Коробка вероятности

Чтобы узнать о других значениях слова «p-box», см. P-box .

P-box (ящик вероятности).

Коробка вероятности (или p-коробка ) — это характеристика неопределенных чисел, состоящая как из алеаторических, так и из эпистемических неопределенностей , которая часто используется в анализе рисков или количественном моделировании неопределенности , где численные расчеты необходимо выполнять . Анализ границ вероятности используется для выполнения арифметических и логических вычислений с помощью p-блоков.

Пример p-блока показан на рисунке справа для неопределенного числа x, состоящего из левой (верхней) границы и правой (нижней) границы распределения вероятностей для x . Границы совпадают для значений x ниже 0 и выше 24. Границы могут иметь практически любую форму, включая ступенчатые функции, при условии, что они монотонно возрастают и не пересекаются друг с другом. P-блок используется для одновременного выражения неопределенности (эпистемической неопределенности), которая представлена ​​шириной между левым и правым краями p-блока, и изменчивости (алеаторной неопределенности), которая представлена ​​общим наклоном p-блока. -коробка.

Интерпретация

Вероятность того, что x равно 2,5 или меньше, составляет от 4% до 36%.

95-й процентиль находится между 9 и 16.

Двойная интерпретация p-блоков

Существуют двойственные интерпретации p-box. Его можно понимать как границу кумулятивной вероятности, связанной с любым значением x . Например, в p-блоке, изображенном справа, вероятность того, что значение будет равно 2,5 или меньше, составляет от 4% до 36%. P-блок также можно понимать как границу значения x на любом конкретном уровне вероятности. В примере 95-й процентиль обязательно будет между 9 и 16.

Если левая и правая границы p-блока обязательно охватывают неизвестное распределение, такие границы называются строгими или абсолютными. Границы также могут быть наиболее точными из возможных таких границ функции распределения с учетом доступной информации о ней, и в этом случае границы называются наилучшими из возможных . Однако обычно может случиться так, что не каждое распределение, находящееся в этих границах, является возможным распределением для неопределенного числа, даже если границы строгие и наилучшие из возможных.

Математическое определение

P-блоки задаются левыми и правыми границами функции распределения (или, что то же самое, функции выживания ) величины и, необязательно, дополнительной информацией, ограничивающей среднее значение и дисперсию величины указанными интервалами, а также заданными ограничениями на ее форму распределения ( семейство, унимодальность , симметрия и др.). P-блок представляет собой класс распределений вероятностей, соответствующих этим ограничениям.

Функция распределения действительных чисел $\mathbb {R}$, является функцией $D:\mathbb {R} \rightarrow [0,1],$ для которого D ( x ) ≤ D ( y ) всякий раз, когда x < y , и предел D в +∞ равен 1, а предел в −∞ равен 0. p-блок - это набор функций распределения F, удовлетворяющих следующим ограничениям , для заданных функций распределения F F и заданных границ 1 _≤ m 2 _{ожидаемого} значения распределения и заданных границ v ₁ ≤ v ₂ дисперсии m распределения.

${\begin{aligned}&{\underline {F}}(x)\leq F(x)\leq {\overline {F}}(x),\\[4pt]&m_{1}\leq \int _{-\infty }^{\infty }x\,\mathrm {d} F(x)\leq m_{2}\\[4pt]&v_{1}\leq \int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\,\mathrm {d} F(x)-\left(\int _{-\infty }^{\infty }x\,\mathrm {d} F(x)\right)^{2}\leq v_{2}\\[4pt]&F\in \mathbf {F} \end{aligned}}$

где интегралы вида ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\cdots \,\mathrm {d} F(x)}$ являются интегралами Римана–Стилтьеса .

Таким образом, ограничения заключаются в том, что функция распределения F находится в заданных пределах, среднее значение распределения находится в интервале m дисперсия распределения находится в интервале v , а распределение находится в пределах некоторого допустимого класса распределений F. , Интегралы Римана–Стилтьеса не зависят от дифференцируемости F .

ту же роль П-блоки выполняют для случайных величин , что и верхняя и нижняя вероятности для событий . В надежном байесовском анализе p-box также известен как диапазон распределения . p-блок можно построить как замкнутую окрестность распределения $F\in \mathbb {D}$ под метрикой Колмогорова , Леви или Вассерштейна . P-box — это грубый, но удобный в вычислительном отношении вид набора удостоверений . В то время как набор доверенностей определяется исключительно с точки зрения ограничения F как выпуклый набор распределений (которые автоматически определяют F , F , m и v , но часто их очень трудно вычислить), p-блок обычно имеет неопределенный набор распределений. ограничивающая спецификация F или даже отсутствие ограничений, так что F = $\mathbb {D}$. Вычисления с помощью p-блоков, в отличие от наборов доверенностей, часто весьма эффективны, и известны алгоритмы для всех стандартных математических функций.

p-блок минимально задается своими левыми и правыми границами, и в этом случае другие ограничения считаются пустыми как ${\textstyle \left\{{\overline {F}},{\underline {F}},[-\infty ,+\infty ],[0,+\infty ],\mathbb {D} \right\}.}$ Даже если эти вспомогательные ограничения бесполезны, все равно могут существовать нетривиальные границы среднего значения и дисперсии, которые можно вывести из левого и правого краев p-блока.

Откуда берутся p-boxes

П-блоки могут возникать из различных видов неполной информации о количестве, и существует несколько способов получить п-блоки на основе данных и аналитических суждений.

Распределительные п-боксы

Когда известно, что распределение вероятностей имеет определенную форму (например, нормальное, равномерное, бета, Вейбулла и т. д.), но его параметры могут быть заданы только неточно в виде интервалов, результат называется распределительным p-блоком или иногда параметрическим п-бокс. Такой p-блок обычно легко получить, охватывая экстремальные распределения с учетом возможных параметров. Например, если известно, что величина нормальна со средним значением где-то в интервале [7,8] и стандартным отклонением в интервале [1,2], левый и правый края p-блока можно найти путем обертывания функции распределения четырех вероятностных распределений, а именно нормального (7,1), нормального (8,1), нормального (7,2) и нормального (8,2), где нормальное (μ, σ) представляет собой нормальное распределение с среднее значение µ и стандартное отклонение σ. Все распределения вероятностей, которые являются нормальными и имеют средние значения и стандартные отклонения внутри этих соответствующих интервалов, будут иметь функции распределения, которые полностью попадают в этот p-блок. Левая и правая границы охватывают множество ненормальных распределений, но они будут исключены из p-блока, если указать нормальность в качестве семейства распределений.

П-боксы, не требующие распространения

Даже если такие параметры, как среднее значение и дисперсия распределения, известны точно, распределение нельзя точно указать, если неизвестно семейство распределений. В таких ситуациях оболочки всех распределений, соответствующих заданным моментам, могут быть построены из неравенств, таких как неравенства Маркова , Чебышева , Кантелли или Роу. которые включают в себя все функции распределения с указанными параметрами. Они определяют p-блоки без распределения, поскольку не делают никаких предположений о семействе или форме неопределенного распределения. Когда доступна качественная информация, например, что распределение унимодальное , p-блоки часто можно существенно ужесточить.

П-боксы от неточных измерений

Когда можно измерить всех членов популяции или когда данных случайной выборки имеется в изобилии, аналитики часто используют эмпирическое распределение для суммирования значений. Когда эти данные имеют значительную неопределенность измерения, представленную интервальными диапазонами для каждого значения выборки, эмпирическое распределение может быть обобщено до p-блока. Такой p-блок можно определить путем суммирования нижних конечных точек всех интервальных измерений в кумулятивное распределение, образующее левый край p-блока, и суммирования верхних конечных точек для формирования правого края. Чем шире неопределенность измерения, тем шире результирующий p-блок.

Интервальные измерения также могут использоваться для обобщения оценок распределения на основе метода сопоставления моментов или максимального правдоподобия , которые делают предположения о форме, такие как нормальность или логнормальность и т. д. Хотя к неопределенности измерения можно относиться строго, результирующий p-блок распределения обычно не будет строгим, если это выборочная оценка, основанная только на подвыборке возможных значений. Но поскольку эти расчеты учитывают зависимость между параметрами распределения, они часто дают более узкие p-блоки, чем можно было бы получить, рассматривая интервальные оценки параметров как несвязанные, как это делается для p-блоков распределения.

Полосы уверенности

Может возникнуть неопределенность в отношении формы распределения вероятностей, поскольку размер выборки эмпирических данных, характеризующих его, невелик. Для учета этой неопределенности выборки в отношении формы распределения было предложено несколько методов традиционной статистики, включая методы Колмогорова-Смирнова. и подобные доверительные интервалы , которые свободны от распределения в том смысле, что они не делают никаких предположений о форме основного распределения. Существуют родственные методы доверительного интервала, которые делают предположения о форме или семействе основного распределения, что часто может привести к более узким доверительным интервалам. Для построения доверительных интервалов необходимо выбрать вероятность, определяющую уровень достоверности, которая обычно должна быть меньше 100%, чтобы результат был непустым. Доверительные интервалы на уровне достоверности (1 – α)% определяются таким образом, что в (1 – α)% случаев, когда они создаются, они полностью охватывают распределение, из которого данные были выбраны случайным образом. Доверительный интервал функции распределения иногда используется в качестве p-блока, даже если он представляет собой статистические, а не строгие или надежные границы. Такое использование неявно предполагает, что истинное распределение, каким бы оно ни было, находится внутри p-блока.

Аналогичная байесовская структура называется байесовским p-блоком. который включает в себя все распределения, имеющие параметры в подмножестве пространства параметров, соответствующем некоторому заданному уровню вероятности из байесовского анализа данных. Это подмножество является достоверной областью для параметров с учетом данных, которые могут быть определены как область с наибольшей апостериорной плотностью вероятности, или область с наименьшими апостериорными потерями, или каким-либо другим подходящим способом. Чтобы построить байесовский p-блок, необходимо выбрать априорное распределение в дополнение к указанию уровня достоверности (аналога уровня достоверности).

С-боксы

C-box (или структуры доверия) ) являются оценками фиксированных вещественных величин, которые зависят от данных случайной выборки и кодируют Неймана. доверительные интервалы на каждом уровне уверенности. Они характеризуют неопределенность вывода в отношении оценки в виде набора фокальных интервалов (или наборов), каждый из которых имеет связанную с ним доверительную (вероятностную) массу. Эту коллекцию можно изобразить в виде p-блока и можно спроецировать доверительную интерпретацию посредством анализа границ вероятности .

В отличие от традиционных доверительных интервалов, которые обычно не могут быть распространены посредством математических расчетов, c-блоки можно использовать в расчетах способами, сохраняющими возможность получения произвольных доверительных интервалов для результатов. Например, их можно использовать для вычисления блоков вероятности как для прогнозируемых, так и для распределений толерантности.

C-box можно рассчитать различными способами непосредственно на основе данных случайной выборки. Существуют доверительные интервалы как для параметрических задач, где известно семейство базового распределения, из которого были сгенерированы случайным образом данные (включая нормальное, логнормальное, экспоненциальное, Бернулли, биномиальное, Пуассона), так и для непараметрических задач, в которых форма основного распределения неизвестно. Доверительные рамки учитывают неопределенность в отношении параметра, возникающую в результате выводов из наблюдений, включая влияние небольшого размера выборки, а также потенциально влияние неточности данных и демографическую неопределенность, которая возникает при попытке охарактеризовать непрерывный параметр на основе дискретных данных. наблюдения.

C-box тесно связан с несколькими другими концепциями. Они сравнимы с бутстрап-дистрибутивами . и являются неточными обобщениями традиционных доверительных распределений, таких как Стьюдента t -распределение . Подобно этому, c-блоки кодируют частотные доверительные интервалы для интересующих параметров на каждом уровне достоверности. Они аналогичны байесовским апостериорным распределениям в том, что они характеризуют неопределенность вывода статистических параметров, оцененных на основе разреженных или неточных выборочных данных, но они могут иметь чисто частотную интерпретацию, что делает их полезными в инженерии, поскольку они обеспечивают гарантию статистических характеристик за счет многократного использования. . В случае параметра Бернулли или биномиального параметра скорости c-блок математически эквивалентен неточной бета-модели Уолли. с параметром s =1, который является частным случаем неточного процесса Дирихле , центральной идеи робастного байесовского анализа .

В отличие от доверительных интервалов , которые представляют собой доверительные пределы для всей функции распределения на определенном уровне достоверности, c-блоки кодируют доверительные интервалы для фиксированной величины на всех возможных уровнях достоверности одновременно.

Конверты возможных раздач

Когда существует несколько возможных распределений вероятностей, которые могут описывать переменную, и аналитик не может исключить ни одно из них на основе доступной информации, p-блок может быть построен как оболочка различных кумулятивных распределений. Также возможно учесть неопределенность относительно того, какое распределение является правильным, с помощью исследования чувствительности, но такие исследования становятся более сложными по мере роста числа возможных распределений и комбинаторно более сложными по мере увеличения числа переменных, относительно которых может быть несколько переменных. раздачи увеличиваются. Охватывающий подход более консервативен в отношении этой неопределенности, чем различные альтернативные подходы к управлению неопределенностью, которые усредняют общие распределения в стохастических смесей моделях или средних значениях байесовской модели . Неизвестное истинное распределение, скорее всего, будет принадлежать классу распределений, охватываемому p-блоком. Напротив, если предположить, что истинное распределение является одним из усредняемых распределений, то среднее распределение обязательно будет отличаться от неизвестного истинного распределения.

П-боксы из результатов расчета

P-блоки могут возникать в результате вычислений, включающих распределения вероятностей, или включающих как распределение вероятностей, так и интервал, или включающих другие p-блоки. Например, сумма величины, представленной распределением вероятностей, и величины, представленной интервалом, обычно будет характеризоваться p-блоком. Сумма двух случайных величин, характеризующихся четко определенными распределениями вероятностей, является еще одним точным распределением вероятностей, обычно только тогда, когда копула (функция зависимости) между двумя слагаемыми полностью задана. Если их зависимость неизвестна или указана лишь частично, сумму будет более уместно представить в виде p-блока, поскольку разные отношения зависимости приводят к множеству разных распределений суммы. Первоначально Колмогоров задался вопросом, какие границы можно поставить на распределение суммы, если ничего не известно о зависимости между распределениями слагаемых. Ответ на этот вопрос был дан только в начале 1980-х годов. С тех пор формулы и алгоритмы расчета сумм были обобщены и распространены на разности, произведения, частные и другие бинарные и унарные функции при различных предположениях о зависимости.

Эти методы, называемые анализом границ вероятности , предоставляют алгоритмы для оценки математических выражений, когда существует неопределенность в отношении входных значений, их зависимостей или даже формы самого математического выражения. Вычисления дают результаты, которые гарантированно охватывают все возможные распределения выходной переменной, если входные p-блоки также обязательно охватывают свои соответствующие распределения. В некоторых случаях рассчитанный p-блок также будет наилучшим из возможных в том смысле, что только внутри p-блока находятся возможные распределения, но это не всегда гарантируется.Например, набор вероятностных распределений, который может возникнуть в результате сложения случайных значений без предположения независимости от двух (точных) распределений, обычно является подходящим подмножеством всех распределений, допускаемых вычисленным p-блоком. То есть внутри выходного p-блока существуют распределения, которые не могли бы возникнуть ни при какой зависимости между двумя входными распределениями. Однако выходной p-блок всегда будет содержать все возможные распределения, при условии, что входные p-блоки обязательно заключают в себе соответствующие базовые распределения. Этого свойства часто бывает достаточно для использования в анализ рисков .

Особые случаи

Точные распределения вероятностей и интервалы являются особыми случаями p-блоков, равно как и действительные значения и целые числа . Поскольку распределение вероятностей выражает изменчивость и лишено неопределенности, левая и правая границы его p-блока совпадают для всех значений x при значении кумулятивной функции распределения (которая является неубывающей функцией от нуля до единицы). Математически распределение вероятностей F представляет собой вырожденный p-блок { F , F , E( F ), V( F ), F }, где E и V обозначают операторы ожидания и дисперсии. Интервал выражает только неопределенность. Его p-блок выглядит как прямоугольный блок, верхняя и нижняя границы которого скачут от нуля до единицы на концах интервала. Математически интервал [ a , b ] соответствует вырожденному p-блоку {H( a ), H( b ), [ a , b ], [0, ( b – a ) ² /4], $\mathbb {D}$}, где H обозначает ступенчатую функцию Хевисайда . Точное скалярное число c лишено обоих видов неопределенности. Его p-блок — это просто ступенчатая функция от 0 до 1 при значении c ; математически это {H( c ), H( c ), c , 0, H( c )}.

Приложения

П-блоки и анализ границ вероятности использовались во многих приложениях, охватывающих многие дисциплины инженерии и науки об окружающей среде, в том числе:

• Инженерное проектирование
• Экспертное выявление
• Анализ распределения чувствительности видов
• Анализ чувствительности в аэрокосмической технике продольной нагрузки передней юбки ракеты «Ариан-5» -носителя
• ОДУ- модели химического реактора динамики
• Фармакокинетическая изменчивость вдыхаемых ЛОС
• Моделирование подземных вод
• Граничная вероятность отказа для последовательных систем
• Загрязнение тяжелыми металлами почвы на металлургическом заводе заброшенном
• Распространение неопределенности для засоления моделей риска
• Оценка безопасности системы электроснабжения
• Оценка риска загрязненных земель
• Инженерные системы очистки питьевой воды
• Расчет уровней просеивания почвы
• Анализ риска для здоровья человека и экологии, проведенный Агентством по охране окружающей среды США, связанный с загрязнением ПХБ на Housatonic River Superfund . территории
• Экологическая оценка объекта устья Кальказье Суперфонда
• Аэрокосмическая техника сверхзвуковой тяги сопла
• Верификация и валидация научных вычислений для инженерных задач
• Токсичность окружающей среды ртутью для мелких млекопитающих загрязнения
• Моделирование времени распространения загрязнения в подземных водах
• Анализ надежности
• Оценка исчезающих видов для реинтродукции опоссума Ледбитера
• Воздействие на насекомоядных птиц сельскохозяйственных пестицидов
• изменения климата Прогнозы
• Время ожидания в системах массового обслуживания
• исчезновения Анализ риска пятнистой совы на Олимпийском полуострове
• Биозащита от интродукции инвазивных видов или сельскохозяйственных вредителей
• методом конечных элементов Структурный анализ
• Смета расходов
• ядерных арсеналов Сертификация
• гидроразрыва пласта, Риск приводящий к загрязнению воды

Критика

Никакой внутренней структуры . Поскольку p-блок сохраняет мало информации о какой-либо внутренней структуре внутри границ, он не позволяет выяснить, какие распределения внутри p-блока являются наиболее вероятными, а также представляют ли края очень маловероятные или явно вероятные сценарии. В некоторых случаях это может усложнить принятие решений, если край p-блока ограничивает порог принятия решения.

Теряет информацию . Для достижения вычислительной эффективности p-блоки теряют информацию по сравнению с более сложными структурами Демпстера-Шейфера или наборами удостоверений . В частности, p-блоки теряют информацию о моде (наиболее вероятном значении) величины. Эту информацию может быть полезно сохранить, особенно в ситуациях, когда количество является неизвестным, но фиксированным значением.

Традиционная вероятность достаточна . Некоторые критики p-блоков утверждают, что точно заданных распределений вероятностей достаточно, чтобы охарактеризовать неопределенность всех видов. Например, Линдли утверждал: «Какой бы подход к неопределенности ни подходил к ней, вероятность — единственный разумный способ о ней думать». Эти критики утверждают, что бессмысленно говорить о «неопределенности вероятности» и что традиционная вероятность представляет собой законченную теорию, достаточную для характеристики всех форм неопределенности. В условиях этой критики пользователи p-box просто не предприняли необходимых усилий для определения соответствующих точно заданных функций распределения.

Теория возможностей может добиться большего . Некоторые критики утверждают, что в некоторых случаях имеет смысл работать с распределением возможностей , а не работать отдельно с левым и правым краями p-блоков. Они утверждают, что набор вероятностных распределений, индуцированный распределением возможностей, является подмножеством тех, которые заключены в края аналогичного p-блока. Другие выдвигают контраргумент, что с распределением возможностей нельзя добиться большего, чем с p-блоком.

См. также

• неопределенное число
• интервал
• кумулятивное распределение вероятностей
• верхняя и нижняя вероятности
• набор учетных данных
• анализ рисков
• распространение неопределенности
• анализ границ вероятности
• Теория Демпстера – Шафера и раздел о структуре Демпстера – Шафера
• неточная вероятность
• одновременные доверительные интервалы функций распределения и выживания с использованием отношений правдоподобия
• поточечно- биномиальные доверительные интервалы для F ( X ) для данного X

Дополнительные ссылки

• Бодрит К. и Д. Дюбуа (2006). Практические представления неполного вероятностного знания . Вычислительная статистика и анализ данных 51 : 86–108.
• Бодри, К., Д. Дюбуа, Д. Гийонне (2006). Совместное распространение и использование вероятностной и возможностической информации при оценке рисков . Транзакции IEEE в нечетких системах 14 : 593–608.
• Бернардини А. и Ф. Тонон (2009). Распределения экстремальных вероятностей случайных/нечетких множеств и p-блоков . Международный журнал надежности и безопасности 3 : 57–78. (альтернативная ссылка)
• Дестерке С., Д. Дюбуа и Э. Хойнацки (2008). Унификация практических представлений неопределенности – I: Обобщенные p-блоки . Международный журнал приближенного рассуждения 49 : 649–663.
• Дюбуа, Д. (2010). (Комментарий) Проблемы представления, распространения и принятия решений при анализе рисков в условиях неполной вероятностной информации. Анализ рисков 30 : 361–368. дои : 10.1111/j.1539-6924.2010.01359.x .
• Дюбуа Д. и Д. Гийонне (2011). Принятие решений с учетом рисков в условиях эпистемической неопределенности. Международный журнал общих систем 40 : 145–167.
• Гийонне, Д., Ф. Бланшар, К. Арпет, Ю. Менар, Б. Ком и К. Бодри (2005). Проект IREA — Учет неопределенностей в оценке риска воздействия . Отчет BRGM/RP-54099-FR, Бюро геологических и горных исследований, Франция.