Измеримая группа

В математике измеримая группа — это особый тип группы на пересечении теории групп и теории меры . Измеримые группы используются для изучения мер , представляют собой абстрактную установку и часто тесно связаны с топологическими группами .

Определение

Позволять $(G,\circ )$ группа с групповым законом

$\circ :G\times G\to G$.

Пусть дальше ${\mathcal {G}}$ — σ-алгебра подмножеств множества $G$.

Группа, или, более формально, тройка $(G,\circ ,{\mathcal {G}})$ называется измеримой группой, если

• инверсия $g\mapsto g^{-1}$ измеримо ​ от ${\mathcal {G}}$ к ${\mathcal {G}}$.
• групповой закон $(g_{1},g_{2})\mapsto g_{1}\circ g_{2}$ измеримо от ${\mathcal {G}}\otimes {\mathcal {G}}$ к ${\mathcal {G}}$

Здесь, ${\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}}$ обозначает образование произведения σ-алгебры σ-алгебр ${\mathcal {A}}$ и ${\mathcal {B}}$.

Топологические группы как измеримые группы

Каждая секундно-счетная топологическая группа $(G,{\mathcal {O}})$ можно принять как измеримую группу. Это делается путем оснащения группы борелевской σ-алгеброй

${\mathcal {B}}(G)=\sigma ({\mathcal {O}})$,

которая является σ-алгеброй, порожденной топологией . Поскольку по определению топологической группы групповой закон и образование обратного элемента непрерывны, обе операции и в этом случае измеримы по формуле ${\mathcal {B}}(G)$ к ${\mathcal {B}}(G)$ и из ${\mathcal {B}}(G\times G)$ к ${\mathcal {B}}(G)$, соответственно. Вторая счетность гарантирует, что ${\mathcal {B}}(G)\otimes {\mathcal {B}}(G)={\mathcal {B}}(G\times G)$, и, следовательно, группа $G$ также является измеримой группой.

Связанные понятия

Измеримые группы можно рассматривать как измеримые действующие группы , действующие сами на себя.