Дискретное пространство

В топологии дискретное пространство является особенно простым примером топологического пространства или аналогичной структуры, в которой точки образуют прерывистую последовательность , то есть они изолированы в определенном смысле друг от друга. Дискретная топология — это лучшая топология, которая может быть задана на множестве. Каждое подмножество открыто в дискретной топологии, так что, в частности, каждое одноэлементное подмножество является открытым множеством в дискретной топологии.

Определения [ править ]

Учитывая набор $X$ :

тот дискретная топология на $X$ определяется, позволяя подмножеству каждому $X$ быть открытым (а значит, и закрытым ), и $X$ это дискретное топологическое пространство , если оно снабжено своей дискретной топологией;
тот дискретная однородность на $X$ определяется, позволяя каждому надмножеству диагонали $\{(x,x):x\in X\}$ в $X\times X$ быть окружением и $X$ это дискретное однородное пространство, если оно наделено своей дискретной однородностью.
тот дискретная метрика $\rho$ на $X$ определяется $\rho (x,y)={\begin{cases}1&{\text{if}}\ x\neq y,\\0&{\text{if}}\ x=y\end{cases}}$ для любого $x,y\in X.$ В этом случае $(X,\rho )$ называется дискретное метрическое пространство или пространство изолированных точек .
а дискретное подпространство некоторого заданного топологического пространства $(Y,\tau )$ относится к топологическому подпространству $(Y,\tau )$ (подмножество $Y$ вместе с топологией подпространства, которая $(Y,\tau )$ индуцирует на нем), топология которого равна дискретной топологии. Например, если $Y:=\mathbb {R}$ имеет свою обычную евклидову топологию, тогда $S=\left\{{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}$ (наделенное топологией подпространства) является дискретным подпространством $\mathbb {R}$ но $S\cup \{0\}$ нет.
набор $S$ дискретен метрическом в пространстве $(X,d),$ для $S\subseteq X,$ если для каждого $x\in S,$ существует какой-то $\delta >0$ (в зависимости от $x$ ) такой, что $d(x,y)>\delta$ для всех $y\in S\setminus \{x\}$ ; такое множество состоит из изолированных точек . Набор $S$ в равномерно дискретен метрическом пространстве $(X,d),$ для $S\subseteq X,$ если существует $\varepsilon >0$ такое, что для любых двух различных $x,y\in S,d(x,y)>\varepsilon .$

Метрическое пространство $(E,d)$ называется равномерно дискретным, если существует радиус упаковки $r>0$ такой, что для любого $x,y\in E,$ у каждого есть либо $x=y$ или $d(x,y)>r.$ ^[1] Топология, лежащая в основе метрического пространства, может быть дискретной, при этом метрика не является равномерно дискретной: например, обычная метрика на множестве $\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}.$

Доказательство того, что дискретное пространство не обязательно является равномерно дискретным.

Позволять ${\textstyle X=\left\{2^{-n}:n\in \mathbb {N} _{0}\right\}=\left\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},\dots \right\},}$ рассмотрим это множество, используя обычную метрику действительных чисел. Затем, $X$ является дискретным пространством, так как для каждой точки $x_{n}=2^{-n}\in X,$ мы можем окружить его открытым интервалом $(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon ),$ где $\varepsilon ={\tfrac {1}{2}}\left(x_{n}-x_{n+1}\right)=2^{-(n+2)}.$ Пересечение $\left(x_{n}-\varepsilon ,x_{n}+\varepsilon \right)\cap X$ поэтому тривиально является синглтоном $\{x_{n}\}.$ Поскольку пересечение открытого множества действительных чисел и $X$ открыта для индуцированной топологии, отсюда следует, что $\{x_{n}\}$ открыт, поэтому синглтоны открыты и $X$ представляет собой дискретное пространство.

Однако, $X$ не может быть равномерно дискретным. Чтобы понять почему, предположим, что существует $r>0$ такой, что $d(x,y)>r$ в любое время $x\neq y.$ Достаточно показать, что существуют по крайней мере две точки $x$ и $y$ в $X$ которые ближе друг к другу, чем $r.$ Поскольку расстояние между соседними точками $x_{n}$ и $x_{n+1}$ является $2^{-(n+1)},$ нам нужно найти $n$ которое удовлетворяет этому неравенству:

{\begin{aligned}2^{-(n+1)}&<r\\1&<2^{n+1}r\\r^{-1}&<2^{n+1}\\\log _{2}\left(r^{-1}\right)&<n+1\\-\log _{2}(r)&<n+1\\-1-\log _{2}(r)&<n\end{aligned}}

Поскольку всегда существует $n$ больше любого данного действительного числа, отсюда следует, что всегда будет не менее двух точек в $X$ которые ближе друг к другу, чем любые положительные $r,$ поэтому $X$ не является равномерно дискретным.

Свойства [ править ]

Основная однородность дискретного метрического пространства — это дискретная однородность, а основная топология дискретного равномерного пространства — это дискретная топология.Таким образом, различные понятия дискретного пространства совместимы друг с другом.С другой стороны, основная топология недискретного однородного или метрического пространства может быть дискретной; примером является метрическое пространство $X=\{n^{-1}:n\in \mathbb {N} \}$ (с метрикой, унаследованной от реальной линии и заданной выражением $d(x,y)=\left|x-y\right|$ ).Это не дискретная метрика; кроме того, это пространство не является полным и, следовательно, не дискретным как однородное пространство.Тем не менее оно дискретно как топологическое пространство.Мы говорим, что $X$ равномерно топологически дискретна , но не является дискретной или метрически дискретной .

Кроме того:

Топологическая размерность дискретного пространства равна 0.
Топологическое пространство дискретно тогда и только тогда, когда его одиночные элементы открыты, что имеет место тогда и только тогда, когда оно не содержит никаких точек накопления .
Синглтоны составляют основу дискретной топологии.
Единое пространство $X$ дискретна тогда и только тогда, когда диагональ $\{(x,x):x\in X\}$ это антураж .
Каждое дискретное топологическое пространство удовлетворяет каждой из аксиом разделения ; в частности, каждое дискретное пространство хаусдорфово , то есть отделено.
Дискретное пространство компактно тогда и только тогда, когда оно конечно .
Каждое дискретное равномерное или метрическое пространство является полным .
Объединив два вышеупомянутых факта, каждое дискретное равномерное или метрическое пространство полностью ограничено тогда и только тогда, когда оно конечно.
Каждое дискретное метрическое пространство ограничено .
Каждое дискретное пространство счетно поначалу ; более того, оно счетно по секундам тогда и только тогда, когда оно счетно .
Каждое дискретное пространство полностью несвязно .
Каждое непустое дискретное пространство относится ко второй категории .
дискретных пространства одинаковой мощности гомеоморфны . Любые два
Каждое дискретное пространство метризуемо (по дискретной метрике).
Конечное пространство метризуемо только в том случае, если оно дискретно.
Если $X$ является топологическим пространством и $Y$ является множеством, несущим дискретную топологию, то $X$ равномерно покрыт $X\times Y$ (карта проекции — искомое покрытие)
Топология подпространства целых чисел как подпространство вещественной прямой является дискретной топологией.
Дискретное пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно счетно.
Любое топологическое подпространство $\mathbb {R}$ (со своей обычной евклидовой топологией ), которая дискретна, обязательно счетна . ^[2]

Любая функция из дискретного топологического пространства в другое топологическое пространство непрерывна , и любая функция из дискретного равномерного пространства в другое равномерное пространство равномерно непрерывна . То есть дискретное пространство $X$ бесплатно площадке на съемочной $X$ в категории топологических пространств и непрерывных отображений или в категории равномерных пространств и равномерно непрерывных отображений. Эти факты являются примерами гораздо более широкого явления, при котором дискретные структуры обычно свободны на множествах.

С метрическими пространствами дела обстоят сложнее, поскольку существует несколько категорий метрических пространств в зависимости от того, что выбрано в качестве морфизмов . Конечно, дискретное метрическое пространство является свободным, когда все морфизмы являются равномерно непрерывными отображениями или всеми непрерывными отображениями, но это не говорит ничего интересного о метрической структуре , а только о равномерной или топологической структуре. Категории, более соответствующие метрической структуре, можно найти, ограничив морфизмы липшицевыми непрерывными отображениями или короткими отображениями ; однако в этих категориях нет свободных объектов (более чем в одном элементе). Однако дискретное метрическое пространство свободно в категории ограниченных метрических пространств и липшицевых непрерывных отображений, а также свободно в категории метрических пространств, ограниченных единицей, и коротких отображений. То есть любая функция из дискретного метрического пространства в другое ограниченное метрическое пространство является непрерывной по Липшицу, а любая функция из дискретного метрического пространства в другое метрическое пространство, ограниченное единицей, является короткой.

В другом направлении функция $f$ из топологического пространства $Y$ в дискретное пространство $X$ непрерывен тогда и только тогда, когда он локально постоянен в том смысле, что каждая точка в $Y$ имеет окрестность , в которой $f$ является постоянным.

Каждый ультрафильтр ${\mathcal {U}}$ на непустом множестве $X$ может быть связано с топологией $\tau ={\mathcal {U}}\cup \left\{\varnothing \right\}$ на $X$ со свойством, что каждое непустое собственное подмножество $S$ из $X$ является либо , открытым подмножеством либо закрытым подмножеством , но никогда и тем, и другим. Иными словами, каждое подмножество является открытым или закрытым, но (в отличие от дискретной топологии) единственными подмножествами, которые являются одновременно открытыми и закрытыми (т.е. clopen ), являются $\varnothing$ и $X$ . Для сравнения, каждое подмножество $X$ открыт и закрыт в дискретной топологии.

Примеры и использование [ править ]

Дискретная структура часто используется как «структура по умолчанию» в наборе, который не несет в себе никакой другой естественной топологии, однородности или метрики; дискретные структуры часто могут использоваться в качестве «крайних» примеров для проверки конкретных предположений. Например, любую группу можно рассматривать как топологическую группу, если придать ей дискретную топологию, подразумевая, что теоремы о топологических группах применимы ко всем группам. Действительно, аналитики могут называть обычные нетопологические группы, изучаемые алгебраистами, « дискретными группами ». В некоторых случаях это можно с пользой применить, например в сочетании с двойственностью Понтрягина . 0-мерное многообразие (или дифференцируемое или аналитическое многообразие) — это не что иное, как дискретное и счетное топологическое пространство (несчетное дискретное пространство не является счетным по второй раз). Поэтому мы можем рассматривать любую дискретную счетную группу как 0-мерную группу Ли .

Произведение разложением счетных бесконечных копий дискретного пространства натуральных чисел гомеоморфно в пространству иррациональных чисел с гомеоморфизмом, заданным цепную дробь . Произведение счетных бесконечных копий дискретного пространства. $\{0,1\}$ гомеоморфно канторову множеству ; и фактически равномерно гомеоморфно множеству Кантора, если мы используем однородность произведения . Такой гомеоморфизм задается с помощью троичной записи чисел. (См. Канторово пространство .) Каждый слой обязательно локально инъективной функции является дискретным подпространством своей области определения .

В основах математики изучение свойств компактности произведений $\{0,1\}$ занимает центральное место в топологическом подходе к лемме об ультрафильтре (эквивалентно булевой теореме о простых идеалах ), которая является слабой формой аксиомы выбора .

Нескромные пространства [ править ]

В некотором смысле противоположностью дискретной топологии является тривиальная топология (также называемая недискретной топологией ), которая имеет наименьшее количество открытых множеств (только пустое множество и само пространство). Если дискретная топология является начальной или свободной, то недискретная топология является конечной или косвободной : каждая функция из топологического пространства в недискретное пространство непрерывна и т. д.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Плезантс, Питер AB (2000). «Дизайнерские квазикристаллы: наборы вырезания и проецирования с заранее заданными свойствами». В Бааке, Майкл (ред.). Направления в математических квазикристаллах . Серия монографий по CRM. Том. 13. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 95–141. ISBN 0-8218-2629-8 . Збл 0982.52018 .
^ Вилански 2008 , с. 35.

Стин, Линн Артур ; Сибах, Дж. Артур младший (1978). Контрпримеры в топологии (2-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 3-540-90312-7 . МР 0507446 . Збл 0386.54001 .
Вилански, Альберт (17 октября 2008 г.) [1970]. Топология для анализа . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-46903-4 . OCLC 227923899 .

[1] Плезантс, Питер AB (2000). «Дизайнерские квазикристаллы: наборы вырезания и проецирования с заранее заданными свойствами». В Бааке, Майкл (ред.). Направления в математических квазикристаллах . Серия монографий по CRM. Том. 13. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 95–141. ISBN 0-8218-2629-8 . Збл 0982.52018 .

[FOOTNOTEWilansky200835-2] Вилански 2008 , с. 35.

[1]

[2]