Проблема с переездом дивана
Какова наибольшая площадь фигуры, по которой можно маневрировать по Г-образному коридору единичной ширины?
В математике задача о передвижении дивана или задача о диване представляет собой двумерную идеализацию реальных задач по перемещению мебели и требует жесткой двумерной формы наибольшей площади , которой можно маневрировать через L-образную плоскую область с ножками из ширина единицы. [1] Полученная таким образом площадь называется константой дивана . Точное значение константы дивана является открытой проблемой . Ведущее в настоящее время решение Джозефа Л. Гервера имеет значение примерно 2,2195 и считается близким к оптимальному, основываясь на последующих исследованиях и теоретических оценках.
История [ править ]
Первая официальная публикация была сделана австрийско-канадским математиком Лео Мозером в 1966 году. [2] хотя до этой даты было много неофициальных упоминаний. [1]
Границы [ править ]
Проведена работа по доказательству того, что константа дивана (А) не может быть ниже или выше определенных значений ( нижних границ и верхних границ ).
Нижний [ править ]
Нижнюю границу константы дивана можно доказать, найдя конкретную форму высокой площади и путь ее перемещения через угол. Очевидная нижняя граница . Это происходит из-за дивана, который представляет собой полудиск единичного радиуса, который может скользить вверх по одному проходу в угол, вращаться внутри угла вокруг центра диска, а затем выдвигаться из другого прохода.
В 1968 году Джон Хаммерсли установил нижнюю границу . [3] Этого можно добиться, используя форму, напоминающую телефонную трубку , состоящую из двух четвертей радиуса 1 по обе стороны от 1 на . прямоугольник, от которого отделяется половина круга радиуса был удален. [4] [5]
В 1992 году Джозеф Л. Гервер из Университета Рутгерса описал диван, состоящий из 18 кривых секций, каждая из которых имеет гладкую аналитическую форму. Это еще больше увеличило нижнюю границу константы дивана примерно до 2,2195 (последовательность A128463 в OEIS ). [6] [7]
Верхний [ править ]
Хаммерсли установил верхнюю границу константы дивана не более . [3] [1] [8] Йоав Каллус и Дэн Ромик опубликовали новую верхнюю границу в 2018 году, ограничив константу дивана на уровне . Их подход включает в себя вращение коридора (а не дивана) через конечную последовательность различных углов (а не непрерывно) и использование компьютерного поиска для поиска переводов для каждой повернутой копии так, чтобы пересечение всех копий имело связный компонент. с максимально большой площадью. Как они показывают, это обеспечивает действительную верхнюю границу оптимального дивана, которую можно сделать более точной, используя больше углов поворота. Набор из пяти тщательно выбранных углов поворота приводит к указанной верхней границе. [9]
Двусторонний диван [ править ]
Вариант задачи о диване задает вопрос о форме наибольшей площади, которая может огибать как левый, так и правый углы 90 градусов в коридоре единичной ширины (где левый и правый углы расположены достаточно далеко друг от друга, чтобы один был полностью согласован до того, как будет достигнут другой). столкнулся). Нижнюю границу области примерно 1,64495521 описал Дэн Ромик . Его диван также состоит из 18 изогнутых секций. [10] [11]
См. также [ править ]
- Холистическое детективное агентство Дирка Джентли — роман Дугласа Адамса , сюжет которого вращается вокруг такой проблемы.
- Проблема червя Мозера
- Квадратная упаковка в квадрате
- « Эпизод с полицейским » — эпизод американского сериала « Друзья» с подсюжетом, вращающимся вокруг такой проблемы.
Ссылки [ править ]
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Вагнер, Нил Р. (1976). «Проблема дивана» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 83 (3): 188–189. дои : 10.2307/2977022 . JSTOR 2977022 . Архивировано из оригинала (PDF) 20 апреля 2015 г. Проверено 25 июля 2009 г.
- ^ Мозер, Лео (июль 1966 г.). «Задача 66-11. Перемещение мебели по коридору». Обзор СИАМ . 8 (3): 381. JSTOR 2028218 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Дж. М. Хаммерсли (1968). «О ослаблении математических способностей «современной математикой» и тому подобным мягким интеллектуальным мусором в школах и университетах» . Вестник Института математики и его приложений . 4 : 66–85. См. Приложение IV, Проблемы, Задача 8, с. 84.
- ^ Крофт, Халлард Т.; Фальконер, Кеннет Дж.; Гай, Ричард К. (1994). Халмос, Пол Р. (ред.). Нерешенные задачи геометрии . задачники по математике; Нерешенные проблемы интуитивной математики. Том. II. Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-97506-1 . Проверено 24 апреля 2013 г.
- ^ Финч, Стивен, Константа движущегося дивана , Библиотека Mathcad (включает схему дивана Гервера).
- ^ Гервер, Джозеф Л. (1992). «О передвижении дивана за угол». Геометрии Дедиката . 42 (3): 267–283. дои : 10.1007/BF02414066 . ISSN 0046-5755 . S2CID 119520847 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Проблема с переездом дивана» . Математический мир .
- ^ Стюарт, Ян (январь 2004 г.). Еще одна прекрасная математика, в которую вы меня втянули... Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0486431819 . Проверено 24 апреля 2013 г.
- ^ Каллус, Йоав; Ромик, Дэн (декабрь 2018 г.). «Улучшены верхние границы задачи о движущемся диване». Достижения в математике . 340 : 960–982. arXiv : 1706.06630 . дои : 10.1016/j.aim.2018.10.022 . ISSN 0001-8708 . S2CID 5844665 .
- ^ Ромик, Дэн (2017). «Дифференциальные уравнения и точные решения задачи о движущемся диване». Экспериментальная математика . 26 (2): 316–330. arXiv : 1606.08111 . дои : 10.1080/10586458.2016.1270858 . S2CID 15169264 .
- ^ Ромик, Дэн. «Проблема движущегося дивана — домашняя страница Дэна Ромика» . UCDavis . Проверено 26 марта 2017 г.
Внешние ссылки [ править ]
- Ромик, Дэн (23 марта 2017 г.). «Проблема движущегося дивана» (видео) . Ютуб . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 21 декабря 2021 г. Проверено 24 марта 2017 г.
- SofaBounds — Программа для расчета границ задачи перемещения дивана.
- 3D-модель двустороннего дивана Ромика.