Кофри Коалгебра

В алгебре векторного косвободная коалгебра пространства или модуля является аналогом свободной коалгебры алгебры векторного пространства. Косвободная коалгебра любого векторного пространства над полем существует, хотя и сложнее, чем можно было бы ожидать по аналогии со свободной алгеброй.

Определение

Если V — векторное пространство над полем F , то косвободная коалгебра C ( V ) поля V является коалгеброй вместе с линейным отображением C ( V ) → V , таким что любое линейное отображение коалгебры X в V факторизуется через гомоморфизм коалгебр из X в C ( V ). Другими словами, функтор C правосопряжён к функтору забывания от коалгебры к векторному пространству.

Косвободная коалгебра векторного пространства всегда существует и уникальна с точностью до канонического изоморфизма .

Кокоммутативные коалгебры Cofree определяются аналогичным образом и могут быть построены как наибольшая кокоммутативная коалгебра в коалгебре cofree.

Строительство

C ( V ) может быть построена как пополнение тензорной коалгебры T ( V ) V. группы Для k ∈ N = {0, 1, 2, ...} пусть T ^к V обозначает k -кратную тензорную V степень :

$T^{k}V=V^{\otimes k}=V\otimes V\otimes \cdots \otimes V,$

с Т ⁰ V = F и Т ¹ В = В . Тогда T ( V ) — прямая сумма всех T ^к V :

$T(V)=\bigoplus _{k\in \mathbb {N} }T^{k}V=\mathbb {F} \oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \cdots .$

В дополнение к структуре градуированной алгебры, заданной изоморфизмами тензорного произведения T ^дж V ⊗ T ^к V → T ^{дж + к} V для j , k ∈ N , T ( V ) имеет градуированную структуру коалгебры Δ: T ( V ) → T ( V ) ⊠ T ( V ), определенную путем расширения

$\Delta (v_{1}\otimes \dots \otimes v_{k}):=\sum _{j=0}^{k}(v_{0}\otimes \dots \otimes v_{j})\boxtimes (v_{j+1}\otimes \dots \otimes v_{k+1})$

по линейности ко всему T ( V ).

Здесь символ тензорного произведения ⊠ используется для обозначения тензорного произведения, используемого для определения коалгебры; его не следует путать с тензорным произведением ⊗, которое используется для определения оператора билинейного умножения тензорной алгебры. Оба действуют в разных пространствах, на разных объектах. Дополнительное обсуждение этого вопроса можно найти в статье о тензорной алгебре .

В приведенной выше сумме используется сокращенный прием, определяющий $v_{0}=v_{k+1}=1\in \mathbb {F}$ быть единицей в поле $\mathbb {F}$. Например, этот прием с сокращением дает для случая $k=1$ в приведенной выше сумме результат, который

$\Delta (v)=1\boxtimes v+v\boxtimes 1$

для $v\in V$. Аналогично, для $k=2$ и $v,w\in V$, человек получает

$\Delta (v\otimes w)=1\boxtimes (v\otimes w)+v\boxtimes w+(v\otimes w)\boxtimes 1.$

Обратите внимание, что нет необходимости когда-либо писать $1\otimes v$ поскольку это просто старое скалярное умножение в алгебре; то есть, тривиально есть это $1\otimes v=1\cdot v=v.$

При обычном произведении это копроизведение не превращает T ( V ) в биалгебру , а вместо этого является двойственным к структуре алгебры на T ( V ^∗ ), где V ^∗ обозначает двойственное векторное пространство линейных отображений V → F . Ее можно превратить в биалгебру с произведением $v_{i}\cdot v_{j}=(i,j)v_{i+j}$ где (i,j) обозначает биномиальный коэффициент ${\tbinom {i+j}{i}}$. Эта биалгебра известна как разделенная степенная алгебра Хопфа . Произведение двойственно структуре коалгебры на T ( V ^∗ ), что делает тензорную алгебру биалгеброй.

Здесь элемент T ( V ) определяет линейную форму на T ( V ^∗ ) с помощью невырожденных спариваний

$T^{k}V\times T^{k}V^{*}\to \mathbb {F}$

индуцированная оценкой, и двойственность между копродукцией на T ( V ) и продуктом на T ( V ^∗ ) означает, что

$\Delta (f)(a\otimes b)=f(ab).$

Эта двойственность распространяется на невырожденное спаривание

${\hat {T}}(V)\times T(V^{*})\to \mathbb {F} ,$

где

${\hat {T}}(V)=\prod _{k\in \mathbb {N} }T^{k}V$

является прямым произведением тензорных степеней V . (Прямая сумма T ( V ) — это подпространство прямого произведения, для которого только конечное число компонентов ненулевые.) Однако копроизведение Δ на T ( V ) продолжается только до линейного отображения.

${\hat {\Delta }}\colon {\hat {T}}(V)\to {\hat {T}}(V){\hat {\otimes }}{\hat {T}}(V)$

со значениями в законченном тензорном произведении , которое в данном случае равно

${\hat {T}}(V){\hat {\otimes }}{\hat {T}}(V)=\prod _{j,k\in \mathbb {N} }T^{j}V\otimes T^{k}V,$

и содержит тензорное произведение как собственное подпространство:

${\hat {T}}(V)\otimes {\hat {T}}(V)=\{X\in {\hat {T}}(V){\hat {\otimes }}{\hat {T}}(V):\exists \,k\in \mathbb {N} ,f_{j},g_{j}\in {\hat {T}}(V){\text{ s.t. }}X={\textstyle \sum }_{j=0}^{k}(f_{j}\otimes g_{j})\}.$

Полная тензорная коалгебра C ( V ) является наибольшим подпространством C, удовлетворяющим

$T(V)\subseteq C\subseteq {\hat {T}}(V){\text{ and }}{\hat {\Delta }}(C)\subseteq C\otimes C\subseteq {\hat {T}}(V){\hat {\otimes }}{\hat {T}}(V),$

которое существует, потому что если C ₁ и C ₂ удовлетворяют этим условиям, то то же самое делает и их сумма C ₁ + C ₂ .

Оказывается что C ( V ) — подпространство всех репрезентативных элементов :

$C(V)=\{f\in {\hat {T}}(V):{\hat {\Delta }}(f)\in {\hat {T}}(V)\otimes {\hat {T}}(V)\}.$

Более того, по принципу конечности коалгебры любая f ∈ C ( V ) должна принадлежать конечномерной подкоалгебре C ( V ). Используя спаривание двойственности с T ( V ^∗ ), то f ∈ C ( V ) тогда и только тогда, когда ядро ​​f на T ( V ^∗ ) содержит двусторонний идеал конечной коразмерности. Эквивалентно,

$C(V)=\bigcup \{I^{0}\subseteq {\hat {T}}(V):I\triangleleft T(V^{*}),\,\mathrm {codim} \,I<\infty \}$

это союз аннигиляторов я  ⁰ идеалов I конечной коразмерности в T ( V ^∗ ), которые изоморфны двойственным факторам конечномерной алгебры T ( V ^∗ ) / Я .

Пример

Когда V = F , T ( V ^∗ ) — алгебра полиномов F [ t ] от одной переменной t и прямое произведение

${\hat {T}}(V)=\prod _{k\in \mathbb {N} }T^{k}V$

можно отождествить с векторным пространством F [[ τ ]] формальных степенных рядов

$\sum _{j\in \mathbb {N} }a_{j}\tau ^{j}$

в неопределенном τ . Копроизведение ∆ на подпространстве F [ τ ] определяется формулой

$\Delta (\tau ^{k})=\sum _{i+j=k}\tau ^{i}\otimes \tau ^{j}$

и C ( V ) — наибольшее подпространство F [[ τ ]], на котором это продолжается до структуры коалгебры.

Двойственность F [[ τ ]] × F [ t ] → F определяется соотношением τ ^дж ( т ^к ) = δ _jk так, что

${\biggl (}\sum _{j\in \mathbb {N} }a_{j}\tau ^{j}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{k=0}^{N}b_{k}t^{k}{\biggr )}=\sum _{k=0}^{N}a_{k}b_{k}.$

Полагая t = τ ⁻¹ , это постоянный член произведения двух формальных рядов Лорана . Таким образом, задан полином p ( t ) со старшим членом t ^Н , формальный ряд Лорана

${\frac {\tau ^{j-N}}{p(\tau ^{-1})}}={\frac {\tau ^{j}}{\tau ^{N}p(\tau ^{-1})}}$

является формальным степенным рядом для любого j ∈ N и аннулирует идеал I ( p порожденный p для j < N. ) , Поскольку F [ t ]/ I ( p ) имеет размерность N , эти формальные степенные ряды охватывают аннулятор I ( p ). Более того, все они принадлежат локализации F [ ) , τ ] в идеале, порожденном τ , т. е. имеют вид f ( τ )/ g ( τ где f и g — полиномы, а g имеет ненулевой постоянный член. Это пространство рациональных функций по τ в , регулярных нуле. И наоборот, любая собственная рациональная функция аннулирует идеал вида I ( p ).

Любой ненулевой идеал F [ t ] является главным с конечномерным фактором. Таким образом, C ( V ) есть сумма аннуляторов главных идеалов I ( p ), т. е. пространство рациональных функций, регулярных в нуле.

Ссылки

• Блок, Ричард Э.; Леру, Пьер (1985), «Обобщенные двойственные коалгебры алгебр с приложениями к косвободным коалгебрам», Journal of Pure and Applied Algebra , 36 (1): 15–21, doi : 10.1016/0022-4049(85)90060-X , ISSN   0022-4049 , МР   0782637
• Хазевинкель, Мишель (2003), «Кофри-коалгебры и многомерная рекурсивность», Journal of Pure and Applied Algebra , 183 (1): 61–103, doi : 10.1016/S0022-4049(03)00013-6 , ISSN   0022-4049 , МР   1992043
• Кофри Коалгебра в n лаборатории