Кофинал (математика)

Не путать с кофинитом .

В математике подмножество ​ $B\subseteq A$ из предзаказанного набора $(A,\leq )$ считается конфинальным или частым в $A$ если для каждого $a\in A,$ можно найти элемент $b$ в $B$ это «больше, чем $a$(явно: «больше, чем $a$" означает $a\leq b$).

Конфинальные подмножества очень важны в теории направленных множеств и сетей , где « конфинальная подсеть » является подходящим обобщением « подпоследовательности ». Они также важны в теории порядка , включая теорию кардинальных чисел , где минимально возможная мощность конфинального подмножества $A$ называется конфинальностью ​ $A.$

Определения

Позволять $\,\leq \,$ быть однородным бинарным отношением на множестве $A.$ Подмножество $B\subseteq A$ считается конфинальным или частым относительно $\,\leq \,$ если он удовлетворяет следующему условию:

Для каждого $a\in A,$ существует какой-то $b\in B$ что $a\leq b.$

Подмножество, которое не является частым, называется нечастым . Это определение чаще всего применяется, когда $(A,\leq )$ — это направленный набор , который представляет собой предварительно упорядоченный набор с дополнительными свойствами.

Заключительные функции

Карта ​ $f:X\to A$ между двумя направленными множествами называется окончательным если изображение $f(X)$ из $f$ является конфинальным подмножеством $A.$

Коинициальные подмножества

Подмножество $B\subseteq A$ называется коинициальным (или плотным в смысле принуждения ), если оно удовлетворяет следующему условию:

Для каждого $a\in A,$ существует какой-то $b\in B$ такой, что $b\leq a.$

Это теоретико-порядковый аналог понятия конфинального подмножества. Конфинальные (соответственно коинициальные) подмножества — это в точности плотные множества относительно топологии правого (соответственно левого) порядка .

Характеристики

Конфинальное отношение над частично упорядоченными множествами (« полумножествами ») является рефлексивным : каждое частично упорядоченное множество само по себе конфинально. Оно также транзитивно : если $B$ является конфинальным подмножеством частичного множества $A,$ и $C$ является конфинальным подмножеством $B$ (при частичном заказе $A$ применяется к $B$), затем $C$ также является конфинальным подмножеством $A.$

Для частично упорядоченного набора с максимальными элементами каждое конфинальное подмножество должно содержать все максимальные элементы , в противном случае максимальный элемент, которого нет в подмножестве, не будет меньше или равен какому-либо элементу подмножества, что нарушает определение конфинала. Для частично упорядоченного набора с наибольшим элементом подмножество является конфинальным тогда и только тогда, когда оно содержит этот наибольший элемент (это следует из того, что наибольший элемент обязательно является максимальным элементом). Частично упорядоченные множества без наибольшего элемента или максимальных элементов допускают непересекающиеся конфинальные подмножества. Например, четные и нечетные натуральные числа образуют непересекающиеся конфинальные подмножества множества всех натуральных чисел.

Если частично упорядоченное множество $A$ допускает полностью упорядоченное конфинальное подмножество, то мы можем найти подмножество $B$ который является вполне упорядоченным и конфинальным в $A.$

Если $(A,\leq )$ является направленным множеством , и если $B\subseteq A$ является конфинальным подмножеством $A$ затем $(B,\leq )$ также является направленным множеством.

Примеры и достаточные условия

Любое надмножество конфинального подмножества само по себе является конфинальным.

Если $(A,\leq )$ является направленным множеством, и если некоторое объединение (одного или нескольких) конечного числа подмножеств $S_{1}\cup \cdots \cup S_{n}$ является конфинальным, то хотя бы один из множества $S_{1},\ldots ,S_{n}$ является конфинальным. Это свойство вообще неверно без гипотезы о том, что $(A,\leq )$ направляется.

Отношения подмножеств и базы соседства

Позволять $X$ быть топологическим пространством и пусть ${\mathcal {N}}_{x}$ обозначим фильтр окрестности в точке $x\in X.$ Отношение надмножества ​ $\,\supseteq \,$ это частичный заказ на ${\mathcal {N}}_{x}$: явно, для любых множеств $S$ и $T,$ заявить, что $S\leq T$ тогда и только тогда, когда $S\supseteq T$ (по сути, $\,\leq \,$ равно $\,\supseteq \,$). Подмножество ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}_{x}$ называется базой соседства в $x$ если (и только если) ${\mathcal {B}}$ является конфинальным подмножеством $\left({\mathcal {N}}_{x},\supseteq \right);$ то есть тогда и только тогда, когда для каждого $N\in {\mathcal {N}}_{x}$ существует какой-то $B\in {\mathcal {B}}$ такой, что $N\supseteq B.$ (т.е. такой, что $N\leq B$.)

Конфинальные подмножества действительных чисел

Для любого $-\infty <x<\infty ,$ интервал $(x,\infty )$ является конфинальным подмножеством $(\mathbb {R} ,\leq )$ но это не конечный подмножество $(\mathbb {R} ,\geq ).$ Набор $\mathbb {N}$ натуральных чисел (состоящих из натуральных чисел) является конфинальным подмножеством $(\mathbb {R} ,\leq )$ но это не относится к набору отрицательных целых чисел $-\mathbb {N} :=\{-1,-2,-3,\ldots \}.$

Аналогично для любого $-\infty <y<\infty ,$ интервал $(-\infty ,y)$ является конфинальным подмножеством $(\mathbb {R} ,\geq )$ но это не конечный подмножество $(\mathbb {R} ,\leq ).$ Набор $-\mathbb {N}$ отрицательных целых чисел является конфинальным подмножеством $(\mathbb {R} ,\geq )$ но это не относится к натуральным числам $\mathbb {N} .$ Набор $\mathbb {Z}$ всех целых чисел является конфинальным подмножеством $(\mathbb {R} ,\leq )$ а также конфинальное подмножество $(\mathbb {R} ,\geq )$; то же самое и с набором $\mathbb {Q} .$

Конечный набор подмножеств

Частный, но важный случай рассматривается, если $A$ является подмножеством набора мощности $\wp (E)$ из какого-то набора $E,$ упорядочено обратным включением $\,\supseteq .$ Учитывая такой порядок $A,$ подмножество $B\subseteq A$ является конфинальным в $A$ если для каждого $a\in A$ есть $b\in B$ такой, что $a\supseteq b.$

Например, пусть $E$ будьте группой и позвольте $A$ — множество нормальных подгрупп конечного индекса . Бесконечное завершение ​ $E$ определяется как предел системы обратной конечных частных обратный $E$ (которые параметризуются множеством $A$). В этой ситуации каждое конфинальное подмножество $A$ достаточно, чтобы построить и описать бесконечное пополнение $E.$

См. также

• Cofinite — подмножество, дополнением которого является конечное множество. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Кофинальность - Размер подмножеств в теории порядка
• Верхний набор - подмножество предварительного заказа, содержащее все более крупные элементы.
  • подмножество $U$ частично упорядоченного множества $(P,\leq )$ который содержит каждый элемент $y\in P$ для чего существует $x\in U$ с $x\leq y$

Ссылки

• Ланг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, ISBN  978-0-201-55540-0 , Збл   0848.13001
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .