Верхняя и нижняя вероятности

Верхняя и нижняя вероятности представляют собой неточную вероятность . В то время как теория вероятностей использует одно число, вероятность , для описания того, насколько вероятно событие произойдет, этот метод использует два числа: верхнюю вероятность события и нижнюю вероятность события.

Поскольку частотная статистика не допускает метавероятностей , ^{[ нужна ссылка ]} завсегдатаям пришлось предлагать новые решения. Седрик Смит и Артур Демпстер разработали теории верхних и нижних вероятностей. Гленн Шафер развил теорию Демпстера дальше, и теперь она известна как теория Демпстера – Шафера или Шоке (1953).Точнее, в работах этих авторов в степенном множестве рассматривают $P(S)\,\!$ , масс функция $m:P(S)\rightarrow R$ удовлетворяющие условиям

m(\varnothing )=0\,\,\,\,\,\,\!;\,\,\,\,\,\,m(A)\geq 0\,\,\,\,\,\,\!;\,\,\,\,\,\,\sum _{A\in P(S)}m(A)=1.\,\!

В свою очередь, масса связана с двумя неаддитивными непрерывными мерами, называемыми убеждением и правдоподобием, определяемыми следующим образом:

\operatorname {bel} (A)=\sum _{B\mid B\subseteq A}m(B)\,\,\,\,;\,\,\,\,\operatorname {pl} (A)=\sum _{B\mid B\cap A\neq \varnothing }m(B)

В случае, когда $S$ бесконечно, может быть $\operatorname {bel}$ так что нет связанной функции масс. См. стр. 36 Халперна (2003). Вероятностные меры — это частный случай функций доверия, в которых функция массы присваивает положительную массу только одиночным элементам пространства событий.

Различное понятие верхней и нижней вероятностей получается с помощью нижних и верхних конвертов, полученных из класса C распределений вероятностей путем установки

\operatorname {env_{1}} (A)=\inf _{p\in C}p(A)\,\,\,\,;\,\,\,\,\operatorname {env_{2}} (A)=\sup _{p\in C}p(A)

Верхняя и нижняя вероятности также связаны с вероятностной логикой : см. Gerla (1994).

Заметьте также, что меру необходимости можно рассматривать как меньшую вероятность, а меру возможности можно рассматривать как верхнюю вероятность.

См. также

Ссылки

Шоке, Ж. (1953). «Теория емкостей» . Анналы Института Фурье . 5 : 131–295. дои : 10.5802/aif.53 .
Герла, Г. (1994). «Выводы в вероятностной логике». Искусственный интеллект . 70 (1–2): 33–52. дои : 10.1016/0004-3702(94)90102-3 .
Халперн, JY (2003). Рассуждения о неопределенности . МТИ Пресс. ISBN 978-0-262-08320-1 .
Халперн, JY; Феджин, Р. (1992). «Два взгляда на убеждение: убеждение как обобщенная вероятность и убеждение как свидетельство». Искусственный интеллект . 54 (3): 275–317. CiteSeerX 10.1.1.70.6130 . дои : 10.1016/0004-3702(92)90048-3 . S2CID 11339219 .
Хубер, П.Дж. (1980). Надежная статистика . Нью-Йорк: Уайли. ISBN 978-0-471-41805-4 .
Саффиотти, А. (1992). «Логика функции убеждений». Материалы 10-й конференции AAAI . Сан-Хосе, Калифорния. стр. 642–647. ISBN 978-0-262-51063-9 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
Шафер, Г. (1976). Математическая теория доказательств . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-08175-5 .
Уолли, П.; Хорошо, TL (1982). «К частотной теории верхней и нижней вероятности» . Анналы статистики . 10 (3): 741–761. дои : 10.1214/aos/1176345868 . JSTOR 2240901 .