Трактат о вероятности
| Автор | Джон Мейнард Кейнс |
|---|---|
| Язык | Английский |
| Опубликовано | 1921 |
| Место публикации | Англия |
Трактат о вероятности , [1] опубликованная Джоном Мейнардом Кейнсом в 1921 году, она предлагает гораздо более общую логику неопределенности , чем более знакомые и простые «классические» теории вероятности . [примечания 1] [3] [примечания 2] С тех пор этот подход стал известен как «логико-реляционистский» подход. [5] [примечания 3] и стали рассматриваться как плодотворное и до сих пор классическое описание логической интерпретации вероятности (или вероятностной логики ), взгляд на вероятность, который был продолжен в таких более поздних работах, как и » Карнапа «Логические основы вероятностей « Теория вероятностей Э.Т. Джейнса : логика». науки . [8]
Концепция Кейнса об этом обобщенном понятии вероятности состоит в том, что это строго логическое отношение между свидетельствами и гипотезой, степень частичной импликации. Частично это было предотвращено использованием Бертраном Расселом неопубликованной версии. [9] [примечания 4]
В обзоре 1922 года Бертран Рассел , соавтор Principia Mathematica , назвал ее «несомненно самой важной работой по теории вероятностей, появившейся за очень долгое время», и сказал, что «книга в целом представляет собой книгу, которая является невозможно похвалить слишком высоко». [17] [примечания 5]
С недавними разработками в области машинного обучения , позволяющими реализовать « искусственный интеллект » и поведенческую экономику, стала более осознанной необходимость в логическом подходе, который не предполагает какой-то недостижимой «объективности» и не полагается на субъективные взгляды его разработчиков или политиков. возобновился интерес к творчеству Кейнса. [20] [21]
Краткое содержание
[ редактировать ]Часть 1. «Фундаментальные идеи»
[ редактировать ]Здесь Кейнс обобщает традиционную концепцию числовых вероятностей на выражения неопределенности, которые не обязательно поддаются количественному измерению или даже сопоставимы. [примечания 6] [26]
В главе 1 « Значение вероятности» Кейнс отмечает, что нужно учитывать вероятность предложений, а не событий. [примечания 7]
В главе 2 « Вероятность в связи с теорией познания» Кейнс рассматривает «знание», «рациональное убеждение» и «аргумент» в отношении вероятности. [29]
В главе 3 « Измерение вероятностей» он рассматривает вероятность как не обязательно точную нормированную меру. [примечания 8] и использовал пример с зонтиком на случай дождя, чтобы проиллюстрировать идею о том, что обобщенные вероятности не всегда можно сравнивать.
Всегда ли наше ожидание дождя, когда мы отправляемся на прогулку, более вероятно, чем нет, или менее вероятно, чем нет, или скорее вероятно, чем нет? Я готов утверждать, что в некоторых случаях ни одна из этих альтернатив не работает и что решение за или против зонтика будет произвольным. Если барометр высок, но облака черные, то не всегда разумно преобладать одно над другим в нашем сознании или даже уравновешивать их, хотя будет разумно позволить капризу определять нас и тратить зря. нет времени на дебаты. [30]
Глава 4 « Принцип безразличия» обобщает и развивает некоторые возражения против чрезмерного использования «принципа безразличия» (также известного как «принцип недостаточного основания») для оправдания рассмотрения некоторых вероятностей как обязательно равных. [примечания 9]
В главе 5 « Другие методы определения вероятностей» Кейнс приводит несколько примеров распространенных заблуждений, в том числе:
Можно было бы правдоподобно предположить, что доказательства будут благоприятствовать нашему выводу, который благоприятствует благоприятным доказательствам... Хотя, однако, этот аргумент часто используется в условиях, которые, если бы они были явно сформулированы, оправдывали бы его, существуют также условия, при которых это не так, поэтому это не обязательно верно. В связи с очень обманчивым заблуждением, заключенным в приведенном выше предположении, г-н Джонсон предложил мне название « Заблуждение среднесрочной перспективы» . [33]
Он также представляет некоторые аргументы, оправдывающие использование «прямого суждения» для определения того, что одна вероятность больше другой в конкретных случаях. [примечания 10]
Глава 6 « Вес аргументов» развивает идею «веса аргументов» из главы 3 и обсуждает значимость «количества» доказательств в поддержку того или иного вероятностного суждения. [примечания 11] В главе 3 далее отмечается важность «веса» доказательств в дополнение к любой вероятности:
Это сравнение основано на балансе не между благоприятными и неблагоприятными свидетельствами, а между абсолютными объемами соответствующих знаний и релевантного незнания соответственно.
По мере того, как соответствующие доказательства, находящиеся в нашем распоряжении, увеличиваются, величина вероятности аргумента может либо уменьшаться, либо увеличиваться в зависимости от того, усиливают ли новые знания неблагоприятные или благоприятные доказательства; но, похоже, что-то увеличилось в любом случае, у нас есть более существенное основание, на котором можно основывать наши выводы. Я выражаю это, говоря, что появление новых доказательств увеличивает вес аргумента. Новые доказательства иногда уменьшают вероятность спора, но всегда увеличивают его «вес». [37]
Глава 7 представляет собой « Историческую ретроспективу», а глава 8 описывает «Частотную теорию вероятностей», отмечая некоторые ограничения и предостережения. В частности, он отмечает трудности с установлением «релевантности» [38] и, кроме того, отсутствие поддержки, которую теория дает для общего использования индукции и статистики. [39] [примечания 12]
Часть 1 завершается главой 9 « Конструктивная теория части I. Краткое изложение ». Кейнс отмечает, что будет рассмотрено в последующих частях.
Часть 2 «Основные теоремы»
[ редактировать ]Эту часть сравнивают с приложением к «Principia Mathematica» Рассела и Уайтхеда . [41] Согласно главе 12 Уайтхеда « Определение и аксиомы вывода и вероятности».
«Обладает огромным достоинством, которое сопутствует хорошему символизму: те существенные моменты, которые без него тонкие и легко упускаются из виду, с ним становятся простыми и очевидными. Также хороши аксиомы... Сама уверенность и легкость, с помощью которых он может решать трудные вопросы и обнаруживать неясности и ошибки в работах своих предшественников, иллюстрирует и в то же время почти скрывает тот прогресс, которого он достиг. [42]
В главе 14 « Основные теоремы вероятностного вывода» приводятся основные результаты по сложению, независимости умножения и значимости условных вероятностей, ведущие к изложению «обратного принципа» (теперь известного как правило Байеса ), включающего некоторые ранее неопубликованные работы из У. У. Джонсон исправляет некоторые распространенные в учебниках ошибки в формулировках и ошибки в интерпретации, включая «ошибку среднего термина». [43]
В главе 15 « Численное измерение и аппроксимация вероятностей» Кейнс развивает формализм интервальных оценок как примеров обобщенных вероятностей: перекрывающиеся интервалы не больше, меньше или равны друг другу. [примечания 13]
Часть 2 завершается главой 17 « Некоторые проблемы обратной вероятности, включая средние значения» . Концепция вероятности Кейнса значительно более подвержена изменениям в зависимости от доказательств, чем более традиционная количественная классическая вероятность. [примечания 14]
Часть 3 «Индукция и аналогия»
[ редактировать ]Здесь Кейнс рассматривает, при каких обстоятельствах традиционные индуктивные рассуждения могут быть применимы как к обычным, так и к обобщающим вероятностям, и как можно интерпретировать результаты. Он заключает, что индуктивные аргументы лишь подтверждают, что «относительно определенных свидетельств существует вероятность в их пользу». [45] [примечания 15]
В главе 21 « Продолжение природы индуктивного аргумента» обсуждается практическое применение индукции, особенно в науке.
Фундаментальное предположение о характере материальных законов, на основе которого обычно действуют ученые, кажется мне гораздо менее простым, чем простой принцип Единообразия. Похоже, они предполагают нечто гораздо более похожее на то, что математики называют принципом суперпозиции малых эффектов, или, как я предпочитаю называть это в этой связи, атомарным характером естественного закона. ...... Однако вполне могут существовать совершенно разные законы для целых разной степени сложности и законы связи между комплексами, которые нельзя сформулировать в терминах законов, соединяющих отдельные части. В этом случае естественное право было бы органическим, а не атомарным, как обычно полагают. [46] [примечания 16]
Часть 3 завершается главой 23 « Некоторые исторические заметки по индукции» . Здесь отмечается, что Фрэнсис Бэкон и Джон Стюарт Милль неявно сделали предположения, аналогичные тем, которые Кейнс критиковал выше, но, тем не менее, их аргументы дают полезную информацию. [48]
Часть 4 «Некоторые философские применения вероятности»
[ редактировать ]Здесь Кейнс рассматривает некоторые более широкие вопросы применения и интерпретации. Он завершает эту часть главой 26 « Применение вероятности к поведению» . Здесь Кейнс отмечает, что общепринятое понятие полезности как «математического ожидания» (суммирование стоимости, умноженной на вероятность) происходит от азартных игр. он сомневается в том, что стоимость «подчиняется законам арифметики», и в любом случае цитирует часть 1 как отрицающую подвластность вероятностей. Далее он отмечает, что часто «веса» имеют значение и что в любом случае они «предполагают, что равные шансы на рай или ад столь же желательны, как и достоверное достижение состояния посредственности». [49] Далее он расширяет эти возражения против того, что экономисты называют гипотезой ожидаемой полезности , особенно в отношении крайних случаев. [примечания 17]
Кейнс заканчивает, отмечая:
Вероятность того, что взятый наугад 56-летний мужчина умрет в течение суток... практически не учитывается 56-летним мужчиной, знающим, что у него хорошее здоровье. [примечания 18]
и
Для незнакомца вероятность того, что я отправлю письмо на почту без марки, может быть получена из статистики почтового отделения; для меня эти цифры тогда не имели бы ни малейшего влияния на ситуацию. [51] [примечания 19]
Часть 5 «Основы статистического вывода»
[ редактировать ]Кейнс выходит за рамки индукции и рассматривает статистические выводы, особенно те, которые тогда использовались наукой.
В главе 28 « Закон больших чисел » Кейнс приписывает Пуассону точку зрения, согласно которой «в долгосрочной перспективе... каждый класс событий в конечном итоге происходит в определенной пропорции случаев». [53] Он продолжает:
Существование многочисленных примеров Закона больших чисел или чего-то в этом роде абсолютно необходимо для важности статистической индукции. Без этого более точные части статистики, сбор фактов для предсказания будущих частот и ассоциаций, были бы почти бесполезны. Но «Закон больших чисел» вовсе не является подходящим названием для принципа, лежащего в основе статистической индукции. Гораздо лучшим названием для этого было бы «Стабильность статистических частот». Первое предполагает (как, возможно, и намеревался предположить Пуассон), но что, безусловно, неверно, что каждый класс событий демонстрирует статистическую регулярность возникновения, если только взять достаточное количество его случаев. Он также поощряет метод процедуры, при котором считается правомерным брать любую наблюдаемую степень частоты или связи, которая показана в довольно многочисленном наборе статистических данных, и предполагать при недостаточном исследовании, что, поскольку статистические данные многочисленны, наблюдаемые поэтому степень частоты стабильна. Наблюдения показывают, что некоторые статистические частоты в более узких или более широких пределах стабильны. Но стабильные частоты встречаются не очень часто, и к ним нельзя относиться легкомысленно. [54]
Ключевая глава – Глава 32 « Индуктивное использование статистических частот для апостериорного определения вероятности . Метод лексики» . Процитировав наблюдения Лексиса как о «субнормальной», так и о «сверхнормальной» дисперсии, он отмечает, что «сверхнормальная дисперсия [может] также возникнуть из-за коннексита или органической связи между последовательными членами. [55]
Он завершает главу 33 « Очерк конструктивной теории ». Он отмечает существенное ограничение традиционных статистических методов, которые тогда использовались:
Там, где стабильности вообще нет, а частоты хаотичны, результирующий ряд можно охарактеризовать как «нестатистический». Среди статистических рядовМы можем назвать «независимыми сериями» те, экземпляры которых независимы и стабильность нормальна, и «органическими сериями», те, экземпляры которых взаимозависимы, а устойчивость ненормальна, будь то в избытке или в недостатке. [56]
Кейнс также рассматривает особый случай, когда традиционное понятие вероятности кажется разумным:
Существует большая разница между утверждением «Вероятно, что каждый случай этого обобщения истинен» и утверждением «Вероятно, что любой случай этого обобщения, взятый наугад, окажется истинным». Последнее утверждение может оставаться в силе, даже если известно, что некоторые случаи обобщения ложны. Например, более вероятно, чем нет, что любое число будет делиться либо на два, либо на три, но не более вероятно, чем нет, что все числа делятся либо на два, либо на три.
Первый тип предложений обсуждался в части III. под названием Универсальная Индукция. Последнее относится к индуктивной корреляции или статистической индукции, попытка логического анализа которой должна быть моей последней задачей.
В его последнем абзаце раскрываются взгляды Кейнса на значимость его открытий, основанные на тогдашнем общепринятом взгляде на классическую науку, традиционно понимаемую в Кембридже:
Закладывая основы темы вероятности, я во многом отошел от ее концепции, которая управляла умами Лапласа и Кетле и под их влиянием доминировала в мысли прошлого столетия, хотя я верю, что Лейбниц и Юм могли бы прочитал с сочувствием то, что я написал. Но, прощаясь с Вероятностью, я хотел бы сказать следующее, по моему мнению; Практическая полезность этих способов вывода, называемых здесь универсальной и статистической индукцией, от достоверности которых зависит хваленое знание современной науки, может только существовать, и я не останавливаюсь сейчас, чтобы снова спросить, должен ли такой аргумент быть круговым, если Вселенная явлений на самом деле представляет те особые характеристики атомизма и ограниченного разнообразия, которые все более и более ясно проявляются как конечный результат, к которому стремится материальная наука…Здесь, хотя я иногда жаловался на недостаток логики, я фундаментально симпатизирую глубоким концепциям статистической теории того времени. Если современные доктрины биологии и физики останутся жизнеспособными, мы сможем получить замечательное, хотя и незаслуженное, оправдание некоторых методов традиционного исчисления вероятностей. [примечания 20]
Подразумеваемое
[ редактировать ]Вышеупомянутые предположения о неорганических «характеристиках атомизма и ограниченного разнообразия» и, следовательно, о применимости тогдашних традиционных статистических методов недолго оставались достоверными даже для естественных наук. [58] [59] [60] и некоторые экономисты, особенно в США, применили некоторые из его идей в межвоенные годы. [61] [62] хотя некоторые философы продолжали находить это «действительно очень загадочным». [63] [примечания 21] [примечания 22]
Кейнс также отметил в главе 21 ограничения «математического ожидания» для «рационального» принятия решений. [67] [68] Кейнс развил эту точку зрения в своей более известной «Общей теории занятости, процента и денег» , а затемособенно в его размышлениях о природе и роли долгосрочного ожидания в экономике, [69] особенно о духах животных . [70] [примечания 23]
Идеи Кейнса нашли практическое применение Тьюрингом и Гудом в Блетчли-парке во время Второй мировой войны, и эта практика легла в основу последующего развития «современной байесовской теории вероятности». [73] а понятие неточных вероятностей в настоящее время прочно укоренилось в статистике и имеет широкий спектр важных приложений. [74] [примечания 24]
Значение «истинной» неопределенности, выходящее за рамки простых точных вероятностей, уже подчеркивал Фрэнк Найт. [76] а дополнительные идеи Кейнса, как правило, игнорировались. [примечания 25] С конца 60-х годов даже этот ограниченный аспект стал меньше цениться экономистами и даже игнорировался или игнорировался многими экономистами-кейнсианцами. [78] После финансового краха 2007–2009 годов «основная экономическая теория» считалась находящейся «дальше» от идей Кейнса, чем когда-либо прежде. [79] Но впоследствии произошло частичное «возвращение мастера». [3] что привело к призывам к «смене парадигмы», развивающемуся на основе идей Кейнса о «природе поведения в условиях неопределенности». [80]
На мероприятии, посвященном столетию, организованном Оксфордским университетом при поддержке Института Алана Тьюринга «Трактат» и Фрэнка Найта , отмечалось: «Риск, неопределенность и прибыль» [81]
В книге «Риск, неопределенность и прибыль» Найт выдвинул принципиальную разницу между риском, когда эмпирическая оценка неизвестных результатов все еще может быть применима, и неопределенностью, когда никакое количественное измерение не является действительным, а является субъективной оценкой. В «Трактате о вероятности» Кейнс утверждал, что концепция вероятности должна быть связана с логическим следствием предпосылок к гипотезам, в отличие от классической количественной точки зрения на вероятность.
Фундаментальная неопределенность, предложенная в обеих работах, глубоко повлияла на развитие экономической теории и теории вероятностей в прошлом столетии и до сих пор находит отклик в нашей жизни, учитывая взлеты и падения, которые переживает мировая экономика.
Однако ее часто считали более философской по своей природе, несмотря на обширные математические формулировки и ее значение для практики. [82] [83] [8]
Ссылки
[ редактировать ]Информационные примечания
- ^ Например, Главы. III, IX. [2]
- ^ Кейнс обсуждает логическое использование термина «определенность» в главе II. [4]
- ↑ Кейнс считал свой «Трактат» первым, логически рассматривающим вероятность после Джона Венна , «Логики шанса» посвященной « частотной вероятности ». [6] [7]
- ↑ Это было развитие студенческих работ 1904 и 1905 годов для Кембриджских апостолов и его Королевского колледжа 1909 года, Кембриджского математического трактата, первоначально задуманного как часть работы по «философии практики», вдохновленной [10] [11] Дж. Э. Мур [12] и Рассел [13] при поддержке У.Е. Джонсона и подготовлен к публикации в 1913 году, но отложен из-за Великой войны и впоследствии исправлен в 1920 году. [14] [15] [16]
- ↑ К 1948 году Рассел отметил легко устранимый «формальный дефект», не имеющий значения для использования теории. [18] Лишь в 1980-х годах этот подход стал считаться практическим, выходящим за рамки «игрушечных» примеров. [19]
- ↑ Частично вдохновлено Муром . [22] В главе IV Кейнс цитирует Джорджа Буля. » «Законы мышления [23] и более поздний пример Буля, [24] после того, как привел свои собственные примеры в главе III. [25]
- ^ Буля Здесь Кейнс следует законам мышления , [27] но стараясь всегда связывать вероятность с доказательствами и предположениями. [28]
- ^ В традиционной теории вероятностей вероятность является нормированной мерой. Кейнс следует этому, но не предполагает, что вещь, предположительно измеряемая, имеет точную меру в математическом смысле .
- ^ Кейнс следует «Принципу вероятности » фон Криса 1888 г. [31] и Буль (Ed. Phil. Trans. vol. xxi. p. 624) [32]
- ^ Например, несколько примеров урн. [34]
- ↑ Кейнс приводит несколько отрывочных прецедентов, но, похоже, в основном это его новаторство. [35] В настоящее время Кейнс не уверен, имеет ли это какое-либо «практическое значение». [36]
- ^ Уайтхед предоставил Кейнсу для критики более математическую версию частотной теории. [40]
- ^ равными, а могут и не быть равными, так что интеграл Это следует за исчислением, в котором функции имеют верхний и нижний интегралы, которые могут быть не обязательно существует и функция не обязательно интегрируема .
- ^ Например, в главе XVII рассматриваются доказательства справедливости монеты, полученные в результате подбрасывания монеты. [44]
- ^ То, что утверждает этот аргумент в этом смысле, может быть правдой, тогда как то, что он утверждает (например, «все лебеди белые»), может быть ложным.
- ↑ Это предвосхищает идею холизма, разработанную на основе идей Мура близким политическим другом Кейнса Яном Смэтсом , с которым Кейнс работал во время Версальской мирной конференции. [47]
- ^ Цитируя Даламбера (1768). [50]
- ↑ Цитирую Бюффона . [51]
- ^ Позже это повторяется в последней главе. [52]
- ↑ Здесь Кейнс выражает «сочувствие» тогдашнему общепринятому мнению либо о том, что природа не была «органической» в смысле главы 21. [46] или, по крайней мере, к этому можно было бы разумно относиться как к таковому. Но эта точка зрения не всегда распространялась на человеческие дела (см. « Экономические последствия мира»). [57] ).
- ↑ Философ Брейтуэйт позже написал разоблачающее предисловие к изданию «Собрание сочинений», полностью игнорируя кейнсовское понятие «веса». [64]
- ^ Фрэнк Рэмси (математик) Иногда считалось, что (например, Брейтуэйт) считал, что обычные вероятности существуют всегда, но на самом деле он написал: «Почему случайные события подчиняются закону?» Фундаментальный ответ но это не так, если принять во внимание всю область случайных событий, никакие обобщения о них невозможны (рассмотрим, например, инфекционные заболевания, дактили в гекзаметрах, смерть от ударов лошади, рождение великих людей)». [65] Фактически Рэмси пошел дальше Кейнса, отметив, что безусловные вероятности зависят от наличия некоторого известного или предполагаемого предела разнообразия. [66]
- ^ «Трактат» предшествует теории игр на два десятилетия, но предвосхищает ее выводы об ограничениях. [71] [72]
- ^ До недавнего времени среди экономистов было распространено мнение, что «несмотря на проявление математической символики, [это] не является вкладом в математическую теорию вероятностей». [75]
- ↑ Даже в 2020 году в известной книге не упоминаются идеи Кейнса, помимо существования «радикальной неопределенности» как «непознаваемых неизвестных». [77]
Цитаты
- ^ Кейнс 1921 .
- ^ Кейнс 1921 , с. 34 112.
- ^ Jump up to: а б Скидельский 2009 .
- ^ Кейнс 1921 , с. 15.
- ^ «Джон Мейнард Кейнс, 1883-1946» . Новая школа . Архивировано из оригинала 23 июля 2011 года.
- ^ Венн, Джон (1888). Логика случая: эссе об основах и области теории вероятностей с особым упором на ее логические аспекты и применение к моральным и социальным наукам и статистике (PDF) (3-е изд.). Лондон и Нью-Йорк: Макмиллан . Проверено 30 ноября 2023 г.
- ^ Библиография Кейнса, стр. 429 и далее.
- ^ Jump up to: а б Педен, Уильям (сентябрь 2021 г.). «Вероятность и аргументы: наследие Кейнса» . Кембриджский экономический журнал . 45 (5): 933–950 . Проверено 29 декабря 2023 г.
- ^ Предисловие к Рассел, Бертран (1912). Проблемы философии . Лондон: Уильямс и Норгейт.
- ^ Кейнс 1949 .
- ^ Скидельский 1983 , с. 55, 132–160.
- ^ Мур, Джордж Эдвард (1903). Принципы этики . Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
- ^ Рассел, Бертран (1903). Принципы математики . Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
- ^ Скидельский 1983 , стр. 254–256, 259, 273–4, 285, 381.
- ^ Скидельский 1992 , стр. 57–89.
- ^ Харрод 1951 , с. 153.
- ^ Рассел, Бертран (июль 1948 г.). «Обзор: Трактат о вероятности Джона Мейнарда Кейнса». Математический вестник . 32 (300): 152–159. дои : 10.2307/3609931 . JSTOR 3609931 .
- ^ Рассел, Бертран (1948). Человеческие знания: их объем и пределы . Лондон: Джордж Аллен и Анвин. п. 397.
- ^ Гейфман, Х.; Снир, М. (1982). «Вероятности в богатых языках, тестирование и случайность». Дж. Симб. Бревно . 47 (3): 495–548. дои : 10.2307/2273587 .
- ^ Хосни, Хайкель; Ландес, Юрген (19 июня 2023 г.). «Логические взгляды на основы вероятности» . Открытая математика . 21 (1) . Проверено 29 декабря 2023 г.
- ^ Арена, Ричард; Насика, Эрик (2021). «Методология Кейнса и анализ поведения экономических агентов в сложном мире». Политическое обозрение экономики . 131 (3): 371–402. дои : 10.3917/redp.313.0053 .
- ^ Скидельский 1983 , с. 152 153.
- ^ Кейнс 1921 , с. 50н.
- ^ Кейнс 1921 , с. 43н.
- ^ Кейнс 1921 , с. 22 и след.
- ^ Джеррад, Билл (2003). Джон Эдвард Кинг (ред.). Элгар-компаньон по посткейнсианской экономике . Издательство Эдварда Элгара. п. 161 . ISBN 978-1-84064-630-6 .
- ^ Кейнс 1921 , с. 2.
- ^ Харрод 1951 , стр. 775.
- ^ Кейнс 1921 , с. 9.
- ^ Кейнс 1921 , с. 30.
- ^ Кейнс 1921 , стр. 42–46.
- ^ Кейнс 1921 , с. 43.
- ^ Кейнс 1921 , с. 68.
- ^ Кейнс 1921 , стр. 69, 70.
- ^ Кейнс 1921 , стр. 77, 78.
- ^ Кейнс 1921 , с. 71,76.
- ^ Кейнс 1921 , с. 71.
- ^ Кейнс 1921 , с. 104.
- ^ Кейнс 1921 , стр. 107–110.
- ^ Харрод 1951 , с. 773.
- ^ Харрод 1951 , с. 776.
- ^ Харрод 1951 , с. 157.
- ^ Кейнс 1921 , стр. 148–155.
- ^ Кейнс 1921 , с. 169.
- ^ Кейнс 1921 , с. 221.
- ^ Jump up to: а б Кейнс 1921 , с. 249.
- ^ Скидельский 1983 , стр. 357, 368.
- ^ Кейнс 1921 , стр. 271, 272.
- ^ Кейнс 1921 , стр. 311, 312.
- ^ Кейнс 1921 , с. 314.
- ^ Jump up to: а б Кейнс 1921 , с. 322.
- ^ Кейнс 1921 , с. 412.
- ^ Кейнс 1921 , с. 334.
- ^ Кейнс 1921 , с. 336.
- ^ Кейнс 1921 , с. 401.
- ^ Кейнс 1921 , с. 420.
- ^ Кейнс 1919 , с. 1.
- ^ Уайтхед, Альберт Норт (1929). Процесс и реальность: Очерк космологии . Лондон и Нью-Йорк: Макмиллан. стр. 312–314.
- ^ Отчет столетнего собрания . Лондон: Британская ассоциация содействия развитию науки. 1931. С. 9, 17.
- ^ Кейнс 1919 .
- ^ Биддл, Дж. Э. (2021). «Трактат Кейнса, статистические выводы и статистическая практика в межвоенной экономике в Соединенных Штатах» . Журнал истории экономической мысли . 43 (4): 590–603. дои : 10.1017/S1053837221000389 .
- ^ Харрод 1951 , с. 601.
- ^ Скидельский 1992 , с. 71.
- ^ Кейнс, Джон Мейнард (1973). Джонсон, Элизабет (ред.). Трактат о вероятности (1921) (Том VIII Собрания сочинений под ред.). Макмиллан/КУБОК.
Тезис Кейнса о том, что некоторые вероятностные отношения измеримы, а другие неизмеримы, приводит к невыносимым трудностям без каких-либо компенсирующих преимуществ.
- ^ Ф. П. Рэмси (1928) «Дальнейшие соображения», в Рэмси, 1931, « Основы математики и другие логические эссе» , гл. VIII, стр. 210,211, под редакцией Р.Б. Брейтуэйта Harcourt, Brace and Company, 1999 г. , Лондон: Кеган, Пол, Тренч, Трубнер и компания, Нью-Йорк: электронное издание
- ^ Харрод 1951 , с. 777.
- ^ Кейнс 1921 , стр. 311–316.
- ^ Рассел, Бертран (1948). Человеческие знания: их объем и пределы . Лондон: Джордж Аллен и Анвин. стр. 396–397.
- ^ Кейнс 1936 , стр. 35 = 38, 96–104.
- ^ Кейнс 1936 , с. 161.
- ^ Фон Нейман , Джон; Моргенштерн , Оскар (1953). Теория игр и экономического поведения (3-е изд.). Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. стр. 10–15, 35–45. ISBN 0-691-00362-9 .
- ^ Бинмор , Кен (2009). Рациональные решения . Принстон и Оксфорд: Издательство Принстонского университета. стр. 154–174. ISBN 978-0-691-13074-3 .
- ^ Хорошо, Ирвинг Дж. (1983). Хорошее мышление: основы теории вероятности и ее применения (Дувр, Нью-Йорк, тираж, 2009 г.). Миннеаполис: Издательство Университета Миннеаполиса. стр. ix–xvii, 123–127.
- ^ Уолли, Питер (1991). Статистические рассуждения с неточными вероятностями (Монографии по статистике и прикладной вероятности, 42 изд.). Лондон и др.: Чепмен и Холл.
- ^ Харрод 1951 , стр. 156, 157.
- ^ Риск, неопределенность и прибыль . Бостон и Нью-Йорк: Houghton, Mifflin Company. 1921 год . Проверено 7 октября 2023 г. - из Интернет-архива .
- ^ Кей, Джон; Кинг, Мервин (2020). Радикальная неопределенность: принятие решений для неизвестного будущего . Лондон: Литтл Браун.
- ^ Скидельский 2009 , стр. xvi, 99–109.
- ^ Скидельский 2009 , с. 109.
- ^ Скидельский 2009 , стр. 111, 112.
- ^ «Неопределенность и риск: семинар, посвященный столетнему юбилею публикации работ Фрэнка Найта «Риск, неопределенность и прибыль» и «Трактата о вероятности» Джона Мейнарда Кейнса » . Институт Алана Тьюринга . Проверено 3 декабря 2023 г.
- ^ Скидельский 1992 .
- ^ Броуд, CD (январь 1922 г.). «Обзор: Трактат о вероятности Дж. М. Кейнса». Разум . Новая серия. 31 (121). Издательство Оксфордского университета от имени Ассоциации разума: 72–85. дои : 10.1093/mind/XXXI.121.72 . JSTOR 2249688 .
Библиография
- Харрод , РФ (1951). Жизнь Джона Мейнарда Кейнса . Лондон: Макмиллан.
- Кейнс, Джон Мейнард (1919). Экономические последствия мира (1-е изд.). Лондон: Macmillan & Co., Limited. п. 279 . Проверено 2 июня 2016 г. - из Интернет-архива.
- Кейнс, Джон Мейнард (1921). Трактат о вероятности . Лондон: Макмиллан . Проверено 2 декабря 2023 г.
- Кейнс, Джон Мейнард (1922). Пересмотр договора, являющийся продолжением книги «Экономические последствия мира» . Лондон: Макмиллан . Проверено 2 декабря 2023 г.
- Кейнс, Джон Мейнард (1936). Общая теория занятости, процента и денег . Лондон: Макмиллан.
- Кейнс, Джон Мейнард (1949). Два мемуара: доктор Мельхиор — побежденный враг и мои ранние убеждения . Лондон: Руперт Харт-Дэвис.
- Скидельский, Роберт (1983). Джон Мейнард Кейнс: обманутые надежды, 1883–1920 гг . Макмиллан.
- Скидельский, Роберт (1992). Джон Мейнард Кейнс: экономист как спаситель 1920-1937 гг . Лондон: Макмиллан.
- Скидельский, Роберт (2000). Джон Мейнард Кейнс: Борьба за свободу, 1937–1946 гг . Лондон: Макмиллан.
- Скидельский, Роберт (2009). Кейнс: Возвращение Мастера . Общественные дела .
