Jump to content

Дробный идеал

(Перенаправлено с «Обратимого идеала »)

В математике , в частности в коммутативной алгебре , понятие дробного идеала вводится в контексте областей целостности и особенно плодотворно при изучении областей Дедекинда . В некотором смысле дробные идеалы целой области подобны идеалам , в которых знаменатели разрешены . В контекстах, где дробные идеалы, так и обычные кольцевые идеалы обсуждаются как иногда называют целыми идеалами , последние для ясности .

Определение и основные результаты

[ редактировать ]

Позволять область целостности , и пусть быть его полем дробей .

Дробный идеал это - субмодуль из такое, что существует ненулевое такой, что . Элемент можно рассматривать как вычеркивание знаменателей в отсюда и название дробный идеал.

Главными дробными идеалами являются те, -субмодули сгенерированный одним ненулевым элементом . Дробный идеал содержится в тогда и только тогда, когда это (целый) идеал .

Дробный идеал называется обратимым, если существует другой дробный идеал такой, что

где

является произведением двух дробных идеалов.

В этом случае дробный идеал однозначно определяется и равен обобщенному идеальному фактору

Набор обратимых дробных идеалов образует абелеву группу относительно указанного выше произведения, где единица является единичным идеалом. сам. Эта группа называется группой дробных идеалов . Главные дробные идеалы образуют подгруппу . (Ненулевой) дробный идеал обратим тогда и только тогда, когда он проективен как - модуль . Геометрически это означает, что обратимый дробный идеал можно интерпретировать как векторное расслоение ранга 1 по аффинной схеме. .

Каждый конечно порожденный R -подмодуль модуля K является дробным идеалом, и если нётерово , это все дробные идеалы .

Дедекинд домены

[ редактировать ]

В дедекиндовских доменах ситуация гораздо проще. В частности, каждый ненулевой дробный идеал обратим. Фактически это свойство характеризует дедекиндовские домены:

Область целостности является дедекиндовой областью тогда и только тогда, когда каждый ненулевой дробный идеал обратим.

Множество дробных идеалов в дедекиндовой области обозначается .

Его факторгруппа дробных идеалов по подгруппе главных дробных идеалов является важным инвариантом дедекиндовой области, называемой группой классов идеалов .

Числовые поля

[ редактировать ]

Для частного случая числовых полей (такой как ) существует ассоциированное кольцо , обозначаемое называется кольцом целых чисел . Например, для квадратов и конгруэнтный свободный от . Главное свойство этих колец это домены Дедекинда. Следовательно, теорию дробных идеалов можно описать для колец целых числовых полей. Фактически теория полей классов — это изучение таких групп колец классов.

Связанные структуры

[ редактировать ]

Для кольца целых чисел [1] стр. 2 числового поля группа дробных идеалов образует группу, обозначаемую а подгруппу главных дробных идеалов обозначим . Группа идеальных классов - это группа дробных идеалов по модулю главных дробных идеалов, поэтому

и номер его класса это порядок группы, . В некотором смысле номер класса является мерой того, насколько «далеко» кольцо целых чисел. это уникальный домен факторизации (UFD). Это потому, что тогда и только тогда, когда это УФО.

Точная последовательность для идеальных групп классов

[ редактировать ]

Есть точная последовательность

связанный с каждым числовым полем.

Структурная теорема для дробных идеалов

[ редактировать ]

Одна из важных структурных теорем дробных идеалов числового поля гласит, что каждый дробный идеал разлагается однозначно с точностью до порядка

за главные идеалы

.

в спектре . Например,

факторы как

Кроме того, поскольку все дробные идеалы над числовым полем конечно порождены, мы можем очистить знаменатели, умножив их на некоторое число. чтобы получить идеал . Следовательно

Еще одна полезная структурная теорема заключается в том, что целочисленные дробные идеалы порождаются максимум двумя элементами. Мы называем дробным идеалом, который является подмножеством интеграл .

  • является дробным идеалом над
  • Для идеал распадается на как
  • Для у нас есть факторизация . Это потому, что если мы умножим это, мы получим
С удовлетворяет , наша факторизация имеет смысл.
  • Для мы можем умножить дробные идеалы
и
чтобы получить идеал

Дивизиальный идеал

[ редактировать ]

Позволять обозначают пересечение всех главных дробных идеалов, содержащих ненулевой дробный идеал .

Эквивалентно,

где как указано выше

Если тогда I называется дивизориальным . [2] Другими словами, дивизориальный идеал — это ненулевое пересечение некоторого непустого множества дробных главных идеалов.

Если I дивизориален, а J — ненулевой дробный идеал, то ( I : J ) дивизориален.

Пусть R локальная область Крулля (например, нётерова целозамкнутая локальная область). Тогда R кольцо дискретного нормирования тогда и только тогда, когда максимальный идеал кольца R дивизориален. [3]

Область целостности, удовлетворяющая условиям возрастающей цепи на дивизориальных идеалах, называется областью Мори . [4]

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Чилдресс, Нэнси (2009). Теория полей классов . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-72490-4 . ОСЛК   310352143 .
  2. ^ Бурбаки 1998 , §VII.1
  3. ^ Бурбаки 1998 , Гл. VII, § 1, н. 7. Предложение 11.
  4. ^ Баруччи 2000 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 99bbeb8c340befe145ec70c65ccb4a1e__1716752280
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/99/1e/99bbeb8c340befe145ec70c65ccb4a1e.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Fractional ideal - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)