Теорема выбора Бляшке

Теорема выбора Бляшке — результат топологии и выпуклой геометрии о последовательностях выпуклых множеств . В частности, учитывая последовательность $\{K_{n}\}$ выпуклых множеств, содержащихся в ограниченном множестве , теорема гарантирует существование подпоследовательности $\{K_{n_{m}}\}$ и выпуклое множество $K$ такой, что $K_{n_{m}}$ сходится к $K$ в метрике Хаусдорфа . Теорема названа в честь Вильгельма Бляшке .

Альтернативные заявления

• Краткое изложение теоремы состоит в том, что метрическое пространство выпуклых тел локально компактно .
• Используя метрику Хаусдорфа на множествах, каждый бесконечный набор компактных подмножеств единичного шара имеет предельную точку (и эта предельная точка сама является компактным множеством ).

Приложение

В качестве примера его использования можно показать, что изопериметрическая задача имеет решение. То есть существует кривая фиксированной длины, охватывающая максимально возможную площадь. Можно показать, что и другие проблемы имеют решение:

• Универсальная задача Лебега о покрытии выпуклого универсального покрытия минимального размера для совокупности всех множеств в плоскости единичного диаметра.
• проблема максимального включения,
• и проблема червя Мозера для выпуклого универсального покрытия минимального размера для набора плоских кривых единичной длины.

Ссылки

• А.Б. Иванов (2001) [1994], «Теорема выбора Бляшке» , Энциклопедия математики , EMS Press
• В. А. Залгаллер (2001) [1994], «Метрическое пространство выпуклых множеств» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Кай-Сэн Чжоу; Си-Пин Чжу (2001). Проблема сокращения кривой . ЦРК Пресс. п. 45. ИСБН  1-58488-213-1 .