Локальная ограниченность

В математике функция , называется локально ограниченной если она ограничена вокруг каждой точки. Семейство , функций локально ограничено если для любой точки области определения все функции ограничены вокруг этой точки и одним и тем же числом.

Локально ограниченная функция

Функция действительным или комплексным знаком с $f$ определенный в некотором топологическом пространстве $X$ называется локально ограниченный функционал, если для любого $x_{0}\in X$ существует район $A$ из $x_{0}$ такой, что $f(A)$ является ограниченным множеством . То есть для некоторого числа $M>0$ у одного есть $$|f(x)|\leq M\quad {\text{ for all }}x\in A.$$

Другими словами, для каждого $x$ можно найти константу в зависимости от $x,$ что больше всех значений функции в окрестности $x.$ Сравните это с ограниченной функцией , у которой константа не зависит от $x.$ Очевидно, что если функция ограничена, то она локально ограничена. Обратное, вообще говоря, неверно (см. ниже).

Это определение можно распространить на случай, когда $f:X\to Y$ принимает значения в некотором метрическом пространстве $(Y,d).$ Тогда приведенное выше неравенство необходимо заменить на $$d(f(x),y)\leq M\quad {\text{ for all }}x\in A,$$где $y\in Y$ — некоторая точка метрического пространства. Выбор $y$ не влияет на определение; выбирая другое $y$ самое большее увеличит константу $r$ для которого это неравенство верно.

Примеры

• Функция $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ определяется $$f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}$$ ограничено, поскольку $0\leq f(x)\leq 1$ для всех $x.$ Следовательно, оно также локально ограничено.

• Функция $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ определяется $$f(x)=2x+3$$ не ограничено , поскольку становится сколь угодно большим. Однако оно локально ограничено, поскольку для каждого $a,$ $|f(x)|\leq M$ по соседству $(a-1,a+1),$ где $M=2|a|+5.$

• Функция $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ определяется $$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{x}},&{\mbox{if }}x\neq 0,\\0,&{\mbox{if }}x=0\end{cases}}$$ не является ни ограниченным , ни локально ограниченным. В любой окрестности 0 эта функция принимает значения сколь угодно большой величины.

• Любая непрерывная функция локально ограничена. Вот доказательство для функций действительной переменной. Позволять $f:U\to \mathbb {R}$ быть непрерывным, где $U\subseteq \mathbb {R} ,$ и мы это покажем $f$ локально ограничен в $a$ для всех $a\in U$ Учитывая ε = 1 в определении непрерывности, существует $\delta >0$ такой, что $|f(x)-f(a)|<1$ для всех $x\in U$ с $|x-a|<\delta$. Теперь по неравенству треугольника , $|f(x)|=|f(x)-f(a)+f(a)|\leq |f(x)-f(a)|+|f(a)|<1+|f(a)|,$ это означает, что $f$ локально ограничен в $a$ (принимая $M=1+|f(a)|$ и окрестности $(a-\delta ,a+\delta )$). Этот аргумент легко обобщается на случай, когда область $f$ – любое топологическое пространство.

• Однако обратное приведенному выше результату неверно; то есть разрывная функция может быть локально ограничена. Например, рассмотрим функцию $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ данный $f(0)=1$ и $f(x)=0$ для всех $x\neq 0.$ Затем $f$ разрывен в 0, но $f$ локально ограничен; он локально постоянен, за исключением нуля, где мы можем взять $M=1$ и окрестности $(-1,1),$ например.

Местная семья

Набор . (также называемый семейством ) U вещественных или комплекснозначных функций, определенных в некотором топологическом пространстве $X$ называется локально ограниченным, если для любого $x_{0}\in X$ существует район $A$ из $x_{0}$ и положительное число $M>0$ такой, что $$|f(x)|\leq M$$ для всех $x\in A$ и $f\in U.$ Другими словами, все функции в семействе должны быть локально ограничены, и вокруг каждой точки они должны быть ограничены одной и той же константой.

Это определение можно распространить и на случай, когда функции семейства U принимают значения в некотором метрическом пространстве, снова заменив абсолютное значение функцией расстояния.

Примеры

• Семейство функций $f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $$f_{n}(x)={\frac {x}{n}}$$ где $n=1,2,\ldots$ является локально ограниченным. Действительно, если $x_{0}$ действительное число, можно выбрать окрестность $A$ быть интервалом $\left(x_{0}-a,x_{0}+1\right).$ Тогда для всех $x$ в этом интервале и для всех $n\geq 1$ у одного есть $$|f_{n}(x)|\leq M$$ с $M=1+|x_{0}|.$ Более того, семейство равномерно ограничено , поскольку ни окрестность $A$ ни константа $M$ зависеть от индекса $n.$

• Семейство функций $f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $$f_{n}(x)={\frac {1}{x^{2}+n^{2}}}$$ локально ограничено, если $n$ больше нуля. Для любого $x_{0}$ можно выбрать район $A$ быть $\mathbb {R}$ сам. Тогда у нас есть $$|f_{n}(x)|\leq M$$ с $M=1.$ Обратите внимание, что значение $M$ не зависит от выбора x ₀ или его окрестности $A.$ Тогда это семейство не только локально ограничено, но и равномерно ограничено.

• Семейство функций $f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $$f_{n}(x)=x+n$$ является не локально ограниченным. Действительно, для любого $x$ ценности $f_{n}(x)$ не может быть ограничено как $n$ стремится к бесконечности.

Топологические векторные пространства

См. также: Ограниченное множество (топологическое векторное пространство) , Нормируемое пространство и критерий нормируемости Колмогорова.

Локальная ограниченность может также относиться к свойству топологических векторных пространств или функций из топологического пространства в топологическое векторное пространство (TVS).

Локально ограниченные топологические векторные пространства

Основная статья: Полунормированное пространство

Подмножество ​ $B\subseteq X$ топологического векторного пространства (ТВП) $X$ называется ограниченным , если для каждой окрестности $U$ происхождения в $X$ существует действительное число $s>0$ такой, что $$B\subseteq tU\quad {\text{ for all }}t>s.$$А локально ограниченная ТВС – это ТВС, имеющая ограниченную окрестность начала координат. По критерию нормируемости Колмогорова это верно для локально выпуклого пространства тогда и только тогда, когда топология ТВС индуцирована некоторой полунормой . В частности, всякая локально ограниченная TVS псевдометризуема .

Локально ограниченные функции

Позволять $f:X\to Y$ Функция между топологическими векторными пространствами называется локально ограниченной функцией, если каждая точка $X$ есть район, изображение которого под $f$ ограничен.

Следующая теорема связывает локальную ограниченность функций с локальной ограниченностью топологических векторных пространств:

Теорема. Топологическое векторное пространство $X$ локально ограничено тогда и только тогда, когда тождественное отображение $\operatorname {id} _{X}:X\to X$ является локально ограниченным.

См. также

• Борнологическое пространство - Пространство, в котором ограниченные операторы непрерывны.
• Ограниченный оператор - линейное преобразование между топологическими векторными пространствами.
• Ограниченное множество (топологическое векторное пространство) - Обобщение ограниченности

Внешние ссылки

• Запись PlanetMath для локально ограниченного
• Запись nLab для локально ограниченной категории