Обычный идеал

В математике , особенно в теории колец , обычный идеал может относиться к нескольким понятиям.

В теории операторов правый идеал ${\mathfrak {i}}$ в (возможно) неединичном кольце A называется регулярным (или модулярным ), если существует элемент e в A такой, что $ex-x\in {\mathfrak {i}}$ для каждого $x\in A$ . ^[1]

В коммутативной алгебре регулярным идеалом называется идеал, содержащий ненулевой делитель . ^[2]^[3] В этой статье будет использоваться «идеал регулярного элемента», чтобы помочь отличить этот тип идеала.

Двусторонний идеал ${\mathfrak {i}}$ кольца R можно также назвать регулярным идеалом (фон Неймана) , если для каждого элемента x из ${\mathfrak {i}}$ существует y в ${\mathfrak {i}}$ такой, что xyx = x . ^[4]^[5]

Наконец, регулярный идеал использовался для обозначения идеала J кольца R такого, что фактор-кольцо R / J является регулярным кольцом фон Неймана . ^[6] В этой статье для обозначения этого типа регулярного идеала будет использоваться термин «регулярный фактор фон Неймана».

Поскольку прилагательное регулярное было перегружено, в этой статье используются альтернативные прилагательные модульный , регулярный элемент , регулярный фон Неймана и регулярный фактор фон Неймана , чтобы различать понятия.

Свойства и примеры

Модульные идеалы

Понятие модульных идеалов позволяет обобщить различные характеристики идеалов в унитарном кольце на неунитальные условия.

Двусторонний идеал ${\mathfrak {i}}$ является модульным тогда и только тогда, когда $A/{\mathfrak {i}}$ является единым. В кольце с единицей каждый идеал является модулярным, поскольку выбор e = 1 подходит для любого правильного идеала. Таким образом, это понятие более интересно для неединичных колец, таких как банаховы алгебры . Из определения легко увидеть, что идеал, содержащий модульный идеал, сам является модульным.

Несколько неожиданно оказалось, что даже в кольцах без единицы модулярный правый идеал содержится в максимальном правом идеале. ^[7] Однако в кольце без единицы возможно полное отсутствие модулярных правых идеалов.

Пересечение всех максимальных правых идеалов, которые являются модулярными, есть радикал Джекобсона . ^[8]

Примеры

В неединичном кольце четных чисел (6) регулярно ( $e=4$ ), а (4) нет.
Пусть M — простой правый A-модуль. Если x — ненулевой элемент в M , то аннулятор x — регулярный максимальный правый идеал A. в
Если A — кольцо без максимальных правых идеалов, то A не может иметь ни одного модулярного правого идеала.

Идеалы регулярных элементов

тривиальный идеал R. Каждое кольцо с единицей имеет хотя бы один регулярный элементный идеал: сам Идеалы регулярных элементов коммутативных колец — существенные идеалы . В полупервичном правом кольце Голди справедливо обратное: все существенные идеалы являются идеалами регулярных элементов. ^[9]

Поскольку произведение двух правильных элементов (= не делителей нуля) коммутативного кольца R снова является регулярным элементом, очевидно, что произведение двух идеалов регулярных элементов снова является идеалом регулярного элемента. Очевидно, что любой идеал, содержащий идеал регулярного элемента, снова является идеалом регулярного элемента.

Примеры

В области целостности каждый ненулевой элемент является регулярным элементом, и поэтому каждый ненулевой идеал является идеалом регулярного элемента.
Нильрадикал нильпотентных коммутативного кольца полностью состоит из элементов , поэтому ни один элемент не может быть регулярным. Это дает пример идеала, который не является идеалом регулярного элемента.
В артиновом кольце каждый элемент является либо обратимым , либо делителем нуля. По этой причине такое кольцо имеет только один идеал регулярного элемента: только R .
В кольце Маро каждый регулярный идеал порождается регулярными элементами.

Регулярные идеалы фон Неймана

Из определения ясно, что R — регулярное кольцо фон Неймана тогда и только тогда, когда R — регулярный идеал фон Неймана. Следующее утверждение является соответствующей леммой для регулярных идеалов фон Неймана:

Лемма : Для кольца R и собственного идеала J , содержащего элемент a , существует элемент y в J такой, что a = aya , тогда и только тогда, когда существует элемент r в R такой, что a = ara . Доказательство . Направление «только если» является тавтологией. Для направления «если» у нас есть a = ara = arara . Поскольку a находится в J , то же самое относится и к rar , и поэтому, установив y = rar, мы получаем вывод.

Как следствие этой леммы, очевидно, что каждый идеал регулярного кольца фон Неймана является регулярным идеалом фон Неймана. Другое следствие состоит в том, что если J и K — два идеала кольца R такие, что J ⊆ K и K — регулярный идеал фон Неймана, то J также является регулярным идеалом фон Неймана.

Если J и K — два идеала кольца R , то K регулярно по фон Нейману тогда и только тогда, когда оба J — регулярный идеал фон Неймана, а K / J — регулярное кольцо фон Неймана. ^[10]

Каждое кольцо имеет хотя бы один регулярный идеал фон Неймана, а именно {0}. Более того, каждое кольцо имеет максимальный регулярный идеал фон Неймана, содержащий все остальные регулярные идеалы фон Неймана, и этот идеал задается формулой

M=\{x\in R\mid RxR{\text{ is a von Neumann regular ideal }}\}

.

Примеры

Как отмечалось выше, каждый идеал регулярного кольца фон Неймана является регулярным идеалом фон Неймана.
Хорошо известно, что локальное кольцо , которое также является регулярным кольцом фон Неймана, является телом . ^{[ нужна ссылка ]}. Пусть R — локальное кольцо, не являющееся телом, и обозначим единственный максимальный правый идеал через J . Тогда R не может быть регулярным по фон Нейману, но R / J , будучи телом, является регулярным кольцом фон Неймана. Следовательно, J не может быть регулярным идеалом фон Неймана, даже если он и максимален.
область Простая , не являющаяся телом, имеет минимально возможное количество регулярных идеалов фон Неймана: только идеал {0}.

Частные регулярные идеалы фон Неймана

Если J и K являются факторно-регулярными идеалами фон Неймана, то и J ∩ K тоже .

Если J ⊆ K — собственные идеалы кольца R и J факторно регулярен по фон Нейману, то и K тоже . Это связано с тем, что все факторы R / J являются регулярными кольцами фон Неймана, а теорема изоморфизма для колец устанавливает, что R / K ≅( R / J )/( J / K ). В частности, если A — какой-либо идеал в R, то идеал A + J является факторно-регулярным по фон Нейману, если J таков.

Примеры

Каждый собственный идеал регулярного кольца фон Неймана является факторно-регулярным по фон Нейману.
Любой максимальный идеал в коммутативном кольце является фактор-регулярным идеалом фон Неймана, поскольку R / M — поле. В общем случае это неверно, поскольку для некоммутативных колец R / M может быть только простым кольцом и не может быть регулярным по фон Нейману.
Пусть R не являющееся телом, с максимальным правым идеалом M. — локальное кольцо , Тогда M — факторрегулярный идеал фон Неймана, поскольку R / M — тело, но R не является регулярным кольцом фон Неймана.
В более общем смысле в любом полулокальном кольце радикал Джекобсона J является фактор-регулярным по фон Нейману, поскольку R / J — полупростое кольцо , а значит, регулярное кольцо фон Неймана.

Ссылки

^ Джейкобсон 1956 .
^ Неделители нуля в коммутативных кольцах называются регулярными элементами .
^ Ларсен и Маккарти 1971 , с. 42.
^ Гудирл 1991 , с. 2.
^ Капланский 1969 , с. 112.
^ Бертон, DM (1970) Первый курс колец и идеалов. Аддисон-Уэсли. Ридинг, Массачусетс.
^ Джейкобсон 1956 , с. 6.
^ Капланский 1948 , Лемма 1.
^ Лам 1999 , с. 342.
^ Гудирл 1991 , стр.2.

Библиография

Гудерл, КР (1991). Регулярные кольца фон Неймана (2-е изд.). Малабар, Флорида: Robert E. Krieger Publishing Co. Inc., стр. xviii+412. ISBN 0-89464-632-Х . МР 1150975 .
Джейкобсон, Натан (1956). Строение колец . Американское математическое общество, Публикации коллоквиума, том. 37. Пров., Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. vii+263. МР 0081264 .
Капланский, Ирвинг (1948), «Двойные кольца», Ann. математики. , 2, 49 (3): 689–701, doi : 10.2307/1969052 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969052 , MR 0025452
Каплански, Ирвинг (1969). Поля и кольца . Издательство Чикагского университета.
Лам, Цит-Юэн (1999). Лекции по модулям и кольцам . Тексты для аспирантов по математике № 189. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98428-5 . МР 1653294 .
Ларсен, Макс. Д.; Маккарти, Пол Дж. (1971). «Мультипликативная теория идеалов». Чистая и прикладная математика . 43 . Нью-Йорк: Academic Press: xiv, 298. MR 0414528 .
Жевлаков, К.А. (2001) [1994], «Модульный идеал» , Энциклопедия Математики , EMS Press

[FOOTNOTEJacobson1956-1] Джейкобсон 1956 .

[2] Неделители нуля в коммутативных кольцах называются регулярными элементами .

[FOOTNOTELarsenMcCarthy197142-3] Ларсен и Маккарти 1971 , с. 42.

[FOOTNOTEGoodearl19912-4] Гудирл 1991 , с. 2.

[FOOTNOTEKaplansky1969112-5] Капланский 1969 , с. 112.

[6] Бертон, DM (1970) Первый курс колец и идеалов. Аддисон-Уэсли. Ридинг, Массачусетс.

[FOOTNOTEJacobson19566-7] Джейкобсон 1956 , с. 6.

[FOOTNOTEKaplansky1948Lemma_1-8] Капланский 1948 , Лемма 1.

[FOOTNOTELam1999342-9] Лам 1999 , с. 342.

[FOOTNOTEGoodearl1991p.2-10] Гудирл 1991 , стр.2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]