n -арная группа

В математике и, в частности, в универсальной алгебре , понятие n -арной группы (также называемой n-арной группой или мультиарной группой ) является обобщением концепции группы на множество G с n -арной операцией вместо бинарной. операция. Под n -арной операцией будем понимать любое отображение f: G ^н → G из n й декартовой степени G в G. - Аксиомы n группы n -арной определяются таким образом, что они сводятся к аксиомам группы в случае = 2 . Самые ранние работы над этими структурами были выполнены в 1904 году Каснером и в 1928 году Дёрнте; (так называемых тогда) Первое систематическое описание полиадических групп было дано в 1940 году Эмилем Леоном Постом в знаменитой 143-страничной статье в « Трудах Американского математического общества» .

Аксиомы

Ассоциативность

Самая простая для обобщения аксиома — это закон ассоциативности. Тернарная ассоциативность — это полиномиальное тождество ( abc ) de = a ( bcd ) e = ab ( cde ) , т.е. равенство трёх возможных скобок строки abcde, в которых заключены любые три последовательных символа. (Здесь подразумевается, что уравнения справедливы для любого выбора элементов a , b , c , d , e в G. ) В общем, n -арная ассоциативность — это равенство n возможных скобок строки, состоящей из n + ( n - 1) = 2 n - 1 различных символов, в которых любые n последовательных символов заключены в скобки. Множество G , замкнутое относительно ассоциативной n -арной операции, называется n -арной полугруппой. Множество G , замкнутое относительно любой (не обязательно ассоциативной) n -арной операции, называется n -арным группоидом .

Обратные/уникальные решения

Обратная аксиома обобщается следующим образом: в случае бинарных операций существование обратного средства ax = b имеет единственное решение для x , и аналогично xa = b имеет единственное решение. В тернарном случае мы обобщаем это на abx = c , axb = c и xab = c , каждый из которых имеет уникальные решения, а n -арный случай следует аналогичной схеме существования уникальных решений, и мы получаем n -арную квазигруппу.

Определение n -арной группы

n - арная группа — это n- арная полугруппа, которая также является n -арной квазигруппой.

Структура n -арных групп

Пост дал структурную теорему для n -арной группы в терминах ассоциированной группы.

Айдентика/нейтральные элементы

В 2-арном случае может быть ноль или один единичный элемент: пустое множество является 2-арной группой, поскольку пустое множество является одновременно полугруппой и квазигруппой, а каждая обитаемая 2-арная группа является группой. В n -арных группах при n ≥ 3 может быть ноль, один или много единичных элементов.

n -арный , ◦) — группа , группоид ( G , f ) с f = ( x ₁ ◦ x ₂ ◦ ⋯ ◦ x _n ) , где ( G называется приводимой или производной от группы ( G , ◦). В 1928 году Дёрнте опубликовал первые основные результаты: n -арный группоид, который можно привести, является n -арной группой, однако для всех n > 2 существуют обитаемые n -арные группы, которые не приводимы. В некоторых n -арных группах существует элемент e (называемый n -арной единицей или нейтральным элементом) такой, что любая строка из n -арных элементов, состоящая из всех e , кроме одного места, отображается в элемент в этом месте. . Например, в четвертичной группе с единицей eeae e = a для каждого a .

группа n -арная , содержащая нейтральный элемент, приводима. Таким образом, n -арная группа, которая не приводится, не содержит таких элементов. Существуют n -арные группы, содержащие более одного нейтрального элемента. Если множество всех нейтральных элементов n -арной группы непусто, оно образует n -арную подгруппу.

Некоторые авторы включают тождество в определение n -арной группы, но, как упоминалось выше, такие n -арные операции представляют собой просто повторяющиеся бинарные операции. Группы с n -арными операциями не имеют единичного элемента.

аксиомы

Аксиомы ассоциативности и единственности решений в определении n -арной группы сильнее, чем должны быть. В предположении n -арной ассоциативности достаточно постулировать существование решения уравнений с неизвестным в начале или конце строки или в одном месте, кроме концов; например, в 6-арном случае xabcde = f и abcdex = f или выражение типа abxcde = f . Тогда можно доказать, что уравнение имеет единственное решение относительно x в любом месте строки. Аксиому ассоциативности можно представить и в более слабой форме.

Пример

Ниже приведен пример тройной группы из трех элементов, одной из четырех таких групп.

${\begin{matrix}aaa=a&aab=b&aac=c&aba=c&abb=a&abc=b&aca=b&acb=c&acc=a\\baa=b&bab=c&bac=a&bba=a&bbb=b&bbc=c&bca=c&bcb=a&bcc=b\\caa=c&cab=a&cac=b&cba=b&cbb=c&cbc=a&cca=a&ccb=b&ccc=c\end{matrix}}$

( n , m )-группа

Понятие n -арной группы может быть далее обобщено до понятия ( n , m )-группы , также известной как векторная группа , которая представляет собой множество G с отображением f : G. ^н → Г ^м где n > m , подчиняется тем же аксиомам, что и для n -арной группы, за исключением того, что результатом отображения является слово, состоящее из m букв вместо одной буквы. Таким образом, ( n ,1)-группа является n -арной группой. ( n , m )-группы были введены Г. Чупоной в 1983 году.

См. также

• Универсальная алгебра

Дальнейшее чтение

• С.А. Русаков: Некоторые приложения n-арной теории групп, Белорусская навука, Минск, 1998.