Теория возможностей

Теория возможностей — это математическая теория, предназначенная для работы с определенными типами неопределенности и являющаяся альтернативой теории вероятностей . Он использует меры возможности и необходимости от 0 до 1, от невозможного к возможному и от ненужного к необходимому соответственно. Профессор Лотфи Заде впервые представил теорию возможностей в 1978 году как расширение своей теории нечетких множеств и нечеткой логики . Дидье Дюбуа и Анри Прад внесли дальнейший вклад в его развитие. Ранее, в 1950-х годах, экономист Г. Л. С. Шекл предложил алгебру мин/макс для описания степени потенциальной неожиданности.

Формализация возможности [ править ]

Для простоты предположим, что вселенная дискурса Ω представляет собой конечное множество. Мера возможности – это функция $\Pi$ от $2^{\Omega }$ на [0, 1] такой, что:

Аксиома 1:

\Pi (\varnothing )=0

Аксиома 2:

\Pi (\Omega )=1

Аксиома 3:

\Pi (U\cup V)=\max \left(\Pi (U),\Pi (V)\right)

для любых непересекающихся подмножеств

U

и

V

. ^[1]

Отсюда следует, что, как и вероятность в конечных вероятностных пространствах , мера возможности определяется ее поведением на одиночных элементах:

\Pi (U)=\max _{\omega \in U}\Pi (\{\omega \}).

Аксиому 1 можно интерпретировать как предположение о том, что Ω является исчерпывающим описанием будущих состояний мира, поскольку это означает, что элементам вне Ω не придается никакого веса доверия.

Аксиому 2 можно интерпретировать как предположение, что доказательства, на основе которых $\Pi$ была построена свободна от каких-либо противоречий. Технически это означает, что в Ω существует хотя бы один элемент с возможностью 1.

Аксиома 3 соответствует аксиоме аддитивности вероятностей. Однако есть важное практическое различие. Теория возможностей более удобна в вычислительном отношении, поскольку аксиомы 1–3 предполагают, что:

\Pi (U\cup V)=\max \left(\Pi (U),\Pi (V)\right)

для любых подмножеств

U

и

V

.

Поскольку о возможности объединения можно узнать по возможности каждого компонента, можно сказать, что возможность композиционна по отношению к оператору объединения. Однако обратите внимание, что он не является композиционным по отношению к оператору пересечения. В целом:

\Pi (U\cap V)\leq \min \left(\Pi (U),\Pi (V)\right)\leq \max \left(\Pi (U),\Pi (V)\right).

Когда Ω не конечно, аксиому 3 можно заменить следующим:

Для всех наборов индексов

I

, если подмножества

U_{i,\,i\in I}

пересекаются попарно не ,

\Pi \left(\bigcup _{i\in I}U_{i}\right)=\sup _{i\in I}\Pi (U_{i}).

Необходимость [ править ]

В то время как теория вероятностей использует одно число, вероятность, для описания того, насколько вероятно событие произойдет, теория возможностей использует два понятия: возможность и необходимость события. Для любого набора $U$ , мера необходимости определяется выражением

N(U)=1-\Pi ({\overline {U}})

.

В приведенной выше формуле ${\overline {U}}$ обозначает дополнение $U$ , то есть элементы $\Omega$ которые не принадлежат $U$ . Это несложно показать:

N(U)\leq \Pi (U)

для любого

U

и это:

N(U\cap V)=\min(N(U),N(V))

.

Обратите внимание: вопреки теории вероятностей, возможность не является самодвойственной. То есть для любого события $U$ , имеем только неравенство:

\Pi (U)+\Pi ({\overline {U}})\geq 1

Однако справедливо следующее правило двойственности:

Для любого мероприятия

U

, или

\Pi (U)=1

, или

N(U)=0

Соответственно, убеждения о событии могут быть представлены числом и битом.

Интерпретация [ править ]

Есть четыре случая, которые можно интерпретировать следующим образом:

$N(U)=1$ означает, что $U$ необходимо. $U$ это конечно правда. Это подразумевает, что $\Pi (U)=1$ .

$\Pi (U)=0$ означает, что $U$ невозможно. $U$ заведомо ложно. Это подразумевает, что $N(U)=0$ .

$\Pi (U)=1$ означает, что $U$ возможно. Я бы совсем не удивился, если бы $U$ происходит. Он уходит $N(U)$ неограниченный.

$N(U)=0$ означает, что $U$ ненужно. Я бы совсем не удивился, если бы $U$ не происходит. Он уходит $\Pi (U)$ неограниченный.

Пересечение последних двух случаев есть $N(U)=0$ и $\Pi (U)=1$ это означает, что я вообще ни во что не верю $U$ . Поскольку она допускает подобную неопределенность, теория возможностей относится к градуировке многозначной логики , такой как интуиционистская логика , а не классической двузначной логики .

Обратите внимание, что в отличие от возможности нечеткая логика является композиционной как по отношению к оператору объединения, так и по отношению к оператору пересечения. Связь с нечеткой теорией можно объяснить на следующем классическом примере.

Нечеткая логика: когда бутылка наполовину полна, можно сказать, что уровень истинности утверждения «Бутылка полна» равна 0,5. Слово «полный» рассматривается как нечеткое предикат, описывающий количество жидкости в бутылке.
Теория возможности: существует одна бутылка, либо полностью полная, либо совершенно пустая. Утверждение «уровень вероятности того, что бутылка полна, равна 0,5» описывает степень убеждения. Один из способов интерпретировать 0,5 в этом утверждении — определить его значение следующим образом: я готов поспорить, что он пуст, пока шансы четны (1:1) или выше, и я ни в коем случае не буду держать пари, что он полон.

Теория возможностей как неточная теория вероятностей

Существует обширное формальное соответствие между теориями вероятностей и возможностей, где оператор сложения соответствует оператору максимума.

Меру возможности можно рассматривать как согласную меру правдоподобия в Демпстера-Шейфера теории доказательств . Операторы теории возможностей можно рассматривать как сверхосторожную версию операторов переносимой модели убеждений , современного развития теории свидетельств.

Возможность можно рассматривать как верхнюю вероятность : любое распределение возможностей определяет уникальный набор доверенных значений допустимых распределений вероятностей с помощью

K=\{\,P\mid \forall S\ P(S)\leq \Pi (S)\,\}.

Это позволяет изучать теорию возможностей, используя инструменты неточных вероятностей .

Логика необходимости [ править ]

Мы называем обобщенной возможностью каждую функцию, удовлетворяющую аксиоме 1 и аксиоме 3. Мы называем обобщенной необходимостью двойственную обобщенной возможности. Обобщенные потребности связаны с очень простой и интересной нечеткой логикой, называемой логикой необходимости . В аппарате дедукции логики необходимости логические аксиомы представляют собой обычные классические тавтологии . Кроме того, существует только нечеткое правило вывода, расширяющее обычный modus ponens . Такое правило гласит, что если α и α → β доказаны на степени λ и µ соответственно, то мы можем утверждать β на степени min{ λ , µ }. Легко видеть, что теории такой логики представляют собой обобщенные потребности и что вполне непротиворечивые теории совпадают с необходимостью (см., например, Gerla 2001).

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Цитаты [ править ]

^ Дюбуа, Д.; Праде, Х.: Теория возможностей: подход к компьютеризированной обработке неопределенности. Пленум Пресс, 1988.

Источники [ править ]

Дюбуа, Дидье и Прад, Анри, « Теория возможностей, теория вероятностей и многозначная логика: разъяснение », Анналы математики и искусственного интеллекта 32:35–66, 2002.
Герла Джанджакомо, Нечеткая логика: математические инструменты для приближенного рассуждения , Kluwer Academic Publishers, Дордрехт, 2001.
Ладислав Дж. Когоут, « Теории возможностей: метааксиоматика и семантика », Нечеткие множества и системы 25:357-367, 1988.
Заде, Лотфи , «Нечеткие множества как основа теории возможностей», Fuzzy Sets and Systems 1:3–28, 1978. (Перепечатано в Fuzzy Sets and Systems 100 (Приложение): 9–34, 1999.)
Брайан Р. Гейнс и Ладислав Дж. Кохут, «Возможные автоматы» , в материалах Международного симпозиума по многозначной логике, стр. 183–192, Блумингтон, Индиана, 13–16 мая 1975 г.

[1] Дюбуа, Д.; Праде, Х.: Теория возможностей: подход к компьютеризированной обработке неопределенности. Пленум Пресс, 1988.

[1]