Кольцо Коэна – Маколея

Не путать с кольцом Коэна или алгеброй Коэна .

В математике кольцо Коэна–Маколея — это коммутативное кольцо с некоторыми алгебро-геометрическими свойствами гладкого многообразия , такими как локальная равномерность . При мягких предположениях локальное кольцо является Коэном–Маколеем в точности тогда, когда оно является конечно порожденным свободным модулем над регулярным локальным подкольцом. Кольца Коэна–Маколея играют центральную роль в коммутативной алгебре : они образуют очень широкий класс, и тем не менее во многих отношениях они хорошо изучены.

Они названы в честь Фрэнсиса Сауэрби Маколея ( 1916 ), который доказал теорему несмешанности для колец многочленов, и Ирвина Коэна ( 1946 ), который доказал теорему несмешанности для колец формальных степенных рядов . Все кольца Коэна–Маколея обладают свойством несмешанности.

Для нётеровых локальных колец существует следующая цепочка включений.

Универсально цепные кольца ⊃ кольца Коэна–Маколея ⊃ кольца Горенштейна ⊃ кольца полных пересечений ⊃ регулярные локальные кольца

Определение

Для коммутативного нётерова локального кольца R конечный (т. е. конечно порожденный ) R -модуль $M\neq 0$ является модулем Коэна-Маколея, если $\mathrm {depth} (M)=\mathrm {dim} (M)$ (в целом имеем: $\mathrm {depth} (M)\leq \mathrm {dim} (M)$, см. формулу Ауслендера-Бухсбаума для связи глубины и яркости модулей определенного типа). С другой стороны, $R$ является модулем сам по себе, поэтому мы называем $R$ кольцо Коэна-Маколея, если оно является модулем Коэна-Маколея как $R$-модуль. Максимальный M модуль Коэна-Маколея — это модуль Коэна-Маколея что такой, $\mathrm {dim} (M)=\mathrm {dim} (R)$.

Приведенное выше определение относилось к нетеровым локальным кольцам. Но мы можем расширить определение более общего нётерова кольца: если $R$ — коммутативное нетерово кольцо, то R -модуль M называется модулем Коэна–Маколея, если $M_{\mathrm {m} }$ является модулем Коэна-Маколея для всех максимальных идеалов $\mathrm {m} \in \mathrm {Supp} (M)$. (Это своего рода циклическое определение , если только мы не определим нулевые модули как модули Коэна-Маколея. Поэтому в этом определении мы определяем нулевые модули как модули Коэна-Маколея.) Теперь, чтобы определить максимальные модули Коэна-Маколея для этих колец, мы требуем, чтобы $M_{\mathrm {m} }$ быть таким $R_{\mathrm {m} }$-модуль для каждого максимального идеала $\mathrm {m}$ Р. ​ ​Как и в локальном случае, R является кольцом Коэна-Маколея, если оно является модулем Коэна-Маколея (как $R$-модуль сам по себе).

Примеры

Нётеровы кольца следующих типов являются Коэном–Маколеем.

• Любой обычный местный звонок . Это приводит к различным примерам колец Коэна – Маколея, таким как целые числа $\mathbb {Z}$, или кольцо многочленов $K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ над полем K или кольцом степенных рядов $K[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]$ . В геометрических терминах каждая регулярная схема , например гладкое многообразие над полем, является системой Коэна–Маколея.
• Любое 0-мерное кольцо (или, что то же самое, любое артиново кольцо ).
• Любое одномерное приведенное кольцо , например любая одномерная область .
• Любое двумерное нормальное кольцо .
• Любое кольцо Горенштейна . В частности, любое полное кольцо пересечений .
• Кольцо инвариантов $R^{G}$ когда R — алгебра Коэна–Маколея над полем характеристики нулевой , а G — конечная группа (или, в более общем смысле, линейная алгебраическая группа , единичный компонент которой редуктивен ). Это теорема Хохстера–Робертса .
• Любое детерминантное кольцо. То есть, пусть R — фактор регулярного локального кольца S по идеалу I, порожденному r × r минорами размера некоторой p × q матрицы элементов S . Если коразмерность (или высота ) I равна «ожидаемой» коразмерности ( p - r +1)( q - r +1), R называется детерминантным кольцом . В этом случае R — это Коэн-Маколей. Аналогично, координатные кольца детерминантных многообразий являются кольцами Коэна-Маколея.

Еще несколько примеров:

1. Кольцо K [ x ]/( x ²) имеет размерность 0 и, следовательно, является кольцом Коэна–Маколея, но оно не редуцировано и, следовательно, не регулярно.
2. Подкольцо K [ t ² , т ³ ] кольца полиномов K [ t ] или его локализация или пополнение в точке t = 0 представляет собой одномерную область, которая является Горенштейном и, следовательно, Коэном – Маколеем, но не является регулярной. Это кольцо можно также описать как координатное кольцо возвратной кубической кривой y ² = х ³ над К. ​
3. Подкольцо K [ t ³ , т ⁴ , т ⁵ ] кольца полиномов K [ t ] или его локализация или пополнение в точке t = 0 представляет собой одномерную область, которая является областью Коэна – Маколея, но не Горенштейна.

Рациональные особенности над полем нулевой характеристики относятся к Коэну–Маколею. Торические многообразия над любым полем относятся к Коэну–Маколею. В программе минимальной модели широко используются многообразия с особенностями klt (логарифмический терминал Каваматы); в нулевой характеристике это рациональные особенности и, следовательно, Коэна–Маколея, Одним из успешных аналогов рациональных особенностей в положительной характеристике является понятие F-рациональных особенностей ; опять же, такие особенности относятся к Коэну–Маколею.

Пусть X — проективное многообразие размерности n ≥ 1 над полем и L — обильное линейное расслоение на X . Тогда кольцо сечения L

$R=\bigoplus _{j\geq 0}H^{0}(X,L^{j})$

является Коэном–Маколеем тогда и только тогда, когда когомологий группа H ^я ( Икс , Л ^дж ) равно нулю для всех 1 ≤ i ≤ n −1 и всех целых чисел j . Отсюда, например, следует, что аффинный конус Spec R над абелевым многообразием X является конусом Коэна–Маколея, когда X имеет размерность 1, но не когда X имеет размерность не менее 2 (поскольку H ¹ ( X , O ) не равно нулю). См. также Обобщенное кольцо Коэна – Маколея .

Схемы Коэна – Маколея

Мы говорим, что локально нётерова схема $X$ является Коэном–Маколеем, если в каждой точке $x\in X$ местное кольцо ${\mathcal {O}}_{X,x}$ Коэн-Маколей.

Кривые Коэна – Маколея

Кривые Коэна – Маколея являются частным случаем схем Коэна – Маколея, но полезны для компактификации пространств модулей кривых. где граница гладкого локуса ${\mathcal {M}}_{g}$ представляет собой кривые Коэна–Маколея. Существует полезный критерий для принятия решения о том, являются ли кривые Коэна–Маколея. Схемы размеров $\leq 1$ являются Коэном–Маколеем тогда и только тогда, когда в них нет вложенных простых чисел. Особенности, присутствующие в кривых Коэна – Маколея, можно полностью классифицировать, рассмотрев случай плоской кривой.

Непримеры

Используя этот критерий, можно легко получить примеры кривых, отличных от Коэна – Маколея, путем построения кривых со вложенными точками. Например, схема

$X={\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2},xy)}}\right)$

имеет разложение на простые идеалы $(x)\cdot (x,y)$. Геометрически это $y$-ось со встроенной точкой в ​​начале координат, которую можно рассматривать как жирную точку . Учитывая гладкую проективную плоскую кривую $C\subset \mathbb {P} ^{2}$, кривую с вложенной точкой можно построить тем же приемом: найти идеал $I_{x}$ точки в $x\in C$ и умножить его на идеал $I_{C}$ из $C$. Затем

$X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{I_{C}\cdot I_{x}}}\right)$

представляет собой кривую с врезанной точкой в ​​точке $x$.

Теория пересечений

Схемы Коэна – Маколея имеют особое отношение к теории пересечений . А именно, пусть X — гладкое многообразие и V , W замкнутые подсхемы чистой размерности. Пусть Z — собственная компонента теоретико-схемного пересечения $V\times _{X}W$, то есть неприводимый компонент ожидаемой размерности. Если локальное A кольцо $V\times _{X}W$ в общей точке есть Z точка Коэна-Маколея, тогда пересечения кратность V и W вдоль Z задается как длина A :

$i(Z,V\cdot W,X)=\operatorname {length} (A)$.

В общем, эта кратность задается как длина, существенно характеризующая кольцо Коэна – Маколея; см . #Свойства . Критерий кратности один , напротив, грубо характеризует регулярное локальное кольцо как локальное кольцо кратности один.

Пример

В качестве простого примера, если мы возьмем пересечение параболы касательной к ней прямой, локальное кольцо в точке пересечения изоморфно

${\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(y-x^{2})}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(y)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [x]}{(x^{2})}}$

который является Коэном-Маколеем длины два, следовательно, кратность пересечения равна двум, как и ожидалось.

Чудо-плоскость или критерий Хиронаки

Существует замечательная характеристика колец Коэна-Маколея, которую иногда называют чудо-плоскостью или критерием Хиронаки . Пусть R — локальное кольцо, конечно порожденное как модуль над некоторым регулярным локальным кольцом A, в R. содержащимся Такое подкольцо существует для любой локализации R в простом идеале над конечно порожденной алгебры полем по лемме о нормализации Нётер ; он также существует, когда R полон и содержит поле, или когда R является полной областью. Тогда R является Коэном–Маколеем тогда и только тогда, когда он плоский как A -модуль; это также эквивалентно тому, что свободен как R A -модуль .

Геометрическая переформулировка такова. Пусть X — связная аффинная схема конечного типа над полем K (например, аффинное многообразие ). Пусть n размерность X. — Согласно нормализации Нётера существует конечный морфизм f из X в аффинное пространство A. ^н над К. ​Тогда X является коэном-маколеем тогда и только тогда, когда все слои f имеют одинаковую степень. Поразительно, что это свойство не зависит от выбора f .

Наконец, существует версия Miracle Flatness для градуированных колец. Пусть R — конечно порожденная коммутативная градуированная алгебра над полем K ,

$R=K\oplus R_{1}\oplus R_{2}\oplus \cdots .$

Всегда существует градуированное полиномиальное подкольцо A ⊂ R (с образующими разных степеней) такое, что R конечно порождено как A -модуль. Тогда R является Коэном–Маколеем тогда и только тогда, когда R свободен как градуированный A -модуль. Опять же, отсюда следует, что эта свобода не зависит от выбора подкольца многочленов A .

Характеристики

• Нётерово локальное кольцо является Коэном–Маколеем тогда и только тогда, когда его пополнение является Коэном–Маколеем.
• Если R — кольцо Коэна–Маколея, то кольцо многочленов R [ x ] и кольцо степенных рядов R [[ x ]] являются кольцами Коэна–Маколея.
• Для неделителя нуля u в максимальном идеале нётерова локального кольца R является кольцо R кольцом Коэна–Маколея тогда и только тогда, когда R /( u ) является кольцом Коэна–Маколея.
• Фактор кольца Коэна – Маколея по любому идеалу является универсально цепным .
• Если R — фактор кольца Коэна–Маколея, то локус { p ∈ Spec R | R _p — Коэн–Маколей } — открытое подмножество R. Spec
• Пусть ( R , m , k ) — нетерово локальное кольцо вложимой коразмерности c , что означает, что c = dim _k ( m / m ² ) - тусклый( р ). В геометрических терминах это справедливо для локального кольца подсхемы коразмерности c регулярной схемы. При c =1 кольцо R является кольцом Коэна–Маколея тогда и только тогда, когда оно является гиперповерхностным кольцом . Существует также структурная теорема для колец Коэна-Маколея коразмерности 2, теорема Гильберта-Берча : все они являются детерминантными кольцами, определяемыми минорами размера r × r матрицы ( r +1) × r для некоторого r .
• Для нётерового локального кольца ( R , m ) следующие условия эквивалентны:
  1. R — Коэн-Маколей.
  2. Для каждого параметрического идеала Q (идеала, порожденного системой параметров ),

     $\operatorname {length} (R/Q)=e(Q)$ := кратность Гильберта– Самуэля Q .

  3. Для некоторого идеала параметра Q , $\operatorname {length} (R/Q)=e(Q)$.

(См. Обобщенное кольцо Коэна – Маколея, а также кольцо Буксбаума для колец, которые обобщают эту характеристику.)

Теорема о несмешанности

Идеал I нётерова кольца A называется несмешанным по высоте, если высота I равна высоте каждого ассоциированного с ним простого числа P кольца A / I . (Это сильнее, чем утверждение, что ; см . ниже A/I равномерно .)

Говорят, что теорема о несмешанности справедлива кольца A , если каждый идеал I, порожденный числом элементов, равным его высоте, является несмешанным. Нётерово кольцо является Коэном–Маколеем тогда и только тогда, когда для него справедлива теорема о несмешанности.

Теорема о несмешанном веществе применима, в частности, к нулевому идеалу (идеалу, порожденному нулевыми элементами), и, таким образом, она говорит, что кольцо Коэна – Маколея является равномерным кольцом ; на самом деле, в строгом смысле: нет встроенного компонента, и каждый компонент имеет одинаковую коразмерность.

См. также: квазинесмешанное кольцо (кольцо, в котором справедлива теорема о несмешанном целочисленном замыкании идеала ).

Контрпримеры

1. Если K — поле, то кольцо R = K [ x , y ]/( x ² , xy ) (координатное кольцо прямой с вложенной точкой) не является кольцом Коэна–Маколея. Это следует, например, из чудесной плоскостности : R конечно над кольцом полиномов A = K [ y ] со степенью 1 над точками аффинной прямой Spec A с y ≠ 0, но со степенью 2 над точкой y = 0. (поскольку K -векторное пространство K [ x ]/( x ² ) имеет размерность 2).
2. Если K — поле, то кольцо K [ x , y , z ]/( xy , xz ) (координатное кольцо объединения прямой и плоскости) приведено, но не равномерно и, следовательно, не Коэна–Маколея. . Факторное по делителю нуля x - z дает предыдущий пример.
3. Если K — поле, то кольцо R = K [ w , x , y , z ]/( wy , wz , xy , xz ) (координатное кольцо объединения двух плоскостей, встречающихся в точке) приведено и равномерно , но не Коэна-Маколея. Чтобы доказать это, можно использовать Хартхорна о теорему связности : если R — локальное кольцо Коэна–Маколея размерности не менее 2, то Spec R минус его замкнутая точка связна.

Произведение Сегре двух колец Коэна-Маколея не обязательно должно быть Коэном-Маколеем.

Двойственность Гротендика

Одно из значений условия Коэна – Маколея можно увидеть в теории когерентной двойственности . Многообразие или схема X называется Коэном-Маколеем, если «дуализирующий комплекс», который априори лежит в производной категории пучков на X , представлен одним пучком. Более сильное свойство горенштейна означает , что этот пучок является линейным расслоением . В частности, всякая регулярная схема является горенштейновой. Таким образом, формулировки теорем двойственности, таких как двойственность Серра или локальная двойственность Гротендика для схем Горенштейна или Коэна – Маколея, сохраняют некоторую простоту того, что происходит для регулярных схем или гладких многообразий.

Ссылки

• Брунс, Винфрид; Херцог, Юрген (1993), Коэна – Маколея Кольца , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 39, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-41068-7 , МР   1251956
• Коэн, И.С. (1946), «О структуре и идеальной теории полных локальных колец», Труды Американского математического общества , 59 (1): 54–106, doi : 10.2307/1990313 , ISSN   0002-9947 , JSTOR   1990313 , MR   0016094 Статья Коэна была написана, когда под «локальным кольцом» подразумевалось то, что сейчас называется «нётеровским локальным кольцом».
• В.И. Данилов (2001) [1994], «Кольцо Коэна–Маколея» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для аспирантов по математике , том. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-5350-1 , ISBN.  978-0-387-94268-1 , МР   1322960
• Фултон, Уильям (1993), Введение в торические разновидности , Princeton University Press , doi : 10.1515/9781400882526 , ISBN  978-0-691-00049-7 , МР   1234037
• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , результаты математики и ее пограничные области . 3-я серия, том. 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-62046-4 , МР   1644323
• Коллар, Янош ; Мори, Сигефуми (1998), Бирациональная геометрия алгебраических многообразий , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511662560 , ISBN  0-521-63277-3 , МР   1658959
• Коллар, Янош (2013), Особенности программы минимальной модели , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9781139547895 , ISBN  978-1-107-03534-8 , МР   3057950
• Маколей, Ф.С. (1916), Алгебраическая теория модульных систем , Cambridge University Press , doi : 10.3792/chmm/1263317740 , ISBN  1-4297-0441-1 , МР   1281612
• Мацумура, Хидеюки (1989), Коммутативная теория колец , Кембриджские исследования по высшей математике (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-36764-6 , МР   0879273
• Шведе, Карл; Такер, Кевин (2012), «Обзор тестовых идеалов», Progress in Commutative Algebra 2 , Berlin: Walter de Gruyter, стр. 39–99, arXiv : 1104.2000 , Bibcode : 2011arXiv1104.2000S , MR   2932591

Внешние ссылки

• Примеры областей целостности Коэна-Маколея
• Примеры колец Коэна-Маколея

См. также

• Теория колец
• Местные кольца
• Местные кольца Горенштейна
• Доказательство Уайлса Великой теоремы Ферма