Анализ границ вероятности

Анализ границ вероятности ( PBA ) — совокупность методов распространения неопределенности для проведения качественных и количественных расчетов в условиях неопределенностей различного рода. Он используется для проецирования частичной информации о случайных величинах и других величинах посредством математических выражений. Например, он вычисляет точные границы распределения суммы, произведения или более сложной функции, имея только точные границы распределения входных данных. Такие границы называются ящиками вероятности и ограничивают кумулятивные распределения вероятностей (а не плотности или функции масс ).

Этот ограничивающий подход позволяет аналитикам проводить расчеты, не требуя слишком точных предположений о значениях параметров, зависимости между переменными или даже форме распределения. Анализ границ вероятности по существу представляет собой комбинацию методов стандартного интервального анализа и классической теории вероятностей . Анализ границ вероятности дает тот же ответ, что и интервальный анализ, когда доступна только информация о диапазоне. Оно также дает те же ответы, что и моделирование Монте-Карло , когда информации достаточно, чтобы точно определить входные распределения и их зависимости. Таким образом, это обобщение как интервального анализа, так и теории вероятностей.

Разнообразные методы, включающие анализ границ вероятности, предоставляют алгоритмы для оценки математических выражений, когда существует неопределенность в отношении входных значений, их зависимостей или даже формы самого математического выражения. Вычисления дают результаты, которые гарантированно охватывают все возможные распределения выходной переменной, если входные p-блоки также обязательно охватывают свои соответствующие распределения. В некоторых случаях рассчитанный p-блок также будет наилучшим из возможных в том смысле, что границы не могут быть более жесткими без исключения некоторых возможных распределений.

P-блоки обычно представляют собой просто границы возможных распределений. Границы часто также включают распределения, которые сами по себе невозможны. Например, набор вероятностных распределений, который может возникнуть в результате сложения случайных значений без предположения независимости от двух (точных) распределений, обычно представляет собой правильное подмножество всех распределений, заключенных в p-блок, вычисленный для суммы. То есть внутри выходного p-блока существуют распределения, которые не могли бы возникнуть ни при какой зависимости между двумя входными распределениями. Однако выходной p-блок всегда будет содержать все возможные распределения, при условии, что входные p-блоки обязательно заключают в себе соответствующие базовые распределения. Этого свойства часто достаточно для использования в анализе рисков и других областях, требующих расчетов в условиях неопределенности.

История ограничивающей вероятности

Идея ограничивающей вероятности имеет очень давнюю традицию на протяжении всей истории теории вероятностей. Действительно, в 1854 году Джордж Буль использовал понятие интервальных границ вероятности в своих «Законах мышления» . Также датируемое второй половиной XIX века неравенство , приписываемое Чебышеву, описывало границы распределения, когда известны только среднее значение и дисперсия переменной, а связанное с ним неравенство, приписываемое Маркову, находило границы для положительной переменной, когда известно только среднее значение. известно. Кибург рассмотрел историю интервальных вероятностей и проследил развитие критических идей на протяжении XX века, включая важное понятие несравнимых вероятностей, предпочитаемое Кейнсом .

Особо следует отметить вывод Фреше в 1930-х годах ограничений для вычислений, включающих полные вероятности без допущений о зависимости. Ограничивающие вероятности продолжаются и по сей день (например, теория неточной вероятности Уолли ). )

Методы анализа границ вероятности, которые можно было бы регулярно использовать воценки риска были разработаны в 1980-х годах. Хайльперин описал вычислительную схему для граничных логических вычислений, расширяющую идеи Буля. Ягер описал элементарные процедуры, с помощью которых можно вычислить границы сверток в предположении независимости. Примерно в то же время Макаров, и независимо Рюшендорф решил задачу, первоначально поставленную Колмогоровым , о том, как найти верхнюю и нижнюю границы распределения вероятностей суммы случайных величин, маргинальные распределения которых, но не их совместное распределение, известны. Франк и др. обобщил результат Макарова и выразил его через связки . С тех пор формулы и алгоритмы расчета сумм были обобщены и распространены на разности, произведения, частные и другие бинарные и унарные функции при различных предположениях о зависимости.

Арифметические выражения

Арифметические выражения, включающие такие операции, как сложение, вычитание, умножение, деление, минимумы, максимумы, степени, экспоненты, логарифмы, квадратные корни, абсолютные значения и т. д., обычно используются в анализе рисков и моделировании неопределенности. Свертка — это операция поиска распределения вероятностей суммы независимых случайных величин, заданных распределениями вероятностей. Мы можем распространить этот термин на поиск распределений других математических функций (произведений, разностей, частных и более сложных функций) и других предположений о зависимостях между переменными. Существуют удобные алгоритмы для вычисления этих обобщенных сверток при различных предположениях о зависимостях между входными данными.

Математические детали

Позволять $\mathbb {D}$ обозначаем пространство функций распределения на действительных числах $\mathbb {R} ,$ то есть,

$\mathbb {D} =\{D|D:\mathbb {R} \to [0,1],D(x)\leq D(y){\text{ for all }}x<y\}.$

P-box - это пятёрка

$\left\{{\overline {F}},{\underline {F}},m,v,\mathbf {F} \right\},$

где ${\overline {F}}$ и ${\underline {F}}\in \mathbb {D}$, $m$ и $v$ являются действительными интервалами, а $\mathbf {F} \subset \mathbb {D}$. Эта пятерка обозначает набор функций распределения $F\in \mathbf {F} \subset \mathbb {D}$ такой, что:

${\begin{aligned}\forall x\in \mathbb {R} :\qquad &{\overline {F}}(x)\leq F(x)\leq {\underline {F}}(x)\\[6pt]&\int _{\mathbb {R} }xdF(x)\in m&&{\text{expectation condition}}\\&\int _{\mathbb {R} }x^{2}dF(x)-\left(\int _{\mathbb {R} }xdF(x)\right)^{2}\in v&&{\text{variance condition}}\end{aligned}}$

Если функция удовлетворяет всем вышеуказанным условиям, говорят, что она находится внутри p-блока. В некоторых случаях может не быть никакой информации о моментах или семействе распределения, кроме той, которая закодирована в двух функциях распределения, которые составляют края p-блока. Тогда пятерка, представляющая p-блок $\{B_{1},B_{2},[-\infty ,\infty ],[0,\infty ],\mathbb {D} \}$ более компактно можно обозначить как [ B ₁ , B ₂ ]. Это обозначение соответствует обозначению интервалов на реальной линии, за исключением того, что конечные точки являются распределениями, а не точками.

Обозначения $X\sim F$ обозначает тот факт, что $X\in \mathbb {R}$ – случайная величина, определяемая функцией распределения F , то есть

${\begin{cases}F:\mathbb {R} \to [0,1]\\x\mapsto \Pr(X\leq x)\end{cases}}$

Давайте обобщим обозначение тильды для использования с p-блоками. Мы будем писать X ~ B , чтобы обозначить, что X — случайная величина, функция распределения которой неизвестна, за исключением того, что она находится B. внутри Таким образом, X ~ F ∈ B можно сжать до X ~ B без явного упоминания функции распределения.

Если X и Y — независимые случайные величины с распределениями F и G соответственно, то X + Y = Z ~ H, определяемое формулой

$H(z)=\int _{z=x+y}F(x)G(y)dz=\int _{\mathbb {R} }F(x)G(z-x)dx=F*G.$

операция называется сверткой на F и G. Эта Аналогичная операция с p-блоками проста для сумм. Предполагать

$X\sim A=[A_{1},A_{2}],\quad {\text{and}}\quad Y\sim B=[B_{1},B_{2}].$

Если X и Y стохастически независимы, то распределение Z = X + Y находится внутри p-блока.

$\left[A_{1}*B_{1},A_{2}*B_{2}\right].$

Найти границы распределения сумм Z = X + Y без каких-либо предположений о зависимости между X и Y на самом деле проще, чем задачу, предполагающую независимость. Макаров показал, что

$Z\sim \left[\sup _{z=x+y}\max(F(x)+G(y)-1,0),\inf _{z=x+y}\min(F(x)+G(y),1)\right]$

Эти границы следуют из Фреше–Хефдинга границ копулы . Задачу можно решить и методами математического программирования .

Свертку при промежуточном предположении, что X и Y имеют положительную зависимость также легко вычислить, как и свертку при крайних предположениях об идеальной положительной или совершенно отрицательной зависимости между X и Y. ,

Обобщенные свертки для других операций, таких как вычитание, умножение, деление и т. д., можно получить с помощью преобразований. Например, вычитание p-блока A − B можно определить как A + (− B ), где отрицательный результат p-блока B = [ B ₁ , B ₂ ] равен [ B ₂ (− x ), B ₁ ( - х )].

Логические выражения

Логические или логические выражения, включающие соединения ( И операции ), дизъюнкции ( операции ИЛИ ), исключающие дизъюнкции, эквивалентности, условные выражения и т. д., возникают при анализе деревьев отказов и деревьев событий, распространенных при оценке рисков. Если вероятности событий характеризуются интервалами, как предполагает Буль и Кейнс среди прочего, эти бинарные операции легко вычислить. Например, если вероятность события A находится в интервале P(A) = a = [0,2, 0,25], а вероятность события B находится в интервале P(B) = b = [0,1, 0,3], то вероятность соединения заведомо находится в интервале

P(A и B) = а × б

= [0.2, 0.25] × [0.1, 0.3]

= [0.2 × 0.1, 0.25 × 0.3]

= [0.02, 0.075]

до тех пор, пока A и B можно считать независимыми событиями. Если они не являются независимыми, мы все равно можем ограничить конъюнкцию, используя классическое неравенство Фреше . В этом случае мы можем, по крайней мере, сделать вывод, что вероятность совместного события A и B наверняка находится в интервале

P(A и B) = env(max(0, a + b −1), min( a , b ))

= env(max(0, [0,2, 0,25]+[0,1, 0,3]−1), min([0,2, 0,25], [0,1, 0,3]))

= env([max(0, 0,2+0,1–1), max(0, 0,25+0,3–1)], [min(0,2,0,1), min(0,25, 0,3)])

= окружение([0,0], [0,1, 0,25])

= [0, 0.25]

где env([ x ₁ , x ₂ ], [ y ₁ , y ₂ ]) равно [min( x ₁ , y ₁ ), max( x ₂ , y ₂ )]. Аналогично, вероятность дизъюнкции заведомо лежит в интервале

P(A v B) знак равно а + б - а × б знак равно 1 - (1 - а ) × (1 - б )

= 1 − (1 − [0.2, 0.25]) × (1 − [0.1, 0.3])

= 1 − [0.75, 0.8] × [0.7, 0.9]

= 1 − [0.525, 0.72]

= [0.28, 0.475]

если A и B — независимые события. Если они не независимы, неравенство Фреше ограничивает дизъюнкцию

P(A v B) = env(max( a , b ), min(1, a + b ))

= env(max([0,2, 0,25], [0,1, 0,3]), min(1, [0,2, 0,25] + [0,1, 0,3]))

= окружение([0,2, 0,3], [0,3, 0,55])

= [0.2, 0.55].

Также возможно вычислить границы интервалов конъюнкции или дизъюнкции при других предположениях о зависимости между A и B. Например, можно предположить, что они положительно зависимы, и в этом случае полученный интервал не так узок, как ответ, предполагающий независимость. но более точный, чем ответ, который дает неравенство Фреше. Сопоставимые вычисления используются для других логических функций, таких как отрицание, исключительная дизъюнкция и т. д. Когда вычисляемое логическое выражение становится сложным, может возникнуть необходимость вычислить его с использованием методов математического программирования. чтобы получить наилучшие возможные границы выражения. Аналогичная проблема возникает и в случае вероятностной логики (см., например, Gerla 1994). Если вероятности событий характеризуются распределениями вероятностей или p-блоками, а не интервалами, то аналогичные расчеты можно выполнить для получения результатов распределения или p-блоков, характеризующих вероятность главного события.

Сравнение величин

Вероятность того, что неопределенное число, представленное p-блоком D, меньше нуля, представляет собой интервал Pr( D < 0) = [ F (0), F̅ (0)], где F̅ (0) – левая граница ящик вероятности D и F (0) — его правая граница, обе оцениваются как ноль. Два неопределенных числа, представленные прямоугольниками вероятности, затем можно сравнить на предмет числовой величины с помощью следующих кодировок:

А < В = Пр( А - В < 0),

А > В = Пр( В - А < 0),

A ⩽ B = Pr( A − B ⩽ 0), и

А ≥ B = Pr( B − A ≤ 0).

Таким образом, вероятность того, что A меньше B, равна вероятности того, что их разница меньше нуля, и можно сказать, что эта вероятность является значением выражения A < B .

Подобно арифметическим и логическим операциям, эти сравнения величин обычно зависят от стохастической зависимости между A и B , и вычитание при кодировании должно отражать эту зависимость. Если их зависимость неизвестна, разницу можно вычислить без каких-либо предположений, используя операцию Фреше.

Вычисления на основе выборки

Некоторые аналитики использовать подходы на основе выборки для вычисления границ вероятности, включая моделирование Монте-Карло , методы латинского гиперкуба или выборку по важности . Эти подходы не могут гарантировать математическую строгость результата, поскольку такие методы моделирования являются приближениями, хотя их производительность обычно можно улучшить, просто увеличив количество повторений в моделировании. Таким образом, в отличие от аналитических теорем или методов, основанных на математическом программировании, расчеты на основе выборки обычно не могут привести к проверенным вычислениям . Однако методы, основанные на выборке, могут быть очень полезны при решении множества проблем, которые с вычислительной точки зрения трудно решить аналитически или даже строго связать. Одним из важных примеров является использование выборки с отклонением Коши, чтобы избежать проклятия размерности при распространении интервальной неопределенности в задачах большой размерности.

Связь с другими подходами к распространению неопределенности

PBA принадлежит к классу методов, которые используют неточные вероятности для одновременного представления алеаторических и эпистемических неопределенностей . PBA — это обобщение интервального анализа и вероятностной свертки , обычно реализуемой при моделировании Монте-Карло . PBA также тесно связан с надежным байесовским анализом , который иногда называют байесовским анализом чувствительности . PBA является альтернативой моделированию Монте-Карло второго порядка .

Приложения

Основная статья: Применение p-блоков и анализ границ вероятности

П-блоки и анализ границ вероятности использовались во многих приложениях, охватывающих многие дисциплины инженерии и экологии, в том числе:

• Инженерное проектирование
• Экспертное выявление
• Анализ распределения чувствительности видов
• Анализ чувствительности в аэрокосмической технике к продольной нагрузке передней юбки ракеты «Ариан-5» . -носителя
• ОДУ- модели химического реактора динамики
• Фармакокинетическая изменчивость вдыхаемых ЛОС
• Моделирование подземных вод
• Граничная вероятность отказа для последовательных систем
• Загрязнение тяжелыми металлами почвы на металлургическом заводе заброшенном
• Распространение неопределенности для засоления моделей риска
• Оценка безопасности системы электроснабжения
• Оценка риска загрязненных земель
• Инженерные системы очистки питьевой воды
• Расчет уровней просеивания почвы
• Анализ риска для здоровья человека и экологии, проведенный Агентством по охране окружающей среды США, связанного с загрязнением ПХБ на Housatonic River Superfund . территории
• Экологическая оценка объекта устья Кальказье Суперфонда
• Аэрокосмическая техника сверхзвуковой тяги сопла
• Верификация и валидация научных вычислений для инженерных задач
• Токсичность окружающей среды ртутью для мелких млекопитающих загрязнения
• Моделирование времени распространения загрязнения в подземных водах
• Анализ надежности
• Оценка исчезающих видов для реинтродукции опоссума Ледбитера
• Воздействие на насекомоядных птиц сельскохозяйственных пестицидов
• изменения климата Прогнозы
• Время ожидания в системах массового обслуживания
• исчезновения Анализ риска пятнистой совы на Олимпийском полуострове
• Биозащита от интродукции инвазивных видов или сельскохозяйственных вредителей
• методом конечных элементов Структурный анализ
• Смета расходов
• ядерных арсеналов Сертификация
• гидроразрыва пласта, Риск приводящий к загрязнению воды

См. также

• Коробка вероятности
• Робастный байесовский анализ
• Неточная вероятность
• Моделирование Монте-Карло второго порядка
• Моделирование Монте-Карло
• Интервальный анализ
• Теория вероятностей
• Анализ рисков

Дальнейшие ссылки

• Бернардини, Альберто; Тонон, Фульвио (2010). Граничная неопределенность в гражданском строительстве: теоретические основы . Берлин: Шпрингер. ISBN  978-3-642-11189-1 .
• Ферсон, Скотт (2002). Программное обеспечение RAMAS Risk Calc 4.0: Оценка риска с неопределенными числами . Бока-Ратон, Флорида: Издательство Lewis. ISBN  978-1-56670-576-9 .
• Герла, Г. (1994). «Выводы в вероятностной логике». Искусственный интеллект . 70 (1–2): 33–52. дои : 10.1016/0004-3702(94)90102-3 .
• Оберкампф, Уильям Л.; Рой, Кристофер Дж. (2010). Верификация и валидация в научных вычислениях . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-11360-1 .

Внешние ссылки

• Анализ границ вероятности при оценке экологических рисков
• Интервалы и распределения вероятностей
• Проект эпистемической неопределенности
• Общество неточной вероятности: теории и приложения