Икосаэдрические соты
Икосаэдрические соты | |
---|---|
Модель диска Пуанкаре | |
Тип | Гиперболические обычные соты Равномерные гиперболические соты |
Символ Шлефли | {3,5,3} |
Диаграмма Кокстера | |
Клетки | {5,3} ( правильный икосаэдр ) |
Лица | {3} ( треугольник ) |
Краевая фигура | {3} (треугольник) |
Вершинная фигура | додекаэдр |
Двойной | Самодвойственный |
Группа Коксетера | Дж 3 , [3,5,3] |
Характеристики | Обычный |
В геометрии икосаэдрические соты — это одна из четырех компактных, правильных , заполняющих пространство мозаик (или сот ) в гиперболическом трехмерном пространстве . С символом Шлефли {3,5,3} есть три икосаэдра вокруг каждого ребра и 12 икосаэдров вокруг каждой вершины в правильной додекаэдрической вершинной фигуре .
Геометрические соты — это заполнение пространства многогранными ячейками более высокой размерности или ячейками , чтобы не было пробелов. Это пример более общего математического разбиения или мозаики в любом количестве измерений.
Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве, как и выпуклые однородные соты . Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические однородные соты . Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу, чтобы сформировать однородную соту в сферическом пространстве.
Описание
[ редактировать ]Двугранный угол правильного икосаэдра составляет около 138,2 °, поэтому невозможно разместить три икосаэдра вокруг ребра в евклидовом трехмерном пространстве. Однако в гиперболическом пространстве правильно масштабированные икосаэдры могут иметь двугранные углы ровно 120 градусов, поэтому три из них могут поместиться вокруг ребра.
Родственные обычные соты
[ редактировать ]В трехмерном гиперболическом пространстве есть четыре регулярных компактных сот:
{5,3,4} | {4,3,5} | {3,5,3} | {5,3,5} |
Связанные правильные многогранники и соты
[ редактировать ]Он входит в последовательность правильных полихор и сот {3, p , 3} с дельтраэдрическими ячейками:
{3, p , 3} многогранники |
---|
Он также является членом последовательности правильных полихор и сот { p ,5, p } с вершинными фигурами , состоящими из пятиугольников:
{ p ,5, p } обычные соты |
---|
Равномерные соты
[ редактировать ]имеется девять однородных сот [3,5,3] В семействе групп Кокстера , включая эту правильную форму, а также усеченную форму t 1,2 {3,5,3}, , также называемые усеченными додекаэдрическими сотами , каждая из ячеек которых представляет собой усеченные додекаэдры .
{3,5,3} | т 1 {3,5,3} | т 0,1 {3,5,3} | т 0,2 {3,5,3} | т 0,3 {3,5,3} |
---|---|---|---|---|
т 1,2 {3,5,3} | т 0,1,2 {3,5,3} | т 0,1,3 {3,5,3} | т 0,1,2,3 {3,5,3} | |
Ректифицированные икосаэдрические соты
[ редактировать ]Ректифицированные икосаэдрические соты | |
---|---|
Тип | Однородные соты в гиперболическом пространстве |
Символ Шлефли | г{3,5,3} или т 1 {3,5,3} |
Диаграмма Кокстера | |
Клетки | г{3,5} {5,3} |
Лица | треугольник {3} пятиугольник {5} |
Вершинная фигура | треугольная призма |
Группа Коксетера | , [3,5,3] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный |
Выпрямленные икосаэдрические соты , t 1 {3,5,3}, , имеет чередующиеся ячейки додекаэдра и икосододекаэдра с треугольной фигурой вершины призмы:
Перспективные проекции из центра модели диска Пуанкаре
Связанные соты
[ редактировать ]Существует четыре выпрямленных компактных правильных сот:
Изображение | ||||
---|---|---|---|---|
Символы | г {5,3,4} | г {4,3,5} | г {3,5,3} | г {5,3,5} |
Вертекс фигура |
Усеченные икосаэдрические соты
[ редактировать ]Усеченные икосаэдрические соты | |
---|---|
Тип | Однородные соты в гиперболическом пространстве |
Символ Шлефли | т{3,5,3} или т 0,1 {3,5,3} |
Диаграмма Кокстера | |
Клетки | т{3,5} {5,3} |
Лица | пятиугольник {5} шестигранник {6} |
Вершинная фигура | треугольная пирамида |
Группа Коксетера | , [3,5,3] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Усеченные соты икосаэдра , t 0,1 {3,5,3}, , имеет чередующиеся ячейки додекаэдра и усеченного икосаэдра , с фигурой вершины треугольной пирамиды .
Связанные соты
[ редактировать ]Изображение | ||||
---|---|---|---|---|
Символы | т{5,3,4} | т{4,3,5} | т{3,5,3} | т{5,3,5} |
Вертекс фигура |
Двуусеченные соты икосаэдра
[ редактировать ]Двуусеченные соты икосаэдра | |
---|---|
Тип | Однородные соты в гиперболическом пространстве |
Символ Шлефли | 2т{3,5,3} или т 1,2 {3,5,3} |
Диаграмма Кокстера | |
Клетки | т{5,3} |
Лица | треугольник {3} десятиугольник {10} |
Вершинная фигура | тетрагональный дисфеноид |
Группа Коксетера | , [[3,5,3]] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный, клеточно-транзитивный |
Битусеченные соты икосаэдра , t 1,2 {3,5,3}, , имеет додекаэдра усеченные ячейки с тетрагональной фигурой в вершине дисфеноида .
Связанные соты
[ редактировать ]Изображение | |||
---|---|---|---|
Символы | 2т{4,3,5} | 2т{3,5,3} | 2т{5,3,5} |
Вертекс фигура |
Кантелеллированные икосаэдрические соты
[ редактировать ]Кантелеллированные икосаэдрические соты | |
---|---|
Тип | Однородные соты в гиперболическом пространстве |
Символ Шлефли | рр{3,5,3} или т 0,2 {3,5,3} |
Диаграмма Кокстера | |
Клетки | рр{3,5} г{5,3} {}х{3} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5} |
Вершинная фигура | клин |
Группа Коксетера | , [3,5,3] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Зубчатые соты икосаэдра , t 0,2 {3,5,3}, , имеет ромбокосододекаэдр , икосододекаэдр и треугольные ячейки призмы с клиновидной вершиной.
Связанные соты
[ редактировать ]Четыре зубчатых регулярных компактных сот в форме H. 3 | |||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
Кантиусеченные икосаэдрические соты
[ редактировать ]Кантиусеченные икосаэдрические соты | |
---|---|
Тип | Однородные соты в гиперболическом пространстве |
Символ Шлефли | tr{3,5,3} или t 0,1,2 {3,5,3} |
Диаграмма Кокстера | |
Клетки | тр{3,5} т{5,3} {}х{3} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} шестигранник {6} десятиугольник {10} |
Вершинная фигура | зеркальная клиновидная кость |
Группа Коксетера | , [3,5,3] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Скошенные икосаэдрические соты , t 0,1,2 {3,5,3}, , имеет усеченный икосододекаэдр , усеченный додекаэдр и треугольные ячейки призмы с зеркальной фигурой клиновидной вершины .
Связанные соты
[ редактировать ]Изображение | ||||
---|---|---|---|---|
Символы | тр{5,3,4} | тр{4,3,5} | тр{3,5,3} | тр{5,3,5} |
Вертекс фигура |
Сморщенные икосаэдрические соты
[ редактировать ]Сморщенные икосаэдрические соты | |
---|---|
Тип | Однородные соты в гиперболическом пространстве |
Символ Шлефли | т 0,3 {3,5,3} |
Диаграмма Кокстера | |
Клетки | {3,5} {}×{3} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} |
Вершинная фигура | пятиугольная антипризма |
Группа Коксетера | , [[3,5,3]] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный |
Сорчатый икосаэдрический сот , t 0,3 {3,5,3}, , имеет икосаэдр и треугольные ячейки призмы с пятиугольной вершиной антипризмы .
- Вид из центра треугольной призмы.
Связанные соты
[ редактировать ]Изображение | |||
---|---|---|---|
Символы | т 0,3 {4.3.5} | т 0,3 {3,5,3} | т 0,3 {5,3,5} |
Вертекс фигура |
Икосаэдрические соты из цитрусовых усеченных форм
[ редактировать ]Икосаэдрические соты из цитрусовых усеченных форм | |
---|---|
Тип | Однородные соты в гиперболическом пространстве |
Символ Шлефли | т 0,1,3 {3,5,3} |
Диаграмма Кокстера | |
Клетки | т{3,5} рр{3,5} {}×{3} {}×{6} |
Лица | треугольник {3} квадрат {4} пятиугольник {5} шестигранник {6} |
Вершинная фигура | равнобедренно-трапециевидная пирамида |
Группа Коксетера | , [3,5,3] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Соты икосаэдрически-усеченные , t 0,1,3 {3,5,3}, , имеет усеченный икосаэдр , ромбокосододекаэдр , шестиугольную призму и треугольные ячейки призмы , с равнобедренно-трапециевидной пирамиды вершинной фигурой .
Стыковые икосаэдрические соты эквивалентны суженным икосаэдральным сотам.
- Вид из центра треугольной призмы.
Связанные соты
[ редактировать ]Четыре правильных компактных сот с усеченными краями в форме H. 3 |
---|
Всеусеченные икосаэдрические соты
[ редактировать ]Всеусеченные икосаэдрические соты | |
---|---|
Тип | Однородные соты в гиперболическом пространстве |
Символ Шлефли | т 0,1,2,3 {3,5,3} |
Диаграмма Кокстера | |
Клетки | тр{3,5} {}×{6} |
Лица | квадрат {4} шестигранник {6} двенадцатиугольник {10} |
Вершинная фигура | филлический дисфеноид |
Группа Коксетера | , [[3,5,3]] |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Всеусеченные соты икосаэдра , t 0,1,2,3 {3,5,3}, , имеет усеченный икосододекаэдр и шестиугольной призмы ячейки с филлической фигурой дисфеноида в вершине.
- В центре шестиугольной призмы
Связанные соты
[ редактировать ]Три всеусеченных правильных компактных сот в форме H. 3 |
---|
Икосаэдрические соты Omnisnub
[ редактировать ]Икосаэдрические соты Omnisnub | |
---|---|
Тип | Однородные соты в гиперболическом пространстве |
Символ Шлефли | ч(т 0,1,2,3 {3,5,3}) |
Диаграмма Кокстера | |
Клетки | ср{3,5} с{2,3} ирр. {3,3} |
Лица | треугольник {3} пятиугольник {5} |
Вершинная фигура | |
Группа Коксетера | [[3,5,3]] + |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Омниструбные икосаэдрические соты , h(t 0,1,2,3 {3,5,3}), , имеет курносые ячейки додекаэдра , октаэдра и тетраэдра с неправильной фигурой вершин. Он вершинно-транзитивен , но не может быть создан с однородными ячейками.
Частично уменьшенные икосаэдрические соты
[ редактировать ]Частично уменьшенные икосаэдрические соты Икосаэдрические соты с уменьшенными парабидиминисценциями | |
---|---|
Тип | Равномерные соты |
Символ Шлефли | пд{3,5,3} |
Диаграмма Кокстера | - |
Клетки | {5,3} с{2,5} |
Лица | треугольник {3} пятиугольник {5} |
Вершинная фигура | тетраэдрически уменьшенный додекаэдр |
Группа Коксетера | 1 / 5 [3,5,3] + |
Характеристики | Вершинно-транзитивный |
Частично уменьшенные икосаэдрические соты или парабидиминированные икосаэдральные соты , pd{3,5,3}, представляют собой невитоффовские однородные соты с додекаэдром и пятиугольными ячейками антипризмы, с тетраэдрически уменьшенной фигурой вершины додекаэдра . Икосаэдрические ячейки {3,5,3} уменьшаются в противоположных вершинах (парабидоуменьшенные), оставляя ядро пентагональной антипризмы ( парабидиминированный икосаэдр ) и создавая новые ячейки додекаэдра сверху и снизу. [1] [2]
См. также
[ редактировать ]- Выпуклые однородные соты в гиперболическом пространстве
- Регулярные мозаики гиперболического трехмерного пространства
- Пространство Зейферта – Вебера
- 11-ячейка — абстрактный правильный многохорон с общим символом Шлефли {3,5,3} .
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Венди Ю. Кригер, Стены и мосты: взгляд из шести измерений, Симметрия: культура и наука , том 16, номер 2, страницы 171–192 (2005) [1] Архивировано 7 октября 2013 г. в Wayback Machine.
- ^ «Пд{3,5,3» . }
- Коксетер , Правильные многогранники , 3-е. изд., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Таблицы I и II: Правильные многогранники и соты, стр. 294–296)
- Коксетер , Красота геометрии: двенадцать эссе , Dover Publications, 1999 г. ISBN 0-486-40919-8 (Глава 10: Правильные соты в гиперболическом пространстве, Сводные таблицы II, III, IV, V, стр. 212-213)
- Нормана Джонсона Равномерные многогранники , рукопись
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
- Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2018) Глава 13: Гиперболические группы Кокстера
- Клитцинг, Ричард. «Гиперболические соты H3, гиперболическая мозаика икосаэдра 3-го порядка» .