Комплект Байре

В математике , точнее в теории меры , множества Бэра образуют σ-алгебру топологического пространства , которая избегает некоторых патологических свойств борелевских множеств .

Существует несколько неэквивалентных определений множеств Бэра, но наиболее широко используемые множества Бэра локально компактного хаусдорфова пространства образуют наименьшую σ-алгебру, такую, что все с компактным носителем непрерывные функции измеримы . Таким образом, меры, определенные на этой σ-алгебре, называемые мерами Бэра , являются удобной основой для интегрирования в локально компактных хаусдорфовых пространствах. В частности, любая непрерывная функция с компактным носителем на таком пространстве интегрируема относительно любой конечной меры Бэра.

Каждое множество Бэра является борелевским множеством . Обратное справедливо во многих, но не во всех топологических пространствах. Множества Бэра избегают некоторых патологических свойств борелевских множеств в пространствах без счетной базы топологии. На практике использование мер Бэра на множествах Бэра часто можно заменить использованием обычных мер Бореля на множествах Бореля.

Множества Бэра были введены Кунихико Кодайрой ( 1941 , Определение 4), Шизуо Какутани и Кунихико Кодайрой ( 1944 ) и Халмосом ( 1950 , стр. 220), которые назвали их в честь функций Бэра , которые, в свою очередь, названы в честь Рене-Луи Бэра .

Основные определения

Существует как минимум три неэквивалентных определения множеств Бэра на локально компактных хаусдорфовых пространствах и еще больше определений для общих топологических пространств, хотя все эти определения эквивалентны для локально компактных σ-компактных хаусдорфовых пространств. Более того, некоторые авторы добавляют ограничения на топологическое пространство, в котором определены множества Бэра, и определяют множества Бэра только в пространствах, которые являются компактными по Хаусдорфу, локально компактными по Хаусдорфу или σ-компактными.

Первое определение

Кунихико Кодайра определился ^[1] то, что мы называем множествами Бэра (хотя он ошибочно называет их «борелевскими множествами») некоторых топологических пространств, — это множества, характеристическая функция которых является функцией Бэра (наименьший класс функций, содержащий все непрерывные вещественнозначные функции и замкнутый относительно поточечных пределов последовательности). Дадли (1989 , раздел 7.1) дает эквивалентное определение и определяет множества Бэра топологического пространства как элементы наименьшей σ-алгебры, такие, что все непрерывные вещественнозначные функции измеримы. Для локально компактных σ-компактных хаусдорфовых пространств это эквивалентно следующим определениям, но в общем случае эти определения не эквивалентны.

И наоборот, функции Бэра - это в точности вещественные функции, измеримые по Бэру. Для метрических пространств множества Бэра совпадают с множествами Бореля. ^[2]

Второе определение

1950 , стр. 220) определил бэровские множества локально компактного хаусдорфова пространства как элементы σ-кольца , порожденного компактными множествами Gδ _{Халмос (} . Это определение больше не используется, поскольку σ-кольца несколько вышли из моды. Когда пространство σ-компактно, это определение эквивалентно следующему определению.

Одна из причин работать с компактными множествами G _δ, а не с замкнутыми множествами G _δ, заключается в том, что меры Бэра тогда автоматически становятся регулярными ( Халмос, 1950 , теорема G, стр. 228).

Третье определение

Третье и наиболее широко используемое определение похоже на определение Халмоша, модифицированное таким образом, что множества Бэра образуют σ-алгебру, а не просто σ-кольцо.

Подмножество локально компактного топологического пространства Хаусдорфа называется множеством Бэра, если оно является членом наименьшей σ-алгебры , содержащей все компактные G _δ множества . Другими словами, σ-алгебра множеств Бэра — это σ-алгебра, порожденная всеми теми пересечениями счетного числа открытых множеств, которые дают компактное множество. В качестве альтернативы множества Бэра образуют наименьшую σ-алгебру, такую, что все непрерывные функции с компактным носителем измеримы (по крайней мере, на локально компактных хаусдорфовых пространствах; на общих топологических пространствах эти два условия не обязательно должны быть эквивалентными).

Для σ-компактных пространств это эквивалентно определению Халмоша. Для пространств, которые не являются σ-компактными, множества Бэра по этому определению — это множества по определению Халмоша вместе с их дополнениями. Однако в этом случае уже не верно, что конечная мера Бэра обязательно является регулярной: например, вероятностная мера Бэра , которая сопоставляет меру 0 каждому счетному подмножеству несчетного дискретного пространства и меру 1 каждому сосчетному подмножеству, является Нерегулярная вероятностная мера Бэра.

Примеры

Различные определения множеств Бэра не эквивалентны.

Для локально компактных хаусдорфовых топологических пространств, которые не являются σ-компактными, три приведенных выше определения не обязательно должны быть эквивалентными.

Дискретное топологическое пространство локально компактно и хаусдорфово. Любая функция, определенная в дискретном пространстве, непрерывна, и поэтому согласно первому определению все подмножества дискретного пространства являются бэровскими. Однако, поскольку компактные подпространства дискретного пространства являются в точности конечными подпространствами, множества Бэра согласно второму определению являются в точности не более чем счетными множествами, тогда как согласно третьему определению множества Бэра являются не более чем счетными множествами и их дополнения. Таким образом, три определения неэквивалентны на несчетном дискретном пространстве.

Для нехаусдорфовых пространств определения множеств Бэра в терминах непрерывных функций не обязательно должны быть эквивалентны определениям, включающим G _δ компактные множества. Например, если X — бесконечное счетное множество, замкнутыми множествами которого являются конечные множества и все пространство, то единственные непрерывные вещественные функции на X постоянны, но все подмножества X находятся в σ-алгебре, порожденной компактной замкнутой G _δ. наборы.

Множество Бореля, не являющееся множеством Бэра.

В декартовом произведении бесчисленного числа компактных хаусдорфовых пространств с более чем одной точкой точка никогда не является бэровским множеством, несмотря на то, что оно замкнуто, и, следовательно, борелевским множеством. ^[3]

Характеристики

Множества Бэра совпадают с множествами Бореля в евклидовых пространствах .

Для каждого бикомпакта каждая конечная мера Бэра (т. е. мера на σ-алгебре всех множеств Бэра) является регулярной . ^[4]

Для любого хаусдорфова пространства каждая конечная мера Бэра имеет единственное расширение до регулярной борелевской меры. ^[5]

Теорема Колмогорова о расширении утверждает, что каждый непротиворечивый набор конечномерных вероятностных распределений приводит к мере Бэра в пространстве функций. ^[6] Предполагая компактность (данного пространства, а значит, и функционального пространства ), можно расширить его до регулярной борелевской меры. После завершения получается вероятностное пространство, которое не обязательно является стандартным . ^[7]

Примечания

^ Кодайра 1941 , с. 21, Деф. 4
^ Дадли (1989 , теорема 7.1.1)
^ Дадли 1989 , Пример после теоремы 7.1.1.
^ Дадли 1989 , Теорема 7.1.5.
^ Дадли 1989 , Теорема 7.3.1.
^ Дадли 1989 , Теорема 12.1.2.
^ Его стандартность исследуется в: Цирельсон, Борис (1981). «Естественная модификация случайного процесса и ее применение к стохастическим функциональным рядам и гауссовским мерам». Журнал советской математики . 16 (2): 940–956. дои : 10.1007/BF01676139 . S2CID 119874519 . . См. теорему 1(в).

Ссылки

Халмос, PR (1950). Теория меры . против Ностранда. См. особенно разд. 51 «Множества Бореля и множества Бэра».
Дадли, РМ (1989). Реальный анализ и вероятность . Чепмен и Холл. ISBN 0521007542 . . См. особенно разд. 7.1 «О-алгебры Бэра и Бореля и регулярность мер» и разд. 7.3 «Расширение регулярности».
Какутани, Шизуо; Кодайра, Кунихико (1944), «О мере Хаара в локально бикомпактной группе», Proc. имп. Токио , 20 (7): 444–450, doi : 10.3792/pia/1195572875 , MR 0014401
Кодайра, Кунихико (1941), "О группе измеримых отображений", Учеб. имп. Токио , 17 : 18–23, doi : 10.3792/pia/1195578914 , MR 0004089
«Набор Бэра» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Кодайра 1941 , с. 21, Деф. 4

[2] Дадли (1989 , теорема 7.1.1)

[3] Дадли 1989 , Пример после теоремы 7.1.1.

[4] Дадли 1989 , Теорема 7.1.5.

[5] Дадли 1989 , Теорема 7.3.1.

[6] Дадли 1989 , Теорема 12.1.2.

[7] Его стандартность исследуется в: Цирельсон, Борис (1981). «Естественная модификация случайного процесса и ее применение к стохастическим функциональным рядам и гауссовским мерам». Журнал советской математики . 16 (2): 940–956. дои : 10.1007/BF01676139 . S2CID 119874519 . . См. теорему 1(в).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]