Сколько

В математике кванталами из называют некоторые частично упорядоченные алгебраические структуры , обобщающие локали ( бесточечные топологии ), а также различные мультипликативные решетки идеалов алгебры теории колец и функционального анализа ( С*-алгебры , фон Неймана ). Кванталы иногда называют полными оставшимися полугруппами .

Обзор

Квантал . – это полная решетка $Q$ с ассоциативной бинарной операцией $\ast \colon Q\times Q\to Q$, называемое его умножением , удовлетворяющее такому дистрибутивному свойству, что

$x*\left(\bigvee _{i\in I}{y_{i}}\right)=\bigvee _{i\in I}(x*y_{i})$

и

$\left(\bigvee _{i\in I}{y_{i}}\right)*{x}=\bigvee _{i\in I}(y_{i}*x)$

для всех $x,y_{i}\in Q$ и $i\in I$ (здесь $I$ это любой индексный набор ). Квантал един, если он имеет единичный элемент $e$ для его умножения:

$x*e=x=e*x$

для всех $x\in Q$. В этом случае квантал, естественно, является моноидом относительно своего умножения $\ast$.

Квантал с единицей может быть эквивалентно определен как моноид в категории Sup полурешеток полного соединения.

Квантал с единицей — это идемпотентное полукольцо относительно соединения и умножения.

Квантал с единицей, в котором единица является верхним элементом базовой решетки, называется строго двусторонним (или просто целым ).

Коммутативный квантал — это квантал, умножение которого коммутативно . Фрейм с его умножением , заданным операцией встречи , является типичным примером строго двустороннего коммутативного кванта. Другой простой пример — единичный интервал вместе с его обычным умножением .

Идемпотентный квантал — это квантал, умножение которого идемпотентно . Фрейм — это то же самое, что идемпотентный строго двусторонний квантал.

Инволютивный квантал – это квантал с инволюцией.

$(xy)^{\circ }=y^{\circ }x^{\circ }$

который сохраняет соединения:

${\biggl (}\bigvee _{i\in I}{x_{i}}{\biggr )}^{\circ }=\bigvee _{i\in I}(x_{i}^{\circ }).$

Квантальный это гомоморфизм — отображение $f\colon Q_{1}\to Q_{2}$ который сохраняет соединения и умножение для всех $x,y,x_{i}\in Q_{1}$ и $i\in I$:

$f(xy)=f(x)f(y),$

$f\left(\bigvee _{i\in I}{x_{i}}\right)=\bigvee _{i\in I}f(x_{i}).$

См. также

• Алгебра отношений

Ссылки

• CJ Mulvey (2001) [1994], «Quantale» , Математическая энциклопедия , EMS Press [1]
• Дж. Пасека, Дж. Росицки, Quantales, в: Б. Коке , Д. Мур, А. Уилс (ред.), Текущие исследования в области операционной квантовой логики: алгебры, категории и языки , Fund. Теорий Физики., вып. 111, Kluwer Academic Publishers, 2000, стр. 245–262.
• М. Пьяцца, М. Кастеллан, Кванталы и структурные правила . Журнал логики и вычислений, 6 (1996), 709–724.
• К. Розенталь, Кванталы и их приложения , Исследовательские заметки Питмана в серии «Математика», серия 234, Longman Scientific & Technical, 1990.