Открытые и закрытые карты

В математике , точнее в топологии , открытая карта — это функция между двумя топологическими пространствами , которая отображает открытые множества в открытые множества. ^[1]^[2]^[3] То есть функция $f:X\to Y$ открыто, если для любого открытого множества $U$ в $X,$ изображение $f(U)$ открыт в $Y.$ Аналогично, закрытая карта — это функция, которая отображает закрытые множества в закрытые множества. ^[3]^[4] Карта может быть открытой, закрытой, и той, и другой или ни одной; ^[5] в частности, открытую карту не обязательно закрывать, и наоборот. ^[6]

Открыть ^[7] и закрыто ^[8] карты не обязательно непрерывны . ^[4] Кроме того, непрерывность в общем случае не зависит от открытости и замкнутости, и непрерывная функция может обладать одним свойством, обоими свойствами или ни одним из них; ^[3] этот факт остается верным, даже если ограничиться метрическими пространствами. ^[9] Хотя их определения кажутся более естественными, открытые и закрытые карты гораздо менее важны, чем непрерывные карты. Напомним, что по определению функция $f:X\to Y$ непрерывен, если прообраз каждого открытого множества $Y$ открыт в $X.$ ^[2] (Аналогично, если прообраз каждого замкнутого множества $Y$ закрыт в $X$ ).

Первые исследования открытых карт были инициированы Симионом Стоиловым и Гордоном Томасом Уайберном . ^[10]

Определения и характеристики

Если $S$ является подмножеством топологического пространства, то пусть ${\overline {S}}$ и $\operatorname {Cl} S$ (соответственно $\operatorname {Int} S$ ) обозначают замыкание (соответственно внутреннюю часть ) $S$ в этом пространстве. Позволять $f:X\to Y$ быть функцией между топологическими пространствами . Если $S$ тогда есть какой-нибудь набор $f(S):=\left\{f(s)~:~s\in S\cap \operatorname {domain} f\right\}$ называется изображением $S$ под $f.$

Конкурирующие определения

Существует два разных конкурирующих, но тесно связанных определения « открытой карты », которые широко используются, причем оба этих определения можно резюмировать следующим образом: «это карта, которая отправляет открытые множества в открытые множества». Для различения этих двух определений иногда используется следующая терминология.

Карта $f:X\to Y$ называется

« Сильно открытая карта », если когда угодно $U$ является открытым подмножеством домена $X$ затем $f(U)$ является открытым подмножеством $f$ кодовый домен $Y.$
" Относительно открытая карта "если когда угодно" $U$ является открытым подмножеством домена $X$ затем $f(U)$ является открытым подмножеством $f$ изображение $\operatorname {Im} f:=f(X),$ где это множество, как обычно, наделено топологией подпространства, индуцированной на нем формулой $f$ кодовый домен $Y.$ ^[11]

Любая сильно открытая карта является относительно открытой. Однако эти определения в целом не эквивалентны.

Предупреждение : многие авторы определяют «открытую карту» как « относительно открытую карту» (например, «Математическая энциклопедия»), в то время как другие определяют «открытую карту» как « сильно открытую карту». В общем, эти определения не эквивалентны, поэтому желательно всегда проверять, какое определение «открытой карты» использует автор.

Сюръективное отображение относительно открыто тогда и только тогда , когда оно сильно открыто; поэтому для этого важного частного случая определения эквивалентны. В общем, карта $f:X\to Y$ относительно открыт тогда и только тогда, когда сюръекция $f:X\to f(X)$ это сильно открытая карта.

Потому что $X$ всегда является открытым подмножеством $X,$ изображение $f(X)=\operatorname {Im} f$ сильно открытой карты $f:X\to Y$ должно быть открытым подмножеством своего кодомена $Y.$ Фактически, относительно открытая карта является сильно открытой картой тогда и только тогда, когда ее изображение является открытым подмножеством ее кодомена. В итоге,

Карта является строго открытой тогда и только тогда, когда она относительно открыта и ее изображение является открытым подмножеством ее кодомена.

Используя эту характеристику, часто легко применить результаты, связанные с одним из этих двух определений «открытой карты», к ситуации, связанной с другим определением.

Обсуждение выше также применимо к закрытым картам, если каждое слово «открыто» заменяется словом «закрыто».

Открыть карты

Карта $f:X\to Y$ называется открытая карта или сильно открытое отображение , если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

Определение: $f:X\to Y$ сопоставляет открытые подмножества своего домена с открытыми подмножествами своего кодомена; то есть для любого открытого подмножества $U$ из $X$ , $f(U)$ является открытым подмножеством $Y.$
$f:X\to Y$ относительно открытая карта и ее изображение $\operatorname {Im} f:=f(X)$ является открытым подмножеством своего кодомена $Y.$
Для каждого $x\in X$ $x\in X$ и каждый район $N$ $N$ из $x$ $х$ (пусть и небольшой), $f(N)$ ${\ displaystyle f (N)}$ это район $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ . Мы можем заменить первый или оба экземпляра слова «соседство» на «открытое соседство» в этом условии, и результат все равно будет эквивалентным условием:
- Для каждого $x\in X$ и каждый открытый район $N$ из $x$ , $f(N)$ это район $f(x)$ .
- Для каждого $x\in X$ и каждый открытый район $N$ из $x$ , $f(N)$ это открытый район $f(x)$ .
$f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)\subseteq \operatorname {Int} _{Y}(f(A))$ для всех подмножеств $A$ из $X,$ где $\operatorname {Int}$ обозначает топологическую внутренность множества.
В любое время $C$ $C$ является закрытым подмножеством $X$ $X$ тогда набор $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}$ $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq C\right\}$ является закрытым подмножеством $Y.$ $Y.$
- Это следствие тождества $f(X\setminus R)=Y\setminus \left\{y\in Y:f^{-1}(y)\subseteq R\right\},$ которое справедливо для всех подмножеств $R\subseteq X.$

Если ${\mathcal {B}}$ является основой для $X$ то к этому списку можно добавить следующее:

$f$ отображает базовые открытые множества в открытые множества в своей кодомене (то есть для любого базового открытого множества $B\in {\mathcal {B}},$ $f(B)$ является открытым подмножеством $Y$ ).

Закрытые карты

Карта $f:X\to Y$ называется относительно закрытая карта, если когда угодно $C$ является закрытым подмножеством домена $X$ затем $f(C)$ является закрытым подмножеством $f$ изображение $\operatorname {Im} f:=f(X),$ где это множество, как обычно, наделено топологией подпространства, индуцированной на нем формулой $f$ кодовый домен $Y.$

Карта $f:X\to Y$ называется закрытая карта или сильно замкнутое отображение , если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:

Определение: $f:X\to Y$ отображает закрытые подмножества своего домена в закрытые подмножества своего кодомена; то есть для любого закрытого подмножества $C$ из $X,$ $f(C)$ является закрытым подмножеством $Y.$
$f:X\to Y$ относительно закрытая карта и ее изображение $\operatorname {Im} f:=f(X)$ является закрытым подмножеством своего кодомена $Y.$
${\overline {f(A)}}\subseteq f\left({\overline {A}}\right)$ для каждого подмножества $A\subseteq X.$
${\overline {f(C)}}\subseteq f(C)$ для каждого закрытого подмножества $C\subseteq X.$
${\overline {f(C)}}=f(C)$ для каждого закрытого подмножества $C\subseteq X.$
В любое время $U$ является открытым подмножеством $X$ тогда набор $\left\{y\in Y~:~f^{-1}(y)\subseteq U\right\}$ является открытым подмножеством $Y.$
Если $x_{\bullet }$ $x_{\bullet }$ это сеть в $X$ $X$ и $y\in Y$ $y\in Y$ это такая точка, что $f\left(x_{\bullet }\right)\to y$ $f\left(x_{\bullet }\right)\to y$ в $Y,$ $Y,$ затем $x_{\bullet }$ $x_{\bullet }$ сходится в $X$ $X$ на съемочную площадку $f^{-1}(y).$ $f^{-1}(y).$
- Конвергенция $x_{\bullet }\to f^{-1}(y)$ означает, что каждое открытое подмножество $X$ который содержит $f^{-1}(y)$ будет содержать $x_{j}$ для всех достаточно больших индексов $j.$

Сюръективное отображение сильно замкнуто тогда и только тогда , когда оно относительно замкнуто. Таким образом, в этом важном частном случае оба определения эквивалентны. По определению карта $f:X\to Y$ является относительно замкнутым отображением тогда и только тогда, когда сюръекция $f:X\to \operatorname {Im} f$ является сильно замкнутым отображением.

Если в определении « непрерывного отображения » открытого множества (которое представляет собой утверждение: «каждый прообраз открытого множества открыт») оба экземпляра слова «открытый» заменены на «закрытое», то утверждение результатов (« всякий прообраз замкнутого множества замкнут») эквивалентна непрерывности . Этого не происходит с определением «открытой карты» (то есть: «каждое изображение открытого множества открыто»), поскольку полученное в результате утверждение («каждое изображение закрытого множества закрыто») является определением «закрытого множества». карта», что в общем-то не эквивалентно открытости. Существуют открытые карты, которые не являются закрытыми, а также существуют закрытые карты, которые не являются открытыми. Эта разница между открытыми/закрытыми и непрерывными отображениями в конечном итоге связана с тем, что для любого множества $S,$ только $f(X\setminus S)\supseteq f(X)\setminus f(S)$ в общем случае гарантируется, тогда как для прообразов равенство $f^{-1}(Y\setminus S)=f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(S)$ всегда держит.

Примеры

Функция $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ определяется $f(x)=x^{2}$ является непрерывным, закрытым и относительно открытым, но не (сильно) открытым. Это потому, что если $U=(a,b)$ любой открытый интервал в $f$ домен пользователя $\mathbb {R}$ который не содержит $0$ затем $f(U)=(\min\{a^{2},b^{2}\},\max\{a^{2},b^{2}\}),$ где этот открытый интервал является открытым подмножеством обоих $\mathbb {R}$ и $\operatorname {Im} f:=f(\mathbb {R} )=[0,\infty ).$ Однако, если $U=(a,b)$ любой открытый интервал в $\mathbb {R}$ который содержит $0$ затем $f(U)=[0,\max\{a^{2},b^{2}\}),$ которое не является открытым подмножеством $f$ кодовый домен $\mathbb {R}$ но является открытым подмножеством $\operatorname {Im} f=[0,\infty ).$ Поскольку совокупность всех открытых интервалов в $\mathbb {R}$ является основой евклидовой топологии на $\mathbb {R} ,$ это показывает, что $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ относительно открыт, но не (полностью) открыт.

Если $Y$ имеет дискретную топологию (т. е. все подмножества открыты и закрыты), то каждая функция $f:X\to Y$ одновременно открыт и закрыт (но не обязательно непрерывен). Например, функция пола из $\mathbb {R}$ к $\mathbb {Z}$ бывает открытым и закрытым, но не непрерывным. Этот пример показывает, что изображение связного пространства под открытой или закрытой картой не обязательно должно быть связным.

Всякий раз, когда у нас есть произведение топологических пространств ${\textstyle X=\prod X_{i},}$ естественные прогнозы $p_{i}:X\to X_{i}$ открыты ^[12]^[13] (а также непрерывный). Поскольку проекции расслоений и накрывающих карт являются локально естественными проекциями произведений, они также являются открытыми отображениями. Однако прогнозы не обязательно закрывать. Рассмотрим, например, проекцию $p_{1}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ по первому компоненту; тогда набор $A=\{(x,1/x):x\neq 0\}$ закрыт в $\mathbb {R} ^{2},$ но $p_{1}(A)=\mathbb {R} \setminus \{0\}$ не закрыт в $\mathbb {R} .$ Однако для компактного помещения $Y,$ проекция $X\times Y\to X$ закрыт. По сути, это лемма о трубке .

Каждой точке единичной окружности можно сопоставить угол положительного угла. $x$ -ось с лучом, соединяющим точку с началом координат. до полуинтервала Эта функция от единичной окружности [0,2π) биективна, открыта и замкнута, но не непрерывна. Он показывает, что образ компакта при открытом или замкнутом отображении не обязательно должен быть компактным. Также обратите внимание, что если мы рассматриваем это как функцию от единичного круга до действительных чисел, то она не является ни открытой, ни закрытой. Указание кодомена имеет важное значение.

Достаточные условия

Любой гомеоморфизм открыт, замкнут и непрерывен. Фактически, биективное непрерывное отображение является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда оно открыто, или, что то же самое, тогда и только тогда, когда оно замкнуто.

Композиция . двух (сильно) открытых карт является открытой картой, а композиция двух (сильно) закрытых карт — закрытой картой ^[14]^[15] Однако композиция двух относительно открытых карт не обязательно должна быть относительно открытой, и аналогично композиция двух относительно закрытых карт не обязательно должна быть относительно закрытой. Если $f:X\to Y$ сильно открыт (соответственно сильно закрыт) и $g:Y\to Z$ относительно открыт (соответственно относительно закрыт), то $g\circ f:X\to Z$ является относительно открытым (соответственно, относительно закрытым).

Позволять $f:X\to Y$ быть картой. Учитывая любое подмножество $T\subseteq Y,$ если $f:X\to Y$ — относительно открытое (соответственно относительно замкнутое, сильно открытое, сильно замкнутое, непрерывное, сюръективное ) отображение, то то же самое верно и для его ограничения $f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T$ к $f$ -насыщенное подмножество $f^{-1}(T).$

Категориальная сумма двух открытых отображений открыта, либо двух закрытых отображений закрыта. ^[15] Категориальное произведение двух открытых карт открыто, однако категориальное произведение двух закрытых карт не обязательно должно быть замкнутым. ^[14]^[15]

Биективное отображение открыто тогда и только тогда, когда оно замкнуто. Обратной биективной непрерывной картой является биективная открытая/замкнутая карта (и наоборот). Сюръективная открытая карта не обязательно является закрытой картой, и точно так же сюръективная закрытая карта не обязательно является открытой картой. Все локальные гомеоморфизмы , включая все координатные карты на многообразиях и все накрывающие карты , являются открытыми.

Лемма о закрытом отображении — Каждая непрерывная функция $f:X\to Y$ из компактного пространства $X$ в пространство Хаусдорфа $Y$ замкнуто и собственное (это означает, что прообразы компактов компактны).

Вариант леммы о замкнутом отображении гласит, что если непрерывная функция между локально компактными хаусдорфовыми пространствами является собственной, то она также замкнута.

В комплексном анализе одноименная теорема об открытом отображении утверждает, что каждая непостоянная голоморфная функция, определенная на связном открытом подмножестве комплексной плоскости, является открытым отображением.

утверждает Теорема об инвариантности области определения , что непрерывная и локально инъективная функция между двумя $n$ -мерные топологические многообразия должны быть открытыми.

Инвариантность домена — Если $U$ является открытым подмножеством $\mathbb {R} ^{n}$ и $f:U\to \mathbb {R} ^{n}$ — инъективное непрерывное отображение , то $V:=f(U)$ открыт в $\mathbb {R} ^{n}$ и $f$ является гомеоморфизмом между $U$ и $V.$

В функциональном анализе теорема об открытом отображении утверждает, что каждый сюръективный непрерывный линейный оператор между банаховыми пространствами является открытым отображением. Эта теорема была обобщена на топологические векторные пространства, выходящие за рамки банаховых пространств.

Сюръективная карта $f:X\to Y$ называется почти открытым отображением, если для любого $y\in Y$ существует какой-то $x\in f^{-1}(y)$ такой, что $x$ это точка открытости для $f,$ что по определению означает, что для каждой открытой окрестности $U$ из $x,$ $f(U)$ это район $f(x)$ в $Y$ (обратите внимание, что окрестности $f(U)$ не обязательно должна быть открытой окрестностью). Любая сюръективная открытая карта является почти открытой картой, но в общем случае обратное не обязательно верно. Если сюръекция $f:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ — почти открытое отображение, то оно будет открытым, если оно удовлетворяет следующему условию (условию, не зависящему от никак $Y$ топология $\sigma$ ):

в любое время

m,n\in X

принадлежат одному и тому волокну же

f

(то есть,

f(m)=f(n)

) тогда для каждой окрестности

U\in \tau

из

m,

существует какое-то соседство

V\in \tau

из

n

такой, что

F(V)\subseteq F(U).

Если карта непрерывна, то указанное выше условие также необходимо для того, чтобы карта была открытой. То есть, если $f:X\to Y$ является непрерывной сюръекцией, то оно является открытым отображением тогда и только тогда, когда оно почти открыто и удовлетворяет указанному выше условию.

Характеристики

Открытые или закрытые карты, которые являются непрерывными

Если $f:X\to Y$ является непрерывным отображением, которое также открыто или закрыто, тогда:

если $f$ $е$ является сюръекцией, то это фактор-отображение и даже наследственно фактор-отображение ,
- Сюръективная карта $f:X\to Y$ называется наследственно факторизованным, если для любого подмножества $T\subseteq Y,$ ограничение $f{\big \vert }_{f^{-1}(T)}~:~f^{-1}(T)\to T$ является факторкартой.
если $f$ является инъекцией , то это топологическое вложение .
если $f$ является биекцией , то это гомеоморфизм .

В первых двух случаях открытость или закрытость являются лишь достаточным условием для следующего заключения. В третьем случае это необходимо тоже .

Открыть непрерывные карты

Если $f:X\to Y$ является непрерывным (сильно) открытым отображением, $A\subseteq X,$ и $S\subseteq Y,$ затем:

$f^{-1}\left(\operatorname {Bd} _{Y}S\right)=\operatorname {Bd} _{X}\left(f^{-1}(S)\right)$ где $\operatorname {Bd}$ обозначает границу множества.
$f^{-1}\left({\overline {S}}\right)={\overline {f^{-1}(S)}}$ где ${\overline {S}}$ обозначают замыкание множества.
Если ${\overline {A}}={\overline {\operatorname {Int} _{X}A}},$ где $\operatorname {Int}$ обозначает внутреннюю часть множества, тогда ${\overline {\operatorname {Int} _{Y}f(A)}}={\overline {f(A)}}={\overline {f\left(\operatorname {Int} _{X}A\right)}}={\overline {f\left({\overline {\operatorname {Int} _{X}A}}\right)}}$ где этот набор ${\overline {f(A)}}$ также обязательно является регулярным замкнутым множеством (в $Y$ ). ^{[примечание 1]} В частности, если $A$ является регулярным замкнутым множеством, то так оно и есть ${\overline {f(A)}}.$ И если $A$ является обычным открытым множеством, то так оно и есть $Y\setminus {\overline {f(X\setminus A)}}.$
Если непрерывная открытая карта $f:X\to Y$ также сюръективно, тогда $\operatorname {Int} _{X}f^{-1}(S)=f^{-1}\left(\operatorname {Int} _{Y}S\right)$ и более того, $S$ обычное открытие (соответственно обычное закрытие) ^{[примечание 1]} подмножество $Y$ тогда и только тогда, когда $f^{-1}(S)$ — регулярное открытое (соответственно регулярное закрытое) подмножество $X.$
Если сеть $y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i\in I}$ сходится в $Y$ в точку $y\in Y$ и если непрерывное открытое отображение $f:X\to Y$ сюръективно, то для любого $x\in f^{-1}(y)$ существует сеть $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ в $X$ (индексируется некоторым направленным множеством $A$ ) такой, что $x_{\bullet }\to x$ в $X$ и $f\left(x_{\bullet }\right):=\left(f\left(x_{a}\right)\right)_{a\in A}$ это подсеть $y_{\bullet }.$ Кроме того, набор индексов $A$ может быть принято за $A:=I\times {\mathcal {N}}_{x}$ с заказом продукта , где ${\mathcal {N}}_{x}$ это любой окрестности базис $x$ режиссер $\,\supseteq .\,$ ^{[примечание 2]}

См. также

Почти открытая карта — карта, удовлетворяющая условию, аналогичному условию открытой карты.
Закрытый график — график карты, закрытой в пространстве продукта.
Закрытый линейный оператор
Локальный гомеоморфизм - математическая функция, обратимая вблизи каждой точки.
Квазиоткрытая карта - функция, которая отображает непустые открытые множества в множества, которые имеют непустую внутреннюю часть в своей кодомене.
Коэффициентная карта (топология) – построение топологического пространства.
Совершенное отображение - непрерывное замкнутое сюръективное отображение, каждый слой которого также является компактным множеством.
Правильное отображение - отображение топологических пространств со свойством, что прообраз каждого компакта компактен.
Карта покрытия последовательности

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б Подмножество $S\subseteq X$ называется регулярное замкнутое множество, если ${\overline {\operatorname {Int} S}}=S$ или эквивалентно, если $\operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S,$ где $\operatorname {Bd} S$ (соответственно $\operatorname {Int} S,$ ${\overline {S}}$ ) обозначает топологическую границу (соответственно внутреннюю часть , замыкание ) $S$ в $X.$ Набор $S$ называется обычный открытый набор, если $\operatorname {Int} \left({\overline {S}}\right)=S$ или эквивалентно, если $\operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S.$ Интерьер (снято $X$ ) закрытого подмножества $X$ всегда является регулярным открытым подмножеством $X.$ Закрытие (снято в $X$ ) открытого подмножества $X$ всегда является регулярным замкнутым подмножеством $X.$
^ Явно, для любого $a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},$ выбери любой $h_{a}\in I$ такой, что $i\leq h_{a}{\text{ and }}y_{h_{a}}\in f(U)$ а потом пусть $x_{a}\in U\cap f^{-1}\left(y_{h_{a}}\right)$ быть произвольным. Задание $a\mapsto h_{a}$ определяет морфизм порядка $h:A\to I$ такой, что $h(A)$ является конфинальным подмножеством $I;$ таким образом $f\left(x_{\bullet }\right)$ является Willard подсетью $y_{\bullet }.$

Цитаты

^ Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Прентис Холл . ISBN 0-13-181629-2 .
^ Jump up to: ^а ^б Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Дувр. п. 89. ИСБН 0-486-66352-3 . Важно помнить, что теорема 5.3 утверждает, что функция $f$ непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз каждого открытого множества открыт. Эту характеристику непрерывности не следует путать с другим свойством, которым может обладать или не обладать функция, — свойством того, что образ каждого открытого множества является открытым множеством (такие функции называются открытыми отображениями ).
^ Jump up to: ^а ^б ^с Ли, Джон М. (2003). Введение в гладкие многообразия . Тексты для аспирантов по математике. Том. 218. Springer Science & Business Media. п. 550. ИСБН 9780387954486 . Карта $F:X\to Y$ (непрерывное или нет) называется открытым отображением , если для любого замкнутого подмножества $U\subseteq X,$ $F(U)$ открыт в $Y,$ и закрытое отображение , если для каждого замкнутого подмножества $K\subseteq U,$ $F(K)$ закрыт в $Y.$ Непрерывные карты могут быть открытыми, закрытыми, и тем и другим, или ни одним из них, как можно увидеть, рассмотрев простые примеры, включающие подмножества плоскости.
^ Jump up to: ^а ^б Люду, Андрей (15 января 2012 г.). Нелинейные волны и солитоны на контурах и замкнутых поверхностях . Спрингеровская серия по синергетике. п. 15. ISBN 9783642228940 . Открытая карта — это функция между двумя топологическими пространствами, которая отображает открытые множества в открытые множества. Аналогично, закрытое отображение — это функция, которая отображает закрытые множества в закрытые множества. Открытые или закрытые карты не обязательно непрерывны.
^ Сохраб, Хоушанг Х. (2003). Базовый реальный анализ . Springer Science & Business Media. п. 203. ИСБН 9780817642112 . Теперь мы готовы к примерам, показывающим, что функция может быть открытой, но не закрытой, или закрытой, не будучи открытой. Кроме того, функция может быть одновременно открытой и закрытой или не открытой и не закрытой. (Цитируемое утверждение дано в контексте метрических пространств, но поскольку топологические пространства возникают как обобщения метрических пространств, это утверждение справедливо и там.)
^ Набер, Грегори Л. (2012). Топологические методы в евклидовых пространствах . Дуврские книги по математике (переиздание). Курьерская корпорация. п. 18. ISBN 9780486153445 . Упражнение 1-19. Докажите, что карта проекции $\pi _{i}:X_{i}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$ π ₁ : X ₁ × ··· × X _k → X _i — открытое отображение, но не обязательно закрытое. Подсказка: проекция R ² на $\mathbb {R}$ не закрыт. Аналогично, закрытая карта не обязательно должна быть открытой, поскольку любая постоянная карта закрыта. Однако для карт, которые являются взаимно-однозначными и находящимися, понятия «открытость» и «закрытость» эквивалентны.
^ Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Дувр. п. 89. ИСБН 0-486-66352-3 . Существует множество ситуаций, в которых функция $f:\left(X,\tau \right)\to \left(Y,\tau '\right)$ обладает свойством, что для каждого открытого подмножества $A$ из $X,$ набор $f(A)$ является открытым подмножеством $Y,$ и все же $f$ является не непрерывным.
^ Боос, Иоганн (2000). Классические и современные методы суммирования . Издательство Оксфордского университета. п. 332. ИСБН 0-19-850165-Х . Теперь возникает вопрос, верно ли вообще последнее утверждение, т. е. непрерывны ли замкнутые отображения. В целом это не удается, как показывает следующий пример.
^ Кубрусли, Карлос С. (2011). Элементы теории операторов . Springer Science & Business Media. п. 115 . ISBN 9780817649982 . В общем, карта $F:X\to Y$ метрического пространства $X$ в метрическое пространство $Y$ могут обладать любой комбинацией признаков «непрерывный», «открытый» и «закрытый» (то есть это независимые понятия).
^ Харт, КП; Нагата, Дж.; Воан, Дж. Э., ред. (2004). Энциклопедия общей топологии . Эльзевир. п. 86 . ISBN 0-444-50355-2 . По-видимому, изучение открытых (внутренних) отображений началось с работ С. Стоилова [13,14] . Очевидно, что открытость карт впервые подробно изучалась Г.Т. Уайберном [19,20].
^ Наричи и Бекенштейн 2011 , стр. 225–273.
^ Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Аддисон-Уэсли. ISBN 0486131785 .
^ Ли, Джон М. (2012). Введение в гладкие многообразия . Тексты для аспирантов по математике. Том. 218 (Второе изд.). п. 606. дои : 10.1007/978-1-4419-9982-5 . ISBN 978-1-4419-9982-5 . Упражнение А.32. Предполагать $X_{1},\ldots ,X_{k}$ являются топологическими пространствами. Докажите, что каждая проекция $\pi _{i}:X_{1}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$ это открытая карта.
^ Jump up to: ^а ^б Бауэс, Ханс-Иоахим; Кинтеро, Антонио (2001). Теория бесконечной гомотопии . К -Монографии по математике. Том 6. с. 53. ИСБН 9780792369820 . Композиция открытых карт открыта, а композиция закрытых карт закрыта. Также открыт продукт открытых карт. Напротив, произведение закрытых отображений не обязательно является закрытым,...
^ Jump up to: ^а ^б ^с Джеймс, IM (1984). Общая топология и теория гомотопий . Спрингер-Верлаг. п. 49 . ISBN 9781461382836 . ...напомним, что состав открытых карт открыт, а состав закрытых карт закрыт. Также то, что сумма открытых карт открыта, а сумма закрытых карт закрыта. Однако произведение закрытых отображений не обязательно является закрытым, хотя произведение открытых отображений открыто.

Ссылки

Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834 .
Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .

[DefOfRegularOpenClosed-16] Jump up to: ^а ^б Подмножество $S\subseteq X$ называется регулярное замкнутое множество, если ${\overline {\operatorname {Int} S}}=S$ или эквивалентно, если $\operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S,$ где $\operatorname {Bd} S$ (соответственно $\operatorname {Int} S,$ ${\overline {S}}$ ) обозначает топологическую границу (соответственно внутреннюю часть , замыкание ) $S$ в $X.$ Набор $S$ называется обычный открытый набор, если $\operatorname {Int} \left({\overline {S}}\right)=S$ или эквивалентно, если $\operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S.$ Интерьер (снято $X$ ) закрытого подмножества $X$ всегда является регулярным открытым подмножеством $X.$ Закрытие (снято в $X$ ) открытого подмножества $X$ всегда является регулярным замкнутым подмножеством $X.$

[17] Явно, для любого $a:=(i,U)\in A:=I\times {\mathcal {N}}_{x},$ выбери любой $h_{a}\in I$ такой, что $i\leq h_{a}{\text{ and }}y_{h_{a}}\in f(U)$ а потом пусть $x_{a}\in U\cap f^{-1}\left(y_{h_{a}}\right)$ быть произвольным. Задание $a\mapsto h_{a}$ определяет морфизм порядка $h:A\to I$ такой, что $h(A)$ является конфинальным подмножеством $I;$ таким образом $f\left(x_{\bullet }\right)$ является Willard подсетью $y_{\bullet }.$

[1] Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (2-е изд.). Прентис Холл . ISBN 0-13-181629-2 .

[mendelson-2] Jump up to: ^а ^б Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Дувр. п. 89. ИСБН 0-486-66352-3 . Важно помнить, что теорема 5.3 утверждает, что функция $f$ непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз каждого открытого множества открыт. Эту характеристику непрерывности не следует путать с другим свойством, которым может обладать или не обладать функция, — свойством того, что образ каждого открытого множества является открытым множеством (такие функции называются открытыми отображениями ).

[lee550-3] Jump up to: ^а ^б ^с Ли, Джон М. (2003). Введение в гладкие многообразия . Тексты для аспирантов по математике. Том. 218. Springer Science & Business Media. п. 550. ИСБН 9780387954486 . Карта $F:X\to Y$ (непрерывное или нет) называется открытым отображением , если для любого замкнутого подмножества $U\subseteq X,$ $F(U)$ открыт в $Y,$ и закрытое отображение , если для каждого замкнутого подмножества $K\subseteq U,$ $F(K)$ закрыт в $Y.$ Непрерывные карты могут быть открытыми, закрытыми, и тем и другим, или ни одним из них, как можно увидеть, рассмотрев простые примеры, включающие подмножества плоскости.

[ludu15-4] Jump up to: ^а ^б Люду, Андрей (15 января 2012 г.). Нелинейные волны и солитоны на контурах и замкнутых поверхностях . Спрингеровская серия по синергетике. п. 15. ISBN 9783642228940 . Открытая карта — это функция между двумя топологическими пространствами, которая отображает открытые множества в открытые множества. Аналогично, закрытое отображение — это функция, которая отображает закрытые множества в закрытые множества. Открытые или закрытые карты не обязательно непрерывны.

[5] Сохраб, Хоушанг Х. (2003). Базовый реальный анализ . Springer Science & Business Media. п. 203. ИСБН 9780817642112 . Теперь мы готовы к примерам, показывающим, что функция может быть открытой, но не закрытой, или закрытой, не будучи открытой. Кроме того, функция может быть одновременно открытой и закрытой или не открытой и не закрытой. (Цитируемое утверждение дано в контексте метрических пространств, но поскольку топологические пространства возникают как обобщения метрических пространств, это утверждение справедливо и там.)

[6] Набер, Грегори Л. (2012). Топологические методы в евклидовых пространствах . Дуврские книги по математике (переиздание). Курьерская корпорация. п. 18. ISBN 9780486153445 . Упражнение 1-19. Докажите, что карта проекции $\pi _{i}:X_{i}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$ π ₁ : X ₁ × ··· × X _k → X _i — открытое отображение, но не обязательно закрытое. Подсказка: проекция R ² на $\mathbb {R}$ не закрыт. Аналогично, закрытая карта не обязательно должна быть открытой, поскольку любая постоянная карта закрыта. Однако для карт, которые являются взаимно-однозначными и находящимися, понятия «открытость» и «закрытость» эквивалентны.

[mendelson2-7] Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Дувр. п. 89. ИСБН 0-486-66352-3 . Существует множество ситуаций, в которых функция $f:\left(X,\tau \right)\to \left(Y,\tau '\right)$ обладает свойством, что для каждого открытого подмножества $A$ из $X,$ набор $f(A)$ является открытым подмножеством $Y,$ и все же $f$ является не непрерывным.

[8] Боос, Иоганн (2000). Классические и современные методы суммирования . Издательство Оксфордского университета. п. 332. ИСБН 0-19-850165-Х . Теперь возникает вопрос, верно ли вообще последнее утверждение, т. е. непрерывны ли замкнутые отображения. В целом это не удается, как показывает следующий пример.

[9] Кубрусли, Карлос С. (2011). Элементы теории операторов . Springer Science & Business Media. п. 115 . ISBN 9780817649982 . В общем, карта $F:X\to Y$ метрического пространства $X$ в метрическое пространство $Y$ могут обладать любой комбинацией признаков «непрерывный», «открытый» и «закрытый» (то есть это независимые понятия).

[10] Харт, КП; Нагата, Дж.; Воан, Дж. Э., ред. (2004). Энциклопедия общей топологии . Эльзевир. п. 86 . ISBN 0-444-50355-2 . По-видимому, изучение открытых (внутренних) отображений началось с работ С. Стоилова [13,14] . Очевидно, что открытость карт впервые подробно изучалась Г.Т. Уайберном [19,20].

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011225–273-11] Наричи и Бекенштейн 2011 , стр. 225–273.

[12] Уиллард, Стивен (1970). Общая топология . Аддисон-Уэсли. ISBN 0486131785 .

[13] Ли, Джон М. (2012). Введение в гладкие многообразия . Тексты для аспирантов по математике. Том. 218 (Второе изд.). п. 606. дои : 10.1007/978-1-4419-9982-5 . ISBN 978-1-4419-9982-5 . Упражнение А.32. Предполагать $X_{1},\ldots ,X_{k}$ являются топологическими пространствами. Докажите, что каждая проекция $\pi _{i}:X_{1}\times \cdots \times X_{k}\to X_{i}$ это открытая карта.

[baues55-14] Jump up to: ^а ^б Бауэс, Ханс-Иоахим; Кинтеро, Антонио (2001). Теория бесконечной гомотопии . К -Монографии по математике. Том 6. с. 53. ИСБН 9780792369820 . Композиция открытых карт открыта, а композиция закрытых карт закрыта. Также открыт продукт открытых карт. Напротив, произведение закрытых отображений не обязательно является закрытым,...

[james49-15] Jump up to: ^а ^б ^с Джеймс, IM (1984). Общая топология и теория гомотопий . Спрингер-Верлаг. п. 49 . ISBN 9781461382836 . ...напомним, что состав открытых карт открыт, а состав закрытых карт закрыт. Также то, что сумма открытых карт открыта, а сумма закрытых карт закрыта. Однако произведение закрытых отображений не обязательно является закрытым, хотя произведение открытых отображений открыто.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[примечание 1]

[примечание 2]