Мера Пеано – Жордана

В математике мера Пеано –Жордана (также известная как содержание Жордана ) — это расширение понятия размера ( длины , площади , объёма ) на формы более сложные, чем, например, треугольник , диск или параллелепипед .

Оказывается, чтобы множество имело жорданову меру, оно должно вести себя хорошо в определенном ограничительном смысле. По этой причине сейчас чаще приходится работать с мерой Лебега , которая является расширением меры Жордана на более широкий класс множеств. С исторической точки зрения, иорданская мера появилась первой, ближе к концу девятнадцатого века. По историческим причинам термин «мера Жордана» теперь устоялся для этой функции множества , несмотря на то, что она не является истинной мерой в ее современном определении, поскольку измеримые по Жордану множества не образуют σ-алгебру . Например, одноэлементные наборы $\{x\}_{x\in \mathbb {R} }$ в $\mathbb {R}$ каждый из них имеет жорданову меру 0, а $\mathbb {Q} \cap [0,1]$ , их счетное объединение, не измеримо по Жордану. ^{[ 1 ]} По этой причине некоторые авторы ^{[ 2 ]} предпочитаю использовать термин «иорданский контент » .

Мера Пеано-Жордана названа в честь ее создателей, французского математика Камиля Жордана и итальянского математика Джузеппе Пеано . ^{[ 3 ]}

Иорданская мера «простых множеств»

Рассмотрим евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}.$ впервые определяется на декартовых произведениях ограниченных . полуинтервалов Жорданова мера $C=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})$ которые закрыты слева и открыты справа со всеми конечными точками $a_{i}$ и $b_{i}$ конечные действительные числа (полуоткрытые интервалы — технический выбор; как мы увидим ниже, при желании можно использовать закрытые или открытые интервалы). Такой набор будем называть $n$ -мерный прямоугольник или просто прямоугольник . Жорданова мера такого прямоугольника определяется как произведение длин интервалов: $m(C)=(b_{1}-a_{1})(b_{2}-a_{2})\cdots (b_{n}-a_{n}).$

Далее рассматриваются простые множества , иногда называемые полипрямоугольниками , которые представляют собой конечные объединения прямоугольников. $S=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{k}$ для любого $k\geq 1.$

Невозможно определить жорданову меру $S$ как просто сумма мер отдельных прямоугольников, потому что такое представление $S$ далеко не уникален, и между прямоугольниками могут быть значительные перекрытия.

К счастью, любой такой простой набор $S$ можно переписать как объединение другого конечного семейства прямоугольников, прямоугольников, которые на этот раз не пересекаются друг с другом , и затем определить жорданову меру $m(S)$ как сумму мер непересекающихся прямоугольников.

Можно показать, что это определение жордановой меры $S$ не зависит от представления $S$ как конечное объединение непересекающихся прямоугольников. Именно на этапе «переписывания» используется предположение о том, что прямоугольники состоят из полуоткрытых интервалов.

Расширение до более сложных наборов

Обратите внимание, что множество, являющееся произведением замкнутых интервалов, $[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]$ не является простым набором, как и мяч . Таким образом, пока набор измеримых по Жордану множеств все еще весьма ограничен. Ключевым шагом тогда является определение ограниченного множества, измеримого по Жордану, если оно «хорошо аппроксимируется» простыми множествами, точно так же, как функция интегрируема по Риману, если она хорошо аппроксимируется кусочно-постоянными функциями.

Формально для ограниченного множества $B,$ определить его Внутренняя Иордания измеряется как $m_{*}(B)=\sup _{S\subseteq B}m(S)$ и его Внешняя Иордания измеряется как $m^{*}(B)=\inf _{S\supseteq B}m(S)$ где нижняя и верхняя грань берутся по простым множествам $S.$ Набор $B$ Говорят, что это Измеримое по Жордану множество, если внутренняя мера $B$ равна внешней мере. Общее значение этих двух мер тогда называется просто мерой Жордана. $B$ . Мера Жордана — это функция множества , которая переводит измеримые по Жордану множества в их меру Жордана.

Оказывается, все прямоугольники (разомкнутые или замкнутые), а также все шары, симплексы и т. д. измеримы по Жордану. Кроме того, если рассматривать две непрерывные функции , множество точек между графиками этих функций измеримо по Жордану, если это множество ограничено, а общая область определения двух функций измерима по Жордану. Любое конечное объединение и пересечение измеримых по Жордану множеств является измеримым, как и разность множеств любых двух измеримых по Жордану множеств. Компакт . не обязательно измерим по Жордану Например, множество ε-Кантора таковым не является. внутренняя жорданова мера равна нулю, так как ее дополнение плотно Ее ; однако ее внешняя жорданова мера не обращается в нуль, так как она не может быть меньше (фактически равна) ее меры Лебега. Кроме того, ограниченное открытое множество не обязательно измеримо по Жордану. Например, дополнение к толстому множеству Кантора (внутри интервала) таковым не является. Ограниченное множество является измеримым по Жордану тогда и только тогда, когда его индикаторная функция интегрируема по Риману , а значение интеграла является его жордановой мерой. [1]

Эквивалентно, для ограниченного множества $B$ внутренняя жорданова мера $B$ — мера Лебега внутренности топологической $B$ а внешняя жорданова мера есть мера Лебега замыкания . ^{[ 4 ]} Отсюда следует, что ограниченное множество измеримо по Жордану тогда и только тогда, когда его топологическая граница имеет нулевую меру Лебега. (Или, что то же самое, если граница имеет нулевую жорданову меру; эквивалентность сохраняется из-за компактности границы.)

Мера Лебега

Это последнее свойство существенно ограничивает типы множеств, измеримых по Жордану. Например, множество рациональных чисел, содержащихся в интервале [0,1], тогда не является измеримым по Жордану, поскольку его границей является [0,1], которое не имеет нулевой жордановой меры. Однако интуитивно понятно, что набор рациональных чисел является «маленьким» набором, поскольку он счетен и должен иметь нулевой «размер». Это действительно так, но только если заменить меру Жордана мерой Лебега . Мера Лебега множества совпадает с его жордановой мерой, если это множество имеет жорданову меру. Однако мера Лебега определена для гораздо более широкого класса множеств, например, для множества рациональных чисел в интервале, упомянутом ранее, а также для множеств, которые могут быть неограниченными или фракталами . Кроме того, мера Лебега, в отличие от меры Жордана, является истинной мерой , то есть любое счетное объединение измеримых по Лебегу множеств измеримо по Лебегу, тогда как счетные объединения измеримых по Жордану множеств не обязательно должны быть измеримыми по Жордану.

Ссылки

^ Хотя набор, мера которого определена, называется измеримым , не существует общепринятого термина для описания набора, чье жорданово содержание определено. Манкрес (1991) предлагает термин «спрямляемый» как обобщение использования этого термина для описания кривых. Другие авторы использовали такие термины, как «допустимый» (Ланг, Зорич); «павэйбл» (Хаббард); «иметь содержание» (Беркилл); «довольные» (Лумис и Штернберг).
^ Манкрес, младший (1991). Анализ на многообразиях . Боулдер, Колорадо: Westview Press. п. 113. ИСБН 0-201-31596-3 .
^ Г. Пеано, «Геометрические приложения исчисления бесконечно малых», Fratelli Bocca , Турин, 1887.
^ Фринк, Оррин младший (июль 1933 г.). «Иорданская мера и интеграция Римана». Анналы математики . 2. 34 (3): 518–526. дои : 10.2307/1968175 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1968175 .

Эммануэле ДиБенедетто (2002). Реальный анализ . Базель, Швейцария: Биркхойзер. ISBN 0-8176-4231-5 .
Ричард Курант; Фриц Джон (1999). Введение в исчисление и анализ, том II/1: главы 1–4 (классика математики) . Берлин: Шпрингер. ISBN 3-540-66569-2 .

Внешние ссылки

Дервент, Джон. «Иорданская мера» . Математический мир .
Терехин, А.П. (2001) [1994], «Жорданская мера» , Энциклопедия математики , EMS Press

[1] Хотя набор, мера которого определена, называется измеримым , не существует общепринятого термина для описания набора, чье жорданово содержание определено. Манкрес (1991) предлагает термин «спрямляемый» как обобщение использования этого термина для описания кривых. Другие авторы использовали такие термины, как «допустимый» (Ланг, Зорич); «павэйбл» (Хаббард); «иметь содержание» (Беркилл); «довольные» (Лумис и Штернберг).

[2] Манкрес, младший (1991). Анализ на многообразиях . Боулдер, Колорадо: Westview Press. п. 113. ИСБН 0-201-31596-3 .

[3] Г. Пеано, «Геометрические приложения исчисления бесконечно малых», Fratelli Bocca , Турин, 1887.

[4] Фринк, Оррин младший (июль 1933 г.). «Иорданская мера и интеграция Римана». Анналы математики . 2. 34 (3): 518–526. дои : 10.2307/1968175 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1968175 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]