Мера Лебега

В теории меры разделе математики , мера Лебега , названная в честь французского математика Анри Лебега , является стандартным способом присвоения меры подмножествам , размерности более высокой евклидовых n -пространств . Для меньших измерений n = 1, 2 или 3 он совпадает со стандартной мерой длины , площади или объема . В общем, его еще называют n -мерным объемом , n -объемом , гиперобъемом или просто объемом . ^[1] Он используется в реальном анализе , в частности, для определения интегрирования Лебега . Множества, которым можно приписать меру Лебега, называются измеримыми по Лебегу ; мера измеримого по Лебегу множества A здесь обозначается через λ ( A ).

Анри Лебег описал эту меру в 1901 году, а годом позже за ним последовало описание интеграла Лебега . Оба были опубликованы в рамках его диссертации в 1902 году. ^[2]

Определение [ править ]

Для любого интервала $I=[a,b]$ , или $I=(a,b)$ , в наборе $\mathbb {R}$ действительных чисел, пусть $\ell (I)=b-a$ обозначим его длину. Для любого подмножества $E\subseteq \mathbb {R}$ Лебега , внешняя мера ^[3] $\lambda ^{\!*\!}(E)$ определяется как нижняя грань

\lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\ell (I_{k}):{(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of open intervals with }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k}\right\}.

Приведенное выше определение можно обобщить на более высокие измерения следующим образом. ^[4]Для любого прямоугольного кубоида $C$ что является декартовым произведением $C=I_{1}\times \cdots \times I_{n}$ открытых интервалов, пусть $\operatorname {vol} (C)=\ell (I_{1})\times \cdots \times \ell (I_{n})$ (произведение действительного числа) обозначают его объем.Для любого подмножества $E\subseteq \mathbb {R^{n}}$ ,

\lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\operatorname {vol} (C_{k}):{(C_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of products of open intervals with }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }C_{k}\right\}.

Некоторые наборы $E$ удовлетворяют критерию Каратеодори , который требует, чтобы для каждого $A\subseteq \mathbb {R}$ ,

\lambda ^{\!*\!}(A)=\lambda ^{\!*\!}(A\cap E)+\lambda ^{\!*\!}(A\cap E^{c}).

Наборы $E$ которые удовлетворяют критерию Каратеодори, называются измеримыми по Лебегу, а их мера Лебега определяется как внешняя мера Лебега: $\lambda (E)=\lambda ^{\!*\!}(E)$ . Набор всего такого $E$ образует σ -алгебру .

Набор $E$ не удовлетворяющее критерию Каратеодори , не измеримо по Лебегу. ZFC доказывает, что неизмеримые множества существуют; Пример — наборы Виталия .

Интуиция [ править ]

Первая часть определения гласит, что подмножество $E$ действительных чисел сводится к внешней мере путем покрытия множествами открытых интервалов. Каждый из этих наборов интервалов $I$ обложки $E$ в некотором смысле, поскольку объединение этих интервалов содержит $E$ . Общая длина любого набора покрывающих интервалов может переоценивать меру $E,$ потому что $E$ является подмножеством объединения интервалов, поэтому интервалы могут включать точки, не входящие в $E$ . Внешняя мера Лебега возникает как величайшая нижняя граница (нижняя грань) длин среди всех возможных таких множеств. Интуитивно понятно, что это общая длина тех наборов интервалов, которые соответствуют $E$ максимально плотно и не перекрываться.

Это характеризует внешнюю меру Лебега. Перейдет ли эта внешняя мера в собственно меру Лебега, зависит от дополнительного условия. Это условие проверяется путем взятия подмножеств $A$ действительных чисел с помощью $E$ как инструмент раскола $A$ на две части: часть $A$ который пересекается с $E$ и оставшаяся часть $A$ которого нет в $E$ : установленная разница $A$ и $E$ . Эти разделы $A$ подлежат внешней мере. Если для всех возможных таких подмножеств $A$ действительных чисел, разбиения $A$ разрезать на части $E$ иметь внешние меры, сумма которых является внешней мерой $A$ , то внешняя мера Лебега $E$ дает свою меру Лебега. Интуитивно это условие означает, что множество $E$ не должно иметь каких-либо любопытных свойств, вызывающих расхождение в мере другого множества при $E$ используется как «маска» для «обрезания» этого набора, намекая на существование множеств, для которых внешняя мера Лебега не дает меры Лебега. (Такие множества на самом деле не измеримы по Лебегу.)

Примеры [ править ]

Любой замкнутый интервал [ a , b ] действительных чисел измерим по Лебегу, а его мерой Лебега является длина b − a . ( Открытый интервал a , b ) имеет одинаковую меру, поскольку разница между двумя множествами состоит только из конечных точек a и b , каждая из которых имеет нулевую меру .
Любое декартово произведение интервалов [ a , b ] и [ c , d ] измеримо по Лебегу, а его мера Лебега равна ( b − a )( d − c ) , площади соответствующего прямоугольника .
Более того, любое борелевское множество измеримо по Лебегу. Однако существуют измеримые по Лебегу множества, не являющиеся борелевскими множествами. ^[5]^[6]
Любое счетное множество действительных чисел имеет меру Лебега 0. В частности, мера Лебега множества алгебраических чисел равна 0, даже если это множество плотно в $\mathbb {R}$ .
и Множество Кантора множество чисел Лиувилля являются примерами несчетных множеств , имеющих меру Лебега 0.
Если аксиома определенности верна, то все множества действительных чисел измеримы по Лебегу. Однако детерминированность несовместима с аксиомой выбора .
Множества Витали являются примерами множеств, которые не измеримы относительно меры Лебега. Их существование опирается на аксиому выбора .
Кривые Осгуда — это простые плоские кривые с положительной мерой Лебега. ^[7] (его можно получить, немного изменив конструкцию кривой Пеано ). — Кривая дракона еще один необычный пример.
Любая строка в $\mathbb {R} ^{n}$ , для $n\geq 2$ , имеет нулевую меру Лебега. В общем случае каждая собственная гиперплоскость имеет нулевую меру Лебега в своем объемлющем пространстве .
Объем n можно вычислить с помощью гамма - -шара функции Эйлера.

Свойства [ править ]

Мера Лебега на R ^н имеет следующие свойства:

Если A — произведение интервалов декартово I ₁ × I ₂ × ⋯ × I _n , то A измеримо по Лебегу и $\lambda (A)=|I_{1}|\cdot |I_{2}|\cdots |I_{n}|.$
Если A — дизъюнктное объединение непересекающихся счетного числа множеств, измеримых по Лебегу, то A само измеримо по Лебегу и λ ( A ) равно сумме (или бесконечной серии ) мер задействованных измеримых множеств.
Если A измеримо по Лебегу, то измеримо и его дополнение .
λ ( A ) ≥ 0 для любого измеримого по Лебегу множества A .
Если A и B измеримы по Лебегу и A — подмножество B , то λ ( A ) ⩽ λ ( B ). (Следствие 2.)
Счётные объединения и пересечения множеств, измеримых по Лебегу, измеримы по Лебегу. (Это не следствие 2 и 3, поскольку семейство множеств, замкнутое относительно дополнений и непересекающихся счетных объединений, не обязательно должно быть замкнутым относительно счетных объединений: $\{\emptyset ,\{1,2,3,4\},\{1,2\},\{3,4\},\{1,3\},\{2,4\}\}$ .)
Если A — открытое или закрытое подмножество R ^н (или даже борелевское множество , см. метрическое пространство ), то A измеримо по Лебегу.
Если А — измеримое по Лебегу множество, то оно «приближенно открыто» и «приближенно замкнуто» в смысле меры Лебега.
Измеримое по Лебегу множество можно «втиснуть» между содержащим его открытым множеством и содержащимся закрытым множеством. Это свойство использовалось как альтернативное определение измеримости по Лебегу. Точнее, $E\subset \mathbb {R}$ измеримо по Лебегу тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon >0$ существует открытый набор $G$ и закрытый набор $F$ такой, что $F\subset E\subset G$ и $\lambda (G\setminus F)<\varepsilon$ . ^[8]
Измеримое по Лебегу множество можно «втиснуть» между содержащимся в G _δ множеством и содержащимся в нем F _σ . Т.е. если A измеримо по Лебегу, то существуют G _δ множество G и F _σ F такие, что G ⊇ A ⊇ F и λ ( G \ A ) = λ ( A \ F ) = 0.
Мера Лебега одновременно локально конечна и внутренне регулярна , поэтому она является мерой Радона .
Мера Лебега строго положительна на непустых открытых множествах, поэтому ее носителем является все R ^н.
Если A — измеримое по Лебегу множество с λ( A ) = 0 ( нулевое множество ), то каждое подмножество A также является нулевым множеством. Тем более , что каждое подмножество A измеримо.
Если A измеримо по Лебегу и x — элемент R ^н, то сдвиг A на x , определенный формулой A + x = { a + x : a ∈ A }, также измерим по Лебегу и имеет ту же меру, что и A .
Если A измеримо по Лебегу и $\delta >0$ , то расширение $A$ к $\delta$ определяется $\delta A=\{\delta x:x\in A\}$ также измерим по Лебегу и имеет меру $\delta ^{n}\lambda \,(A).$
В более общем смысле, если T — линейное преобразование , а A — измеримое подмножество R ^н, то T ( A ) также измеримо по Лебегу и имеет меру $\left|\det(T)\right|\lambda (A)$ .

Все вышесказанное можно кратко резюмировать следующим образом (хотя последние два утверждения нетривиально связаны со следующим):

Измеримые по Лебегу множества образуют σ -алгебру, содержащую все произведения интервалов, а λ — единственная полная трансляционно-инвариантная мера на этой σ-алгебре с

\lambda ([0,1]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1])=1.

Мера Лебега также обладает свойством быть σ -конечной .

Нулевые наборы [ править ]

Подмножество R ^н является нулевым множеством , если для любого ε > 0 его можно покрыть счетным числом произведений из n интервалов, общий объем которых не превосходит ε. Все счетные множества являются нулевыми множествами.

Если подмножество R ^н имеет хаусдорфову размерность меньше n , то это нулевое множество относительно n -мерной меры Лебега. Здесь размерность Хаусдорфа относится к евклидовой метрике на R ^н (или любую липшицеву эквивалентную ему метрику). С другой стороны, множество может иметь топологическую размерность меньше n и иметь положительную n -мерную меру Лебега. Примером этого является множество Смита – Вольтерры – Кантора , которое имеет топологическую размерность 0, но имеет положительную одномерную меру Лебега.

Чтобы показать, что данное множество A измеримо по Лебегу, обычно пытаются найти «более хорошее» множество B , которое отличается от A только нулевым набором (в том смысле, что симметричная разность ( A − B ) ∪ ( B − A ) — нулевое множество), а затем покажите, что B можно сгенерировать с помощью счетных объединений и пересечений открытых или закрытых множеств.

Построение меры Лебега [ править ]

Современная конструкция меры Лебега представляет собой применение теоремы Каратеодори о продолжении . Это происходит следующим образом.

Зафиксируйте n ∈ N. Коробка в R ^н представляет собой набор вида

B=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]\,,

где b _i ≥ a _i , а символ продукта здесь представляет декартово произведение. Объем этого ящика определяется как

\operatorname {vol} (B)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})\,.

Для любого подмножества A из R ^н, мы можем определить его внешнюю меру λ *( A ) следующим образом:

\lambda ^{*}(A)=\inf \left\{\sum _{B\in {\mathcal {C}}}\operatorname {vol} (B):{\mathcal {C}}{\text{ is a countable collection of boxes whose union covers }}A\right\}.

Затем мы определяем множество A как измеримое по Лебегу, если для любого подмножества S из R ^н,

\lambda ^{*}(S)=\lambda ^{*}(S\cap A)+\lambda ^{*}(S\setminus A)\,.

Эти измеримые по Лебегу множества образуют σ -алгебру , а мера Лебега определяется соотношением λ ( A ) = λ *( A ) для любого измеримого по Лебегу множества A .

Существование множеств, не измеримых по Лебегу, является следствием теоретико-множественной аксиомы выбора , которая не зависит от многих обычных систем аксиом теории множеств . Теорема Витали , следующая из аксиомы, утверждает, что существуют подмножества R , которые не измеримы по Лебегу. Предполагая аксиому выбора, неизмеримые множества были продемонстрированы со многими удивительными свойствами, такими как парадокс Банаха-Тарского .

В 1970 году Роберт М. Соловей показал, что существование множеств, которые не измеримы по Лебегу, недоказуемо в рамках теории множеств Цермело – Френкеля в отсутствие аксиомы выбора (см. модель Соловея ). ^[9]

с другими Связь мерами

Мера Бореля согласуется с мерой Лебега на тех множествах, для которых она определена; однако множеств, измеримых по Лебегу, гораздо больше, чем множеств, измеримых по Борелю. Мера Бореля является трансляционно-инвариантной, но не полной .

Мера Хаара может быть определена на любой локально компактной группе и является обобщением меры Лебега ( R ^н со сложением является локально компактной группой).

Мера Хаусдорфа — это обобщение меры Лебега, которое полезно для измерения подмножеств R ^н размерностей меньших, чем n , как подмногообразия , например, поверхности или кривые в R ³ и фрактальные множества. Меру Хаусдорфа не следует путать с понятием размерности Хаусдорфа .

Можно показать, что не существует бесконечномерного аналога меры Лебега .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Термин «объем» также используется, более строго, как синоним трехмерного объема.
^ Лебег, Х. (1902). «Интеграл, Длина, Площадь» . Анналы чистой и прикладной математики . 7 : 231–359. дои : 10.1007/BF02420592 . S2CID 121256884 .
^ Ройден, Х.Л. (1988). Реальный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Макмиллан. п. 56. ИСБН 0-02-404151-3 .
^ «Лебег-Масс» . 29 августа 2022 г. Проверено 9 марта 2023 г. - из Википедии.
^ Асаф Карагила. «Какие множества измеримы по Лебегу?» . обмен математическим стеком . Проверено 26 сентября 2015 г.
^ Асаф Карагила. «Существует ли на R сигма-алгебра строго между алгебрами Бореля и Лебега?» . обмен математическим стеком . Проверено 26 сентября 2015 г.
^ Осгуд, Уильям Ф. (январь 1903 г.). «Жордановая кривая положительной области» . Труды Американского математического общества . 4 (1). Американское математическое общество: 107–112. дои : 10.2307/1986455 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1986455 .
^ Каротерс, Нидерланды (2000). Реальный анализ . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 293 . ISBN 9780521497565 .
^ Соловей, Роберт М. (1970). «Модель теории множеств, в которой каждое множество действительных чисел измеримо по Лебегу». Анналы математики . Вторая серия. 92 (1): 1–56. дои : 10.2307/1970696 . JSTOR 1970696 .

[1] Термин «объем» также используется, более строго, как синоним трехмерного объема.

[2] Лебег, Х. (1902). «Интеграл, Длина, Площадь» . Анналы чистой и прикладной математики . 7 : 231–359. дои : 10.1007/BF02420592 . S2CID 121256884 .

[3] Ройден, Х.Л. (1988). Реальный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Макмиллан. п. 56. ИСБН 0-02-404151-3 .

[4] «Лебег-Масс» . 29 августа 2022 г. Проверено 9 марта 2023 г. - из Википедии.

[5] Асаф Карагила. «Какие множества измеримы по Лебегу?» . обмен математическим стеком . Проверено 26 сентября 2015 г.

[6] Асаф Карагила. «Существует ли на R сигма-алгебра строго между алгебрами Бореля и Лебега?» . обмен математическим стеком . Проверено 26 сентября 2015 г.

[7] Осгуд, Уильям Ф. (январь 1903 г.). «Жордановая кривая положительной области» . Труды Американского математического общества . 4 (1). Американское математическое общество: 107–112. дои : 10.2307/1986455 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1986455 .

[8] Каротерс, Нидерланды (2000). Реальный анализ . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр. 293 . ISBN 9780521497565 .

[9] Соловей, Роберт М. (1970). «Модель теории множеств, в которой каждое множество действительных чисел измеримо по Лебегу». Анналы математики . Вторая серия. 92 (1): 1–56. дои : 10.2307/1970696 . JSTOR 1970696 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]