Супераддитивность

В математике функция ​ $f$ является супераддитивным, если $f(x+y)\geq f(x)+f(y)$для всех $x$ и $y$ в области ​ $f.$

Аналогично, последовательность $a_{1},a_{2},\ldots$ называется супераддитивным, если он удовлетворяет неравенству $$a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m}$$для всех $m$ и $n.$

Термин «супераддитив» также применяется к функциям булевой алгебры и действительным числам, где $P(X\lor Y)\geq P(X)+P(Y),$ например, более низкие вероятности .

Примеры супераддитивных функций

• Карта $f(x)=x^{2}$ является супераддитивной функцией для неотрицательных чисел , поскольку квадрат действительных $x+y$ всегда больше или равно квадрату $x$ плюс площадь $y,$ для неотрицательных действительных чисел $x$ и $y$: $f(x+y)=(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy=f(x)+f(y)+2xy.$

• Определитель эрмитовой является супераддитивным для неотрицательной матрицы , то есть, если $A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )$ неотрицательны эрмитовы, то $\det(A+B)\geq \det(A)+\det(B).$ Это следует из определительной теоремы Минковского , которая в более общем смысле утверждает, что $\det(\cdot )^{1/n}$ является супераддитивным (эквивалентно вогнутым ) для неотрицательных эрмитовых матриц размера $n$: Если $A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )$ неотрицательны эрмитовы, то $\det(A+B)^{1/n}\geq \det(A)^{1/n}+\det(B)^{1/n}.$
• Хорст Альцер доказал что гамма-функция Адамара $H(x)$ является супераддитивным для всех действительных чисел $x,y$ с $x,y\geq 1.5031.$
• Взаимная информация

Характеристики

Если $f$ является супераддитивной функцией, область определения которой содержит $0,$ затем $f(0)\leq 0.$ Чтобы убедиться в этом, возьмем неравенство сверху: $f(x)\leq f(x+y)-f(y).$ Следовательно $f(0)\leq f(0+y)-f(y)=0.$

Отрицательная функция супераддитивной функции субаддитивна .

Лемма Фекете

Основной причиной использования супераддитивных последовательностей является следующая лемма Михаэля Фекете .

Лемма: (Фекете) Для любой супераддитивной последовательности $a_{1},a_{2},\ldots ,$ предел ​ $\lim a_{n}/n$ равен супремуму $\sup a_{n}/n.$ (Предел может быть положительной бесконечностью, как в случае с последовательностью $a_{n}=\log n!$ например.)

Аналог леммы Фекете справедлив для субаддитивных и функций.Существуют расширения леммы Фекете, которые не требуют, чтобы приведенное выше определение супераддитивности выполнялось для всех. $m$ и $n.$ Имеются также результаты, позволяющие вывести скорость сходимости к пределу, существование которого утверждается в лемме Фекете, если одновременно присутствует какая-то супераддитивность и субаддитивность. Хорошее изложение этой темы можно найти у Стила (1997).

См. также

• Интеграл Шоке
• Внутренняя мера
• Субаддитивность - свойство некоторых математических функций.
• Сублинейная функция - тип функции в линейной алгебре.

Ссылки

Примечания

• Дьёрдь Поля и Габор Сегё. (1976). Проблемы и теоремы анализа, том 1 . Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. ISBN  0-387-05672-6 .

Эта статья включает в себя материал из Superadditivity на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .