Разделительное кольцо

В алгебре тело , , также называемое телом , — это нетривиальное кольцо в котором деление определено на ненулевые элементы. В частности, это нетривиальное кольцо в котором каждый ненулевой элемент a имеет мультипликативный обратный , то есть элемент, обычно обозначаемый a. ^–1 , такой, а   что ^–1 = а ^–1  а = 1 . Итак, (правое) деление можно определить как a / b = a   b ^–1 , но этого обозначения избегают, так как можно b   иметь ^–1 ≠ б ^–1  а .

Коммутативное тело — это поле . Маленькая теорема Веддерберна утверждает, что все конечные тела коммутативны и, следовательно, являются конечными полями .

Исторически тела иногда назывались полями, а поля назывались «коммутативными полями». В некоторых языках, например во французском , слово, эквивалентное слову «поле» («корпус»), используется как для коммутативных, так и для некоммутативных случаев, а различие между этими двумя случаями проводится путем добавления квалификаторов, таких как «корпс коммутатив» (коммутативное поле ) или «корпус гош» (тело).

Все разделительные кольца простые . То есть у них нет двустороннего идеала, кроме нулевого идеала и самого себя.

с полями и

Все поля являются телами, и каждое тело, не являющееся полем, некоммутативно. Самый известный пример — кольцо кватернионов . допустить только рациональные коэффициенты вместо вещественных Если в конструкциях кватернионов , получится еще одно тело. В общем случае, если R — кольцо и S — простой модуль над R , то по лемме Шура S кольцо эндоморфизмов является телом ; каждое тело возникает таким образом из некоторого простого модуля.

Большая часть линейной алгебры может быть сформулирована и остается правильной для модулей над телом D вместо векторных пространств над полем. При этом необходимо указать, рассматриваются ли правые или левые модули, и необходима определенная осторожность, чтобы правильно различать в формулах левый и правый модули. В частности, каждый модуль имеет базис и метод исключения Гаусса можно использовать . Итак, все, что можно определить с помощью этих инструментов, работает с алгебрами с делением. Матрицы и их произведения определяются аналогично. Однако матрица, обратимая слева, не обязательно должна быть обратимой справа, и если это так, то ее правая обратная может отличаться от левой обратной. (См. Обобщенное обратное § ​​Одностороннее обратное .)

Определители не определены над некоммутативными алгебрами с делением, и все, что требует этого понятия, не может быть обобщено на некоммутативные алгебры с делением.

Работая в координатах, элементы конечномерного правого модуля могут быть представлены векторами-столбцами, которые умножаются справа на скаляры, а слева на матрицы (представляющие линейные карты); для элементов конечномерного левого модуля необходимо использовать векторы-строки, которые можно умножать слева на скаляры, а справа на матрицы. Двойником правого модуля является левый модуль, и наоборот. Транспонирование матрицы следует рассматривать как матрицу над противоположным телом D. ^на для того, чтобы правило ( AB ) ^Т = Б ^Т А ^Т оставаться в силе.

Каждый модуль над телом свободен ; то есть у него есть база, и все базы модуля имеют одинаковое количество элементов . Линейные отображения между конечномерными модулями над телом могут быть описаны матрицами ; тот факт, что линейные карты по определению коммутируют со скалярным умножением, удобнее всего представить в обозначениях, записывая их на противоположной стороне векторов как скаляры. Алгоритм исключения Гаусса остается применимым. Ранг столбца матрицы — это размерность правого модуля, сгенерированного столбцами, а ранг строки — это размерность левого модуля, сгенерированного строками; то же доказательство, что и для случая векторного пространства, можно использовать, чтобы показать, что эти ранги одинаковы, и определить ранг матрицы.

Тела — единственные кольца, над которыми каждый модуль свободен: кольцо R является телом тогда и только тогда, когда каждый R -модуль свободен .

Центр . тела коммутативен и, следовательно, является полем Следовательно, каждое тело является телом над своим центром. Тела можно грубо классифицировать в зависимости от того, являются ли они конечномерными или бесконечномерными по своим центрам. Первые называются центрально конечными , вторые — центрально бесконечными . Каждое поле одномерно относительно своего центра. Кольцо гамильтоновых кватернионов образует над своим центром четырехмерную алгебру, изоморфную действительным числам.

Примеры

• Как отмечалось выше, все поля являются телами.
• Кватернионы образуют некоммутативное тело.
• Подмножество кватернионов a + bi + cj + dk , таких что a , b , c и d принадлежат фиксированному подполю действительных чисел , является некоммутативным телом. Когда это подполе является полем рациональных чисел , это тело рациональных кватернионов .
• Позволять $\sigma :\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ — автоморфизм поля $\mathbb {C}$. Позволять $\mathbb {C} ((z,\sigma ))$ обозначают кольцо формальных рядов Лорана с комплексными коэффициентами, в котором умножение определяется следующим образом: вместо того, чтобы просто разрешать коэффициентам напрямую коммутировать с неопределенными $z$, для $\alpha \in \mathbb {C}$, определять $z^{i}\alpha :=\sigma ^{i}(\alpha )z^{i}$ для каждого индекса $i\in \mathbb {Z}$. Если $\sigma$ является нетривиальным автоморфизмом комплексных чисел (таким как сопряжение ), то результирующее кольцо рядов Лорана является некоммутативным телом, известным как кольцо косых рядов Лорана ; если σ = id , то это стандартное умножение формальных рядов . Эту концепцию можно обобщить на кольцо рядов Лорана над любым фиксированным полем. $F$, учитывая нетривиальную $F$-автоморфизм $\sigma$.

Основные теоремы

Маленькая теорема Веддерберна : Все конечные тела коммутативны и, следовательно, конечные поля . ( Эрнст Витт дал простое доказательство.)

Теорема Фробениуса : Единственными конечномерными ассоциативными алгебрами с делением над вещественными числами являются сами действительные числа, комплексные числа и кватернионы .

Связанные понятия

разделительные кольца назывались Раньше «полями». Во многих языках слово, означающее «тело», используется для обозначения тел, в некоторых языках для обозначения коммутативных или некоммутативных тел, а в других специально для обозначения коммутативных тел (то, что мы теперь называем полями на английском языке). Более полное сравнение можно найти в статье о полях .

Название «тело» имеет интересную смысловую особенность: модификатор (здесь «тело») расширяет сферу применения базового термина (здесь «поле»). Таким образом, поле представляет собой особый тип тела, и не все тела являются полями.

Хотя предполагается, что тела и алгебры, обсуждаемые здесь, обладают ассоциативным умножением, неассоциативные тела, такие как октонионы, также представляют интерес.

Ближнее поле — это алгебраическая структура, подобная телу, за исключением того, что оно имеет только один из двух законов распределения .

См. также

• Личность Хуа

Ссылки

• Лам, Цит-Юэн (2001). Первый курс некоммутативных колец . Тексты для аспирантов по математике . Том. 131 (2-е изд.). Спрингер. ISBN  0-387-95183-0 . Збл   0980.16001 .

Дальнейшее чтение

• Кон, премьер-министр (1995). Косые поля. Теория общих тел . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 57. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-43217-0 . Збл   0840.16001 .

Внешние ссылки

• Доказательство теоремы Веддерберна в Planet Math
• Абстрактная алгебра Грилле, описание тел через их свободные модули в разделе VIII.5.