В математике заключается присоединение тензора к хому в том, что тензорное произведение
и hom-функтор
образуют присоединенную пару :
![{\displaystyle \operatorname {Hom} (Y\otimes X,Z)\cong \operatorname {Hom} (Y,\operatorname {Hom} (X,Z)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b12081802f137e17aa9de103a99a7e214b28bfd0)
Ниже это уточняется. Порядок терминов во фразе «присоединение тензор-хом» отражает их взаимосвязь: тензор — это левое сопряженное, а hom — правое сопряженное.
Общее заявление [ править ]
Скажем, R и S — (возможно, некоммутативные) кольца и рассмотрим категории правых модулей (аналогичное утверждение справедливо и для левых модулей):
![{\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathrm {Mod} _{S}\quad {\text{and}}\quad {\mathcal {D}}=\mathrm {Mod} _{R}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a9699ccecb062a7440cd50bee6e672c74a0e111)
Исправить
-бимодуль
и определим функторы
и
следующее:
![{\displaystyle F(Y)=Y\otimes _{R}X\quad {\text{for }}Y\in {\mathcal {D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c9b607a9f57b81fcc9dbf379ba10bda451a85ed)
![{\displaystyle G(Z)=\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\quad {\text{for }}Z\in {\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed827509e05bbd30cbb9724e1241506bdbc55ad1)
Затем
остается присоединенным к
. Это означает, что существует естественный изоморфизм
![{\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(Y\otimes _{R}X,Z)\cong \operatorname {Hom} _{R}(Y,\operatorname {Hom} _{S}(X, З)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83a3b61f24c85fa28e85c16cd6ac9e0fab13fce5)
На самом деле это изоморфизм абелевых групп . Точнее, если
является
-бимодуль и
это
-бимодуль, то это изоморфизм
-бимодули. Это один из мотивирующих примеров структуры в закрытой бикатегории . [1]
Единица и единица [ править ]
Как и все присоединения, присоединение тензор-хом можно описать с помощью естественных преобразований его единицы и единицы . Используя обозначения предыдущего раздела, счетчик
![{\displaystyle \varepsilon :FG\to 1_{\mathcal {C}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3caeec84ee55e05731ec9857d9f599c20369eb7)
имеет компоненты
![{\displaystyle \varepsilon _{Z}:\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\otimes _{R}X\to Z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e187589949ea42c4d28fcefa240dc2f2b5d5cce)
дано оценкой: Для
![{\displaystyle \phi \in \operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\quad {\text{and}}\quad x\in X,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de8127375f69cd5746e1489bded3017ae2a26856)
![{\displaystyle \varepsilon (\phi \otimes x) = \phi (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b527ff7cfdc600f0ab18f244c01056ad0a55f547)
Компоненты агрегата
![{\displaystyle \eta :1_{\mathcal {D}}\to GF}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc912fb67aea3aaa16396c90b133c622827b3625)
![{\displaystyle \eta _{Y}:Y\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a66af43e4ae0338ca6a585851524d13f95c45f1f)
определяются следующим образом: Для
в
,
![{\displaystyle \eta _{Y}(y)\in \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81dd81ad300919c16076f9797482bf835c16a0b3)
это право
-модульный гомоморфизм, заданный формулой
![{\displaystyle \eta _{Y}(y)(t)=y\otimes t\quad {\text{for }}t\in X.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb509ace0729d19a5138f6ac99d6b84abd9cba5b)
Уравнения счетчика и единицы теперь могут быть проверены явно. Для
в
,
![{\displaystyle \varepsilon _{FY} \circ F(\eta _{Y}):Y\otimes _{R}X\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R} X)\otimes _{R}X\to Y\otimes _{R}X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9073a6c883717e0eccf2e9da5471e69e36b0fcb0)
задана на простых тензорах
к
![{\displaystyle \varepsilon _{FY} \circ F(\eta _{Y})(y\otimes x) = \eta _{Y} (y)(x)=y\otimes x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acaca44af9a6c0583f80a32ec598fe42b41f3629)
Так же,
![{\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}:\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\to \operatorname {Hom} _{S}(X,\ имя_оператора {Hom} _{S}(X,Z)\otimes _{R}X)\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Z).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf0b0600ed7128748d0f0198e37cb2634edaccd9)
Для
в
,
![{\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d814f1e5b9d37f9d2c4965284ce3661e1cbb5d87)
это право
-модульный гомоморфизм, определяемый формулой
![{\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi)(x)=\varepsilon _{Z}(\phi \otimes x)=\phi (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f25221b0e23e0c276aec1c44a498514a314af6f)
и поэтому
![{\displaystyle G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi)=\phi.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f7bc9c4e28248424c151a5ac350c1aa78981907)
Функторы Ext и Tor [ править ]
Hom Функтор
коммутирует с произвольными пределами, а тензорное произведение
Функтор коммутирует с произвольными копределами, существующими в их категории области определения. Однако, в целом,
не коммутирует с копределами, и
не может коммутировать с ограничениями; этот сбой происходит даже среди конечных пределов или копределов. Эта неспособность сохранить короткие точные последовательности мотивирует определение функтора Ext и функтора Tor .
- ^
Мэй, JP; Сигурдссон, Дж. (2006). Параметризованная гомотопическая теория . АМС стр. 253. ИСБН 0-8218-3922-5 .