Неточная вероятность

Неточная вероятность обобщает теорию вероятностей, допуская частичные спецификации вероятности, и применима, когда информация скудна, расплывчата или противоречива, и в этом случае уникальное распределение вероятностей может быть трудно определить. Таким образом, теория стремится более точно представить имеющиеся знания. Неточность полезна при сборе информации от экспертов , потому что:

• Люди имеют ограниченную способность определять свои собственные субъективные вероятности и могут обнаружить, что могут указать только интервал.
• Поскольку интервал совместим с различными мнениями, анализ должен быть более убедительным для разных людей.

Введение

Неопределенность традиционно моделируется распределением вероятностей , разработанным Колмогоровым : Лаплас , де Финетти , Рэмси , Кокс , Линдли и многие другие. Однако это не было единогласно принято учеными, статистиками и вероятностниками: утверждалось, что требуется некоторая модификация или расширение теории вероятностей, поскольку не всегда можно обеспечить вероятность каждого события, особенно когда оно лишь незначительно. информация или данные доступны - ранним примером такой критики является Буля . критика работы Лапласа — или когда мы хотим смоделировать вероятности , с которыми согласна группа, а не с вероятностью отдельного человека.

Возможно, наиболее распространенным обобщением является замена одной спецификации вероятности интервальной спецификацией. Нижняя и верхняя вероятности , обозначаемые ${\underline {P}}(A)$ и ${\overline {P}}(A)$или, в более общем смысле, более низкие и верхние ожидания (предвидения), намерены восполнить этот пробел. Функция нижней вероятности является супераддитивной , но не обязательно аддитивной, тогда как верхняя вероятность является субаддитивной.Чтобы получить общее представление о теории, рассмотрим:

• особый случай с ${\underline {P}}(A)={\overline {P}}(A)$ на все мероприятия $A$ эквивалентно точной вероятности
• ${\underline {P}}(A)=0$ и ${\overline {P}}(A)=1$ для всех нетривиальных событий вообще не представляет никаких ограничений на спецификацию $P(A)$

Тогда у нас есть гибкий континуум более или менее точных моделей между ними.

Некоторые подходы, обобщенные под названием «неаддитивные вероятности» , напрямую использовать одну из этих функций множества , предполагая, что другая определена естественным образом, так что ${\underline {P}}(A^{c})=1-{\overline {P}}(A)$, с $A^{c}$ дополнение $A$. Другие родственные понятия понимают соответствующие интервалы. $[{\underline {P}}(A),{\overline {P}}(A)]$ для всех событий как базовая сущность.

История

Идея использования неточной вероятности имеет долгую историю. Первая официальная трактовка датируется, по крайней мере, серединой девятнадцатого века Джорджем Булем . который стремился примирить теории логики и вероятности. В 1920-х годах в «Трактате о вероятности » Кейнс сформулировал и применил подход к явной интервальной оценке вероятности.Работа над неточными вероятностными моделями продолжалась прерывисто на протяжении всего 20-го века, при этом значительный вклад внесли Бернард Купман , К.Э.Б. Смит , И.Дж. Гуд , Артур Демпстер , Гленн Шафер , Питер М. Уильямс , Генри Кибург , Исаак Леви и Тедди Зайденфельд . В начале 1990-х эта область начала набирать обороты после публикации Питера Уолли книги «Статистические рассуждения с неточными вероятностями». (отсюда и возник термин «неточная вероятность»).В 1990-е годы также появились важные работы Кузнецова. и Вайхзельбергер, оба используют термин «интервальная вероятность» . Теория Уолли расширяет традиционную теорию субъективной вероятности посредством цен покупки и продажи азартных игр, тогда как подход Вайхсельбергера обобщает аксиомы Колмогорова , не навязывая интерпретации.

Стандартные условия согласованности связывают назначения верхних и нижних вероятностей с непустыми замкнутыми выпуклыми множествами вероятностных распределений. Таким образом, в качестве желанного побочного продукта теория также обеспечивает формальную основу для моделей, используемых в надежной статистике. и непараметрическая статистика . Включены также концепции, основанные на интеграции Choquet , и так называемые двухмонотонные и вполне монотонные мощности , которые стали очень популярны в искусственном интеллекте под названием «функции доверия» (Демпстера-Шафера) . Более того, существует сильная связь к Шафера и Вовка понятию теоретико-игровой вероятности .

Математические модели

Термин «неточная вероятность» несколько вводит в заблуждение, поскольку точность часто ошибочно принимают за точность, тогда как неточное представление может быть более точным, чем ложно точное представление. В любом случае, этот термин, по-видимому, утвердился в 1990-х годах и охватывает широкий спектр расширений теории вероятностей , в том числе:

• наборы кредитов или наборы вероятностных распределений
• прогнозы
• Теория случайных множеств
• Теория доказательств Демпстера – Шафера
• нижняя и верхняя вероятности или интервальные вероятности
• функции убеждения
• Меры возможности и необходимости
• нижнее и верхнее превьюции
• сравнительные вероятностные порядки
• частичный порядок предпочтений
• наборы желаемых азартных игр
• p-боксы
• надежные методы Байеса

Интерпретация

Объединение многих из упомянутых выше неточных теорий вероятностей было предложено Уолли. хотя это никоим образом не первая попытка формализовать неточные вероятности. Что касается вероятностных интерпретаций , формулировка неточных вероятностей Уолли основана на субъективном варианте байесовской интерпретации вероятности. Уолли определяет верхние и нижние вероятности как особые случаи верхних и нижних предвидений и структуру азартных игр, выдвинутую Бруно де Финетти . Проще говоря, нижний прогноз лица, принимающего решение, — это самая высокая цена, по которой лицо, принимающее решение, уверен, что он или она купит рискованную игру, а верхний прогноз — это самая низкая цена, по которой лицо, принимающее решение, уверено, что он или она купит противоположное. ставки (что эквивалентно продаже первоначальной ставки). Если верхнее и нижнее прогнозы равны, то они вместе представляют справедливую цену игры, назначенную лицом, принимающим решение, — цену, по которой лицо, принимающее решение, готов принять любую сторону игры. Существование справедливой цены приводит к точным вероятностям.

Допуск неточности или разрыв между верхними и нижними предположениями лица, принимающего решения, является основным различием между точными и неточными теориями вероятности. Такие пробелы естественным образом возникают на рынках ставок , которые оказываются финансово неликвидными из-за асимметричной информации . Этот разрыв также неоднократно приводится Генри Кибургом для его интервальных вероятностей, хотя он и Исаак Леви также приводят другие причины для интервалов или наборов распределений, представляющих состояния убеждений.

Проблемы с неточными вероятностями

Одна из проблем, связанных с неточными вероятностями, заключается в том, что часто существует независимая степень осторожности или смелости, присущая использованию одного интервала, а не более широкого или узкого. Это может быть степень уверенности, степень нечеткого членства или порог принятия. Это не такая большая проблема для интервалов, которые являются нижней и верхней границами, полученными из набора вероятностных распределений, например набора априорных значений, за которыми следует кондиционализация каждого члена набора. Однако это может привести к вопросу, почему некоторые распределения включены в набор априорных значений, а некоторые нет.

Другая проблема заключается в том, почему можно быть точным в отношении двух чисел, нижней границы и верхней границы, а не одного числа, вероятности точки. Этот вопрос может быть просто риторическим, поскольку надежность модели с интервалами по своей сути выше, чем надежность модели с точечными вероятностями. Это действительно вызывает обеспокоенность по поводу неуместных заявлений о точности в конечных точках, а также в отношении точечных значений.

Более практический вопрос заключается в том, какая теория принятия решений может использовать неточные вероятности. По нечетким мерам есть работа Рональда Р. Ягера . Для выпуклых множеств распределений поучительны работы Леви. Другой подход заключается в том, имеет ли порог, контролирующий жирность интервала, большее значение для принятия решения, чем просто взятие среднего значения или использование правила принятия решения Гурвича . В литературе встречаются и другие подходы.

См. также

• Неприятие двусмысленности
• Надежное принятие решений
• Неточный процесс Дирихле

Внешние ссылки

• Общество неточной вероятности: теории и приложения
• Реализация классификатора с открытым исходным кодом, основанного на неточных вероятностях
• Группа неточной вероятности в IDSIA
• Статья в Стэнфордской энциклопедии философии о неточных вероятностях