Равносторонний размер

Регулярные симплексы размерностей от 0 до 3. Вершины этих фигур дают максимально возможные наборы точек с одинаковым интервалом для евклидовых расстояний в этих измерениях.

В математике равносторонняя размерность метрического пространства — это максимальный размер любого подмножества пространства, все точки которого находятся на одинаковом расстоянии друг от друга. Равностороннее измерение также называют « метрическим измерением », но термин «метрическое измерение» также имеет множество других неэквивалентных значений. Равностороннее измерение $d$-мерное евклидово пространство – это $d+1$, достигаемый вершинами правильного симплекса и равносторонней размерностью $d$-мерное векторное пространство с расстоянием Чебышева ( $L^{\infty }$ норма) есть $2^{d}$, достигаемый вершинами гиперкуба . Однако равностороннее измерение пространства с манхэттенским расстоянием ( $L^{1}$ норма) не известно. Гипотеза Куснера , названная в честь Роберта Б. Куснера , утверждает, что это именно так. $2d$, достигаемый вершинами перекрестного многогранника .

Пространства Лебега

Равносторонняя размерность особенно изучалась для пространств Лебега , конечномерных нормированных векторных пространств с $L^{p}$ норма $$\ \|x\|_{p}={\bigl (}|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{d}|^{p}{\bigr )}^{1/p}.$$

Равностороннее измерение $L^{p}$ пространства измерений $d$ ведет себя по-разному в зависимости от значения $p$:

Нерешенная задача по математике :

Сколько равноудаленных точек существует в пространствах с манхэттенским расстоянием ?

(еще нерешенные задачи по математике)

• Для $p=1$, $L^{p}$ норма порождает манхэттенскую дистанцию . В этом случае можно найти $2d$ эквидистантные точки — вершины перекрестного многогранника , ориентированного по осям . Известно, что равносторонний размер равен в точности $2d$ для $d\leq 4$, и быть ограниченным сверху $O(d\log d)$ для всех $d$. Роберт Б. Каснер предположил в 1983 году, что равносторонний размер в этом случае должен быть точно $2d$; это предложение (вместе с соответствующим предложением относительно равностороннего измерения, когда $p>2$) стала известна как гипотеза Куснера .
• Для $1<p<2$, равносторонний размер не менее $(1+\varepsilon )d$ где $\varepsilon$ это константа, которая зависит от $p$.
• Для $p=2$, $L^{p}$ нормой является знакомое евклидово расстояние . Равностороннее измерение $d$-мерное евклидово пространство – это $d+1$: $d+1$ вершины равностороннего треугольника , правильного тетраэдра или правильного симплекса более высокой размерности образуют равносторонний набор, и каждый равносторонний набор должен иметь эту форму.
• Для $2<p<\infty$, равносторонний размер не менее $d+1$: например, $d$ базисные векторы векторного пространства вместе с другим вектором вида $(-x,-x,\dots )$ для подходящего выбора $x$ образуют равносторонний набор. Гипотеза Куснера утверждает, что в этих случаях равносторонний размер точно равен $d+1$. Гипотеза Куснера была доказана для частного случая, когда $p=4$. Когда $p$ является нечетным целым числом, равносторонняя размерность ограничена сверху $O(d\log d)$.
• Для $p=\infty$ (предельный случай $L^{p}$ норма для конечных значений $p$, в пределе как $p$ растет до бесконечности) $L^{p}$ нормой становится расстояние Чебышева — максимальное абсолютное значение разностей координат. Для $d$-мерное векторное пространство с расстоянием Чебышева, равносторонняя размерность равна $2^{d}$: $2^{d}$ , ориентированного по оси, вершины гиперкуба находятся на равных расстояниях друг от друга, и больший равносторонний набор невозможен.

Нормированные векторные пространства

Равносторонняя размерность также рассматривалась для нормированных векторных пространств с нормами, отличными от $L^{p}$ нормы. Проблема определения равностороннего измерения для данной нормы тесно связана с проблемой числа поцелуев : число поцелуев в нормированном пространстве — это максимальное количество непересекающихся перемещений единичного шара, которые все могут касаться одного центрального шара, тогда как равносторонний размер Размерность — это максимальное количество непересекающихся трансляций, которые могут касаться друг друга.

Для нормированного векторного пространства размерности $d$, равносторонний размер не более $2^{d}$; то есть $L^{\infty }$ норма имеет наивысшую равностороннюю размерность среди всех нормированных пространств. Петти (1971) задался вопросом, каждое ли нормированное векторное пространство размерности $d$ имеет как минимум равносторонний размер $d+1$, но это остается неизвестным. В любом измерении существуют нормированные пространства, для которых определенные наборы из четырех равносторонних точек не могут быть расширены до любого большего равностороннего набора. но эти пространства могут иметь более крупные равносторонние множества, не включающие эти четыре точки. Для норм, достаточно близких по расстоянию Банаха–Мазура к $L^{p}$ нормы, вопрос Петти имеет положительный ответ: равностороннее измерение не менее $d+1$.

Многомерные пространства не могут иметь ограниченную равностороннюю размерность: для любого целого числа $k$, все нормированные векторные пространства достаточно высокой размерности имеют равностороннюю размерность не менее $k$. более конкретно, согласно варианту теоремы Дворецкого, предложенному Алоном и Милманом (1983) , каждый $d$-мерное нормированное пространство имеет $k$-мерное подпространство, близкое либо к евклидову пространству, либо к пространству Чебышева, где $$k\geq \exp(c{\sqrt {\log d}})$$для некоторой константы $c$. Поскольку оно близко к пространству Лебега, это подпространство, а следовательно, и все пространство, содержит равносторонний набор по крайней мере $k+1$ точки. Поэтому та же самая суперлогарифмическая зависимость от $d$ справедлива нижняя граница равносторонней размерности $d$-мерное пространство.

Римановы многообразия

Для любого $d$-мерного риманова многообразия равносторонняя размерность не менее $d+1$. Для $d$-мерная сфера , равносторонний размер равен $d+2$, то же самое, что и для евклидова пространства одного более высокого измерения, в которое можно встроить сферу. В то же время, когда он сформулировал гипотезу Куснера, Куснер спросил, существуют ли римановы метрики с ограниченной размерностью многообразия, но сколь угодно высокой равносторонней размерностью.

Ссылки

• Алон, Н. ; Мильман В.Д. (1983), "Вложение $l_{\infty }^{k}$ в конечномерных банаховых пространствах», Israel Journal of Mathematics , 45 (4): 265–280, doi : 10.1007/BF02804012 , MR   0720303 .
• Алон, Нога ; Пудлак, Павел (2003), «Равносторонние наборы $l_{p}^{n}$", Геометрический и функциональный анализ , 13 (3): 467–482, doi : 10.1007/s00039-003-0418-7 , MR   1995795 .
• Бандельт, Ханс-Юрген; Чепой, Виктор; Лоран, Моник (1998), «Вложение в прямолинейные пространства» (PDF) , Дискретная и вычислительная геометрия , 19 (4): 595–604, doi : 10.1007/PL00009370 , MR   1620076 .
• Брасс, Питер (1999), «О равносторонних симплексах в нормированных пространствах» , Вклад в алгебру и геометрию , 40 (2): 303–307, MR   1720106 .
• Деза, Мишель Мари ; Деза, Елена (2009), Энциклопедия расстояний , Springer-Verlag, стр. 20 .
• Гай, Ричард К. (1983), «Олла-подрида открытых задач, часто странно поставленных», American Mathematical Monthly , 90 (3): 196–200, doi : 10.2307/2975549 , JSTOR   2975549 , MR   1540158 .
• Кулен, Джек; Лоран, Моник ; Шрийвер, Александр (2000), «Равностороннее измерение прямолинейного пространства», Проекты, коды и криптография , 21 (1): 149–164, doi : 10.1023/A:1008391712305 , MR   1801196 .
• Петти, Клинтон М. (1971), «Равносторонние множества в пространствах Минковского», Труды Американского математического общества , 29 (2): 369–374, doi : 10.1090/S0002-9939-1971-0275294-8 , MR   0275294 .
• Свейнпол, Конрад Дж. (2004), «Проблема Куснера о равносторонних множествах», Archiv der Mathematik , 83 (2): 164–170, arXiv : math/0309317 , doi : 10.1007/s00013-003-4840-8 , МР   2104945 .
• Свейнпол, Конрад Дж.; Вилла, Рафаэль (2008), «Нижняя граница равностороннего числа нормированных пространств», Proceedings of the American Mathematical Society , 136 (1): 127–131, arXiv : math/0603614 , doi : 10.1090/S0002-9939- 07-08916-2 , МР   2350397 .