 600 ячеек сходятся в центре икосаэдра, где они образуют шесть прямых линий, которые там пересекаются.Однако центр фактически смещается в 4-м измерении (радиально наружу от центра 600-ячейки) за пределы гиперплоскости, определяемой вершинами икосаэдра.Таким образом, вершинный икосаэдр на самом деле является канонической икосаэдрической пирамидой . ^[bj] состоит из 20 правильных тетраэдров на правильном основании икосаэдра, вершина которого является его вершиной. ^[бк]

[golden_chords-34] Jump up to: ^а ^б ^с с дробным корнем Золотые хорды — это иррациональные дроби, которые являются функциями √ 5 . Они иллюстрируют, что золотое сечение φ = ⁠ 1 + √ 5/2 с ≈ 1,618 ⁠ — это отношение окружности, связанное 𝜋 : ^[20]
⁠ 𝜋 / 5 ⁠ = arccos ( ⁠ φ / 2 ⁠ )
представляет собой одно ребро десятиугольника, хорда 𝚽 = √ 0,𝚫 = √ 0,382 ~ ≈ 0,618.И наоборот, в этой функции, открытой Робертом Эверестом, выражающей φ как функцию от 𝜋 и чисел 1, 2, 3 и 5 ряда Фибоначчи:
φ = 1 – 2 потому что ( ⁠ 3𝜋 / 5 ⁠ )
⁠ 3𝜋 / 5 ⁠ — длина дуги хорды φ = √ 2, 𝚽 = √ 2,618 ~ ≈ 1,618.

[fractional_root_chords-35] Jump up to: ^а ^б Ребра из 600 ячеек представляют собой ребра десятиугольников длиной √ 0,𝚫 , что соответствует 𝚽, меньшему золотому сечению √ 5 ; края находятся в обратном золотом сечении ⁠ 1 / φ ⁠ к хордам шестиугольника √ 1 (ребра из 24 ячеек).Другие аккорды дробного корня также демонстрируют золотые отношения. Хорда длины √ 1,𝚫 является ребром пятиугольника.Следующая хорда дробного корня представляет собой десятиугольник длиной √ 2,𝚽 , который равен φ , большему золотому сечению √ 5 ; это в золотом сечении ^[д] хорде √ 1 (и радиусу). ^[т]Последняя хорда дробного корня представляет собой диагональ пятиугольника длины √ 3,𝚽 .Диагональ правильного пятиугольника всегда находится в золотом пропорции к его ребру, и действительно φ √ 1,𝚫 равна √ 3,𝚽 .

[fractional_square_roots-38] Дробные квадратные корни представлены в виде десятичных дробей, где:
𝚽 ≈ 0,618 — обратное золотое сечение. ${\tfrac {1}{\phi }}=\phi ^{-1}$
𝚫 = 1 - 𝚽 = 𝚽 ² ≈ 0.382
Например:
𝚽 = √ 0,𝚫 = √ 0,382~ ≈ 0,618

[40] Обратите внимание на диаграмме, как хорда φ ( большое золотое сечение) суммируется с соседним краем 𝚽 ( меньшее золотое сечение) до √ 5 , как если бы вместе они составляли хорду √ 5, изогнутую так, чтобы поместиться внутри диаметра √ 4 .

[snub_24-cell-41] Jump up to: ^а ^б Рассмотрим одну из 24-вершинных 24-клеток, вписанную в 120-вершинную 600-клетку.Остальные 96 вершин составляют курносую 24-клетку .Удаление любой 24-элементной ячейки из 600-элементной приводит к образованию курносой 24-элементной ячейки.

[tetrahedral_cell_adjacency-43] Jump up to: ^а ^б ^с Каждая тетраэдрическая клетка каким-то образом соприкасается с 56 другими клетками.Одна ячейка контактирует с каждой из четырех граней; две ячейки соприкасаются с каждым из шести ребер, но не с гранью; и десять ячеек соприкасаются с каждой из четырех вершин, но не с гранью или ребром.

[radially_equilateral-44] Длинный радиус (от центра до вершины) 24-ячейки равен длине ее края; таким образом, его длинный диаметр (от вершины до противоположной вершины) равен двум длинам ребра. Лишь немногие однородные многогранники обладают этим свойством, включая четырехмерный 24-ячеечный и тессеракт , трехмерный кубооктаэдр и двумерный шестиугольник . (Кубооктаэдр — это экваториальное сечение 24-клеточного элемента, а шестиугольник — это экваториальное сечение кубооктаэдра.) Радиально равносторонние многогранники — это те, которые с длинными радиусами могут быть построены из равносторонних треугольников, соприкасающихся в центре. многогранника, каждый из которых дает два радиуса и ребро.

[characteristic_orthoscheme-45] Jump up to: ^а ^б Ортосхема гранями, характерный для некоторого многогранника, если он — это киральный неправильный симплекс с прямоугольными в точности заполняет этот многогранник отражениями самого себя в своих собственных гранях (своих зеркальных стенках ).Каждый правильный многогранник можно разрезать радиально на экземпляры его характерной ортосхемы, окружающей его центр.Характеристическая ортосхема имеет форму, описываемую той же диаграммой Кокстера-Дынкина, что и правильный многогранник без образующего точечного кольца.

[radially_right-46] Ортосхема — это обобщение прямоугольного треугольника на симплексные фигуры любого количества измерений. Любой правильный многогранник можно радиально разделить на одинаковые характеристические ортосхемы , пересекающиеся в его центре. ^[х]

[47] Все многогранники можно радиально триангулировать в треугольники, пересекающиеся в центре, причем каждый треугольник имеет два радиуса и одно ребро. Существует (по крайней мере) три специальных класса многогранников, которые имеют радиально-треугольную форму треугольника особого типа. многогранники Радиально равносторонние могут быть построены из одинаковых равносторонних треугольников , пересекающихся в центре. ^[В] многогранники Радиально-золотые могут быть составлены из одинаковых золотых треугольников , соприкасающихся в центре. Все правильные многогранники являются радиально правыми многогранниками, которые могут быть построены с их различными центрами элементов и радиусами из одинаковых характеристических ортосхем , которые все встречаются в центре, разделяя правильный многогранник на характеристические прямоугольные треугольники , которые встречаются в центре. ^[и]

[48] Длинный радиус (от центра до вершины) ячейки из 600 ячеек находится в золотом пропорции к длине ее края; таким образом, его радиус равен φ, если длина его ребра равна 1, а длина ребра равна ⁠ 1 / φ ⁠, если его радиус равен 1.

[truncated_irregular_octahedral_pyramid-49] Jump up to: ^а ^б Начиная с 16-ячейки, каждый правильный выпуклый 4-многогранник в последовательности единичного радиуса вписывается в его последующий элемент. ^[6]Следовательно, преемник может быть построен путем размещения каких-либо 4-пирамид на клетках его предшественника.Между 16-клеткой и тессерактом мы имеем 16 прямоугольных тетраэдрических пирамид , вершины которых заполняют углы тессеракта. Между тессерактом и 24-клеточной мы имеем 8 канонических кубических пирамид .Но если мы поместим 24 канонические октаэдрические пирамиды на 24-ячейку, мы получим только еще один тессеракт (с удвоенным радиусом и длиной ребра), а не преемницу 600-ячейки.Между 24-ячеечной и 600-ячеечной пирамидами должно быть 24 меньших неправильных 4-пирамиды на правильном восьмигранном основании.

[tetrahedron_linking_6_decagons-52] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Шесть больших десятиугольников, проходящих мимо каждой ячейки тетраэдра по ее краям, не все пересекаются друг с другом, потому что не все шесть ребер тетраэдра имеют общую вершину.Каждый декагон пересекает четыре других (под углом 60 градусов), но пропускает только один из остальных, поскольку они проходят мимо друг друга (под углом 90 градусов) вдоль противоположных и перпендикулярных косых ребер тетраэдра.Каждый тетраэдр связывает три пары десятиугольников, не пересекающихся в вершинах тетраэдра.Однако ни один из шести десятиугольников не является параллельным Клиффорда; ^[из] каждый принадлежит разному пучку волокон Хопфа из 12.Только одно из шести ребер тетраэдра может быть частью спирали в любом тройном спиральном кольце Бурдейка-Коксетера . ^{[объявление]}Кстати, эта сноска — одна из четырех сносок тетраэдра о параллельных декагонах Клиффорда. ^[но] что все ссылаются друг на друга.

[Boerdijk–Coxeter_helix-53] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к Поскольку тетраэдры ^[и] не имеют противоположных граней, единственный способ уложить их лицом к лицу по прямой линии — это в виде скрученной цепочки, называемой спиралью Бурдейка-Коксетера .Это параллель Клиффорда. ^[из] тройная спираль, как показано на рисунке .В 600-ячейке мы находим их согнутыми в четвертом измерении в геодезические кольца.Каждое кольцо имеет 30 ячеек и соприкасается с 30 вершинами.Каждая ячейка связана гранями с двумя соседними ячейками, но одно из шести ребер каждого тетраэдра принадлежит только этой ячейке, и эти 30 ребер образуют 3 параллельных Клиффорда больших десятиугольника, которые спирально вращаются вокруг друг друга. ^[но]5 колец из 30 ячеек встречаются на каждом декагоне и закручиваются вокруг него (как 5 тетраэдров встречаются на каждом ребре).Пучок из 20 таких клеточно-непересекающихся колец заполняет все 600 ячеек, образуя таким образом дискретное расслоение Хопфа .Существует шесть различных таких расслоений Хопфа, покрывающих одно и то же пространство, но идущих в разных «направлениях».

[Clifford_parallel_decagons-54] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Две параллели Клиффорда ^[из] большие десятиугольники не пересекаются, но соответствующие им вершины соединены одним краем другого десятиугольника.Два параллельных десятиугольника и десять соединяющихся ребер образуют двойное спиральное кольцо.Три декагона также могут быть параллельными (декагоны состоят из параллельных пучков волокон по 12 штук), и три из них могут образовывать тройное спиральное кольцо.Если кольцо разрезать и разложить в трехмерном пространстве, это спираль Бурдейка – Кокстера. ^{[объявление]} 30 тетраэдров ^[и] длинный.Три параллельных десятиугольника Клиффорда можно рассматривать как голубые края на иллюстрации тройной спирали .Каждое пурпурное ребро — это одно ребро другого десятиугольника, соединяющее два параллельных десятиугольника.

[Clifford_parallels-55] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п
Два параллельных больших круга Клиффорда, охватываемых скрученным кольцом .
Параллели Клиффорда — это непересекающиеся кривые линии, параллельные в том смысле, что перпендикулярное (кратчайшее) расстояние между ними одинаково в каждой точке. Двойная спираль является примером параллелизма Клиффорда в обычном трехмерном евклидовом пространстве. В 4-мерном пространстве параллели Клиффорда представляют собой большие геодезические круги на 3-сфере . ^[23] В то время как в трехмерном пространстве любые два больших геодезических круга на двухмерной сфере всегда будут пересекаться в двух противоположных точках, в четырехмерном пространстве не все большие круги пересекаются; На трехмерной сфере можно найти различные наборы параллельных непересекающихся больших геодезических кругов Клиффорда. Они закручиваются друг вокруг друга в пучки волокон Хопфа , которые в 600-ячейке посещают все 120 вершин только один раз. Например, каждый из 600 тетраэдров участвует в 6 больших декагонах. ^[и] принадлежащие 6 дискретным расслоениям Хопфа , каждое из которых заполняет всю 600-ячейку. Каждое расслоение представляет собой пучок из 12 параллельных декагонов Клиффорда, которые образуют 20 непересекающихся между собой переплетающихся колец из 30 тетраэдрических ячеек. ^{[объявление]} каждый ограничен тремя из 12 больших десятиугольников. ^[но]

[57] 10 шестиугольников, пересекающихся в каждой вершине, лежат вдоль 20 коротких радиусов вершинной фигуры икосаэдра. ^[п]

[600_cubes-61] Jump up to: ^а ^б Каждая из 25 вписанных 24-клеток имеет по 3 вписанных тессеракта, каждый из которых имеет 8 √ 1 кубических ячеек. Хорды 1200 √ 3 — это 4 длинных диаметра этих 600 кубов. Три тессеракта в каждой 24-ячейке перекрываются, и каждая хорда √ 3 представляет собой длинный диаметр двух разных кубов в двух разных тессерактах в двух разных 24-ячейках. Каждый куб принадлежит только одному тессеракту всего в одной 24-клеточной ячейке.

[62] Сумма 0,𝚫・720 + 1・1200 + 1,𝚫・720 + 2・1800 + 2,𝚽・720 + 3・1200 + 3,𝚽・720 + 4・60 составляет 14 400.

[64] Сумма квадратов длин всех различных хорд любого правильного выпуклого n-многогранника единичного радиуса равна квадрату числа вершин. ^[28]

[triacontagon-65] Триаконтагон или 30-угольник — это тридцатигранный многоугольник.Триаконтагон — самый большой правильный многоугольник, внутренний угол которого представляет собой сумму внутренних углов меньших многоугольников: 168 ° — это сумма внутренних углов равностороннего треугольника (60 °) и правильного пятиугольника (108 °).

[0-gon_central_planes-66] Jump up to: ^а ^б ^с В 600-ячейке имеется 72 больших 30-угольника: 6 наборов по 12 клиффордовских параллельных 30-угольников центральных плоскостей, каждая из которых полностью ортогональна центральной плоскости десятиугольника.В отличие от больших кругов 600-ячейки единичного радиуса, которые проходят через ее вершины, этот 30-угольник на самом деле не является большим кругом 3-сферы единичного радиуса.Поскольку он проходит через центры граней, а не через вершины, он имеет меньший радиус и лежит на меньшей трехмерной сфере.Конечно, в этой центральной плоскости существует также большой круг единичного радиуса, полностью ортогональный центральной плоскости десятиугольника, но как многоугольник большого круга он представляет собой 0-угольник, а не 30-угольник, поскольку он не пересекает ни одну из точек. из 600 ячеек.В 600-ячейке многоугольник большого круга, полностью ортогональный каждому большому десятиугольнику, представляет собой 0-угольник.

[Triacontagram-67] Jump up to: ^а ^б 30 вершин и 30 ребер кольца из 30 ячеек лежат на перекошенном {30/11} звездчатом многоугольнике с номером витка 11, называемом триаконтаграммой ₁₁ , непрерывной тугой штопорной спиралью , согнутой в петлю из 30 ребер (пурпурные ребра на иллюстрации тройной спирали ), которая оборачивается 11 раз вокруг себя в ходе одного оборота вокруг 600-ячеечного кольца, сопровождаемого одним поворотом на 360 градусов 30-ячеечного кольца. ^[34] То же кольцо из 30 ячеек можно также охарактеризовать как многоугольник Петри из 600 ячеек. ^[см.]

[non-vertex_geodesic-68] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Центральная плоскость каждого большого десятиугольника полностью ортогональна большому 30-угольнику. ^[и] центральная плоскость, не пересекающая ни одной вершины 600-ячейки.Каждый из 72 30-угольников представляет собой центральную ось 30-ячеечного тройного спирального кольца Бурдейка-Коксетера . ^{[объявление]} причем каждый сегмент 30-угольника проходит через тетраэдр аналогичным образом.Большой 30-угольный круг полностью находится на изогнутой трехмерной поверхности своей трехмерной сферы; ^[ал] его изогнутые сегменты не являются хордами.Он не касается ребер или вершин, но затрагивает грани.Это центральная ось косой 30-граммовой спирали, многоугольника Петри из 600 ячеек, который соединяет все 30 вершин 30-ячеечной спирали Бурдейка – Коксетера с тремя ее ребрами в каждой ячейке. ^{[являюсь]}

[isoclinic_geodesic-69] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н Точка при изоклиническом вращении пересекает диагональ ^[кр] прямая линия одной изоклинической геодезической , идущая непосредственно к месту назначения, вместо изогнутой линии двух последовательных простых геодезических .Геодезическая кратчайший – это путь через пространство (интуитивно, между двумя точками натянута нить).Простые геодезические — это большие круги, лежащие в центральной плоскости (единственный вид геодезических, встречающийся в трехмерном пространстве на двухсфере).Изоклинические геодезические устроены иначе: они не лежат в одной плоскости; это четырехмерные спирали, а не простые двумерные круги. ^[бф]Но они и не похожи на трехмерную резьбу , поскольку образуют замкнутую петлю, как любой круг. ^[КС]Изоклинические геодезические — это 4-мерные большие круги , и они столь же круглые, как и 2-мерные круги: фактически в два раза круглее, потому что они изгибаются по окружности сразу в двух полностью ортогональных направлениях. ^[ч]Это настоящие круги, ^[сп] и даже образуют расслоения, подобные обычным двумерным большим кругам.Эти изоклины представляют собой одномерные геодезические линии, встроенные в четырехмерное пространство.На 3-сфере ^[кт] они всегда встречаются в киральных парах как круги Вильярсо на торе Клиффорда , ^{[продолжение]} геодезические пути, пройденные вершинами при изоклиническом вращении .Они представляют собой спирали, согнутые в петлю Мёбиуса в четвертом измерении, проходящие диагональный маршрут вокруг 3-сферы через несмежные вершины скошенного многоугольника Клиффорда 4-многогранника . ^{[резюме]}

[equi-isoclinic_planes-72] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и В четырехмерном пространстве не более четырех больших кругов могут быть параллельными Клиффорду. ^[из] и все равно угловое расстояние друг от друга. ^[30]Такие центральные плоскости взаимно изоклиничны : каждая пара плоскостей разделена двумя равными углами, и изоклинический поворот на этот угол сведет их вместе.Если три или четыре такие плоскости разделены одним и тем же углом, они называются эквиизоклиническими .

[equi-isoclinic_decagons-74] Jump up to: ^а ^б ^с Декагональные плоскости в 600-ячейке расположены экви-изоклинически. ^[ап] группы по 3, везде, где 3 параллельных десятиугольника Клиффорда 36° ( ⁠ 𝝅 / 5 ⁠ ) друг от друга образуют 30-ячеечное тройное спиральное кольцо Бурдейка – Кокстера . ^{[объявление]}Также по Клиффорду параллельно этим 3 декагонам находятся 3 эквиизоклинических декагона 72 ° ( ⁠ 2/5 ) друг от ⁠ ( друга, 3 108° ⁠ 3/5 ) друг от друга ⁠ ( и 3 144° ⁠ 4𝝅 / 5 ⁠ ), всего 12 параллельных декагонов Клиффорда (120 вершин), которые составляют дискретное расслоение Хопфа.Поскольку большие декагоны лежат в изоклинических плоскостях, разделенных двумя равными углами, их соответствующие вершины разделены комбинированным вектором относительно обоих углов.Векторы в 4-мерном пространстве могут быть объединены с помощью кватернионного умножения , открытого Гамильтоном . ^[31]Соответствующие вершины двух больших многоугольников по 36° ( ⁠ 𝝅 / 5 ⁠ ) друг от друга при изоклиническом вращении составляют 60° ( ⁠ 𝝅 / 3 ⁠ ) друг от друга в 4-мерном пространстве.Соответствующие вершины двух больших многоугольников, равных 108° ( ⁠ 3/5 ( ⁠ ° ) друг от друга за счет изоклинического вращения также находятся на расстоянии 60 ⁠ 𝝅 / 3 ⁠ ) друг от друга в 4-мерном пространстве.Соответствующие вершины двух больших многоугольников по 72° ( ⁠ 2/5 ) друг от друга ⁠ ( при изоклиническом вращении составляют 120° ⁠ 2𝝅 / 3 ⁠ ) друг от друга в 4-мерном пространстве и соответствующие вершины двух больших многоугольников, углы которых составляют 144° ( ⁠ 4/5 ( ⁠ ° ) друг от друга за счет изоклинического вращения также находятся на расстоянии 120 ⁠ 2/3 друга ⁠ ) друг от в 4-мерном пространстве.

[equi-isoclinic_hexagons-75] Jump up to: ^а ^б ^с Шестиугольные плоскости в 600-ячейке расположены экви-изоклинически. ^[ап] группы по 4, везде, где есть 4 параллельных шестиугольника Клиффорда 60° ( ⁠ 𝝅 / 3 ⁠ ) друг от друга образуют 24 ячейки.Также по Клиффорду параллельно этим 4 шестиугольникам есть 4 равноизоклинных шестиугольника 36 ° ( ⁠ 𝝅 / 5 ⁠ ) друг от друга, 4 72° ( ⁠ 2/5 ) друг от ⁠ друга, 4 108° ( ⁠ 3/5 ) друг от друга ⁠ ( и 4 144° ⁠ 4/5 вершин) , ⁠ ( ), всего 20 параллельных шестиугольников Клиффорда 120 которые составляют дискретное расслоение Хопфа.

[equi-isoclinic_squares-76] Jump up to: ^а ^б ^с Квадратные плоскости в 600-ячейке расположены экви-изоклинически. ^[ап] группы по 2, везде, где 2 параллельных квадрата Клиффорда 90° ( ⁠ 𝝅 / 2 ⁠ ) друг от друга образуют 16-клеточную.Также параллельно этим 2 квадратам Клиффорда находятся 4 эквиизоклинические группы из 4, где 3 Клиффорда параллельны 16-ячейкам 60° ( ⁠ 𝝅 / 3 ⁠ ) друг от друга образуют 24 ячейки.Также параллелью Клиффорда являются 4 эквиизоклинические группы 3: 3 36° ( ⁠ 𝝅 / 5 ⁠ ) друг от друга, 3 72° ( ⁠ 2/5 ) друг от ⁠ ( друга, 3 108° ⁠ 3/5 ) друг от друга ⁠ ( и 3 144° ⁠ 4𝝅 / 5 ⁠ ), всего 30 параллельных квадратов Клиффорда (120 вершин), которые составляют дискретное расслоение Хопфа.

[two_angles_between_central_planes-77] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Два угла необходимы для фиксации взаимного положения двух плоскостей в 4-мерном пространстве. ^[29]Поскольку все плоскости в одной и той же гиперплоскости отстоят друг от друга на 0 градусов по одному из двух углов, в трехмерном пространстве требуется только один угол.Большие десятиугольники кратны (от 0 до 4) 36° ( ⁠ 𝝅 / 5 ⁠ ) друг от друга в каждом углу и может находиться под одним и тем же углом в обоих углах. ^[ак]Большие шестиугольники могут иметь угол 60° ( ⁠ 𝝅 / 3 ⁠ ) с разницей в один или оба угла и может быть кратным (от 0 до 4) 36° ( ⁠ 𝝅 / 5 ⁠ ) друг от друга в одном или обоих углах. ^[с]Большие квадраты могут иметь угол 90° ( ⁠ 𝝅 / 2 ⁠ ) друг от друга в одном или обоих углах, может составлять 60° ( ⁠ 𝝅 / 3 ⁠ ) с разницей в один или оба угла и может быть кратным (от 0 до 4) 36° ( ⁠ 𝝅 / 5 ⁠ ) друг от друга в одном или обоих углах. ^[как]Плоскости, разделенные двумя равными углами, называются изоклиническими . ^[ап]Изоклинические плоскости имеют параллельные большие круги Клиффорда. ^[из]Большой шестиугольник и большой декагон могут быть изоклиническими, но чаще всего их разделяет перемычка. ⁠ 𝝅 / 3 ⁠ (60°) угол и кратное (от 1 до 4) число ⁠ 𝝅 / 5 ⁠ (36°) угол.

[digon_planes-78] Jump up to: ^а ^б ^с ^д В 24-ячейке каждая плоскость большого квадрата полностью ортогональна другой плоскости большого квадрата, а каждая плоскость большого шестиугольника полностью ортогональна плоскости, которая пересекает только две противоположные вершины: плоскости большого двуугольника .

[Hopf_fibration_base-80] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Каждое расслоение Хопфа 3-сферы на параллельные слои большого круга Клиффорда имеет отображение (называемое его основанием ), которое представляет собой обычную 2-сферу . ^[42]На этой карте каждое волокно большого круга отображается как отдельная точка.Основанием большого декагона из 600 ячеек является икосаэдр , в котором каждая вершина представляет один из 12 больших декагонов. ^[24]Для тополога основание не обязательно является какой-либо частью объекта, который он отображает: не ожидается, что базовый икосаэдр будет ячейкой или внутренней особенностью 600-ячеистой структуры, это просто сфера, аналогичная размерностям. ^{[до н. э.]} полезно для рассуждений о расслоении.Но на самом деле в 600-ячейке есть икосаэдры : 120 вершинных икосаэдрических фигур , ^[п] любой из которых можно рассматривать как его основу: трехмерную модель целых четырехмерных 600 ячеек в масштабе 1:10.Каждый трехмерный вершинный икосаэдр поднимается до четырехмерного 600-ячеечного поворота на 720 градусов изоклинического вращения . ^[к] который проходит каждую из своих 4 непересекающихся треугольных граней вокруг одного из 4 непересекающихся 30-вершинных колец из 30 тетраэдрических ячеек (каждая из которых сплетена из 3 параллельных больших десятиугольников Клиффорда), и таким образом посещает все 120 вершин 600-ячейки.Поскольку 12 больших десятиугольных кругов (из 4 колец) представляют собой параллельные декагоны Клиффорда одного и того же расслоения , мы можем геометрически увидеть, как икосаэдр работает как карта расслоения Хопфа всей 600-ячейки, и как расслоение Хопфа является выражение изоклинической симметрии . ^[43]

[Petrie_polygons_of_the_120-cell-82] Jump up to: ^а ^б Правильный косой 30-угольник — это многоугольник Петри из 600 ячеек и его двойной многоугольник из 120 ячеек . Полигоны Петри из 120 ячеек встречаются в 600-ячейках как двойники 30-ячеечных спиральных колец Бурдейка-Коксетера : соединение их 30 клеточных центров вместе дает полигоны Петри двойных 120-ячеек, как заметил Рольфдитер Франк ( около 2001 г.). Таким образом он обнаружил, что набор вершин из 120 ячеек разбивается на 20 непересекающихся многоугольников Петри. Этот набор из 20 непересекающихся параллельных косых многоугольников Клиффорда представляет собой дискретное расслоение Хопфа 120-клеточного (точно так же, как их 20 двойных колец по 30 ячеек являются дискретным расслоением 600-клеточного).

[two_different_tetrahelixes-87] Jump up to: ^а ^б ^с Это √ 2 тетраэдрические ячейки из 75 вписанных 16-ячеек, а не √ тетраэдрические 0,𝚫 ячейки из 600-ячеек.

[orthoscheme_ring-88] Jump up to: ^а ^б ‟Многоугольники Петри платонова тела $\{p,q\}$ соответствуют экваториальным многоугольникам усечения $\{{\tfrac {p}{q}}\}$ и экваторам симплициально разделенной сферической мозаики $\{p,q\}$ . Это « симплициальное подразделение » представляет собой расположение $g=g_{p,q}$ прямоугольные сферические треугольники, на которые сфера разложена плоскостями симметрии твердого тела. Большие круги, лежащие в этих плоскостях, раньше назывались «линиями симметрии», но, возможно, более яркое название — отражающие круги . Аналогичное симплициальное подразделение сферических сот. $\{p,q,r\}$ состоит из $g=g_{p,q,r}$ тетраэдры 0123, на которые гиперсфера (в евклидовом 4-мерном пространстве) разложена гиперплоскостями симметрии многогранника $\{p,q,r\}$ . Большие сферы, лежащие в этих гиперплоскостях, естественно называть отражающими сферами . Поскольку у ортосхемы нет тупых углов, она целиком содержит дугу, измеряющую абсолютно кратчайшее расстояние 𝝅/ h [между] 2 h -тетраэдрами, [которые] нанизаны, как бусины на ожерелье, или как «вращающееся кольцо тетраэдров». .. противоположные края которого являются образующими геликоида. Два противоположных края каждого тетраэдра связаны винтовым смещением. ^[быть] Следовательно, общее количество сфер равно 2 часам ». ^[66]

[directly_congruent_versus_twisted_cell_rings-89] Jump up to: ^а ^б ^с расслоения Кольца параллельных ячеек Клиффорда могут быть или не быть хиральными объектами, в зависимости от того, имеют ли ячейки 4-многогранника противоположные грани или нет.Характерные клеточные кольца 16-клеточного и 600-клеточного (с тетраэдрическими ячейками) хиральны: закручиваются либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки.Изоклины, действующие либо с левой, либо с правой киральностью (не с обоими), проходят через клеточные кольца этого типа, хотя каждое расслоение содержит как левые, так и правые клеточные кольца. ^[ДК]Характерные клеточные кольца тессеракта, 24-клеточного и 120-клеточного (с кубическими, октаэдрическими и додекаэдрическими ячейками соответственно) прямо конгруэнтны, а не хиральны: в каждом из этих 4-многогранников существует только один тип характеристического клеточного кольца. и он не скручен (у него нет скручивания ).Через такие клеточные кольца проходят пары левых и правых изоклин.Обратите внимание, что все эти 4-многогранники (кроме 16-ячеечного) содержат расслоения характеристических клеточных колец своих вписанных предшественников в дополнение к своим собственным характеристическим расслоениям, поэтому 600-ячеечный содержит как хиральные, так и прямо конгруэнтные клеточные кольца.

[fibrations_are_distinguished_only_by_rotations-92] Jump up to: ^а ^б Выбор разбиения правильного 4-многогранника на клеточные кольца произволен, поскольку все его ячейки одинаковы. Никакое конкретное расслоение не выделяется, если только 4-многогранник не вращается.При изоклинических вращениях один набор клеточных колец (одно расслоение) выделяется как уникальный контейнер этой отдельной пары лево-правых вращений и ее изоклин.

[fifteen_16-cells_partitioned_among_four_30-cell_rings-94] Jump up to: ^а ^б Единственный способ разбить 120 вершин 600-клеточного кольца на 4 полностью непересекающихся кольца по 30 вершин и 30 ячеек. ^{[объявление]} заключается в разделении каждой из 15 полностью непересекающихся 16-клеток аналогичным образом на 4 симметричные части: 4 пары противоположных вершин, лежащих на 4 ортогональных осях 16-клетки.600-ячейка содержит 75 отдельных 16-ячеек, которые можно разделить на наборы по 15 полностью непересекающихся 16-ячеек.В любом наборе из 4 полностью непересекающихся 30-клеточных колец имеется набор из 15 полностью непересекающихся 16-клеточных колец, причем в каждом 30-клеточном кольце находится одна ось каждой 16-клеточной.

[math_of_dimensional_analogy-96] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Можно задаться вопросом, «всегда ли работает» размерная аналогия, или, возможно, это «просто догадка», которая иногда может быть неспособна создать правильную размерную аналогичную фигуру, особенно при рассуждении от низшего измерения к высшему. Очевидно, размерная аналогия в обоих направлениях имеет прочную математическую основу. Декант ^[41] вывели группы 4D-симметрии из их аналогов из 3D-групп симметрии путем индукции, продемонстрировав, что в 4D-симметрии нет ничего, что уже не присуще 3D-симметрии. Он показал, что ни 4D-симметрия, ни 3D-симметрия не являются более фундаментальными, чем другая, поскольку одна из них может быть выведена из другой. Это верно независимо от того, вычисляются ли размерные аналогии с использованием теории групп Кокстера или геометрической алгебры Клиффорда. Эти два довольно разных вида математики дают взаимодополняющие геометрические идеи. Другим глубоким примером математики размерной аналогии является расслоение Хопфа , отображение между точками на 2-сфере и непересекающимися (параллельными Клиффорда) большими кругами на 3-сфере.

[97] В отличие от ограничивающих их десятиугольников, сами кольца из 20 ячеек не все являются клиффордовскими параллельными друг другу, потому что только полностью непересекающиеся многогранники являются клиффордовскими параллельными. ^[г]20 клеточных колец имеют 5 различных подмножеств из 4 параллельных клеточных колец Клиффорда.Каждое клеточное кольцо ограничено 3 параллельными клиффордовскими большими декагонами, поэтому каждое подмножество из 4 параллельных клиффордовских клеточных колец ограничено в общей сложности 12 параллельными клиффордовскими большими декагонами (дискретное расслоение Хопфа).Фактически каждое из 5 различных подмножеств 4 клеточных колец ограничено одними и теми же 12 параллельными большими десятиугольниками Клиффорда (то же самое расслоение Хопфа); Есть 5 разных способов рассматривать одни и те же 12 десятиугольников как набор из 4 клеточных колец (и, что эквивалентно, только один способ рассматривать их как один набор из 20 клеточных колец).

[98] Обратите внимание, что спирали ячеек разного цвета представляют собой разные клеточные кольца (или кольцеобразные отверстия) в одном и том же слое, а не разные слои 4-многогранника.Каждое расслоение представляет собой весь 4-многогранник.

[helical_geodesic-100] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Можно сказать, что при двойном вращении каждая вершина движется одновременно по двум полностью ортогональным большим кругам, но она не остается в пределах центральной плоскости ни одного из этих исходных больших кругов; скорее, он движется по винтовой геодезической, которая проходит по диагонали между большими кругами.Две полностью ортогональные плоскости вращения называются инвариантными, поскольку точки в каждой из них остаются на своих местах в плоскости при движении плоскости , вращаясь и наклоняясь в сторону на угол, на который поворачивается другая плоскость.

[dense_fabric_of_pole-circles-101] Jump up to: ^а ^б ^с Полюса инвариантной оси вращающейся 2-сферы по размерам аналогичны паре инвариантных плоскостей вращающейся 3-сферы. Полюса вращающейся 2-сферы по размерам аналогичны соединенным между собой большим кругам 3-сферы. По аналогии с размерностями, каждая одномерная точка в 3D поднимается до двумерной линии в 4D, в данном случае круга. ^[из] Два противоположных полюса вращения поднимаются к паре кольцевых волокон Хопфа, которые не просто параллельны и связаны между собой по Клиффорду. ^[из] но и полностью ортогональны . Инвариантные большие круги четырехмерного вращения являются его полюсами. В случае изоклинического вращения существует не просто одна такая пара 2D-полюсов (полностью ортогональные слои большого круга Хопфа), таких пар много: конечное число пар окружностей, если расслоение 3-сфер дискретно (например, правильный многогранник с конечным числом вершин), или же бесконечное число пар ортогональных окружностей, полностью заполняющих 3-сферу. Каждая точка в искривленном 3-пространстве 3-сферы лежит на одной такой окружности (никогда на двух, поскольку полностью ортогональные окружности, как и все слои большой окружности Хопфа, параллельные Клиффорду, не пересекаются). Там, где 2D-вращение имеет один полюс, а 3D-вращение 2-сферы имеет 2 полюса, изоклиническое 4D-вращение 3-сферы не имеет ничего, кроме полюсов , их бесконечное количество. В дискретном 4-многограннике все параллельные инвариантные большие многоугольники вращения Клиффорда являются полюсами и заполняют 4-многогранник, проходя через каждую вершину только один раз. За один полный оборот такого вращения каждая точка пространства ровно один раз проходит через свою полюсную окружность. Круги расположены с удивительной симметрией, так что каждый полюсный круг связан с каждым другим полюсным кругом , как максимально плотная ткань четырехмерной кольчуги , в которой все круги связаны друг с другом, но никакие два круга никогда не пересекаются.

[103] 4 красных грани курносого тетраэдра соответствуют 4 полностью непересекающимся клеточным кольцам разреженной конструкции расслоения (его подрасслоения ).Красные грани сосредоточены на вершинах вписанного тетраэдра и лежат в центре больших граней вписывающего тетраэдра.

[snub_octahedron-109] Jump up to: ^а ^б Поскольку октаэдр можно усечь, получив икосаэдр, ^[48] Другое название икосаэдра — курносый октаэдр .Этот термин относится конкретно к с более низкой симметрией (8 граней одного цвета и 12 — другого). расположению граней икосаэдра

[120_overlapping_icosahedral_pyramids-110] Jump up to: ^а ^б ^с 120-точечная 600-ячеечная структура имеет 120 перекрывающихся икосаэдрических пирамид. ^[п]

[111] Икосаэдр не является радиально равносторонним в евклидовом 3-мерном пространстве, но икосаэдрическая пирамида радиально равносторонняя в искривленном 3-мерном пространстве поверхности из 600 ячеек ( 3-сфера ). В четырехмерном пространстве 12 ребер, исходящих из ее вершины, на самом деле не являются ее радиусами: вершина икосаэдрической пирамиды на самом деле не ее центр, а всего лишь одна из ее вершин. Но в искривленном трехмерном пространстве ребра, исходящие симметрично от вершины, являются радиусами, поэтому икосаэдр в этом искривленном трехмерном пространстве радиально равносторонний . В евклидовом 4-мерном пространстве 24 ребра, симметрично исходящие из центральной точки, образуют радиально равносторонний 24-клеточный , а симметричное подмножество из 16 таких ребер образует радиально равносторонний тессеракт .

[113] Ребро икосаэдра между двумя синими гранями окружено двумя ячейками икосаэдрической пирамиды с голубыми гранями и 3 ячейками из соседнего кластера из 5 ячеек (одна из которых является центральным тетраэдром из пяти)

[114] Все пятиугольные пирамиды вокруг каждой вершины икосаэдра « курносого октаэдра » выглядят одинаково, с двумя желтыми и тремя синими гранями.Каждый пятиугольник имеет пять различных ориентаций вращения.Вращение любой пятиугольной пирамиды вращает их все, поэтому пять положений вращения — это единственные пять различных способов расположения цветов.

[117] Обратите внимание, что сокращение является хиральным, поскольку есть два варианта диагонали, с которых можно начать складывать квадратные грани.

[transformations-119] Jump up to: ^а ^б ^с Пусть Q обозначает вращение, R — отражение, T — сдвиг, и пусть Q ^д Р ^р T обозначает произведение нескольких таких преобразований, все коммутативных друг с другом. Тогда RT — скользящее отражение (в двух или трёх измерениях), QR — вращательное отражение, QT — винтовое перемещение, а Q ² представляет собой двойное вращение (в четырех измерениях). Каждое ортогональное преобразование выражается как
вопрос ^д Р ^р
где 2 q + r ≤ n — количество измерений. Преобразования, связанные с переводом, выражаются как
вопрос ^д Р ^р Т
где 2 q + р + 1 ≤ n .
В частности, для n = 4 каждое перемещение представляет собой либо двойной поворот Q ²или винтовое смещение QT (где составляющая вращения Q представляет собой простое вращение). Каждое энантиоморфное преобразование в 4-пространстве (обращающее киральность) является QRT. ^[69]

[121] Эти преобразования не входят в число ортогональных преобразований групп Кокстера, порожденных отражениями. ^[быть] Они представляют собой преобразования пиритоэдрической трехмерной группы симметрии , уникальной многогранной точечной группы, которая не является ни группой вращения, ни группой отражения. ^[53]

[123] Существует вершинный икосаэдр. ^[п] внутри каждой центральной секции октаэдра с 24 ячейками (не внутри октаэдрической ячейки √ 1 , а в более крупном октаэдре √ 2 , лежащем в центральной гиперплоскости) и икосаэдре большего размера внутри каждого кубооктаэдра с 24 ячейками.Два икосаэдра разного размера представляют собой вторую и четвертую части 600-ячеечного (начинающегося с вершины) .Октаэдр и кубооктаэдр — центральные сечения 24-клетки (начинающиеся с вершины и начиная с ячейки соответственно). ^[50]Кубооктаэдр, большой икосаэдр, октаэдр и малый икосаэдр гнездятся, как матрешки , и связаны между собой винтовым сжатием. ^[51]Сокращение начинается с того, что квадратные грани кубооктаэдра складываются внутрь по диагоналям, образуя пары треугольников. ^[бн]12 вершин кубооктаэдра движутся навстречу друг другу до тех точек, где образуют правильный икосаэдр (большой икосаэдр); они немного сближаются друг с другом, пока не образуют икосаэдр Джессена ; они продолжают двигаться навстречу друг другу, пока не сольются в 8 вершин октаэдра; ^[52] и они продолжают двигаться по тем же винтовым траекториям, снова разделяясь на 12 вершин курносого октаэдра (малого икосаэдра). ^[с]Геометрия этой последовательности преобразований ^[бп] в С ³ аналогична кинематике кубооктаэдра и тенсегрити-икосаэдра в R ³. Скручивающие, расширяюще-сжимающие преобразования между этими многогранниками были названы преобразованиями Джиттербага Бакминстером Фуллером . ^[54]

[125] Эти 12 ячеек соединены краями с центральной ячейкой, лицевой стороной с внешними гранями кластера из 5 и соединены лицевой стороной друг с другом попарно.Это клетки с голубыми лицами в шести различных икосаэдрических пирамидах, окружающих кластер из пяти.

[126] Тетраэдр √ 1 имеет объем 9 √ 0 ,𝚫 тетраэдрических ячеек.В изогнутом трехмерном объеме из 600 ячеек он заключает в себе кластер из 5 ячеек, которые не заполняют его полностью.6 дипирамид (12 ячеек), помещающиеся в вогнутости кластера из 5 ячеек, переполняют его: только треть каждой дипирамиды лежит внутри тетраэдра √ 1 .Дипирамиды вносят в него по трети каждой из 12 ячеек, что соответствует объему, соответствующему 4 ячейкам.

[600_octahedra-127] 600-ячеечная структура также содержит 600 октаэдров . Первое сечение 600-ячейки, начинающееся с ячейки, тетраэдрическое, а третье сечение — октаэдрическое. Эти внутренние октаэдры не являются ячейками 600-ячеек, поскольку они не разделены по объему, но каждый из них является ячейкой одной из 25 внутренних 24-ячеек. 600-ячейка также содержит 600 кубов, каждый из которых является ячейкой одного из 75 внутренних 8-клеточных тессерактов. ^[ах]

[128] Каждое √ 1 ребро октаэдрической ячейки представляет собой длинный диаметр другой тетраэдрической дипирамиды (еще две тетраэдрические ячейки, связанные гранями).В 24-ячеечной пирамиде каждое ребро окружено тремя октаэдрическими ячейками, поэтому одна треть дипирамиды лежит внутри каждого октаэдра, разделенная между двумя соседними вогнутыми гранями.Каждая вогнутая грань заполнена на одну шестую каждой из трех дипирамид, окружающих три ее края, поэтому она имеет такой же объем, как одна тетраэдрическая ячейка.

[129] Октаэдрическая ячейка √ 1 (из любой 24-ячейки, вписанной в 600-ячейку) имеет шесть вершин, которые все лежат в одной гиперплоскости: они ограничивают октаэдрическое сечение (плоский трехмерный срез) 600-ячейки.Один и тот же √ 1 октаэдр, заполненный 25 тетраэдрическими ячейками, имеет всего 14 вершин, лежащих в трех параллельных трехмерных сечениях 600-ячейки: 6-точечном √ 1 октаэдре, 4-точечном √ 1 тетраэдрическом сечении и 4-точечное √ 0,𝚫 тетраэдрическое сечение.В искривленном трехмерном пространстве поверхности из 600 ячеек октаэдр √ 1 окружает тетраэдр √ 1, который окружает тетраэдр √ 0,𝚫 , как три концентрические оболочки.Этот 14-вершинный 4-многогранник представляет собой 4-пирамиду с правильным основанием октаэдра: не каноническую октаэдрическую пирамиду с одной вершиной (которая имеет всего 7 вершин), а неправильную усеченную октаэдрическую пирамиду. Поскольку ее основанием является правильный октаэдр, который представляет собой октаэдрическую ячейку с 24 ячейками, эта 4-пирамида лежит на поверхности 24-ячеечной пирамиды.

[130] Вершина канонической √ 1 октаэдрической пирамиды была усечена до правильной тетраэдрической ячейки с более короткими √ 0,𝚫 ребрами, а вершина заменена четырьмя вершинами.Усечение также создало еще четыре вершины (расположенные в виде тетраэдра √ 1 в гиперплоскости между основанием октаэдра и вершиной тетраэдрической ячейки) и связало эти восемь новых вершин с √ 0,𝚫 ребрами .Таким образом, усеченная пирамида имеет восемь вершин-вершин над гиперплоскостью ее октаэдрического основания, а не только одну вершину: всего 14 вершин.Исходная пирамида имела плоские стороны: пять геодезических маршрутов от любой базовой вершины к противоположной базовой вершине проходили вдоль двух √ 1 ребер (и только один из этих маршрутов проходил через единственную вершину).Усеченная пирамида имеет закругленные стороны: пять геодезических маршрутов от любой вершины основания к противоположной вершине основания проходят по трем √ 0,𝚫 ребрам (и проходят через две «вершины»).

[131] Однородные 4-многогранники, на которые наиболее похож этот неправильный 4-многогранник с 14 вершинами и 25 ячейками, могут быть выпрямленным 5-клеточным многогранником с 10 вершинами и 10 ячейками и его двойником (он имеет характеристики обоих).

[why_100-133] Jump up to: ^а ^б Как может неровный квадрат «яичного ящика» из 100 тетраэдров лежать на гладкой поверхности тора Клиффорда? ^{[компакт-диск]} Но как плоский квадрат 10x10 может представлять собой 120-вершинную 600-ячейку (где остальные 20 вершин)? При изоклиническом вращении 600-ячейки в инвариантных плоскостях большого декагона тор Клиффорда представляет собой гладкую евклидову 2-поверхность , которая пересекает средние края ровно 100 тетраэдрических ячеек. Ребра – это то, чего у тетраэдров 6. Средние ребра не являются вершинами 600-ячеечного многогранника, но все они являются 600 вершинами его двойственного многогранника равного радиуса, 120-ячеечного. В 120-ячейку вписаны 5 непересекающихся 600-ячеек, двумя разными способами. Этот отчетливый гладкий тор Клиффорда (это вращение) представляет собой дискретное расслоение 120 ячеек в 60 инвариантных плоскостях декагона и дискретное расслоение 600 ячеек в 12 инвариантных плоскостях декагона.

[annular_ring-135] Jump up to: ^а ^б Кольцевые промежутки между икосаэдрами заполнены кольцом из 10 тетраэдров, соединенных гранями, которые встречаются в вершине, где встречаются два икосаэдра.Это кольцо из 10 ячеек имеет форму пятиугольной антипризмы , выдолбленной как чаша с верхней и нижней сторон, так что в центре оно имеет нулевую толщину.Эта центральная вершина, как и все другие вершины 600-ячеистой ячейки, сама является вершиной икосаэдрической пирамиды, где встречаются 20 тетраэдров. ^[bj]Следовательно, кольцевое кольцо из 10 тетраэдров само по себе является экваториальным кольцом икосаэдрической пирамиды, содержащим 10 из 20 ячеек ее икосаэдрической пирамиды.

[triangles_10×10-137] Поверхность со 100 гранями столбца из 150 ячеек с треугольной гранью можно разрезать ножницами вдоль по пути 10 ребер, очистить и уложить ровно в виде параллелограмма треугольников 10 × 10.

[138] Поскольку поверхность тора со 100 гранями попеременно выпуклая и вогнутая, 100 тетраэдров укладываются на нее парами, связанными гранями, как 50 треугольных бипирамид , которые имеют одну общую приподнятую вершину и закрывают один ранее обнаженный край долины.Треугольные бипирамиды связаны друг с другом вершинами в 5 параллельных линиях по 5 бипирамид (10 тетраэдров) в каждой, которые проходят прямо вверх и вниз по внешней поверхности столбца из 150 ячеек.

[139] 5 декагонов спирали по часовой стрелке и 5 спиралей против часовой стрелки, пересекающиеся друг с другом в 50 вершинах долины.

[Clifford_torus-140] Jump up to: ^а ^б — Тор Клиффорда это расслоение Хопфа определенного изоклинического вращения жесткой трехмерной сферы , включающее все ее точки. Тор , встроенный в четырехмерное пространство , как и двойное вращение, является декартовым произведением двух полностью ортогональных больших кругов . Это пончик с начинкой, а не кольцевой пончик; в 3-сфере нет дырок, кроме окружающего ее 4-шара . Правильный 4-многогранник имеет различное число характеристических торов Клиффорда, поскольку он имеет различное число характеристических вращательных симметрий. Каждый образует дискретное расслоение, которое достигает всех дискретных точек по одному разу в изоклиническом вращении с отдельным набором пар полностью ортогональных инвариантных плоскостей.

[142] Тот же 10-гранный пояс икосаэдрической пирамиды представляет собой кольцевое кольцо из 10 тетраэдров вокруг вершины. ^[бз]

[Petrie_polygon_in_30-cell_ring-145] Jump up to: ^а ^б ^с из 600 ячеек Многоугольник Петри представляет собой косой триаконтагон {30} . В ортогональной проекции ее можно рассматривать как окружность триаконтаграммы спирали {30/3}=3{10} , которая делает зигзаги на 60° влево и вправо, соединяя пространство между тремя параллельными Клиффордом большими декагонами кольца из 30 ячеек. . В полностью ортогональной плоскости он проецируется на правильную триаконтаграмму {30/11} . ^[62]

[triple-helix_of_three_central_decagonal_planes-146] Jump up to: ^а ^б 30 вершин кольца тройной спирали Бурдейка–Коксетера лежат в трех декагональных центральных плоскостях, которые пересекаются только в одной точке (центре 600-ячейки), хотя они не являются полностью ортогональными или вообще ортогональными: они ⁠ $π$ / 5 ⁠ друг от друга. ^[в]Их десятиугольные большие круги параллельны Клиффорду: в каждой точке расстояние между ребрами составляет 600 ячеек. ^[из]Это обычные двумерные большие круги, а не спирали, но они соединены параллельными кругами Клиффорда.

[4-dimensional_great_circles-148] Jump up to: ^а ^б ^с Изоклинические геодезические — это 4-мерные большие круги в том смысле, что они представляют собой 1-мерные геодезические линии , которые изгибаются в 4-мерном пространстве одновременно в двух полностью ортогональных плоскостях.Их не следует путать с большими 2-сферами . ^[73] которые являются 4-мерными аналогами ^{[до н. э.]} двумерных больших кругов в трехмерном пространстве (большие 1-сферы).

[chirality_of_cell_rings-149] 20 колец по 30 ячеек являются хиральными объектами; они либо вращаются по часовой стрелке (справа), либо против часовой стрелки (слева).Тор из 150 ячеек (образованный пятью непересекающимися по ячейкам 30-клеточными кольцами одинаковой киральности, окружающими большой десятиугольник) сам по себе не является киральным объектом, поскольку его можно разложить либо на пять параллельных левых колец, либо на пять параллельных правых колец. вручил кольца.В отличие от колец из 20 ячеек, торы из 150 ячеек прямо конгруэнтны без скручивания , как и октаэдрические 6-клеточные кольца 24-клеток .Каждый большой декагон окружен пятью левыми кольцами из 30 ячеек, а также пятью окружающими его правыми кольцами из 30 ячеек; но левые и правые 30-клеточные кольца не являются клеточно-непересекающимися и принадлежат разным различным вращениям: левым и правым вращениям одного и того же расслоения.При любом изоклиническом вращении (влево или вправо) вершины 600-клеточного кольца движутся вдоль осевых 15-граммовых изоклин 20 левых 30-клеточных колец или 20 правых 30-клеточных колец.Таким образом, большие декагоны, кольца из 30 ячеек и торы из 150 ячеек представляют собой наборы параллельных взаимосвязанных кругов Клиффорда. ^[из] хотя точный способ их вложения вместе, избегания пересечения друг друга и прохождения друг через друга, образуя зацепление Хопфа , не идентичен для этих трех различных типов параллельных многогранников Клиффорда , отчасти потому, что связанные пары в различных случаях не обладают присущей им киральностью ( декагоны), одинаковая хиральность (кольца из 30 ячеек) или отсутствие чистого скручивания и как левая, так и правая внутренняя организация (торы из 150 ячеек), но прослеживается одна и та же хиральность внутренней организации при любом отчетливом вращении влево или вправо.

[150] Точка на карте икосаэдра Хопфа. ^[из] декагональное расслоение 600-клеток поднимается до большого декагона; треугольное лицо переходит в кольцо из 30 ячеек; а пятиугольная пятигранная пирамида поднимается до тора из 150 ячеек. ^[58] При разложении большой антипризмы два полностью непересекающихся тора из 150 ячеек поднимаются из противоположных пятиугольников, оставляя между ними экваториальное кольцо из 10 граней икосаэдра: декагон Петри из 10 треугольников, которые поднимаются до 10 колец по 30 ячеек. Два полностью непересекающихся 150-клеточных тора содержат 12 непересекающихся (параллельных Клиффорда) декагонов и все 120 вершин, поэтому они составляют полное расслоение Хопфа; для более 150-клеточных торов такого типа нет места. Чтобы получить разложение 600-ячеечного тора на четыре тора по 150 ячеек такого типа, икосаэдрическую карту необходимо разложить на четыре пятиугольника с центрами в вершинах вписанного тетраэдра, а икосаэдр не может быть разложен таким образом.

[reversed_greek_symbols-154] Jump up to: ^а ^б ( Коксетер 1973 ) использует греческую букву 𝝓 (фи) для обозначения одного из трех характеристических углов 𝟀, 𝝓, 𝟁 правильного многогранника. Поскольку 𝝓 обычно используется для обозначения константы золотого сечения ≈ 1,618, для которой Коксетер использует 𝝉 (тау), мы переворачиваем соглашения Кокстера и используем 𝝉 для обозначения характеристического угла.

[characteristic_radii-156] Четыре ребра каждой 4-ортосхемы, которые встречаются в центре правильного 4-многогранника, имеют неравную длину, поскольку они представляют собой четыре характерных радиуса правильного 4-многогранника: радиус вершины, радиус центра ребра, грань радиус центра и радиус центра ячейки.Пять вершин 4-ортосхемы всегда включают одну вершину правильного 4-многогранника, один центр ребра правильного 4-многогранника, один центр грани правильного 4-многогранника, один центр ячейки правильного 4-многогранника и центр правильного 4-многогранника.Эти пять вершин (именно в этом порядке) составляют путь вдоль четырех взаимно перпендикулярных ребер (что делает три поворота под прямым углом), что является характерной чертой 4-ортосхемы.4-ортосхема имеет пять различных граней 3-ортосхемы.

[157] Отражающая поверхность (3-мерного) многогранника состоит из 2-мерных граней; отражающая поверхность (4-мерного) полихорона состоит из 3-мерных ячеек.

[one_true_5𝝅_circle-160] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Изоклинический поворот на 36° — это два простых поворота на 36° одновременно. ^[дв] Он перемещает все вершины на 60° одновременно в разных направлениях. Пятнадцать последовательных диагональных приращений вращения, по 36 ° × 36 ° каждый, перемещают каждую вершину на 900 ° через 15 вершин на двойной петле Мёбиуса с окружностью 5𝝅, называемой изоклиной , обвивая 600-ячейку и возвращаясь к исходной точке, за один раз. В полтора раза меньше времени (15 приращений вращения), чем потребовалось бы при простом вращении, чтобы один раз обойти вершину вокруг 600-ячейки обычного большого круга {10} (с 10 приращениями вращения). ^[КС] Винтовая двойная изоклина 5𝝅 — это особый вид одиночного полного круга с периодом 1,5 (15 хорд вместо 10), как у простого большого круга. Изоклина — это одна истинная окружность, такая же идеально круглая и геодезическая, как и простой большой круг, даже несмотря на то, что ее хорды на φ длиннее, ее длина равна 5𝝅 вместо 2𝝅, она вращается в четырех измерениях вместо двух и действует в двух киральных формах. (слева и справа), хотя все такие круги одной и той же окружности прямо конгруэнтны. Тем не менее, чтобы избежать путаницы, мы всегда называем его изоклиной и оставляем термин «большой круг» для обычного большого круга на плоскости. ^[к]

[distinct_rotations-163] Jump up to: ^а ^б 600-ячейка имеет 7200 различных вращательных смещений, каждое из которых имеет свою инвариантную плоскость вращения. 7200 различных центральных плоскостей могут быть сгруппированы в наборы параллельных инвариантных плоскостей вращения Клиффорда, состоящих из 25 различных изоклинических вращений, и обычно представляются как эти наборы. ^[75]

[double_rotation-166] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Любое двойное вращение (включая изоклиническое вращение) можно рассматривать как композицию двух простых вращений a и b : левого двойного вращения как a, затем b , и правого двойного вращения как b, затем a .Простые вращения не коммутативны; вращение влево и вправо (в целом) достигает разных пунктов назначения.Разница между двойным вращением и двумя составляющими его простыми вращениями заключается в том, что двойное вращение является четырехмерно диагональным: каждая движущаяся вершина достигает своего пункта назначения напрямую, не проходя через промежуточную точку, к которой прикасается a, а затем b , или другую промежуточную точку, к которой прикасается b. затем a , вращаясь по одной винтовой геодезической (так что это кратчайший путь). ^[бф]И наоборот, любое простое вращение можно рассматривать как композицию двух равноугловых двойных вращений (левое изоклиническое вращение и правое изоклиническое вращение), как обнаружил Кэли ; Возможно, это удивительно, но эта композиция коммутативна и возможна также для любого двойного вращения. ^[72]

[isoclinic_rotation_to_non-adjacent_vertices-167] Jump up to: ^а ^б Изоклинические вращения переводят каждую вершину в несмежную вершину, расположенную на расстоянии не менее двух длин ребра.В характерных изоклинических вращениях 5-ячеечного, 16-ячеечного, 24-ячеечного и 600-ячеечного несмежная вершина находится на расстоянии ровно двух длин ребра вдоль одного из нескольких геодезических маршрутов большого круга: противоположная вершина соседнего круга. клетка.В 8-клетке она находится на расстоянии трех зигзагообразных ребер в той же ячейке: противоположная вершина куба. В ячейке со 120 ячейками она находится на расстоянии четырех зигзагообразных ребер в той же ячейке: противоположная вершина додекаэдра.

[isoclinic_4-dimensional_diagonal-168] Jump up to: ^а ^б ^с При изоклиническом вращении каждая точка в любом месте 4-мерного многогранника перемещается на одинаковое расстояние одновременно в четырех ортогональных направлениях по 4-мерной диагонали . ^[к]Точка смещается на общее пифагорово расстояние, равное квадратному корню из четырехкратного квадрата этого расстояния.Все вершины смещаются к вершине, расположенной на расстоянии не менее двух длин ребра. ^[кк]Например, когда ячейка с единичным радиусом 600 изоклинически вращается на 36 градусов в инвариантной плоскости десятиугольника и на 36 градусов в ее полностью ортогональной инвариантной плоскости, ^[ан] каждая вершина перемещается в другую вершину, отстоящую на √ 1 (60 °), перемещаясь на √ 1/4 = 1/2 единичного радиуса в четырех ортогональных направлениях.

[double_threaded-169] Jump up to: ^а ^б ^с 600-ячеечной Поскольку спиральная геодезическая пентадекаграмма ₂ геодезической изогнута в скрученное кольцо в четвертом измерении, как лента Мёбиуса , ее винтовая резьба удваивается поперек себя после каждого оборота, даже не меняя направления вращения (влево или вправо).Изоклинический путь с 30 вершинами следует двойной петле Мёбиуса, образуя единственную непрерывную петлю с 15 вершинами, проходимую за два оборота.Спираль Мёбиуса представляет собой геодезическую «прямую линию» или изоклину .Изоклина соединяет вершины косой полиграммы с более низкой частотой (более длинной волной), чем многоугольник Петри.Триаконтагон Петри имеет √ 0,𝚫 ребер; изоклиническая пентадекаграмма ₂ имеет √ 1 ребер, которые соединяют вершины, находящиеся на расстоянии двух √ 0,𝚫 ребер друг от друга.Каждое ребро √ 1 принадлежит отдельному большому шестиугольнику , а последующие ребра √ 1 принадлежат разным 24-клеткам, поскольку изоклиническое вращение переводит шестиугольники в параллельные шестиугольники Клиффорда и проходит через последовательные параллельные 24-клетки Клиффорда.

[not_all_isoclines_are_circles-171] Jump up to: ^а ^б Все изоклины являются геодезическими , а изоклины в 3-сфере представляют собой круги (одинаково изогнутые в каждом измерении), но не все изоклины в 3-многообразиях в 4-мерном пространстве являются кругами.

[black_and_white-172] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Изоклинические вращения ^[к] разделить 600 ячеек (и 120 вершин) 600-ячейки на два непересекающихся подмножества по 300 ячеек (и 60 вершин), четных и нечетных (или черных и белых), которые смещаются местами между собой на черных или белых изоклинах, в способом, аналогичным по размерам ^{[до н. э.]} к тому, как диагональные ходы слонов ограничивают их белыми или черными клетками шахматной доски . ^[из] Черное и белое подмножества также разделены между черными и белыми инвариантными многоугольниками большого круга изоклинического вращения. При дискретном вращении (как в 4-многограннике с конечным числом вершин) черное и белое подмножества соответствуют наборам вписанных больших многоугольников {p} в инвариантные многоугольники большого круга {2p}. Например, в 600-ячейке черный и белый большой пятиугольник {5} вписаны в инвариант большого декагона {10} характерного декагонального изоклинического вращения. Важно отметить, что черно-белая пара многоугольников {p} одного и того же изоклинического вращения никогда не вписывается в один и тот же многоугольник {2p}; в каждый инвариантный многоугольник {2p} всегда вписан черный и белый многоугольники {p}, но они принадлежат разным изоклиническим вращениям: левому и правому вращениям одного и того же фибратона, которые имеют один и тот же набор инвариантных плоскостей. Черные (белые) изоклины пересекают только черные (белые) большие многоугольники {p}, поэтому каждая вершина либо черная, либо белая.

[Clifford_polygon-174] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Траекторию хорды изоклины можно назвать многоугольником Клиффорда 4-многогранника , поскольку это косая многоугольная форма кругов вращения, через которые проходят вершины 4-многогранника в его характерном смещении Клиффорда . ^[86]Изоклина представляет собой спиральную двойную петлю Мёбиуса, которая дважды меняет свою киральность в ходе полного двойного контура.Обе петли полностью содержатся в одном и том же кольце ячеек , где они оба следуют хордам, соединяющим четные (нечетные) вершины: обычно противоположные вершины соседних ячеек, расположенные на расстоянии двух ребер друг от друга. ^[с]Обе «половинки» двойной петли проходят через каждую ячейку клеточного кольца, но пересекают только две четные (нечетные) вершины в каждой четной (нечетной) ячейке.Каждая пара пересекающихся вершин в четной (нечетной) ячейке лежит друг напротив друга на ленте Мёбиуса на расстоянии ровно одного ребра.Таким образом, через каждую ячейку проходят две спирали, являющиеся параллелями Клиффорда. ^[из] противоположной киральности в каждой паре параллельных точек.В глобальном масштабе эти две спирали представляют собой единый связный круг обеих киральности, ^[сп] без чистого кручения .Изоклина действует как левая (или правая) изоклина при прохождении через левое (или правое) вращение (различных расслоений).

[Villarceau_circles-175] Jump up to: ^а ^б Изоклины на 3-сфере встречаются в непересекающихся парах четности/нечетности координат. ^[с]Одна черная или белая изоклина образует петлю Мёбиуса, называемую торическим узлом {1,1} или кругом Вильярсо. ^[74] в котором каждый из двух «кругов», соединенных в петлю Мёбиуса «восьмерка», проходит через все четыре измерения. ^{[резюме]}Двойная петля представляет собой настоящий круг в четырех измерениях. ^[сп]Четные и нечетные изоклины также связаны не петлей Мёбиуса, а звеном Хопфа двух непересекающихся окружностей. ^[из] как и все параллельные изолинии Клиффорда расслоения Хопфа .

[identical_rotations-176] Jump up to: ^а ^б Вращение в четырехмерном пространстве полностью характеризуется выбором инвариантной плоскости, а также угла и направления (влево или вправо), на которые она вращается, а также другого угла и направления, на которые вращается ее одна полностью ортогональная инвариантная плоскость.Два вращательных смещения идентичны, если они имеют одну и ту же пару инвариантных плоскостей вращения на одни и те же углы в одних и тех же направлениях (и, следовательно, также одно и то же киральное спаривание направлений).Таким образом, общее вращение в 4-мерном пространстве — это двойное вращение , характеризующееся двумя углами.Простое вращение — это особый случай, в котором один из углов поворота равен 0. ^[сп]Изоклиническое вращение — это особый случай, похожий, но не идентичный двум простым поворотам на один и тот же угол. ^[к]

[isoclinic_invariant_planes-177] Jump up to: ^а ^б ^с В каждом простом вращении существует одна инвариантная плоскость и полностью ортогональная фиксированная плоскость. В каждом изоклиническом вращении существует бесконечное количество пар полностью ортогональных инвариантных плоскостей, вращающихся на один и тот же угол; ^[бг] тем не менее, не все центральные плоскости являются инвариантными плоскостями вращения .Инвариантные плоскости изоклинического вращения составляют расслоение всего 4-многогранника. ^[77]При каждом изоклиническом вращении 600-ячейки, переводящем вершины в вершины, либо 12 параллельных больших десятиугольников Клиффорда , либо 20 параллельных больших шестиугольников Клиффорда , либо 30 параллельных больших квадратов Клиффорда являются инвариантными плоскостями вращения.

[plane_movement_in_rotations-178] При изоклиническом вращении каждая инвариантная плоскость является Клиффордом, параллельной плоскости, в которую она движется, и они никогда не пересекаются (кроме центральной точки). При простом вращении инвариантная плоскость пересекает плоскость, в которую она движется, по линии, и перемещается к ней, вращаясь вокруг этой линии.

[Clifford_displacement-179] При Клиффорда смещении , также известном как изоклиническое вращение , все параллельные Клиффорда ^[из] инвариантные плоскости ^[си] смещены сразу в четырех ортогональных направлениях (две совершенно ортогональные плоскости): они повернуты на один и тот же угол и в то же время наклонены вбок на тот же угол. Смещение Клиффорда диагональным является четырехмерным . ^[кр]Каждая плоскость, параллельная по Клиффорду одной из полностью ортогональных плоскостей, инвариантна относительно изоклинического вращения: все точки в плоскости вращаются по кругу, но остаются в плоскости, даже если вся плоскость вращается вбок. ^[ru]Все центральные многоугольники (любого типа) вращаются на один и тот же угол (хотя не все делают это инвариантно), а также смещаются вбок на один и тот же угол к параллельному многоугольнику Клиффорда (того же типа).

[120°_apart-181] Три 16-ячейки в 24-ячейке повернуты на 60 ° ( ⁠ 𝜋 / 3 ⁠ ) изоклинически относительно друг друга.Поскольку изоклиническое вращение — это вращение в двух полностью ортогональных плоскостях одновременно, это означает, что их соответствующие вершины равны 120 ° ( ⁠ 2𝜋 / 3 ⁠ ) отдельно.В 4-многограннике единичного радиуса вершины, расположенные на расстоянии 120° друг от друга, соединены хордой √ 3 .

[isoclinic_geodesic_displaces_every_central_polytope-184] Jump up to: ^а ^б ^с Любое изоклиническое вращение ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ в декагональных инвариантных плоскостях ^[Из] принимает каждый центральный многоугольник , кольцо геодезических ячеек или вписанный 4-многогранник ^[ф] в 600-ячеечном параллельном многограннике Клиффорда ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ отсюда.

[four_directions_toward_another_24-cell-185] Jump up to: ^а ^б Пять 24-клеток встречаются в каждой вершине 600-ячейки. ^[я] таким образом, существует четыре разных направления, в которых вершины могут двигаться, чтобы вращать 24-ячейку (или все 24-ячейку одновременно при изоклиническом вращении). ^{[постоянный ток]}) непосредственно к соседней 24-клетке.

[rotations_to_8_disjoint_24-cells-187] Jump up to: ^а ^б Непересекающаяся 24-ячейка , достигнутая в результате изоклинического вращения, не является ни одной из четырех соседних 24-клеток; двойное вращение ^[cx] проходит мимо (не через) соседнюю 24-ячейку, к которой он вращается, ^[дд] и влево или вправо к более удаленной 24-клетке, с которой она полностью не пересекается. ^[г]Четыре направления достигают 8 различных 24-клеток. ^[д] потому что при изоклиническом вращении каждая вершина движется по спирали сразу по двум совершенно ортогональным большим окружностям.Четыре пути имеют правую резьбу (как и большинство винтов и болтов) и движутся по окружностям в «одних и тех же» направлениях, а четыре — с левой резьбой (как у болта с обратной резьбой), перемещаясь по окружностям в том направлении, которое мы условно скажем, являются «противоположными» направлениями (согласно правилу правой руки , согласно которому мы условно говорим, какой путь находится «вверх» на каждой из 4 координатных осей). ^[78]

[isoclinic_and_not_disjoint-188] Все изоклинические многоугольники являются параллелями Клиффорда (полностью непересекающимися). ^[г]Многогранники (3-многогранники) и полихоры (4-многогранники) могут быть изоклиническими и не пересекающимися, если все соответствующие им центральные многоугольники либо параллельны по Клиффорду, либо соклеточны (в одной и той же гиперплоскости), либо совпадают (один и тот же объект, общий).Например, ячейки с 24, 600 и 120 ячейками содержат пары вписанных тессерактов (8 ячеек), которые изоклинически повернуты ⁠ 𝜋 / 3 ⁠ по отношению друг к другу, но не не пересекаются: они имеют общую 16-клеточную структуру (8 вершин, 6 больших квадратов и 4 октаэдрические центральные гиперплоскости), а некоторые соответствующие пары их больших квадратов являются коклеточными (пересекающимися), а не чем параллель Клиффорда (непересекающаяся).

[rotations_to_16_non-disjoint_24-cells-189] Jump up to: ^а ^б ^с В каждой вершине 600-ячейки имеется четыре смежных (непересекающихся) ^[г] 24 ячейки, до каждой из которых можно добраться простым вращением в этом направлении. ^[дд]Каждая 24-ячейка имеет четыре больших шестиугольника, пересекающихся в каждой из ее вершин, один из которых является общим с каждой из соседних 24-клеток; при простом вращении шестиугольная плоскость остается неподвижной (ее вершины не перемещаются), а 600-ячейка вращается вокруг общей шестиугольной плоскости.Всего 24-клетка имеет 16 больших шестиугольников, поэтому она смежна (непересекающаяся) с 16 другими 24-клетками. ^[д]Помимо того, что достижимо простым вращением, до каждого из 16 объектов можно также добраться изоклиническим вращением, при котором общая шестиугольная плоскость не фиксирована : она вращается (неинвариантно) через ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ .Двойное вращение достигает соседней 24-клетки напрямую, как бы косвенно, посредством двух последовательных простых вращений: ^[сп] сначала в одну из других соседних 24-ячеек, а затем в целевую 24-ячейку (смежную с ними обеими).

[direct_simple_rotations-190] Jump up to: ^а ^б В ячейке с 600 ячейками существует простой поворот , который переносит любую вершину непосредственно в любую другую вершину, а также перемещает большинство или все остальные вершины, но оставляет фиксированными не более 6 других вершин (вершины, которые пересекает фиксированная центральная плоскость).Вершина движется по большому кругу в инвариантной плоскости вращения между соседними вершинами большого десятиугольника, большого шестиугольника, большого квадрата или большого двуугольника . ^[В] и полностью ортогональная фиксированная плоскость пересекает 0 вершин (30-угольник), ^[ан] 2 вершины (двуугольник), 4 вершины (квадрат) или 6 вершин (шестиугольник) соответственно.Две непересекающиеся 24-клетки связаны простым вращением через ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ центральной плоскости двуугольника, полностью ортогональной их общей шестиугольной центральной плоскости.При этом простом вращении шестиугольник не перемещается.Две непересекающиеся 24-ячейки также связаны изоклиническим вращением, при котором общая шестиугольная плоскость действительно перемещается. ^[дг]

[191] Любое изоклиническое вращение в декагональной инвариантной плоскости является изоклиническим вращением в 24 инвариантных плоскостях: 12 параллельных декагональных плоскостях Клиффорда, ^[си] и 12 параллельных Клиффорду 30-угольных плоскостей, полностью ортогональных каждой из этих десятиугольных плоскостей. ^[ан]Поскольку инвариантные плоскости вращаются одновременно в двух полностью ортогональных направлениях, ^[бф] все точки в плоскостях движутся вместе с ними (остаются в своих плоскостях и вращаются вместе с ними), описывая винтовые изоклины ^[к] через 4-пространство.Однако обратите внимание, что в дискретном декагональном слое 600-ячеек (где 120 вершин являются единственными рассматриваемыми точками) 12 30-угольных плоскостей не содержат точек.

[apparent_incongruity-192] Jump up to: ^а ^б Обратите внимание на кажущееся несоответствие вращающихся шестиугольников . ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ , поскольку только их противоположные вершины являются целыми кратными ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ друг от друга.Однако вспомните , что вершины с 600 ячейками, которые находятся на расстоянии одного ребра шестиугольника, находятся друг от друга ровно на два ребра декагона и две тетраэдрические ячейки (одна треугольная дипирамида).Шестиугольники имеют свои собственные 10 дискретных расслоений и клеточные кольца , не параллельные десятиугольным расслоениям по Клиффорду , но также по пятёркам. ^[к] в том, что пять 24-клеток встречаются в каждой вершине, причем каждая пара делит шестиугольник. ^[я]Каждый шестиугольник вращается неинвариантно на ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ в гексагональном изоклиническом вращении между непересекающимися 24-ячейками. ^[дг] И наоборот, во всех ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ изоклинические вращения в декагональных инвариантных плоскостях , все вершины перемещаются по изоклинам ^[к] которые следуют за краями шестиугольников .

[isoclines_have_no_inherent_chirality-196] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Каждая изоклина не имеет присущей ей киральности, но может действовать как левая или правая изоклина; его разделяют отчетливое левое вращение и отчетливое правое вращение разных расслоений.

[{2p}_isoclinic_rotations-197] Jump up to: ^а ^б Аналогичные отношения между тремя видами изоклинических вращений {2p} в параллельных пучках Клиффорда инвариантных плоскостей большого многоугольника {4}, {6} или {10} соответственно лежат в основе сложных вложенных отношений между регулярными выпуклыми 4- многогранники . ^[а]В поворотах √ 1 шестиугольника {6}, характерных для 24-клеток , хорды изоклины (ребра полиграммы) представляют собой просто √ 3 хорды большого шестиугольника, поэтому простое вращение шестиугольника {6} и изоклиническая гексаграмма {6/2} вращение оба вращают круги из 6 вершин.Изоклина гексаграммы, особый вид большого круга, имеет длину окружности 4𝝅 по сравнению с большим кругом шестиугольника 2𝝅. ^[дк]Инвариантная центральная плоскость, полностью ортогональная каждому большому шестиугольнику {6}, представляет собой большой двуугольник {2}, ^[В] поэтому изоклиническое {6} вращение гексаграмм также является {2} вращением осей . ^[д]При поворотах √ 2 квадрата {4}, характерных для 16-клеток , полиграмма изоклины представляет собой октаграмму , а хорды изоклины — это ее √ 2 ребра и √ 4 диаметра, поэтому изоклина представляет собой круг окружности 4. При изоклиническом вращении восемь вершин октаграммы {8/3} меняются местами, каждая совершая один полный оборот на 720 °, когда изоклина обвивает трижды 3-сферу.Инвариантная центральная плоскость, полностью ортогональная каждому большому квадрату {4}, представляет собой другой большой квадрат {4}, расположенный на расстоянии √ 4 , поэтому вправо поворот квадратов влево {4} также является поворотом квадратов {4}. с 16 ячейками, Двойственный многогранник 8 -клеточный тессеракт, наследует те же простые вращения {4} и изоклинические вращения {8/3}, но его характерное изоклиническое вращение происходит в полностью ортогональных инвариантных плоскостях, которые содержат большой прямоугольник {4} или { 2} большой дигон (от его преемника 24-клеточного). В 8-ячейке это вращение √ 1 × √ 3 больших прямоугольников, а также вращение √ 4 осей, но это такое же изоклиническое вращение, как и характерное для 24-ячейки вращение {6} больших шестиугольников (в котором вписаны большие прямоугольники), как следствие того уникального обстоятельства, что 8- и 24-элементные имеют одинаковую длину края .В поворотах декагона {10} √ 0,𝚫 , характерных для 600-ячейки изоклины , хорды представляют собой √ 1 шестиугольника ребра , полиграмма изоклины представляет собой пентадекаграмму, а длина изоклины равна 5. ^[сп]Изоклиническое вращение пентадекаграммы {15/2} вращает круг из {15} вершин за то же время, что и простое вращение десятиугольника из {10} вершин.Инвариантная центральная плоскость, полностью ортогональная каждому большому десятиугольнику {10}, представляет собой большой 0-угольник {0}, ^[ал] поэтому поворот десятиугольников {10} также является поворотом {0} плоскостей, не содержащих вершин.Двойной многогранник из 600 ячеек, 120-ячеечный, наследует те же простые {10} и изоклинические вращения {15/2}, но его характерное изоклиническое вращение происходит в полностью ортогональных инвариантных плоскостях, которые содержат {2} больших двуугольников (от его преемника 5-клеточный). ^{[доктор]} Это вращение неправильных больших шестиугольников {6} с двумя чередующимися длинами ребер (аналогично большим прямоугольникам тессеракта), где два ребра разной длины представляют собой три ребра по 120 ячеек и три ребра по 5 ячеек .

[199] Каждое дискретное расслоение регулярного выпуклого 4-многогранника характеризуется уникальной парой изоклинических вращений слева направо и уникальным пучком многоугольников {2p} большого круга (0 ≤ p ≤ 5) в инвариантных плоскостях этой пары вращений. .Каждое отдельное вращение имеет уникальный набор левых (или правых) многоугольников {p}, вписанных в многоугольники {2p}, и уникальный набор косых полиграмм {2p}, которые являются его дискретными левыми (или правыми) изоклинами.Полигоны {p} объединяют полиграммы {2p} в пучок, и наоборот.

[decagonal_fibration_of_chiral_bundles-201] Существует шесть конгруэнтных десятиугольных расслоений 600-ячеистой ячейки. Выбор одного декагонального расслоения означает выбор пучка из 12 прямо конгруэнтных параллельных больших десятиугольных кругов Клиффорда и набора из 20 прямо конгруэнтных колец из 30 ячеек, которые образуют мозаику из 600 ячеек. Расслоение и его большие круги не являются киральными, но имеют отдельные левые и правые выражения в паре левых и правых изоклинических вращений. При правом (левом) вращении вершины движутся вдоль правого (левого) расслоения Хопфа параллельных изоклин Клиффорда и пересекают правый (левый) расслоение Хопфа параллельных больших пятиугольников Клиффорда.Кольца из 30 ячеек — единственные хиральные объекты, кроме пучков изоклин или пятиугольников. ^[82]Правый (левый) пучок пятиугольников содержит 12 больших пятиугольников, вписанных в 12 параллельных больших десятиугольников Клиффорда .Правый (левый) пучок изоклин содержит 20 параллельных пентадекаграмм Клиффорда, по одной в каждом 30-клеточном кольце.

[202] Композиция двух простых поворотов на 60 ° в паре полностью ортогональных инвариантных плоскостей представляет собой изоклинический поворот на 60 ° в четырех парах полностью ортогональных инвариантных плоскостей. ^[сп] Таким образом, изоклиническое вращение представляет собой смесь четырех простых вращений, и все 24 вершины вращаются в инвариантных плоскостях шестиугольника, а в простом вращении всего 6 вершин.

[4𝝅_rotation-203] Jump up to: ^а ^б 24-ячеечная вращает шестиугольники на гексаграммах , а 600-ячеечная вращает шестиугольники на декаграммах, но это дискретные случаи одного и того же вида изоклинического вращения в плоскостях, инвариантных шестиугольникам. В частности, все их конгруэнтные изоклины представляют собой один и тот же геодезический круг окружности 4𝝅. ^[ДХ]

[one_true_4𝝅_circle-204] Jump up to: ^а ^б ^с Изоклинический поворот на 60° — это два простых поворота на 60° одновременно. ^{[делать]} Он перемещает все вершины на 120° одновременно в разных направлениях. Шесть последовательных диагональных приращений вращения, по 60°x60° каждое, перемещают каждую вершину на 720° по двойной петле Мёбиуса, называемой изоклиной , дважды вокруг 24-клеточной ячейки и обратно в исходную точку за одно и то же время (шесть единиц вращения) . ), что потребуется простое вращение, чтобы один раз обойти вершину 24-клетки обычного большого круга. Спиральная двойная петля 4𝝅 изоклины — это всего лишь еще один вид одиночного полного круга того же временного интервала и периода (6 хорд), что и простой большой круг. Изоклина – это один правильный круг, ^[ч] такой же идеально круглый и геодезический, как простой большой круг, даже если его хорды на √ 3 длиннее, его длина равна 4𝝅 вместо 2𝝅, ^[дп] он вращается в четырех измерениях вместо двух, ^{[продолжение]} и он действует в двух киральных формах (левой и правой), хотя все такие круги одной и той же окружности прямо конгруэнтны. ^{[резюме]} Тем не менее, чтобы избежать путаницы, мы всегда называем его изоклиной и оставляем термин «большой круг» для обычного большого круга на плоскости.

[infinite_inscribed_sequence-205] В 120-клетку вписано 120 правильных 5-клеток. 5- ячейка имеет центральные плоскости двуугольников , никакие две из которых не ортогональны. Он имеет 10 центральных плоскостей двуугольников, где каждая пара вершин является ребром, а не осью.5-ячейка самодуальна, поэтому при возвратно-поступательном движении 120-ячейка может быть вписана в правильную 5-ячейку большего радиуса. Поэтому конечная последовательность из 6 правильных 4-многогранников ^[а] вложенные, как матрешки, также можно рассматривать как бесконечную последовательность.

[206] В кольце из 30 ячеек каждая изоклина проходит от вершины к несмежной вершине в третьей оболочке вершин, окружающей ее.Три другие вершины между этими двумя вершинами можно увидеть в кольце из 30 ячеек: две смежные в первой окружающей оболочке и одна во второй окружающей оболочке.

[left-right_versus_black-white-209] Хиральность и четность/нечетность — это разные вкусы.Вещи, имеющие четность/нечетность координат, являются черными или белыми: квадраты шахматной доски , ячейки , вершины и изоклины , соединяющие их изоклиническим вращением. ^[к] Все остальное черно-белое: например, соседние пары ячеек, связанных гранями , или края и хорды , которые черные на одном конце и белые на другом. (Поскольку точки и линии сложно раскрасить в белый цвет, мы иногда используем черный и красный вместо черно-белого цвета. В частности, хорды изоклин иногда изображаются черными или красными пунктирными линиями.)Вещи, обладающие киральностью, бывают правых или левых энантиоморфных форм: изоклинические вращения и киральные объекты , которые включают характерные ортосхемы , пары параллельных больших многоугольных плоскостей Клиффорда , ^[85] пучки волокон параллельных кругов Клиффорда (независимо от того, являются ли сами круги хиральными) и хиральные клеточные кольца, обнаруженные в 16- и 600-ячеечных клетках . имеют Вещи, которые не ни четности/нечетности, ни киральности, включают все ребра и грани (общие для черных и белых ячеек), многоугольники большого круга и их расслоения , а также нехиральные клеточные кольца, такие как 24-клеточные клеточные кольца октаэдров .Некоторые вещи имеют как четную/нечетную четность, так и хиральность: изоклины черные или белые, потому что они соединяют вершины одного цвета, и они действуют как левые или правые киральные объекты, когда являются путями вершин при вращении влево или вправо. , хотя сами по себе они не обладают присущей киральности. ^[ДК]Каждое левое (или правое) вращение пересекает равное количество черных и белых изоклин. ^{[резюме]}

[isoclinic_chessboard-210] Jump up to: ^а ^б Вращение изоклины влево и вправо одинаково разделяет 600 ячеек (и 120 вершин) на черное и белое. ^[17]Вращения всех слоев одного и того же большого многоугольника используют одну и ту же шахматную доску, которая представляет собой соглашение о системе координат, основанной на четных и нечетных координатах. ^[84] Левая и правая не являются цветами: при вращении влево (или вправо) половина движущихся вершин — черные, проходящие по черным изоклинам через черные вершины, а другая половина — белые вершины, вращающиеся между собой. ^[дт]

[211] Каждая ось 600-ячейки касается левой изоклины каждого расслоения на одном конце и правой изоклины расслоения на другом конце.Осевая изоклина каждого кольца из 30 ячеек проходит только через одну из двух противоположных вершин каждой из 30 (из 60) осей по 600 ячеек, которых касается кольцо из 30 вершин и 30 ячеек изоклины (только на одном конце).

[213] Композиция двух простых поворотов на 36 ° в паре полностью ортогональных инвариантных плоскостей представляет собой изоклинический поворот на 36 ° в двенадцати парах полностью ортогональных инвариантных плоскостей. ^[сп] Таким образом, изоклиническое вращение представляет собой смесь двенадцати простых вращений, и все 120 вершин вращаются в инвариантных плоскостях десятиугольника, а в простом вращении всего 10 вершин.

[isocline_circumference.-214] Все трехсферные изоклины ^[к] одной и той же окружности являются прямо равными кругами. ^[кт] Обыкновенный большой круг представляет собой изоклину окружности 2; простые вращения происходят на 2𝝅 изоклинах. Двойные вращения могут иметь изоклины, отличные от $2\pi r$ окружность. Характерным вращением правильного 4-многогранника является изоклиническое вращение, при котором центральные плоскости, содержащие его ребра, являются инвариантными плоскостями вращения. Края из 16 и 24 ячеек вращаются на изоклинах окружности 4𝝅. Край из 600 ячеек вращается на изоклинах окружности 5𝝅.

[215] {20/6}=2{10/3} из 600 ячеек Спиральная икосаграмма представляет собой соединение спиральной гексаграммы {6/2} из 24 ячеек, которая вписана в нее так же, как 24-ячеечная вписана в 600-ячеечный.

[216] 16-ячеечная вращает квадраты на {8/3} октаграммах , 24-ячеечная вращает квадраты на {24/9}=3{8/3} октаграммах , а 600 вращает квадраты на {24/5} 24-граммах. , но это дискретные случаи одного и того же изоклинического вращения в инвариантных плоскостях большого квадрата. В частности, все их конгруэнтные изоклины представляют собой один и тот же геодезический круг окружности 4𝝅. Они имеют разные полиграммы изоклин только потому, что кривая изоклины пересекает больше вершин в 600-ячейке, чем в 24-ячейке или 16-ячейке. Спиральная 24-грамма {24/5} 600-ячеечной структуры представляет собой соединение спиральной октаграммы {24/9} 24-клеточной, которая вписана в 600-ячеечную октаграмму так же, как спиральная октаграмма {8/3} 16-клеточной. вписан в 24-клетку.

[1] Н. В. Джонсон : Геометрии и трансформации , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Глава 11: Группы конечной симметрии , 11.5 Сферические группы Кокстера , стр.249

[2] Матила Гика, Геометрия искусства и жизни (1977), стр.68

[FOOTNOTECoxeter1973136§7.8_The_enumeration_of_possible_regular_figures-3] Коксетер 1973 , с. 136, §7.8 Перечисление возможных правильных фигур.

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(ii):_The_sixteen_regular_polytopes_{''p,q,r''}_in_four_dimensions-4] Coxeter 1973 , стр. 292–293, Таблица I(ii): Шестнадцать правильных многогранников { p,q,r } в четырех измерениях; Бесценная таблица, предоставляющая все 20 метрик каждого 4-многогранника в единицах длины ребра. Их необходимо алгебраически преобразовать для сравнения многогранников единичного радиуса.

[FOOTNOTECoxeter1973153§8.51-6] Коксетер 1973 , с. 153, §8.51; «Фактически, вершины {3, 3, 5}, каждая из которых взята по 5 раз, являются вершинами 25 {3, 4, 3}».

[FOOTNOTECoxeter1973305Table_VII:_Regular_Compounds_in_Four_Dimensions-7] Jump up to: ^а ^б Коксетер 1973 , с. 305, Таблица VII: Регулярные соединения в четырех измерениях.

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(ii),_"600-cell"_column_<sub>0</sub>''R/l''_=_2𝝓/2-8] Coxeter 1973 , стр. 292–293, Таблица I(ii), столбец «600 ячеек» ₀ R/l = 2𝝓/2.

[FOOTNOTECoxeter1973156–157§8.7_Cartesian_coordinates-9] Коксетер 1973 , стр. 156–157, §8.7 Декартовы координаты.

[FOOTNOTECoxeter1973151–153§8.4_The_snub_{3,4,3}-10] Jump up to: ^а ^б Коксетер 1973 , стр. 151–153, §8.4 Пренебрежение {3,4,3}.

[FOOTNOTEWaegellAravind20093–4§3.2_The_75_bases_of_the_600-cell-16] Waegell & Aravind 2009 , стр. 3–4, §3.2 75 оснований 600-ячеечного числа; В 600-ячеечной конфигурации «точками» и «линиями» являются оси («лучи») и 16 ячеек («основания») соответственно.

[FOOTNOTEDenneyHookerJohnsonRobinson2020-17] Jump up to: ^а ^б ^с Денни и др. 2020 .

[FOOTNOTEDenneyHookerJohnsonRobinson2020438-19] Jump up to: ^а ^б Денни и др. 2020 , с. 438.

[FOOTNOTEZamboj202110–11§Hopf_coordinates-24] Zamboj 2021 , стр. 10–11, §Координаты Хопфа.

[FOOTNOTECoxeter1973298Table_V:_The_Distribution_of_Vertices_of_Four-dimensional_Polytopes_in_Parallel_Solid_Sections_(§13.1);_(iii)_Sections_of_{3,_3,_5}_(edge_2𝜏<sup>−1</sup>)_beginning_with_a_vertex-30] Коксетер 1973 , с. 298, таблица V: Распределение вершин четырехмерных многогранников в параллельных сплошных сечениях (раздел 13.1); (iii) Сечения {3, 3, 5} (ребро 2𝜏 ⁻¹), начиная с вершины.

[FOOTNOTEOss1899-31] Осс 1899 ; ван Осс не упоминает дуговые расстояния между вершинами 600-ячейки.

[FOOTNOTEBuekenhoutParker1998-32] Букенхаут и Паркер 1998 .

[FOOTNOTEDechant202118–20§6._The_Coxeter_Plane-33] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Дечант 2021 , стр. 18–20, §6. Самолет Кокстера.

[FOOTNOTECoxeter1973298Table_V:_The_Distribution_of_Vertices_of_Four-dimensional_Polytopes_in_Parallel_Solid_Sections_(§13.1);_(iii)_Sections_of_{3,_3,_5}_(edge_2𝜏<sup>−1</sup>)_beginning_with_a_vertex;_see_column_''a''-36] Коксетер 1973 , с. 298, таблица V: Распределение вершин четырехмерных многогранников в параллельных сплошных сечениях (раздел 13.1); (iii) Сечения {3, 3, 5} (ребро 2𝜏 ⁻¹) начиная с вершины; см. столбец а .

[FOOTNOTESteinbach199723Figure_3-37] Штайнбах 1997 , с. 23, рис. 3; Штейнбах вывел формулу, связывающую диагонали и длины ребер последовательных правильных многоугольников, и проиллюстрировал ее диаграммой «веера хорд», подобной приведенной здесь.

[39] Баэз, Джон (7 марта 2017 г.). «Пи и золотое сечение» . Азимут . Проверено 10 октября 2022 г.

[FOOTNOTEDenneyHookerJohnsonRobinson2020434-42] Jump up to: ^а ^б Денни и др. 2020 , с. 434.

[FOOTNOTEDenneyHookerJohnsonRobinson2020437–439§4_The_planes_of_the_600-cell-50] Денни и др. 2020 , стр. 437–439, §4 Плоскости 600-клетки.

[FOOTNOTEKimRote20168–10Relations_to_Clifford_Parallelism-51] Kim & Rote 2016 , стр. 8–10, Связь с параллелизмом Клиффорда.

[FOOTNOTESadoc2001576§2.4_Discretising_the_fibration_for_the_{3,_3,_5}_polytope:_the_ten-fold_screw_axis-56] Jump up to: ^а ^б Садок 2001 , с. 576, §2.4 Дискретизация расслоения многогранника {3, 3, 5}: винтовая ось десятикратного порядка.

[FOOTNOTEWaegellAravind20095§3.4._The_24-cell:_points,_lines,_and_Reye's_configuration-58] Waegell & Aravind 2009 , с. 5, §3.4. 24 ячейки: точки, линии и конфигурация Рея; Здесь «точки» и «линии» Рея — это оси и шестиугольники соответственно. двойного шестиугольника Плоскости не ортогональны друг другу, а только пары их двойных осей. Пары двойных шестиугольников не встречаются в отдельных 24-ячейках, а только между 24-ячейками в 600-ячейке.

[FOOTNOTESadoc2001576–577§2.4_Discretising_the_fibration_for_the_{3,_3,_5}_polytope:_the_six-fold_screw_axis-59] Jump up to: ^а ^б ^с Sadoc 2001 , стр. 576–577, §2.4 Дискретизация расслоения многогранника {3, 3, 5}: шестикратная винтовая ось.

[FOOTNOTESadoc2001577§2.4_Discretising_the_fibration_for_the_{3,_3,_5}_polytope:_the_four-fold_screw_axis-60] Jump up to: ^а ^б Садок 2001 , с. 577, §2.4 Дискретизация расслоения многогранника {3, 3, 5}: четырёхкратная винтовая ось.

[FOOTNOTECopher20196§3.2_Theorem_3.4-63] Кофер 2019 , с. 6, §3.2. Теорема 3.4.

[FOOTNOTEKimRote20167§6_Angles_between_two_Planes_in_4-Space-70] Ким и Роте 2016 , с. 7, §6 Углы между двумя плоскостями в 4-пространстве; «В четырех (и более высоких) измерениях нам нужны два угла, чтобы зафиксировать относительное положение между двумя плоскостями. (В более общем смысле, k углов определяются между k -мерными подпространствами.)»

[FOOTNOTELemmensSeidel1973-71] Лемменс и Зайдель 1973 .

[FOOTNOTEMamonePileioLevitt20101433§4.1-73] Мамоне, Пилейо и Левитт 2010 , стр. 1433, §4.1; Декартова 4-координатная точка (w,x,y,z) — это вектор в 4D-пространстве из (0,0,0,0). Четырехмерное реальное пространство — это векторное пространство: любые два вектора можно сложить или умножить на скаляр, чтобы получить другой вектор. Кватернионы расширяют векторную структуру четырехмерного реального пространства, позволяя умножать два четырехмерных вектора. $\left(w,x,y,z\right)_{1}$ и $\left(w,x,y,z\right)_{2}$ в соответствии с
${\begin{pmatrix}w_{2}\\x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}w_{1}\\x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{w_{2}w_{1}-x_{2}x_{1}-y_{2}y_{1}-z_{2}z_{1}}\\{w_{2}x_{1}+x_{2}w_{1}+y_{2}z_{1}-z_{2}y_{1}}\\{w_{2}y_{1}-x_{2}z_{1}+y_{2}w_{1}+z_{2}x_{1}}\\{w_{2}z_{1}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}+z_{2}w_{1}}\end{pmatrix}}$

[FOOTNOTESadoc2001575–578§2_Geometry_of_the_{3,3,5}-polytope_in_S<sub>3</sub>-79] Jump up to: ^а ^б Sadoc 2001 , стр. 575–578, §2 Геометрия {3,3,5}-многогранника в S ₃ ; Садок изучил все расслоения Хопфа 600-клеток на наборы {4}, {6} или {10} волокон большого круга на разных винтовых осях, дал их карты Хопфа и полностью проиллюстрировал характерные десятиугольные клеточные кольца.

[FOOTNOTETyrrellSemple19716–7§4._Isoclinic_planes_in_Euclidean_space_E<sub>4</sub>-81] Тиррелл и Семпл 1971 , стр. 6–7, §4. Изоклинические плоскости в евклидовом пространстве E ₄ .

[FOOTNOTESadoc2001577–578§2.5_The_30/11_symmetry:_an_example_of_other_kind_of_symmetries-83] Jump up to: ^а ^б ^с Sadoc 2001 , стр. 577–578, §2.5 Симметрия 30/11: пример другого вида симметрии.

[FOOTNOTECoxeter1973211§11.x_Historical_remarks-84] Коксетер 1973 , с. 211, §11.x Исторические замечания; «Конечная группа [3 ^{2, 2, 1}] изоморфна группе сохраняющих инцидентность перестановок 27 прямых на общей кубической поверхности. (Самое раннее описание этих строк см. в Schlafli 2.)».

[FOOTNOTESchläfli1858-85] Шлефли 1858 ; эта статья Шлефли, описывающая конфигурацию двойной шестерки, была одним из немногих фрагментов его открытия правильных многогранников в более высоких измерениях, которые были опубликованы при его жизни. ^[35]

[FOOTNOTECoxeter1973141–144§7._Ordinary_Polytopes_in_Higher_Space;_§7.x._Historical_remarks-86] Коксетер 1973 , стр. 141–144, §7. Обыкновенные многогранники в высшем пространстве; §7.x. Исторические замечания; «Практически все идеи в этой главе... принадлежат Шлефли, который открыл их до 1853 года — времени, когда Кэли, Грассман и Мёбиус были единственными людьми, которые когда-либо осознавали возможность геометрии более чем в трех измерениях».

[FOOTNOTECoxeter1970-90] Коксетер 1970 изучал клеточные кольца в общем случае их геометрии и теории групп , идентифицируя каждое клеточное кольцо как многогранник самостоятельный , который заполняет трехмерное многообразие (например, 3-сферу ) соответствующими сотами . ^{[является]} Он обнаружил, что клеточные кольца повторяют многоугольники Петри , а некоторые (но не все) клеточные кольца, а их соты скручены , встречаясь в лево- и право- хиральных формах. В частности, он обнаружил, что правильные 4-многогранники с тетраэдрическими ячейками (5-клеточные, 16-ячеечные, 600-ячеечные) имеют скрученные клеточные кольца, а остальные (у которых ячейки имеют противоположные грани) — нет. ^[the] Отдельно он классифицировал клеточные кольца в зависимости от того, формируют ли они свои соты в гиперболическом или евклидовом пространстве, причем последними являются те, которые встречаются в 4-многогранниках, которые могут замостить 4-пространство путем трансляции, образуя евклидовы соты (16-ячеечные, 8-ячеечные, 24-клеточные). -клетка).

[FOOTNOTEBanchoff2013-91] Банчофф 2013 изучил разложение правильных 4-многогранников на соты торов, замощающих тор Клиффорда , показал, как соты соответствуют расслоениям Хопфа , и выполнил разложение, состоящее из колец меридианных и экваториальных ячеек, с иллюстрациями.

[FOOTNOTESadoc2001578§2.6_The_{3,_3,_5}_polytope:_a_set_of_four_helices-93] Jump up to: ^а ^б Садок 2001 , с. 578, §2.6 Многогранник {3, 3, 5}: набор из четырех спиралей.

[FOOTNOTEDechant2021§1._Introduction-95] Декан 2021 , §1. Введение.

[FOOTNOTEZamboj2021-99] Замбия 2021 .

[FOOTNOTESadocCharvolin2009§1.2_The_curved_space_approach-102] Sadoc & Charvolin 2009 , §1.2 Подход искривленного пространства; изучает спиральную ориентацию молекул в кристаллических структурах и их несовершенные упаковки («фрустрации») в трехмерном пространстве. «Разочарование, которое возникает, когда молекулярная ориентация перемещается по двум [круговым] путям AB на рисунке 1 [спирали], вызвана самой топологической природой евклидова пространства R. ³. Этого бы не произошло, если бы молекулы были погружены в неевклидово пространство 3-сферы S. ³, или гиперсфера. Это пространство с однородной положительной кривизной действительно можно описать эквидистантными и равномерно скрученными слоями: ^[из] вдоль которого молекулы могут быть выровнены без какого-либо конфликта между компактностью и кручением .... Волокна этого расслоения Хопфа представляют собой большие круги S ³, все семейство которых еще называют параллелями Клиффорда . Два из этих слоев являются осями симметрии C _∞ всего расслоения; каждое волокно совершает один оборот вокруг каждой оси и регулярно вращается при переходе от одной оси к другой. ^[бф] Эти волокна образуют конфигурацию двойной скрутки, оставаясь при этом параллельными, т. е. без какого-либо нарушения, во всем объеме S. ³. ^[бг] Поэтому их можно использовать в качестве моделей для изучения конденсации длинных молекул при наличии ограничения двойного скручивания».

[FOOTNOTECoxeter1973303Table_VI_(iii):_𝐈𝐈_=_{3,3,5}-104] Jump up to: ^а ^б Коксетер 1973 , с. 303, таблица VI (iii): 𝐈𝐈 = {3,3,5}.

[FOOTNOTECoxeter1973153§8.5_Gosset's_construction_for_{3,3,5}-105] Коксетер 1973 , с. 153, §8.5 Конструкция Госсета для {3,3,5}.

[FOOTNOTEBorovik2006-106] Боровик 2006 ; «Окружающая среда, которая руководила эволюцией нашего мозга, никогда не давала нашим предкам четырехмерный опыт... [Тем не менее] мы, люди, наделены замечательным математическим программным обеспечением для обработки изображений, встроенным в наш мозг. Коксетер в полной мере использовал он и ожидал, что читатель воспользуется им... Визуализация — один из самых мощных методов интериоризации. Она закрепляет математические концепции и идеи в одной из самых мощных частей нашего мозга — теории визуальной обработки [многогранников. порожденные] конечными группами отражений, позволяют подход к их изучению, основанный на систематическом сведении сложных геометрических конфигураций к гораздо более простым двух- и трехмерным частным случаям».

[FOOTNOTEMiyazaki1990-107] Миядзаки 1990 ; Миядзаки показал, что поверхностная оболочка из 600 ячеек может быть архитектурно реализована в нашем обычном трехмерном пространстве в виде физических зданий (геодезических куполов).

[FOOTNOTECoxeter197350–52§3.7-108] Коксетер 1973 , стр. 50–52, §3.7.

[FOOTNOTECoxeter1973293-112] Коксетер 1973 , с. 293; 164°29'

[FOOTNOTECoxeter1973298Table_V:_The_Distribution_of_Vertices_of_Four-dimensional_Polytopes_in_Parallel_Solid_Sections-115] Коксетер 1973 , с. 298, таблица V: Распределение вершин четырехмерных многогранников в параллельных сплошных сечениях.

[FOOTNOTECoxeter197350–52§3.7:_Coordinates_for_the_vertices_of_the_regular_and_quasi-regular_solids-116] Коксетер 1973 , стр. 50–52, §3.7: Координаты вершин правильных и квазирегулярных тел.

[FOOTNOTEItohNara2021§4._From_the_24-cell_onto_an_octahedron-118] Ито и Нара 2021 , §4. Из 24 ячеек на октаэдр; «В этой статье рассматривается 24-ячеечная структура и описывается непрерывное сглаживающее движение ее 2-скелета [кубооктаэдра], который связан с Джиттербагом Бакминстера Фуллера » .

[FOOTNOTEKocaAl-MukhainiKocaAl_Qanobi20161454._Pyritohedral_Group_and_Related_Polyhedra-120] Коча и др. 2016 , с. 145, 4. Пиритоэдрическая группа и родственные ей многогранники; см. Таблицу 1.

[122] Верхейен, Х.Ф. (1989). «Комплектация джиттербаг-трансформаторов и анализ их движения» . Компьютеры и математика с приложениями . 17 (1–3): 203–250. дои : 10.1016/0898-1221(89)90160-0 . МР 0994201 .

[FOOTNOTECoxeter1973299Table_V:_(iv)_Simplified_sections_of_{3,3,5}_..._beginning_with_a_cell-124] Коксетер 1973 , с. 299, Таблица V: (iv) Упрощенные разделы {3,3,5}... начиная с ячейки.

[FOOTNOTESadoc2001576–577§2.4_Discretising_the_fibration_for_the_{3,_3,_5}-132] Sadoc 2001 , стр. 576–577, §2.4 Дискретизация расслоения для {3, 3, 5}; «Теперь перейдем к тороидальному разложению многогранника {3, 3, 5}».

[FOOTNOTECoxeter197019–23§9._The_120-cell_and_the_600-cell-134] Коксетер 1970 , стр. 19–23, §9. 120-ячеечный и 600-ячеечный.

[FOOTNOTESadoc2001576–577§2.4_Discretising_the_fibration_for_the_{3,_3,_5},_Fig._2._A_five_fold_symmetry_column-136] Jump up to: ^а ^б Sadoc 2001 , стр. 576–577, §2.4 Дискретизация расслоения для {3, 3, 5}, рис. 2. Столбец пятикратной симметрии; в подписи (так в оригинале) двенадцатиугольники должны быть десятиугольниками.

[FOOTNOTEDechant202120–22§7._The_Grand_Antiprism_and_H<sub>2</sub>_×_H<sub>2</sub>-141] Jump up to: ^а ^б ^с Дечант 2021 , стр. 20–22, §7. Большая Антипризма и H ₂ × H ₂ .

[FOOTNOTEBanchoff1988-143] Банчофф 1988 .

[FOOTNOTEZamboj20216–12§2_Mathematical_background-144] Zamboj 2021 , стр. 6–12, §2 Математическая основа.

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(ii)-147] Коксетер 1973 , стр. 292–293, Таблица I (ii); 600 ячеек h ₁ h ₂ .

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(ii);_"600-cell"-151] Коксетер 1973 , стр. 292–293, Таблица I (ii); «600-клеточный».

[FOOTNOTECoxeter1973139§7.9_The_characteristic_simplex-152] Коксетер 1973 , с. 139, §7.9 Характеристический симплекс.

[FOOTNOTECoxeter1973290Table_I(ii);_"dihedral_angles"-153] Коксетер 1973 , с. 290, таблица I(ii); «двугранные углы».

[FOOTNOTECoxeter1973227−233§12.7_A_necklace_of_tetrahedral_beads-155] Коксетер 1973 , стр. 227–233, §12.7 Ожерелье из четырехгранных бусин.

[FOOTNOTECoxeter197333–38§3.1_Congruent_transformations-158] Коксетер 1973 , стр. 33–38, §3.1 Конгруэнтные преобразования.

[FOOTNOTEDechant2017410–419§6._The_Coxeter_Plane;_see_p._416,_Table_1._Summary_of_the_factorisations_of_the_Coxeter_versors_of_the_4D_root_systems-159] Dechant 2017 , стр. 410–419, §6. Самолет Коксетера; см. стр. 416, Таблица 1. Сводка факторизаций версоров Кокстера четырехмерных корневых систем; «Группы Кокстера (отражения) в системе Клиффорда... дают уникально простой рецепт для отражений. Согласно теореме Картана-Дьедонне, последовательное выполнение двух отражений порождает вращение, которое в алгебре Клиффорда описывается спинором, который является просто геометрическим произведение двух векторов, порождающих отражения».

[FOOTNOTECoxeter1973217–218§12.2_Congruent_transformations-161] Коксетер 1973 , стр. 217–218, §12.2 Конгруэнтные преобразования.

[FOOTNOTEKocaAl-AjmiOzdes_Koca2011986–9886._Dual_of_the_snub_24-cell-162] Коджа, Аль-Аджми и Оздес Коджа 2011 , стр. 986–988, 6. Двойной курносый 24-клеточный.

[FOOTNOTEMamonePileioLevitt20101438–1439§4.5_Regular_Convex_4-Polytopes-164] Мамоне, Пилейо и Левитт 2010 , стр. 1438–1439, §4.5 Правильные выпуклые 4-многогранники; 600-ячейка имеет 14 400 операций симметрии (вращения и отражения), как указано в таблице 2, группа симметрии 𝛨 ₄ . ^[со]

[FOOTNOTEPerez-GraciaThomas2017-165] Перес-Грасиа и Томас 2017 .

[FOOTNOTEStillwell200124-170] Стиллвелл 2001 , с. 24.

[FOOTNOTEDorst201944§1._Villarceau_Circles-173] Дорст 2019 , с. 44, §1. Круги Вильярсо; «В математике путь, который прослеживает узел (1, 1) на торе, также известен как круг Вильярсо . Круги Вильярсо обычно представляются как две пересекающиеся окружности, являющиеся поперечным сечением тора хорошо выбранной плоскостью. Выбрав один такой круг и вращая его вокруг оси тора, полученное семейство кругов можно использовать для управления тором. Грамотно вложив торы, совокупность всех таких кругов затем образует расслоение Хопфа ... мы предпочитаем. рассматривать круг Вильярсо как торический узел (1, 1), а не как плоский разрез».

[FOOTNOTEMamonePileioLevitt2010§4.5_Regular_Convex_4-Polytopes,_Table_2-180] Мамоне, Пилейо и Левитт 2010 , §4.5 Правильные выпуклые 4-многогранники, Таблица 2.

[FOOTNOTEWaegellAravind20092–5§3._The_600-cell-182] Waegell & Aravind 2009 , стр. 2–5, §3. 600-ячеечный.

[FOOTNOTEKimRote201613–14§8.2_Equivalence_of_an_Invariant_Family_and_a_Hopf_Bundle-183] Kim & Rote 2016 , стр. 13–14, §8.2 Эквивалентность инвариантного семейства и расслоения Хопфа.

[FOOTNOTEPerez-GraciaThomas201712−13§5._A_useful_mapping-186] Jump up to: ^а ^б Перес-Грасиа и Томас 2017 , стр. 12–13, §5. Полезное картографирование.

[FOOTNOTEPerez-GraciaThomas20172−3§2._Isoclinic_rotations-193] Перес-Грасиа и Томас 2017 , стр. 2–3, §2. Изоклинические вращения.

[FOOTNOTEKimRote201612-16§8_The_Construction_of_Hopf_Fibrations;_see_§8.3-194] Ким и Роте 2016 , с. 12—16, §8. Построение расслоений Хопфа; см. §8.3.

[FOOTNOTEPerez-GraciaThomas2017§1._Introduction-195] Перес-Грасиа и Томас 2017 , §1. Введение; «В этой статье [будет] получено спектральное разложение изоклинических вращений и явные формулы в матрице и алгебре Клиффорда для вычисления [изоклинической] факторизации Кэли». ^[сп]

[FOOTNOTEKimRote201614§8.3_Corollary_9._Every_great_circle_belongs_to_a_unique_right_[(and_left)]_Hopf_bundle-198] Jump up to: ^а ^б ^с Ким и Роте, 2016 , с. 14, §8.3. Следствие 9. Всякий большой круг принадлежит единственному правому [(и левому)] расслоению Хопфа.

[FOOTNOTEKimRote201614–16§8.3_Properties_of_the_Hopf_Fibration-200] Kim & Rote 2016 , стр. 14–16, §8.3 Свойства расслоения Хопфа.

[FOOTNOTECoxeter1973156-207] Коксетер 1973 , с. 156: «...шахматная доска имеет n-мерный аналог».

[FOOTNOTEKimRote20168Left_and_Right_Pairs_of_Isoclinic_Planes-208] Ким и Роте 2016 , с. 8. Левая и правая пары изоклинических плоскостей.

[FOOTNOTETyrrellSemple197134–57Linear_Systems_of_Clifford_Parallels-212] Тиррелл и Семпл 1971 , стр. 34–57, Линейные системы параллелей Клиффорда.

[FOOTNOTECoxeter197312§1.8._Configurations-217] Коксетер 1973 , с. 12, §1.8. Конфигурации.

[FOOTNOTEvan_Ittersum202080–95§4.3-218] ван Иттерсум 2020 , стр. 80–95, §4.3.

[FOOTNOTESteinbach199724-219] Штайнбах 1997 , с. 24.

[FOOTNOTEStillwell200122–23The_Poincaré_Homology_Sphere-220] Stillwell 2001 , стр. 22–23, Сфера гомологий Пуанкаре.

[FOOTNOTEMebius20151"''[[Quaternion_algebra]]''_is_the_tool_''par_excellence''_for_the_treatment_of_three-_and_four-_dimensional_(3D_and_4D)_rotations._Obviously_only_3D_and_by_implication_2D_rotations_have_an_everyday_practical_meaning,_but_the_[[Rotations_in_4-dimensional_Euclidean_space|theory_of_4D_rotations]]_turns_out_to_offer_the_easiest_road_to_the_representation_of_3D_rotations_by_quaternions."-221] Мебиус 2015 , с. 1, « Алгебра кватернионов инструментом является преимущественно для рассмотрения трех- и четырехмерных (3D и 4D) вращений. Очевидно, что только 3D и, как следствие, 2D вращения имеют повседневное практическое значение, но теория 4D вращений оказывается предлагают самый простой путь к представлению трехмерных вращений кватернионами».

[FOOTNOTEDenneyHookerJohnsonRobinson2020§2_The_Labeling_of_H<sub>4</sub>-222] Денни и др. 2020 , §2 Маркировка H ₄ .

[FOOTNOTEOss18991–18-223] Нас 1899 , стр. 1–18.

[FOOTNOTEDechant2021Abstract-224] Dechant 2021 , Аннотация; «[E] Очень трехмерная корневая система позволяет построить соответствующую четырехмерную корневую систему с помощью« теоремы индукции ». В этой статье мы подробно рассматриваем икосаэдрический случай H3 → H4 и выполняем вычисления явно. Используется алгебра Клиффорда. выполнить теоретико-групповые вычисления на основе теоремы Версора и теоремы Картана-Дьедонне... пролить свет на геометрические аспекты корневой системы H4 (600-ячейка), а также других связанных многогранников и их симметрий... включая построение плоскости Кокстера, которая используется для визуализации дополнительных пар инвариантных многогранников... Таким образом, этот подход представляет собой более систематический и общий способ выполнения вычислений, касающихся групп, в частности групп отражений и корневых систем, в клиффордовской системе координат. алгебраическая основа».

[225] Гроссман, Венди А.; Себлин, Эдуард, ред. (2015), «Человеческие уравнения Ман Рэя: путешествие от математики к Шекспиру» , Хатье Канц . См., в частности, математический объект mo-6.2 , с. 58; Антоний и Клеопатра , СЭ-6, с. 59; математический объект мо-9 , с. 64; Венецианский купец , ГЭ-9, с. 65 и «Гексакосихорон», Филип Орднинг, с. 96.

[FOOTNOTEDechant202122–24§8._Snub_24-cell-226] Dechant 2021 , стр. 22–24, §8. Курносый 24-кл.

[227] Сикирик, Матье; Мирволд, Венди (2007). «Специальные нарезки из 600 ячеек». Вклад в алгебру и геометрию . 49 (1). arXiv : 0708.3443 .

[FOOTNOTECoxeter199148–49-228] Коксетер 1991 , стр. 48–49.

[1]

[2]

[а]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[б]

[с]

[и]

[ф]

[10]

[11]

[к]

[13]

[н]

[the]

[п]

[14]

[15]

[16]

[17]

[д]

[р]

[18]

[19]

[с]

[в]

[v]

[С]

[аа]

[аб]

[22]

[из]

[24]

[д]

[в]

[я]

[25]

[26]

[27]

[ах]

[Дж]

[есть]

[также]

[ан]

[к]

[в]

[В]

[ал]

[ап]

[32]

[из]

[33]

[оу]

[но]

[ак]

[объявление]

[34]

[и]

[36]

[37]

[с]

[как]

[топор]

[38]

[39]

[нет]

[г]

[40]

[бб]

[до н. э.]

[бд]

[быть]

[бх]

[44]

[45]

[46]

[47]

[с]

[49]

[бл]

[бм]

[бк]

[bj]

[55]

[бр]

[бс]

[бт]

[этот]

[бв]

[ш]

[бх]

[56]

[к]

[57]

[бз]

[58]

[что]