Присоединение Тензор-хом

В математике присоединение тензора к хому заключается в том, что тензорное произведение $-\otimes X$ и hom-функтор $\operatorname {Hom} (X,-)$ образуют присоединенную пару :

$\operatorname {Hom} (Y\otimes X,Z)\cong \operatorname {Hom} (Y,\operatorname {Hom} (X,Z)).$

Ниже это уточняется. Порядок терминов во фразе «присоединение тензор-хом» отражает их взаимосвязь: тензор — это левое сопряженное, а hom — правое сопряженное.

Общее заявление

Скажем, R и S — (возможно, некоммутативные) кольца и рассмотрим категории правых модулей (аналогичное утверждение справедливо и для левых модулей):

${\mathcal {C}}=\mathrm {Mod} _{S}\quad {\text{and}}\quad {\mathcal {D}}=\mathrm {Mod} _{R}.$

Исправить $(R,S)$-бимодуль $X$ и определим функторы $F\colon {\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ и $G\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}$ следующее:

$F(Y)=Y\otimes _{R}X\quad {\text{for }}Y\in {\mathcal {D}}$

$G(Z)=\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\quad {\text{for }}Z\in {\mathcal {C}}$

Затем $F$ остается присоединенным к $G$. Это означает, что существует естественный изоморфизм

$\operatorname {Hom} _{S}(Y\otimes _{R}X,Z)\cong \operatorname {Hom} _{R}(Y,\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)).$

На самом деле это изоморфизм абелевых групп . Точнее, если $Y$ это $(A,R)$-бимодуль и $Z$ это $(B,S)$-бимодуль, то это изоморфизм $(B,A)$-бимодули. Это один из мотивирующих примеров структуры в закрытой бикатегории .

Единица и единица

Как и все присоединения, присоединение тензор-хом можно описать своими естественными преобразованиями . Используя обозначения предыдущего раздела, счетчик

$\varepsilon :FG\to 1_{\mathcal {C}}$

имеет компоненты

$\varepsilon _{Z}:\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\otimes _{R}X\to Z$

дано оценкой: Для

$\phi \in \operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\quad {\text{and}}\quad x\in X,$

$\varepsilon (\phi \otimes x)=\phi (x).$

Компоненты ​ агрегата

$\eta :1_{\mathcal {D}}\to GF$

$\eta _{Y}:Y\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)$

определяются следующим образом: Для $y$ в $Y$,

$\eta _{Y}(y)\in \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)$

это право $S$-модульный гомоморфизм, заданный формулой

$\eta _{Y}(y)(t)=y\otimes t\quad {\text{for }}t\in X.$

Уравнения счетчика и единицы теперь могут быть проверены явно. Для $Y$ в ${\mathcal {D}}$,

$\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y}):Y\otimes _{R}X\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Y\otimes _{R}X)\otimes _{R}X\to Y\otimes _{R}X$

задана на простых тензорах $Y\otimes X$ к

$\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})(y\otimes x)=\eta _{Y}(y)(x)=y\otimes x.$

Так же,

$G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}:\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\to \operatorname {Hom} _{S}(X,\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)\otimes _{R}X)\to \operatorname {Hom} _{S}(X,Z).$

Для $\phi$ в $\operatorname {Hom} _{S}(X,Z)$,

$G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )$

это право $S$-модульный гомоморфизм, определяемый формулой

$G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )(x)=\varepsilon _{Z}(\phi \otimes x)=\phi (x)$

и поэтому

$G(\varepsilon _{Z})\circ \eta _{GZ}(\phi )=\phi .$

Функторы Ext и Tor

Функтор Hom $\hom(X,-)$ коммутирует с произвольными пределами, а тензорное произведение $-\otimes X$ Функтор коммутирует с произвольными копределами, существующими в их категории области определения. Однако, в целом, $\hom(X,-)$ не коммутирует с копределами, и $-\otimes X$ не может коммутировать с ограничениями; этот сбой происходит даже среди конечных пределов или копределов. Эта неспособность сохранить короткие точные последовательности мотивирует определение функтора Ext и функтора Tor .

См. также

• каррирование
• Экманн-Хилтон_двойственность
• Внешний функтор
• Функтор Тора
• Смена колец

Ссылки

• Бурбаки, Николя (1989), Элементы математики, Алгебра I , Springer-Verlag, ISBN  3-540-64243-9