Бесконечномерная мера Лебега

Бесконечномерная мера Лебега — это тип меры, определенный в бесконечномерном нормированном векторном пространстве , точнее, в банаховом пространстве . Она разделяет свойства меры Лебега в конечномерных пространствах.

Однако обычную меру Лебега нельзя распространить на все бесконечномерные пространства. Это ограничение возникает потому, что любая трансляционно-инвариантная борелевская мера в бесконечномерном сепарабельном банаховом пространстве всегда либо бесконечна для всех множеств, либо равна нулю для всех множеств. Несмотря на это, есть некоторые примеры мер, подобных Лебегу. Они возникают, когда пространство не сепарабельно, например, куб Гильберта , или когда одно из ключевых свойств меры Лебега ослаблено.

Мотивация

Мера Лебега $\lambda$ на евклидовом пространстве $\mathbb {R} ^{n}$ , локально конечен строго положителен и трансляционно-инвариантен . То есть:

• каждая точка $x$ в $\mathbb {R} ^{n}$ имеет открытое окружение $N_{x}$ с конечной мерой: $\lambda (N_{x})<+\infty ;$
• каждое непустое открытое подмножество $U$ из $\mathbb {R} ^{n}$ имеет положительную меру: $\lambda (U)>0;$ и
• если $A$ – любое измеримое по Лебегу подмножество $\mathbb {R} ^{n},$ и $h$ является вектором в $\mathbb {R} ^{n},$ тогда все переводится как $A$ имеют ту же меру: $\lambda (A+h)=\lambda (A).$

Руководствуясь их геометрической значимостью, построение мер, удовлетворяющих указанным выше свойствам, для бесконечномерных пространств, таких как $L^{p}$ пробелы или пространства путей по-прежнему остается открытой и активной областью исследований.

Формулировка теоремы

О нелокально компактной польской группе $G$, не может существовать σ-конечная и левоинвариантная борелевская мера.

Из этой теоремы следует, что в бесконечномерном сепарабельном банаховом пространстве, которое не может быть локально компактным, меры Лебега не существует.

Теорема о несуществовании в сепарабельных банаховых пространствах

Позволять $X$ — бесконечномерное сепарабельное банахово пространство. Тогда единственная локально конечная и трансляционно-инвариантная борелевская мера $\mu$ на $X$ это тривиальная мера . Эквивалентно, не существует локально конечной, строго положительной и трансляционно-инвариантной меры на $X$.

Доказательство

Позволять $X$ быть бесконечномерным сепарабельным банаховым пространством, снабженным локально конечным трансляционно-инвариантным измерением. $\mu .$ Чтобы доказать это $\mu$ — тривиальная мера, то достаточно и необходимо показать, что $\mu (X)=0.$

Как и любое сепарабельное метрическое пространство , $X$ является пространством Линделёфа , а это означает, что каждое открытое покрытие $X$ имеет счетное подпокрытие. Поэтому достаточно показать, что существует некоторое открытое покрытие $X$ нулевыми множествами, поскольку при выборе счетного подпокрытия σ- субаддитивность $\mu$ подразумевает, что $\mu (X)=0.$

Используя локальную конечность, предположим, что для некоторого $r>0,$ открытый шар $B(r)$ радиуса $r$ имеет конечное значение $\mu$-мера. С $X$ бесконечномерен, по лемме Рисса существует бесконечная последовательность попарно непересекающихся открытых шаров $B_{n}(r/4),$ $n\in \mathbb {N}$, радиуса $r/4,$ со всеми меньшими шариками $B_{n}(r/4)$ содержится внутри $B(r).$ Благодаря трансляционной инвариантности все меньшие шары имеют одинаковую меру, и поскольку сумма этих измерений конечна, все меньшие шары должны иметь одинаковую меру. $\mu$-измерить ноль.

С $r$ был произвольным, каждый открытый шар в $X$ имеет нулевую меру и накрывая $X$ который представляет собой набор всех открытых шаров, завершающий доказательство.

Нетривиальные меры

Вот несколько примеров бесконечномерных мер Лебега, которые могут существовать, если ослабить условия приведенной выше теоремы.

Существуют и другие меры , поддерживающие полностью сепарабельные банаховые пространства. Одним из примеров является абстрактная конструкция пространства Винера , подобная произведению гауссовских мер. Другой подход состоит в том, чтобы рассмотреть измерение Лебега конечномерных подпространств внутри большего пространства и рассмотреть распространенные и застенчивые множества .

Куб Гильберта имеет произведение меры Лебега. и компактная топологическая группа, заданная тихоновским произведением бесконечного числа копий группы окружностей , которая является бесконечномерной и несет меру Хаара трансляционно-инвариантную . Эти два пространства можно отобразить друг на друга с сохранением меры, развернув круги на интервалы. Бесконечное произведение аддитивных действительных чисел имеет аналогичную меру Хаара, которая является в точности бесконечномерным аналогом меры Лебега.

См. также

• Мера набора цилиндров – способ создания меры для пространств продуктов. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Теорема Кэмерона – Мартина - Теорема, определяющая перевод гауссовских мер (мер Винера) в гильбертовых пространствах.
• Теорема Фельдмана – Хайека - Теория в теории вероятностей
• Гауссова мера # Бесконечномерные пространства - Тип борелевской меры
  • Структурная теорема для гауссовских мер - Математическая теорема
• Проекционная мера - математическая операторная мера, представляющая интерес для квантовой механики и функционального анализа.
• Функция набора – функция преобразования наборов в числа.