Внутренние и внешние углы

В геометрии угол сторонами многоугольника . образован двумя смежными Для простого (несамопересекающегося) многоугольника, независимо от того, выпуклый он или невыпуклый , этот угол называется внутренний угол (или внутренний угол ), если точка внутри угла находится внутри многоугольника. Многоугольник имеет ровно один внутренний угол на вершину .

Если каждый внутренний угол простого многоугольника меньше прямого угла ( $π$ радиан или 180°), то многоугольник называется выпуклым .

Напротив, Внешний угол (также называемый углом поворота или внешним углом ) — это угол, образованный одной стороной простого многоугольника и линией, продолженной от соседней стороны . ^[1]^{: стр. 261–264.}

Характеристики

Сумма внутреннего угла и внешнего угла при одной и той же вершине равна π радиан (180°).
Сумма всех внутренних углов простого многоугольника равна π( n -2) радиан или 180( n -2) градусов, где n — количество сторон. Формулу можно доказать с помощью математической индукции : начать с треугольника, для которого сумма углов равна 180°, затем заменить одну сторону двумя сторонами, соединенными в другой вершине, и так далее.
Сумма внешних углов любого простого выпуклого или невыпуклого многоугольника, если в каждой вершине предполагается только один из двух внешних углов, равна 2π радиан (360°).
На величину внешнего угла в вершине не влияет то, какая сторона расширена: два внешних угла, которые могут быть образованы в вершине путем поочередного продления одной или другой стороны, являются вертикальными углами и, следовательно, равны.

Расширение для пересекающихся многоугольников

Концепция внутреннего угла может быть последовательно расширена на пересекающиеся многоугольники, такие как звездчатые многоугольники, используя концепцию направленных углов . В общем случае сумма внутренних углов в градусах любого замкнутого многоугольника, включая скрещенные (самопересекающиеся), равна 180( n –2 k )°, где n — количество вершин, а строго положительное целое число k — это количество полных (360°) оборотов, которые человек совершает, проходя по периметру многоугольника. Другими словами, сумма всех внешних углов равна 2π k радиан или 360 k градусов. Пример: для обычных выпуклых многоугольников вогнутых многоугольников и k = 1, поскольку сумма внешних углов равна 360 °, и при обходе периметра человек совершает только один полный оборот.

Ссылки

^ Посаментье, Альфред С. и Леманн, Ингмар. Тайны треугольников , Книги Прометея, 2012.

Внешние ссылки

Внутренние углы треугольника
Сумма внутренних углов многоугольников: общая формула . Предоставляет интерактивное действие Java, которое расширяет формулу суммы внутренних углов для простых замкнутых многоугольников, включив в нее скрещенные (сложные) многоугольники.

[PL-1] Посаментье, Альфред С. и Леманн, Ингмар. Тайны треугольников , Книги Прометея, 2012.

[1]