Подсеть (математика)

Термин «сеть» см. в разделе «Подсеть» .

В топологии и смежных областях математики подсеть представляет собой обобщение понятия подпоследовательности на случай сетей . Аналогом «подпоследовательности» для сетей является понятие «подсети». Определение не совсем прямое, но оно предназначено для того, чтобы как можно больше теорем о подпоследовательностях можно было обобщить на сети.

Существует три неэквивалентных определения понятия «подсеть». Первое определение подсети было введено Джоном Л. Келли в 1955 году. а позже Стивен Уиллард представил свой собственный (неэквивалентный) вариант определения Келли в 1970 году. Подсети в смысле Уилларда и подсети в смысле Келли — наиболее часто используемые определения «подсети». но каждый из них не эквивалентен понятию «подчиненный фильтр», который является аналогом «подпоследовательности» для фильтров (они не эквивалентны в том смысле, что существуют подчиненные фильтры на $X=\mathbb {N}$ чьи отношения фильтр/подчиненный-фильтр не могут быть описаны в терминах соответствующих отношений сеть/подсеть). Третье определение «подсети» (не эквивалентное определениям, данным Келли или Уиллардом), которое эквивалентно понятию «подчиненный фильтр», было независимо введено Смайли (1957), Аарнесом и Анденаесом (1972), Мурдешваром (1983), и, возможно, другие, хотя они используются нечасто.

В этой статье обсуждается определение, данное Уиллардом (остальные определения описаны в статье Фильтры в топологии#Неэквивалентность подсетей и подчиненных фильтров ).

Определения

См. также: Фильтры в топологии § Подсети.

Существует несколько различных неэквивалентных определений «подсети», и в этой статье будет использоваться определение, введенное в 1970 году Стивеном Уиллардом: что заключается в следующем: Если $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ и $s_{\bullet }=\left(s_{i}\right)_{i\in I}$ сетки в комплекте $X$ из направленных наборов $A$ и $I,$ соответственно, тогда $s_{\bullet }$ говорят, что подсеть это $x_{\bullet }$ ( в смысле Уилларда или Уиллард – подсеть ), если существует монотонная финальная функция $$h:I\to A$$такой, что $$s_{i}=x_{h(i)}\quad {\text{ for all }}i\in I.$$ Функция $h:I\to A$ является монотонным , сохраняющим порядок и гомоморфизмом порядка , если всякий раз, когда $i\leq j$ затем $h(i)\leq h(j)$ и он называется окончательным, если его изображение $h(I)$ является конфинальным в $A.$ Набор $h(I)$ быть заключительным в $A$ означает, что для каждого $a\in A,$ существует какой-то $b\in h(I)$ такой, что $b\geq a;$ то есть для каждого $a\in A$ существует $i\in I$ такой, что $h(i)\geq a.$

Поскольку сеть $x_{\bullet }$ это функция $x_{\bullet }:A\to X$ и сеть $s_{\bullet }$ это функция $s_{\bullet }:I\to X,$ определяющее условие $\left(s_{i}\right)_{i\in I}=\left(x_{h(i)}\right)_{i\in I},$ можно записать более кратко и ясно, как $s_{\bullet }=x_{h(\bullet )}$ или $s_{\bullet }=x_{\bullet }\circ h,$ где $\,\circ \,$ обозначает композицию функций и $x_{h(\bullet )}:=\left(x_{h(i)}\right)_{i\in I}$ это просто обозначение функции $x_{\bullet }\circ h:I\to X.$

Подсети и подпоследовательности

Важно отметить, что подсеть — это не просто ограничение сети. $\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ к направленному подмножеству своего домена $A.$ Напротив, по определению подпоследовательность данной последовательности $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots$ — последовательность, образованная из заданной последовательности путем удаления некоторых элементов без нарушения относительного положения остальных элементов. Явно последовательность $\left(s_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ называется подпоследовательностью ​ $\left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ если существует строго возрастающая последовательность натуральных чисел $h_{1}<h_{2}<h_{3}<\cdots$ такой, что $s_{n}=x_{h_{n}}$ для каждого $n\in \mathbb {N}$ (то есть такой, что $\left(s_{1},s_{2},\ldots \right)=\left(x_{h_{1}},x_{h_{2}},\ldots \right)$). Последовательность $\left(h_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(h_{1},h_{2},\ldots \right)$ канонически можно отождествить с функцией $h_{\bullet }:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ определяется $n\mapsto h_{n}.$ Таким образом, последовательность $s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ является подпоследовательностью $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ тогда и только тогда, когда существует строго возрастающая функция $h:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ такой, что $s_{\bullet }=x_{\bullet }\circ h.$

Подпоследовательности — это подсети

Каждая подпоследовательность является подсетью, потому что если $\left(x_{h_{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ является подпоследовательностью $\left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ тогда карта $h:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ определяется $n\mapsto h_{n}$ — это сохраняющее порядок отображение, образ которого конфинален в своей кодомене и удовлетворяет условию $x_{h_{n}}=x_{h(n)}$ для всех $n\in \mathbb {N} .$

Последовательность и подсеть, но не подпоследовательность

Последовательность ​ $\left(s_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }:=(1,1,2,2,3,3,\ldots )$ не подпоследовательностью является $\left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }:=(1,2,3,\ldots )$ хотя это подсеть, потому что карта $h:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ определяется $h(i):=\left\lfloor {\tfrac {i+1}{2}}\right\rfloor$ — это сохраняющая порядок карта, образ которой есть $h(\mathbb {N} )=\mathbb {N}$ и удовлетворяет $s_{i}=x_{h(i)}$ для всех $i\in \mathbb {N} .$

Хотя последовательность является сетью, она имеет подсети, которые не являются подпоследовательностями. Ключевое отличие состоит в том, что подсети могут использовать одну и ту же точку сети несколько раз, а набор индексов подсети может иметь гораздо большую мощность . Используя более общее определение, в котором мы не требуем монотонности, последовательность является подсетью данной последовательности тогда и только тогда, когда ее можно получить из некоторой подпоследовательности путем повторения ее членов и изменения их порядка.

Подсеть последовательности, которая не является последовательностью

Подсеть последовательности не является обязательно последовательностью. Для примера пусть $I=\{r\in \mathbb {R} :r>0\}$ направляться в обычном порядке $\,\leq \,$ и определить $h:I\to \mathbb {N}$ позволяя $h(r)=\lceil r\rceil$ быть потолком ​ $r.$ Затем $h:(I,\leq )\to (\mathbb {N} ,\leq )$ является сохраняющим порядок отображением (поскольку это неубывающая функция), образ которого $h(I)=\mathbb {N}$ является конфинальным подмножеством своего кодомена. Позволять $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }:\mathbb {N} \to X$ быть любой последовательностью (например, постоянной последовательностью) и пусть $s_{r}:=x_{h(r)}$ для каждого $r\in I$ (другими словами, пусть $s_{\bullet }:=x_{\bullet }\circ h$). Эта сеть $\left(s_{r}\right)_{r\in I}$ не является последовательностью, поскольку ее область определения $I$ представляет собой несчетное множество . Однако, $\left(s_{r}\right)_{r\in I}$ является подсетью последовательности $x_{\bullet }$ поскольку (по определению) $s_{r}=x_{h(r)}$ держится для каждого $r\in I.$ Таким образом $s_{\bullet }$ это подсеть $x_{\bullet }$ это не последовательность.

Кроме того, последовательность $x_{\bullet }$ также является подсетью $\left(s_{r}\right)_{r\in I}$ поскольку карта включения $\iota :\mathbb {N} \to I$ (который отправляет $n\mapsto n$) — сохраняющее порядок отображение, образ которого $\iota (\mathbb {N} )=\mathbb {N}$ является конфинальным подмножеством своего кодомена и $x_{n}=s_{\iota (n)}$ держится для всех $n\in \mathbb {N} .$ Таким образом $x_{\bullet }$ и $\left(s_{r}\right)_{r\in I}$ являются (одновременно) подсетями друг друга.

Подсети, вызванные подмножествами

Предполагать $I\subseteq \mathbb {N}$ представляет собой бесконечное множество и $\left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ представляет собой последовательность. Затем $\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ есть сеть на $(I,\leq )$ это тоже подсеть $\left(x_{i}\right)_{i\in \mathbb {N} }$ (брать $h:I\to \mathbb {N}$ быть картой включения $i\mapsto i$). Эта подсеть $\left(x_{i}\right)_{i\in I}$ в свою очередь индуцирует подпоследовательность $\left(x_{h_{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ определяя $h_{n}$ как $n^{\text{th}}$ наименьшее значение в $I$ (то есть пусть $h_{1}:=\inf I$ и пусть $h_{n}:=\inf\{i\in I:i>h_{n-1}\}$ для каждого целого числа $n>1$). Таким образом, каждое бесконечное подмножество $I\subseteq \mathbb {N}$ порождает каноническую подсеть, которую можно записать как подпоследовательность. Однако, как показано ниже, не каждая подсеть последовательности является подпоследовательностью.

Приложения

Определение обобщает некоторые ключевые теоремы о подпоследовательностях:

• сеть $x_{\bullet }$ сходится к $x$ тогда и только тогда, когда каждая подсеть $x_{\bullet }$ сходится к $x.$
• сеть $x_{\bullet }$ имеет точку кластера $y$ тогда и только тогда, когда у него есть подсеть $y_{\bullet }$ который сходится к $y$
• Топологическое пространство $X$ компактна тогда и только тогда , когда каждая сеть из $X$ имеет конвергентную подсеть ( см. в разделе « Сеть »). доказательство

принимая $h$ быть картой идентификации в определении «подсети» и требовать $B$ быть конечным подмножеством $A$ приводит к понятию конфинальной подсети , которое оказывается неадекватным, поскольку, например, вторая теорема выше неверна для тихоновской планки , если мы ограничимся конфинальными подсетями.

Кластеризация и закрытие

Если $s_{\bullet }$ является сетью в подмножестве $S\subseteq X$ и если $x\in X$ является точкой кластера $s_{\bullet }$ затем $x\in \operatorname {cl} _{X}S.$ Другими словами, каждая точка кластера сети в подмножестве принадлежит замыканию этого множества.

Если $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ это сеть в $X$ то множество всех точек кластера $x_{\bullet }$ в $X$ равно $$\bigcap _{a\in A}\operatorname {cl} _{X}\left(x_{\geq a}\right)$$где $x_{\geq a}:=\left\{x_{b}:b\geq a,b\in A\right\}$ для каждого $a\in A.$

Конвергенция против кластеризации

Если сеть сходится в точку $x$ затем $x$ обязательно является точкой кластера этой сети. Обратное, вообще говоря, не гарантируется. То есть, это возможно для $x\in X$ быть точкой кластера сети $x_{\bullet }$ но для $x_{\bullet }$ не сходиться в $x.$ Однако, если $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ кластеры в $x\in X$ тогда существует подсеть $x_{\bullet }$ который сходится к $x.$ Эта подсеть может быть явно создана из $(A,\leq )$ и фильтр соседства ${\mathcal {N}}_{x}$ в $x$ следующим образом: сделать $$I:=\left\{(a,U)\in A\times {\mathcal {N}}_{x}:x_{a}\in U\right\}$$в направленный набор, заявив, что $$(a,U)\leq (b,V)\quad {\text{ if and only if }}\quad a\leq b\;{\text{ and }}\;U\supseteq V;$$ затем $\left(x_{a}\right)_{(a,U)\in I}\to x{\text{ in }}X$ и $\left(x_{a}\right)_{(a,U)\in I}$ это подсеть $x_{\bullet }=\left(x_{a}\right)_{a\in A}$ поскольку карта $${\begin{alignedat}{4}\alpha :\;&&I&&\;\to \;&A\\[0.3ex]&&(a,U)&&\;\mapsto \;&a\\\end{alignedat}}$$— монотонная функция , образ которой $\alpha (I)=A$ является конфинальным подмножеством $A,$ и $x_{\alpha (\bullet )}:=\left(x_{\alpha (i)}\right)_{i\in I}=\left(x_{\alpha (a,U)}\right)_{(a,U)\in I}=\left(x_{a}\right)_{(a,U)\in I}.$

Таким образом, точка $x\in X$ является точкой кластера данной сети тогда и только тогда, когда она имеет подсеть, сходящуюся к $x.$

См. также

• Фильтр (теория множеств) - семейство множеств, представляющих «большие» множества.
• Фильтры в топологии # Подсети — использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.

Ссылки

• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хельдерманн Верлаг, Берлин. ISBN  3885380064 .
• Келли, Джон Л. (1991). Общая топология . Спрингер. ISBN  3540901256 .
• Раунд, Волкер (2005). Вкус топологии . Спрингер. ISBN  978-0387-25790-7 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN  978-0-12-622760-4 . OCLC   175294365 .
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология . Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN  978-0-486-43479-7 . OCLC   115240 .