Случайно-нечеткая переменная

При измерениях полученные измерения могут страдать от двух типов неопределенностей. ^[1] Во-первых, это случайная неопределенность, возникающая из-за шума в процессе и измерении. Второй вклад обусловлен систематической неопределенностью, которая может присутствовать в измерительном приборе. Систематические ошибки, если они обнаружены, можно легко компенсировать, поскольку они обычно постоянны на протяжении всего процесса измерения, пока не изменяются измерительный прибор и процесс измерения. Но при использовании прибора нельзя точно знать, есть ли систематическая ошибка и если есть, то насколько? Следовательно, систематическую неопределенность можно рассматривать как вклад нечеткой природы.

Эту систематическую ошибку можно приблизительно смоделировать на основе наших прошлых данных об измерительном приборе и процессе.

Статистические методы можно использовать для расчета общей неопределенности как систематических, так и случайных вкладов в измерение. ^[2]^[3]^[4] Но вычислительная сложность очень высока и, следовательно, нежелательна.

ЛАЗаде ввел понятия нечетких переменных и нечетких множеств. ^[5]^[6] Нечеткие переменные основаны на теории возможностей и, следовательно, представляют собой распределения возможностей. Это делает их пригодными для обработки любого типа неопределенности, т. е. как систематического, так и случайного вклада в общую неопределенность. ^[7]^[8]^[9]

Случайно-нечеткая переменная (RFV) — нечеткая переменная 2-го типа . ^[10] определяется с помощью математической теории возможностей, ^[5]^[6] используется для представления всей информации, связанной с результатом измерения. Он имеет внутреннее распределение возможностей и внешнее распределение возможностей, называемое функциями принадлежности. Внутреннее распределение представляет собой вклады в неопределенность, обусловленные систематической неопределенностью, а границы RFV обусловлены случайными вкладами. Внешнее распределение дает границы неопределенности всех вкладов.

Определение

Случайно-нечеткая переменная (RFV) определяется как нечеткая переменная типа 2, которая удовлетворяет следующим условиям: ^[11]

Можно выделить как внутренние, так и внешние функции RFV.
И внутренние, и внешние функции моделируются как распределения возможностей (pd).
И внутренняя, и внешняя функции имеют единое значение для возможности попадания в один и тот же интервал значений.

RFV можно увидеть на рисунке. Внешняя функция принадлежности — это распределение синего цвета, а внутренняя функция принадлежности — это распределение красного цвета. Обе функции принадлежности являются распределениями возможностей. И внутренняя, и внешняя функции принадлежности имеют единое значение возможности только в прямоугольной части RFV. Итак, все три условия выполнены.

Если в измерении присутствуют только систематические ошибки, то RFV просто становится нечеткой переменной , состоящей только из внутренней функции принадлежности. Аналогично, если нет систематической ошибки, то RFV становится нечеткой переменной только со случайными вкладами и, следовательно, представляет собой просто возможное распределение случайных вкладов.

Строительство

Случайно-нечеткая переменная может быть построена с использованием внутреннего распределения возможностей ( r _Internal ) и случайного распределения возможностей ( r _random ).

Случайное распределение ( r _{случайное} )

r _{случайное} — это возможное распределение случайных вкладов в неопределенность. Любой измерительный прибор или процесс страдают от случайных ошибок из-за собственного шума или других эффектов.

Это совершенно случайный характер и является нормальным распределением вероятностей, когда несколько случайных вкладов объединяются в соответствии с Центральной предельной теоремой . ^[12]

Но также могут быть случайные вклады от других распределений вероятностей, таких как равномерное распределение , гамма-распределение и так далее.

Распределение вероятностей можно смоделировать на основе данных измерений. Затем распределение вероятностей можно использовать для моделирования эквивалентного распределения возможностей с использованием максимально конкретного преобразования «вероятность-возможность». ^[13]

Некоторые общие распределения вероятностей и соответствующие распределения возможностей можно увидеть на рисунках.

Внутреннее распределение( r _{внутреннее} )

r _Internal — это внутреннее распределение в RFV, которое представляет собой распределение возможности систематического вклада в общую неопределенность. Это распределение может быть построено на основе имеющейся информации об измерительном приборе и процессе.

Максимально возможное распределение — это равномерное или прямоугольное распределение возможностей. Это означает, что каждое значение в указанном интервале одинаково возможно. Это на самом деле представляет собой состояние полного невежества согласно теории доказательств. ^[14] это означает, что он представляет собой сценарий, в котором наблюдается максимальный недостаток информации.

Это распределение используется для систематической ошибки, когда мы не имеем абсолютно никакого представления о систематической ошибке, за исключением того, что она принадлежит определенному интервалу значений. Это довольно частое явление при измерениях.

Но в некоторых случаях может быть известно, что определенные ценности имеют более высокую или более низкую степень доверия, чем некоторые другие ценности. В этом случае, в зависимости от степени достоверности значений, можно построить подходящее распределение возможностей.

Построение внешнего распределения( r _external ) и RFV

После моделирования случайного и внутреннего распределения возможностей внешняя функция принадлежности r _external RFV может быть построена с помощью следующего уравнения: ^[15]

r_{\textit {external}}(x)=\sup _{x^{\prime }}T_{min}[r_{\textit {random}}(x-x^{\prime }+x^{*}),r_{\textit {internal}}(x^{\prime })]

где $x^{*}$ это режим $r_{\textit {random}}$ , что является пиком функции принадлежности $r_{random}$ T треугольная _min — минимальная норма . ^[16]

RFV также можно построить на основе внутреннего и случайного распределений, рассматривая α -срезы двух возможных распределений (PD).

-срез α нечеткой переменной F можно определить как ^[17]^[18]

F_{\alpha }=\{a\,\vert \,\mu _{\rm {F}}(a)\geq \alpha \}\qquad {\textit {where}}\qquad 0\leq \alpha \leq 1

Итак, по сути α -разрез — это набор значений, для которых значение функции принадлежности $\mu _{\rm {F}}(a)$ нечеткой переменной больше, чем α . Итак, это дает верхнюю и нижнюю границы нечеткой переменной F для каждого α -разреза.

- разрез Однако α RFV имеет 4 конкретных границы и определяется выражением $RFV^{\alpha }=[X_{a}^{\alpha },X_{b}^{\alpha },X_{c}^{\alpha },X_{d}^{\alpha }]$ . ^[11] $X_{a}^{\alpha }$ и $X_{d}^{\alpha }$ являются нижней и верхней границей соответственно внешней функции принадлежности ( r _external ), которая сама по себе является нечеткой переменной. $X_{b}^{\alpha }$ и $X_{c}^{\alpha }$ являются нижней и верхней границей соответственно внутренней функции принадлежности ( r _Internal ), которая сама по себе является нечеткой переменной.

Чтобы построить RFV, давайте рассмотрим α -разрезы двух PD, т.е. r _{случайный} и r _{внутренний} для одного и того же значения α . Это дает нижнюю и верхнюю оценки для двух α -разрезов. Пусть они будут $[X_{LR}^{\alpha },X_{UR}^{\alpha }]$ и $[X_{LI}^{\alpha },X_{UI}^{\alpha }]$ для случайного и внутреннего распределений соответственно. $[X_{LR}^{\alpha },X_{UR}^{\alpha }]$ можно снова разделить на два подинтервала $[X_{LR}^{\alpha },x^{*}]$ и $[x^{*},X_{UR}^{\alpha }]$ где $x^{*}$ – это режим нечеткой переменной. Тогда α -разрез для RFV для того же значения α , $RFV^{\alpha }=[X_{a}^{\alpha },X_{b}^{\alpha },X_{c}^{\alpha },X_{d}^{\alpha }]$ может быть определен ^[11]

X_{a}^{\alpha }=X_{LI}^{\alpha }-(x^{*}-X_{LR}^{\alpha })

X_{b}^{\alpha }=X_{LI}^{\alpha }

X_{c}^{\alpha }=X_{UI}^{\alpha }

X_{d}^{\alpha }=X_{UI}^{\alpha }-(X_{UR}^{\alpha }-x^{*})

Используя приведенные выше уравнения, α -отрезки рассчитываются для каждого значения α , что дает нам окончательный график RFV.

Случайно-нечеткая переменная способна дать полную картину случайного и систематического вклада в общую неопределенность от α -срезов для любого уровня достоверности, поскольку уровень достоверности представляет собой не что иное, как 1-α . ^[17]^[18]

Пример построения соответствующей внешней функции принадлежности ( r _external ) и RFV из случайного PD и внутреннего PD можно увидеть на следующем рисунке.

См. также

Ссылки

^ Тейлор, Джон Р. (Джон Роберт), 1939- (1997). Введение в анализ ошибок: исследование неопределенностей физических измерений (2-е изд.). Саусалито, Калифорния: Университетские научные книги. ISBN 0935702423 . ОСЛК 34150960 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
^ Пьетросанто, А.; Бетта, Г.; Лигуори, К. (1 января 1999 г.). «Структурированный подход к оценке неопределенности измерений в алгоритмах разработки цифровых сигналов» . Труды IEE - Наука, измерения и технологии . 146 (1): 21–26. дои : 10.1049/ip-smt:19990001 . ISSN 1350-2344 .
^ Бетта, Джованни; Лигуори, Консолатина; Пьетросанто, Антонио (1 июня 2000 г.). «Распространение неопределенности в алгоритме дискретного преобразования Фурье». Измерение . 27 (4): 231–239. Бибкод : 2000Meas...27..231B . дои : 10.1016/S0263-2241(99)00068-8 . ISSN 0263-2241 .
^ Ферреро, А.; Лаццарони, М.; Саликоне, С. (2002). «Процедура калибровки цифрового прибора измерения качества электроэнергии». Транзакции IEEE по приборостроению и измерениям . 51 (4): 716–722. Бибкод : 2002ITIM...51..716F . дои : 10.1109/TIM.2002.803293 . ISSN 0018-9456 .
^ Jump up to: ^а ^б Заде, Луизиана (июнь 1965 г.). «Нечеткие множества» . Информация и контроль . 8 (3). Сан-Диего: 338–353. дои : 10.1016/S0019-9958(65)90241-X . ISSN 0019-9958 . Збл 0139.24606 . Викиданные Q25938993 .
^ Jump up to: ^а ^б Заде, Луизиана (январь 1973 г.). «Очерк нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений». Транзакции IEEE по системам, человеку и кибернетике . СМК-3 (1). Общество систем IEEE, человека и кибернетики : 28–44. дои : 10.1109/TSMC.1973.5408575 . ISSN 1083-4419 . Збл 0273.93002 . Викиданные Q56083455 .
^ Маурис, Г.; Берра, Л.; Фуллой, Л.; Хаурат, А. (2000). «Нечеткая обработка ошибок измерений в приборах». Транзакции IEEE по приборостроению и измерениям . 49 (1): 89–93. Бибкод : 2000ITIM...49...89M . дои : 10.1109/19.836316 .
^ Урбанский, Михал К.; Васовский, Януш (1 июля 2003 г.). «Нечеткий подход к теории неточности измерений». Измерение . Основы измерения. 34 (1): 67–74. Бибкод : 2003Мер...34...67U . дои : 10.1016/S0263-2241(03)00021-6 . ISSN 0263-2241 .
^ Ферреро, А.; Саликоне, С. (2003). «Инновационный подход к определению неопределенности измерений на основе нечетких переменных». Транзакции IEEE по приборостроению и измерениям . 52 (4): 1174–1181. Бибкод : 2003ITIM...52.1174F . дои : 10.1109/TIM.2003.815993 . ISSN 0018-9456 .
^ Кастильо, Оскар; Мелин, Патрисия; Качпшик, Януш; Педрич, Витольд (2007). «Нечеткая логика типа 2: теория и приложения». 2007 Международная конференция IEEE по гранулярным вычислениям (GRC 2007) . п. 145. дои : 10.1109/grc.2007.118 . ISBN 978-0-7695-3032-1 . S2CID 1942035 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Саликоне, Симона (23 апреля 2018 г.). Измерение неопределенности в рамках теории доказательств . Приоли, Марко. Чам, Швейцария. ISBN 9783319741390 . OCLC 1032810109 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Росс, Шелдон М. (2009). Введение в вероятность и статистику для инженеров и ученых (4-е изд.). Берлингтон: Elsevier Science. ISBN 9780080919379 . OCLC 761646775 .
^ КЛИР †, ДЖОРДЖ Дж.; ПАРВИЗ, БЕХЗАД (1 августа 1992 г.). «Преобразования вероятности-возможности: сравнение». Международный журнал общих систем . 21 (3): 291–310. дои : 10.1080/03081079208945083 . ISSN 0308-1079 .
^ Шафер, Гленн, 1946- (1976). Математическая теория доказательств . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0691081751 . OCLC 1859710 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
^ Ферреро, Алессандро; Приоли, Марко; Саликоне, Симона (2015). «Распространение неопределенности через нелинейные функции измерения с помощью совместных случайных и нечетких переменных». Материалы Международной конференции по приборостроению и измерительным технологиям IEEE 2015 (I2MTC) . Пиза, Италия: IEEE. стр. 1723–1728. дои : 10.1109/I2MTC.2015.7151540 . ISBN 9781479961146 . S2CID 22811201 .
^ Клемент, Эрих Петер; Месиар, Радко; Пап, Эндре (1 апреля 2004 г.). «Треугольные нормы. Позиционный документ I: основные аналитические и алгебраические свойства». Нечеткие множества и системы . Достижения в области нечеткой логики. 143 (1): 5–26. дои : 10.1016/j.fss.2003.06.007 . ISSN 0165-0114 .
^ Jump up to: ^а ^б Заде, Луизиана (сентябрь 1975 г.). «Нечеткая логика и приближенные рассуждения». Синтезируйте . 30 (3–4). Спрингер : 407–428. дои : 10.1007/BF00485052 . ISSN 0039-7857 . OCLC 714993477 . S2CID 46975216 . Збл 0319.02016 . Викиданные Q57275767 .
^ Jump up to: ^а ^б Кауфманн, А. (Арнольд), 1911- (1991). Введение в нечеткую арифметику: теория и приложения . Гупта, Мадан М. ([Новая ред.] ред.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: ISBN Ван Ностранд Рейнхольд Ко. 0442008996 . ОСЛК 24309785 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )

[1] Тейлор, Джон Р. (Джон Роберт), 1939- (1997). Введение в анализ ошибок: исследование неопределенностей физических измерений (2-е изд.). Саусалито, Калифорния: Университетские научные книги. ISBN 0935702423 . ОСЛК 34150960 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )

[2] Пьетросанто, А.; Бетта, Г.; Лигуори, К. (1 января 1999 г.). «Структурированный подход к оценке неопределенности измерений в алгоритмах разработки цифровых сигналов» . Труды IEE - Наука, измерения и технологии . 146 (1): 21–26. дои : 10.1049/ip-smt:19990001 . ISSN 1350-2344 .

[3] Бетта, Джованни; Лигуори, Консолатина; Пьетросанто, Антонио (1 июня 2000 г.). «Распространение неопределенности в алгоритме дискретного преобразования Фурье». Измерение . 27 (4): 231–239. Бибкод : 2000Meas...27..231B . дои : 10.1016/S0263-2241(99)00068-8 . ISSN 0263-2241 .

[4] Ферреро, А.; Лаццарони, М.; Саликоне, С. (2002). «Процедура калибровки цифрового прибора измерения качества электроэнергии». Транзакции IEEE по приборостроению и измерениям . 51 (4): 716–722. Бибкод : 2002ITIM...51..716F . дои : 10.1109/TIM.2002.803293 . ISSN 0018-9456 .

[zadeh2-5] Jump up to: ^а ^б Заде, Луизиана (июнь 1965 г.). «Нечеткие множества» . Информация и контроль . 8 (3). Сан-Диего: 338–353. дои : 10.1016/S0019-9958(65)90241-X . ISSN 0019-9958 . Збл 0139.24606 . Викиданные Q25938993 .

[zadeh3-6] Jump up to: ^а ^б Заде, Луизиана (январь 1973 г.). «Очерк нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений». Транзакции IEEE по системам, человеку и кибернетике . СМК-3 (1). Общество систем IEEE, человека и кибернетики : 28–44. дои : 10.1109/TSMC.1973.5408575 . ISSN 1083-4419 . Збл 0273.93002 . Викиданные Q56083455 .

[7] Маурис, Г.; Берра, Л.; Фуллой, Л.; Хаурат, А. (2000). «Нечеткая обработка ошибок измерений в приборах». Транзакции IEEE по приборостроению и измерениям . 49 (1): 89–93. Бибкод : 2000ITIM...49...89M . дои : 10.1109/19.836316 .

[8] Урбанский, Михал К.; Васовский, Януш (1 июля 2003 г.). «Нечеткий подход к теории неточности измерений». Измерение . Основы измерения. 34 (1): 67–74. Бибкод : 2003Мер...34...67U . дои : 10.1016/S0263-2241(03)00021-6 . ISSN 0263-2241 .

[9] Ферреро, А.; Саликоне, С. (2003). «Инновационный подход к определению неопределенности измерений на основе нечетких переменных». Транзакции IEEE по приборостроению и измерениям . 52 (4): 1174–1181. Бибкод : 2003ITIM...52.1174F . дои : 10.1109/TIM.2003.815993 . ISSN 0018-9456 .

[10] Кастильо, Оскар; Мелин, Патрисия; Качпшик, Януш; Педрич, Витольд (2007). «Нечеткая логика типа 2: теория и приложения». 2007 Международная конференция IEEE по гранулярным вычислениям (GRC 2007) . п. 145. дои : 10.1109/grc.2007.118 . ISBN 978-0-7695-3032-1 . S2CID 1942035 .

[saliconebook-11] Jump up to: ^а ^б ^с Саликоне, Симона (23 апреля 2018 г.). Измерение неопределенности в рамках теории доказательств . Приоли, Марко. Чам, Швейцария. ISBN 9783319741390 . OCLC 1032810109 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[12] Росс, Шелдон М. (2009). Введение в вероятность и статистику для инженеров и ученых (4-е изд.). Берлингтон: Elsevier Science. ISBN 9780080919379 . OCLC 761646775 .

[13] КЛИР †, ДЖОРДЖ Дж.; ПАРВИЗ, БЕХЗАД (1 августа 1992 г.). «Преобразования вероятности-возможности: сравнение». Международный журнал общих систем . 21 (3): 291–310. дои : 10.1080/03081079208945083 . ISSN 0308-1079 .

[14] Шафер, Гленн, 1946- (1976). Математическая теория доказательств . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0691081751 . OCLC 1859710 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )

[15] Ферреро, Алессандро; Приоли, Марко; Саликоне, Симона (2015). «Распространение неопределенности через нелинейные функции измерения с помощью совместных случайных и нечетких переменных». Материалы Международной конференции по приборостроению и измерительным технологиям IEEE 2015 (I2MTC) . Пиза, Италия: IEEE. стр. 1723–1728. дои : 10.1109/I2MTC.2015.7151540 . ISBN 9781479961146 . S2CID 22811201 .

[16] Клемент, Эрих Петер; Месиар, Радко; Пап, Эндре (1 апреля 2004 г.). «Треугольные нормы. Позиционный документ I: основные аналитические и алгебраические свойства». Нечеткие множества и системы . Достижения в области нечеткой логики. 143 (1): 5–26. дои : 10.1016/j.fss.2003.06.007 . ISSN 0165-0114 .

[zadeh1-17] Jump up to: ^а ^б Заде, Луизиана (сентябрь 1975 г.). «Нечеткая логика и приближенные рассуждения». Синтезируйте . 30 (3–4). Спрингер : 407–428. дои : 10.1007/BF00485052 . ISSN 0039-7857 . OCLC 714993477 . S2CID 46975216 . Збл 0319.02016 . Викиданные Q57275767 .

[kaufman-18] Jump up to: ^а ^б Кауфманн, А. (Арнольд), 1911- (1991). Введение в нечеткую арифметику: теория и приложения . Гупта, Мадан М. ([Новая ред.] ред.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: ISBN Ван Ностранд Рейнхольд Ко. 0442008996 . ОСЛК 24309785 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]