Сигма-кольцо

В математике непустая совокупность множеств называется 𝜎-кольцом (произносится как сигма-кольцо ), если она замкнута относительно счетного объединения и относительного дополнения .

Формальное определение

Позволять ${\mathcal {R}}$ быть непустой совокупностью множеств . Затем ${\mathcal {R}}$ является 𝜎-кольцом, если:

1. Закрыты по счетным союзам : $\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}$ если $A_{n}\in {\mathcal {R}}$ для всех $n\in \mathbb {N}$
2. Закрыто при относительном дополнении : $A\setminus B\in {\mathcal {R}}$ если $A,B\in {\mathcal {R}}$

Характеристики

Эти два свойства подразумевают: $$\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}$$в любое время $A_{1},A_{2},\ldots$ являются элементами ${\mathcal {R}}.$

Это потому, что $$\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}=A_{1}\setminus \bigcup _{n=2}^{\infty }\left(A_{1}\setminus A_{n}\right).$$

Каждое 𝜎-кольцо является δ-кольцом , но существуют δ-кольца, которые не являются 𝜎-кольцами.

Похожие концепции

Если первое свойство ослаблено до замыкания при конечном объединении (т. е. $A\cup B\in {\mathcal {R}}$ в любое время $A,B\in {\mathcal {R}}$), но не счетное объединение, тогда ${\mathcal {R}}$ является кольцом , но не 𝜎-кольцом.

Использование

𝜎-кольца можно использовать вместо 𝜎-полей (𝜎-алгебр) при разработке теории меры и интегрирования , если не хочется требовать универсального множества измеримости . Каждое 𝜎-поле также является 𝜎-кольцом, но 𝜎-кольцо не обязательно должно быть 𝜎-полем.

𝜎-кольцо ${\mathcal {R}}$ это совокупность подмножеств $X$ индуцирует 𝜎-поле для $X.$ Определять ${\mathcal {A}}=\{E\subseteq X:E\in {\mathcal {R}}\ {\text{or}}\ E^{c}\in {\mathcal {R}}\}.$ Затем ${\mathcal {A}}$ является 𝜎-полем над множеством $X$ - чтобы проверить замыкание при счетном объединении, вызовите $\sigma$-кольцо замкнуто при счетных пересечениях. Фактически ${\mathcal {A}}$ — минимальное 𝜎-поле, содержащее ${\mathcal {R}}$ поскольку оно должно содержаться в каждом 𝜎-поле, содержащем ${\mathcal {R}}.$

См. также

• δ -кольцо - Кольцо, замкнутое относительно счетных пересечений.
• Поле множеств - алгебраическое понятие в теории меры, также называемое алгеброй множеств.
• Соединение (сигма-алгебра) – алгебраическая структура алгебры множеств. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• 𝜆-система (система Дынкина) - семейство, замкнутое относительно дополнений и счетных непересекающихся объединений.
• Измеримая функция - функция, для которой прообраз измеримого множества измерим.
• Класс Monotone – теорема. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта. Страницы, отображающие краткие описания без пробелов.
• π -система - семейство множеств, замкнутых при пересечении.
• Кольцо множеств - Семья, замкнутая союзами и относительными дополнениями.
• Пространство выборки - набор всех возможных исходов или результатов статистического испытания или эксперимента.
• 𝜎 аддитивность – функция отображения
• σ-алгебра - алгебраическая структура алгебры множеств.
• 𝜎-идеал - семейство, замкнутое относительно подмножеств и счетных объединений.

Ссылки

• Вальтер Рудин , 1976. Принципы математического анализа , 3-е. ред. МакГроу-Хилл. В последней главе 𝜎-кольца используются в развитии теории Лебега.

showСемьи ${\mathcal {F}}$ сетов закончилось $\Omega$
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	Directed by $\,\supseteq$	$A\cap B$	$A\cup B$	$B\setminus A$	$\Omega \setminus A$	$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$	$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$	$\Omega \in {\mathcal {F}}$	$\varnothing \in {\mathcal {F}}$	F.I.P.
π-system
Semiring										Never
Semialgebra (Semifield)										Never
Monotone class						only if $A_{i}\searrow$	only if $A_{i}\nearrow$
𝜆-system (Dynkin System)				only if $A\subseteq B$			only if $A_{i}\nearrow$ or they are disjoint			Never
Ring (Order theory)
Ring (Measure theory)										Never
δ-Ring										Never
𝜎-Ring										Never
Algebra (Field)										Never
𝜎-Algebra (𝜎-Field)										Never
Dual ideal
Filter				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Prefilter (Filter base)				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Filter subbase				Never	Never				$\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$
Open Topology							(even arbitrary $\cup$)			Never
Closed Topology						(even arbitrary $\cap$)				Never
Is necessarily true of ${\mathcal {F}}\colon$ or, is ${\mathcal {F}}$ closed under:	directed downward	finite intersections	finite unions	relative complements	complements in $\Omega$	countable intersections	countable unions	contains $\Omega$	contains $\varnothing$	Finite Intersection Property
Additionally, a semiring is a π-system where every complement $B\setminus A$ is equal to a finite disjoint union of sets in ${\mathcal {F}}.$ A semialgebra is a semiring where every complement $\Omega \setminus A$ is equal to a finite disjoint union of sets in ${\mathcal {F}}.$ $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ are arbitrary elements of ${\mathcal {F}}$ and it is assumed that ${\mathcal {F}}\neq \varnothing .$