Проблема червя Мозера

Нерешенная задача по математике :

Какова минимальная площадь фигуры, которая может охватывать каждую кривую единичной длины?

Проблема червя Мозера (также известная как проблема одеяла материнского червя ) — нерешенная задача геометрии, сформулированная австрийско-канадским математиком Лео Мозером в 1966 году. Задача требует найти область наименьшей площади , в которой может разместиться каждая плоская кривая длины 1. Здесь «Приспосабливать» означает, что кривую можно вращать и перемещать , чтобы она поместилась внутри области. В некоторых вариантах задачи область ограничена выпуклостью .

Примеры

Например, круглый диск радиуса 1/2 может вместить любую плоскую кривую длиной 1, если поместить среднюю точку кривой в центр диска. Другое возможное решение имеет форму ромба с углами при вершине 60° и 120° и длинной диагональю единичной длины. ^{[ 1 ]} Однако это не оптимальные решения; известны другие формы, которые решают проблему с меньшими площадями.

Свойства решения

Существование покрытия минимальной площади не совсем тривиально. Альтернативная возможность заключается в том, что существует некая минимальная область, к которой можно приблизиться, но которую на самом деле невозможно достичь. Однако существует наименьшее выпуклое покрытие. Его существование следует из теоремы выбора Бляшке . ^{[ 2 ]}

Также непросто определить, образует ли данная фигура покрытие. Герриетс и Пул (1974) предположили, что форма вмещает каждую кривую единичной длины тогда и только тогда, когда она вмещает каждую многоугольную цепочку единичной длины с тремя сегментами (это более легко проверяемое условие), но Панракса, Ветцель и Вичирамала (2007) показали, что нет Для этого теста будет достаточно конечного ограничения количества сегментов в полицепи.

Известные границы

Проблема остается открытой, но в ряде статей исследователи сократили разрыв между известными нижними и верхними границами. В частности, Норвуд и Пул (2003) построили (невыпуклое) универсальное покрытие и показали, что минимальная форма имеет площадь не более 0,260437; Gerriets & Poole (1974) и Norwood, Poole & Laidacker (1992) дали более слабые верхние границы. В выпуклом случае Ван (2006) улучшил верхнюю границу до 0,270911861. Хандхавит, Пагонакис и Шрисвасди (2013) использовали стратегию мин-максимум для площади выпуклого множества, содержащего сегмент, треугольник и прямоугольник, чтобы показать нижнюю границу 0,232239 для выпуклого покрытия.

В 1970-х годах Джон Ветцель предположил, что круговой сектор единичного радиуса в 30° представляет собой покрытие с площадью $\pi /12\approx 0.2618$ . Два доказательства гипотезы были независимо представлены Мовшовичем и Ветцелем (2017) и Панраксой и Вичирамалой (2021) . Если это подтвердится, это уменьшит верхнюю границу выпуклого покрытия примерно на 3%.

См. также

Проблема перемещения дивана , проблема поиска формы максимальной площади, которую можно вращать и перемещать через L-образный коридор.
Набор Какеи , набор минимальной площади, который может вместить каждый сегмент линии единичной длины (с разрешенными перемещениями, но не с поворотами)
Универсальная задача Лебега о покрытии : найти наименьшую выпуклую область, которая может покрыть любой плоский набор единичных диаметров.
Беллман заблудился в лесу . Найдите кратчайший путь, чтобы выбраться из леса известного размера и формы.

Примечания

^ Герриетс и Пул (1974) .
^ Норвуд, Пул и Лайдакер (1992) приписывают это наблюдение неопубликованной рукописи Лайдакера и Пула, датированной 1986 годом.

Ссылки

Герриетс, Джон; Пул, Джордж (1974), «Выпуклые области, охватывающие дуги постоянной длины», The American Mathematical Monthly , 81 (1): 36–41, doi : 10.2307/2318909 , JSTOR 2318909 , MR 0333991 .
Кхандхавит, Тирасан; Пагонакис, Димитриос; Срисвасди, Сира (2013), «Нижняя оценка для задач области выпуклой оболочки и универсального покрытия», Международный журнал вычислительной геометрии и приложений , 23 (3): 197–212, arXiv : 1101.5638 , doi : 10.1142/S0218195913500076 , MR 3158583 , S2CID 207132316 .
Норвуд, Рик ; Пул, Джордж (2003), «Улучшенная верхняя оценка проблемы червя Лео Мозера», Discrete and Computational Geometry , 29 (3): 409–417, doi : 10.1007/s00454-002-0774-3 , MR 1961007 .
Норвуд, Рик ; Пул, Джордж; Лайдакер, Майкл (1992), «Проблема Лео Мозера о червях», Дискретная и вычислительная геометрия , 7 (2): 153–162, doi : 10.1007/BF02187832 , MR 1139077 .
Панракса, Чатчаван; Ветцель, Джон Э.; Вичирамала, Вачарин (2007), «Покрытие n -сегментных единичных дуг недостаточно», Discrete and Computational Geometry , 37 (2): 297–299, doi : 10.1007/s00454-006-1258-7 , MR 2295060 .
Ван, Вэй (2006), «Улучшенная верхняя оценка проблемы червя», Acta Mathematica Sinica , 49 (4): 835–846, MR 2264090 .
Панракша с Чачем; Вичирамала, Вачарин (2021), «Сектор Ветцеля покрывает единичные дуги» , Венгерский математический журнал , 82 (2): 213–222, arXiv : 1907.07351 , doi : 10.1007/s10998-020-00354-x , S2CID 225397486 .
Мовшович, Евгения; Ветцель, Джон (2017), «Драпируемые единичные дуги помещаются в сектор единичных 30°» , Advances in Geometry , 17 (4): 497–506, doi : 10.1515/advgeom-2017-0011 , S2CID 125746596 .

[1] Герриетс и Пул (1974) .

[2] Норвуд, Пул и Лайдакер (1992) приписывают это наблюдение неопубликованной рукописи Лайдакера и Пула, датированной 1986 годом.

[ 1 ]

[ 2 ]