Теория Демпстера – Шафера

Артур П. Демпстер на семинаре по теории функций доверия ( Брест , 1 апреля 2010 г.).

Теория функций убеждения , также называемая теорией доказательств или теорией Демпстера-Шейфера ( DST ), представляет собой общую основу для рассуждений с неопределенностью, с понятными связями с другими теориями, такими как теории вероятности , возможности и неточные теории вероятностей . Впервые представлено Артуром П. Демпстером. В контексте статистического вывода эта теория была позже развита Гленном Шафером в общую основу для моделирования эпистемической неопределенности — математическую теорию доказательств . Теория позволяет комбинировать доказательства из разных источников и достигать степени доверия (представленной математическим объектом, называемым функцией убеждения ), которая учитывает все доступные доказательства.

В узком смысле термин теория Демпстера – Шафера относится к первоначальной концепции теории Демпстера и Шафера. Однако более распространено использование этого термина в более широком смысле того же общего подхода, адаптированного к конкретным типам ситуаций. В частности, многие авторы предложили разные правила объединения доказательств, часто с целью более эффективного разрешения противоречий в доказательствах. Первые открытия также стали отправной точкой для многих важных разработок, включая модель передаваемых убеждений и теорию подсказок.

Обзор

Теория Демпстера-Шейфера является обобщением байесовской теории субъективной вероятности . Функции убеждения основывают степень убежденности (или уверенности, или доверия) для одного вопроса на субъективных вероятностях для связанного вопроса. Сами степени уверенности могут иметь или не иметь математические свойства вероятностей; насколько они различаются, зависит от того, насколько тесно связаны эти два вопроса. Иными словами, это способ представления эпистемических правдоподобий, но он может давать ответы, противоречащие тем, которые получены с помощью теории вероятностей .

Теория Демпстера-Шейфера, часто используемая в качестве метода слияния датчиков , основана на двух идеях: получении степеней достоверности для одного вопроса на основе субъективных вероятностей для связанного вопроса и правиле Демпстера. за объединение таких степеней убеждений, когда они основаны на независимых доказательствах. По сути, степень веры в предложение зависит прежде всего от количества ответов (на связанные вопросы), содержащих это предложение, и субъективной вероятности каждого ответа. Также важную роль играют правила комбинирования, которые отражают общие предположения о данных.

В этом формализме степень доверия (также называемая массой ) представлена ​​как функция доверия, а не как байесовское распределение вероятностей . Значения вероятности присваиваются наборам возможностей, а не отдельным событиям: их привлекательность основана на том факте, что они естественным образом кодируют доказательства в пользу предложений.

Теория Демпстера-Шейфера приписывает свои массы всем подмножествам множества состояний системы - в теории множеств терминах - степенному набору состояний. Например, предположим ситуацию, когда существует два возможных состояния системы. Для этой системы любая функция доверия присваивает массу первому состоянию, второму, обоим и ни одному из них.

Вера и правдоподобие

Формализм Шафера начинается с набора рассматриваемых возможностей , например, числовых значений переменной или пар лингвистических переменных, таких как «дата и место происхождения реликвии» (вопрос, является ли она антикварной или недавней подделкой). Гипотеза представлена ​​подмножеством этой системы различения , например «(династия Мин, Китай)» или «(19 век, Германия)».

Структура Шафера позволяет представить убеждения о таких утверждениях в виде интервалов, ограниченных двумя значениями: убеждением (или поддержкой ) и правдоподобием :

вера ≤ правдоподобие .

На первом этапе субъективные вероятности ( массы всем подмножествам кадра присваиваются ); обычно только ограниченное количество комплектов будет иметь ненулевую массу ( фокусные элементы ). Вера в гипотезу представляет собой сумму масс всех подмножеств множества гипотез. Это количество убеждений, которые напрямую поддерживают либо данную гипотезу, либо более конкретную, образуя тем самым нижнюю границу ее вероятности. Убеждение (обычно обозначаемое Bel ) измеряет силу доказательства в пользу утверждения p . Он варьируется от 0 (обозначает отсутствие доказательств) до 1 (означает уверенность). Правдоподобие равно 1 минус сумма масс всех множеств, пересечение которых с гипотезой пусто. Или его можно получить как сумму масс всех множеств, пересечение которых с гипотезой не пусто. Это верхняя граница возможности того, что гипотеза может быть верной, поскольку существует лишь ограниченное количество доказательств, противоречащих этой гипотезе. Таким образом, правдоподобие (обозначаемое Pl) связано с Bel соотношением Pl( p ) = 1 − Bel(~ p ). Он также варьируется от 0 до 1 и измеряет степень, в которой доказательства в пользу ~ p оставляют место для веры в p .

Например, предположим, что у нас есть убеждение 0,5 для предложения, скажем, «кот в коробке мертв». Это означает, что у нас есть доказательства, которые позволяют нам уверенно утверждать, что это утверждение истинно с достоверностью 0,5. Однако доказательства, противоречащие этой гипотезе (т. е. «кот жив»), имеют достоверность только 0,2. Оставшаяся масса 0,3 (разница между подтверждающими доказательствами 0,5, с одной стороны, и противоположными доказательствами 0,2, с другой) является «неопределенной», что означает, что кошка может быть либо мертвой, либо живой. Этот интервал представляет собой уровень неопределенности, основанный на доказательствах в системе.

Гипотеза	Масса	Вера	Правдоподобие
Ни (живой, ни мертвый)	0	0	0
Живой	0.2	0.2	0.5
Мертвый	0.5	0.5	0.8
Либо (живой, либо мертвый)	0.3	1.0	1.0

Гипотеза «ни одна» по определению равна нулю (это соответствует «отсутствию решения»). Ортогональные гипотезы «Живой» и «Мертвый» имеют вероятности 0,2 и 0,5 соответственно. Это может соответствовать сигналам «Детектор живого/мертвого кота», надежность которых составляет 0,2 и 0,5 соответственно. Наконец, всеобъемлющая гипотеза «Или» (которая просто признает, что в ящике есть кот) компенсирует слабину так, что сумма масс равна 1. Вера в гипотезы «Живого» и «Мертвого» соответствует их гипотезам. соответствующие массы, поскольку у них нет подмножеств; Вера в «Или» состоит из суммы всех трех масс (Либо, Живой и Мертвой), поскольку «Живой» и «Мертвый» являются подмножествами «Либо». Правдоподобие «Живого» составляет 1– m (Мертвый): 0,5, а правдоподобие «Мертвого» составляет 1– m (Живой): 0,8. Другими словами, «Живая» правдоподобность равна m (Живая) + m (Либо), а «Мертвая» правдоподобность равна m (Мертвая) + m (Либо). Наконец, правдоподобие «Или» складывает m (Живой) + m (Мертвый) + m (Либо). Универсальная гипотеза («Или») всегда будет иметь 100% достоверность и правдоподобие — она действует как контрольная сумма своего рода .

Вот несколько более подробный пример, где начинает проявляться поведение убеждения и правдоподобия. Мы просматриваем через различные системы детекторов один далекий сигнальный огонь, который может быть окрашен только в один из трех цветов (красный, желтый или зеленый):

Гипотеза	Масса	Вера	Правдоподобие
Никто	0	0	0
Красный	0.35	0.35	0.56
Желтый	0.25	0.25	0.45
Зеленый	0.15	0.15	0.34
Красный или Желтый	0.06	0.66	0.85
Красный или Зеленый	0.05	0.55	0.75
Желтый или Зеленый	0.04	0.44	0.65
Любой	0.1	1.0	1.0

События такого рода не будут моделироваться как отдельные сущности в вероятностном пространстве, как здесь, в пространстве массовых назначений. Скорее событие «Красный или Желтый» будет рассматриваться как объединение событий «Красный» и «Желтый» и (см. аксиомы вероятности ) P (Красный или Желтый) ≥ P (Желтый) и P (Любой) = 1. , где Any относится к Red , Yellow или Green . В летнее время масса, присвоенная «Любому» , относится к доле свидетельств, которые нельзя отнести ни к одному из других состояний, что в данном случае означает свидетельство, утверждающее, что свет есть, но ничего не говорящее о его цвете. В этом примере доля свидетельств, указывающих на то, что свет красный или зеленый, имеет массу 0,05. Такие доказательства могут быть получены, например, от человека, страдающего цветовой слепотой. DST позволяет нам извлечь ценность показаний этого датчика. Кроме того, в DST считается, что пустое множество имеет нулевую массу, а это означает, что здесь существует сигнальная световая система, и мы исследуем ее возможные состояния, не размышляя о том, существует ли она вообще.

Объединение убеждений

Убеждения из разных источников можно комбинировать с различными операторами слияния для моделирования конкретных ситуаций слияния убеждений, например, с помощью правила комбинации Демпстера , которое объединяет ограничения убеждений. которые продиктованы независимыми источниками убеждений, например, в случае объединения подсказок или комбинирование предпочтений. Обратите внимание, что массы вероятностей противоречащих друг другу предложений можно использовать для получения меры конфликта между независимыми источниками убеждений. Другие ситуации можно моделировать с помощью различных операторов слияния, например, кумулятивное слияние убеждений из независимых источников, которое можно смоделировать с помощью оператора кумулятивного слияния.

Правило комбинации Демпстера иногда интерпретируется как приблизительное обобщение правила Байеса . В этой интерпретации не требуется указывать априорные и условные выражения, в отличие от традиционных байесовских методов, которые часто используют аргумент симметрии (минимаксная ошибка) для присвоения априорных вероятностей случайным переменным ( например, присвоение 0,5 двоичным значениям, для которых нет информации о том, какие из них являются более вероятно). Однако любая информация, содержащаяся в отсутствующих априорных и условных выражениях, не используется в правиле комбинации Демпстера, если только ее нельзя получить косвенно, и, возможно, тогда она доступна для вычислений с использованием уравнений Байеса.

Теория Демпстера – Шафера позволяет указать степень незнания в этой ситуации вместо того, чтобы быть вынужденным указывать априорные вероятности, которые добавляют к единице. Подобная ситуация и вопрос о том, существует ли реальное различие между риском и невежеством , широко обсуждались статистиками и экономистами. См., например, противоположные взгляды Дэниела Эллсберга , Говарда Райффы , Кеннета Эрроу и Фрэнка Найта .

Формальное определение

Пусть X — Вселенная : набор, представляющий все возможные состояния рассматриваемой системы. Набор мощности

$2^{X}\,\!$

— это набор всех подмножеств X , включая пустой набор  $\emptyset$. Например, если:

$X=\left\{a,b\right\}\,\!$

затем

$2^{X}=\left\{\emptyset ,\left\{a\right\},\left\{b\right\},X\right\}.\,$

Элементы набора мощности можно использовать для представления предложений, касающихся фактического состояния системы, поскольку они содержат все и только те состояния, в которых это предложение истинно.

Теория доказательств присваивает массу убеждений каждому элементу набора власти. Формально функция

$m:2^{X}\rightarrow [0,1]\,\!$

называется базовым заданием убеждения (BBA), когда оно имеет два свойства. Во-первых, масса пустого множества равна нулю:

$m(\emptyset )=0.\,\!$

Во-вторых, массы всех членов набора власти в сумме составляют 1:

$\sum _{A\in 2^{X}}m(A)=1.$

Масса m ( A ) A , данного члена набора мощностей, выражает долю всех соответствующих и доступных доказательств, подтверждающих утверждение о том, что фактическое состояние принадлежит , но не какому-либо конкретному подмножеству A. A Значение m ( A ) относится только к множеству A и не предъявляет никаких дополнительных требований к каким-либо подмножествам A , каждое из которых по определению имеет свою собственную массу.

Из назначений масс можно определить верхнюю и нижнюю границы вероятностного интервала. Этот интервал содержит точную вероятность интересующего набора (в классическом смысле) и ограничен двумя неаддитивными непрерывными мерами, называемыми убеждением (или поддержкой ) и правдоподобием :

$\operatorname {bel} (A)\leq P(A)\leq \operatorname {pl} (A).$

Доверие bel( A ) для набора A определяется как сумма всех масс подмножеств интересующего набора:

$\operatorname {bel} (A)=\sum _{B\mid B\subseteq A}m(B).\,$

Правдоподобие pl( A ) представляет собой сумму всех масс множеств B , которые пересекают интересующий набор A :

$\operatorname {pl} (A)=\sum _{B\mid B\cap A\neq \emptyset }m(B).\,$

Эти две меры связаны друг с другом следующим образом:

$\operatorname {pl} (A)=1-\operatorname {bel} ({\overline {A}}).\,$

наоборот, для конечного A , учитывая меру доверия bel( B ) для всех подмножеств B A И , мы можем найти массы m ( A ) с помощью следующей обратной функции:

$m(A)=\sum _{B\mid B\subseteq A}(-1)^{|A-B|}\operatorname {bel} (B)\,$

где | А − Б | - это разница мощностей двух множеств.

X Из последних двух уравнений следует, что для конечного множества нужно знать только одно из трех (массу, убеждение или правдоподобие), чтобы вывести два других; хотя может потребоваться знать значения для многих наборов, чтобы вычислить одно из других значений для определенного набора. В случае бесконечного X могут существовать четко определенные функции доверия и правдоподобия, но не может быть четко определенной массовой функции.

Комбинационное правило Демпстера

Проблема, с которой мы сейчас сталкиваемся, заключается в том, как объединить два независимых набора назначений вероятностной массы в конкретных ситуациях. В случае, если разные источники выражают свои убеждения по кадру с точки зрения ограничений убеждений, например, в случае подсказок или в случае выражения предпочтений, тогда подходящим оператором слияния является правило комбинации Демпстера. Это правило выводит общее мнение между несколькими источниками и игнорирует все конфликтующие (не разделяемые) убеждения посредством коэффициента нормализации. Использование этого правила в других ситуациях, кроме ситуации с объединением ограничений убеждений, подверглось серьезной критике, например, в случае объединения отдельных оценок убеждений из нескольких источников, которые должны быть интегрированы кумулятивным образом, а не в качестве ограничений. Кумулятивное слияние означает, что все вероятностные массы из разных источников отражаются в полученном убеждении, поэтому ни одна вероятностная масса не игнорируется.

В частности, комбинация (называемая совместной массой ) рассчитывается из двух наборов масс m ₁ и m ₂ следующим образом:

$m_{1,2}(\emptyset )=0\,$

$m_{1,2}(A)=(m_{1}\oplus m_{2})(A)={\frac {1}{1-K}}\sum _{B\cap C=A\neq \emptyset }m_{1}(B)m_{2}(C)\,\!$

где

$K=\sum _{B\cap C=\emptyset }m_{1}(B)m_{2}(C).\,$

K является мерой степени конфликта между двумя наборами масс.

Последствия конфликта

Приведенный выше коэффициент нормализации 1 - K приводит к полному игнорированию конфликта и приписыванию любой массы, связанной с конфликтом, пустому множеству. Таким образом, это комбинированное правило доказательств может привести к противоречивым результатам, как мы покажем далее.

Пример получения правильных результатов в случае высокого конфликта

В следующем примере показано, как правило Демпстера дает интуитивные результаты при применении в ситуации слияния предпочтений, даже при наличии сильного конфликта.

Предположим, что двое друзей, Алиса и Боб, хотят однажды вечером посмотреть фильм в кинотеатре, и что показывают только три фильма: X, Y и Z. Алиса выражает свое предпочтение фильму X с вероятностью 0,99, а свое предпочтение фильму X - фильм Y с вероятностью всего 0,01. Боб выражает свое предпочтение фильму Z с вероятностью 0,99, а свое предпочтение фильму Y - только с вероятностью 0,01. Если объединить предпочтения с помощью правила комбинации Демпстера, то окажется, что их совокупное предпочтение дает вероятность 1,0 для фильма Y, поскольку это единственный фильм, который они оба согласны посмотреть.

Правило комбинации Демпстера дает интуитивные результаты даже в случае совершенно противоречивых убеждений, если интерпретировать его таким образом. Предположим, что Алиса предпочитает фильм X с вероятностью 1,0, а Боб предпочитает фильм Z с вероятностью 1,0. При попытке объединить их предпочтения с правилом Демпстера оказывается, что оно в данном случае неопределенно, а значит, решения нет. Это означало бы, что они не могут договориться о совместном просмотре какого-либо фильма, поэтому в тот вечер они не пойдут вместе в кино. Однако семантика интерпретации предпочтения как вероятности расплывчата: если речь идет о вероятности просмотра фильма X сегодня вечером, то мы сталкиваемся с ошибкой исключенного третьего : событие, которое действительно происходит, т. е. просмотр ни одного фильма сегодня вечером, уже произошло. вероятностная масса равна 0.

Пример получения противоречивых результатов в случае высокого конфликта

Пример с точно такими же числовыми значениями был представлен Лотфи Заде в 1979 году: указать на противоречивые результаты, полученные правилом Демпстера при высокой степени конфликта. Пример выглядит следующим образом:

Предположим, что у вас есть два одинаково надежных врача, и один врач считает, что у пациента либо опухоль головного мозга, с вероятностью (т. е. базовым назначением убеждений — bba, или массой убеждений) 0,99; или менингит, с вероятностью всего 0,01. Второй врач считает, что у пациента сотрясение мозга с вероятностью 0,99, и полагает, что пациент страдает менингитом с вероятностью всего 0,01. Применяя правило Демпстера для объединения этих двух наборов масс убеждений, в конечном итоге получаем m (менингит) = 1 (менингит диагностируется со 100-процентной достоверностью).

Такой результат противоречит здравому смыслу, поскольку оба врача согласны с тем, что вероятность того, что у пациента менингит, невелика. Этот пример стал отправной точкой многих исследовательских работ, направленных на поиск веского обоснования правила Демпстера и основ теории Демпстера – Шафера. или показать несостоятельность этой теории.

Пример получения противоречивых результатов в случае низкого конфликта

В следующем примере показано, где правило Демпстера приводит к противоречивому результату, даже при незначительном конфликте.

Предположим, один врач считает, что у пациента либо опухоль головного мозга с вероятностью 0,99, либо менингит с вероятностью всего 0,01. Второй врач также считает, что у пациента опухоль головного мозга с вероятностью 0,99, и считает, что у пациента сотрясение мозга с вероятностью всего 0,01. Если мы рассчитаем m (опухоль головного мозга) по правилу Демпстера, получим

$m({\text{brain tumor}})=\operatorname {Bel} ({\text{brain tumor}})=1.\,$

Этот результат подразумевает полную поддержку диагноза опухоли головного мозга, который оба врача считали весьма вероятным . Такое согласие возникает из-за низкой степени противоречия между двумя наборами доказательств, содержащихся в мнениях двух врачей.

В любом случае разумно было бы ожидать, что:

$m({\text{brain tumor}})<1{\text{ and }}\operatorname {Bel} ({\text{brain tumor}})<1,\,$

поскольку существование ненулевых вероятностей убеждения для других диагнозов подразумевает менее чем полную поддержку диагноза опухоли головного мозга.

Демпстера – Шафера как обобщение байесовской теории.

Как и в теории Демпстера – Шафера, байесовская функция доверия $\operatorname {bel} :2^{X}\rightarrow [0,1]\,\!$ имеет свойства $\operatorname {bel} (\emptyset )=0$ и $\operatorname {bel} (X)=1$. Третье условие, однако, включено в теорию DS, но смягчено:

${\text{If }}A\cap B=\emptyset ,{\text{ then}}\operatorname {bel} (A\cup B)=\operatorname {bel} (A)+\operatorname {bel} (B).$

Любое из следующих условий подразумевает байесовский частный случай теории DS:

• $\operatorname {bel} (A)+\operatorname {bel} ({\bar {A}})=1{\text{ for all }}A\subseteq X.$
• Для конечного X все фокусные элементы функции доверия являются одиночными.

В качестве примера того, чем отличаются два подхода, байесианец может смоделировать цвет автомобиля как распределение вероятностей по (красному, зеленому, синему), присвоив каждому цвету одно число. Демпстер-Шафер присвоил номера каждому из (красный, зеленый, синий, (красный или зеленый), (красный или синий), (зеленый или синий), (красный или зеленый или синий)). Эти цифры не обязательно должны быть последовательными; например, Бел(красный)+Бел(зеленый) не обязательно равен Бел(красный или зеленый).

Таким образом, условную вероятность Байеса можно рассматривать как частный случай правила комбинации Демпстера. Однако ему не хватает многих (если не большинства) свойств, которые делают правило Байеса интуитивно желательным, что заставляет некоторых утверждать, что его нельзя считать обобщением в каком-либо значимом смысле. Например, теория DS нарушает требования теоремы Кокса , из чего следует, что ее нельзя считать последовательным (беспротиворечивым) обобщением классической логики — в частности, теория DS нарушает требование, чтобы утверждение было либо истинным, либо ложным (но не тем и другим одновременно). ). В результате теория DS подчиняется аргументу Голландской книги , подразумевающему, что любой агент, использующий теорию DS, согласится на серию ставок, которые приведут к гарантированному проигрышу.

Байесовское приближение

Байесовское приближение снижает заданный уровень bpa $m$ к (дискретному) распределению вероятностей, т.е. только одноэлементные подмножества системы различения могут быть фокусными элементами аппроксимированной версии. ${\underline {m}}$ из $m$:

${\underline {m}}(A)=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\sum \limits _{B|A\subseteq B}m(B)}{\sum \limits _{C}m(C)\cdot |C|}},&|A|=1\\&0,&{\text{otherwise}}\end{aligned}}\right.$

Это полезно для тех, кого интересует только гипотеза единого состояния.

Мы можем выполнить это на «легком» примере.

Гипотеза	$m_{1}$	$m_{2}$	$m_{1,2}$	${\underline {m}}_{1}$	${\underline {m}}_{2}$	${\underline {m}}_{1,2}$
Никто	0	0	0	0	0	0
Красный	0.35	0.11	0.32	0.41	0.30	0.37
Желтый	0.25	0.21	0.33	0.33	0.38	0.38
Зеленый	0.15	0.33	0.24	0.25	0.32	0.25
Красный или Желтый	0.06	0.21	0.07	0	0	0
Красный или Зеленый	0.05	0.01	0.01	0	0	0
Желтый или Зеленый	0.04	0.03	0.01	0	0	0
Любой	0.1	0.1	0.02	0	0	0

Критика

Иудея Перл (1988a, глава 9; 1988б и 1990) утверждал, что ошибочно интерпретировать функции убеждения как представляющие либо «вероятности события», либо «уверенность человека в вероятностях, приписываемых различным результатам», либо «степени веры (или уверенности, или доверия) в суждение. », или «степень незнания ситуации». Вместо этого вера Функции представляют вероятность того, что данное предложение доказуемо из набора других предложений, которым присвоены вероятности. Смешение вероятностей истины с вероятностями доказуемости может привести к парадоксальным результатам в задачах рассуждения, таких как (1) представление неполного знания, (2) обновление убеждений и (3) объединение доказательств. Далее он продемонстрировал, что если частичное знание кодируется и обновляется с помощью методов функции убеждения, полученные убеждения не могут служить основой для рациональных решений.

Клопотек и Вержхонь предложил интерпретировать теорию Демпстера-Шейфера с точки зрения статистики таблиц решений (грубой теории множеств ), при этом оператор объединения свидетельств следует рассматривать как реляционное соединение таблиц решений. В другой интерпретации М.А. Клопотек и С.Т. Вержхонь. предлагаю рассматривать эту теорию как описывающую деструктивную обработку материалов (с потерей свойств), например, как в некоторых процессах производства полупроводников. В обеих интерпретациях рассуждения по DST дают правильные результаты, в отличие от более ранних вероятностных интерпретаций, критикуемых Перлом в цитируемых работах и ​​другими исследователями.

Йосанг доказал, что правило комбинации Демпстера на самом деле является методом объединения ограничений убеждений. Он представляет собой лишь приблизительный оператор слияния в других ситуациях, таких как кумулятивное слияние убеждений, но обычно в таких ситуациях дает неправильные результаты. Таким образом, путаница вокруг обоснованности правила Демпстера возникает из-за неспособности правильно интерпретировать природу моделируемых ситуаций. Правило комбинации Демпстера всегда дает правильные и интуитивные результаты в ситуации объединения ограничений убеждений из разных источников.

Реляционные меры

При рассмотрении предпочтений можно использовать частичный порядок решетки . вместо полного порядка действительной линии, как это обнаружено в теории Демпстера – Шафера Действительно, Гюнтер Шмидт предложил эту модификацию и обрисовал метод.

Учитывая набор критериев C и ограниченную решетку L с порядком ≤, Шмидт определяет реляционную меру как функцию µ из набора степеней C в L , которая соблюдает порядок ⊆ на $\mathbb {P}$( С ):

$A\subseteq B\implies \mu (A)\leq \mu (B)$

и такой, что µ занимает пустое подмножество $\mathbb {P}$( C ) к наименьшему элементу L и переводит C в наибольший элемент L .

Шмидт сравнивает ц с функцией убеждения Шафера, а также рассматривает метод комбинирования мер, обобщающий подход Демпстера (когда новые доказательства объединяются с ранее имевшимися доказательствами). Он также вводит реляционный интеграл и сравнивает его с интегралом Шоке и интегралом Сугено . Любое отношение m между C и L может быть введено как «прямая оценка», а затем обработано с помощью исчисления отношений для получения меры возможности μ .

См. также

• Неточная вероятность
• Верхняя и нижняя вероятности
• Теория возможностей
• Вероятностная логика
• Теорема Байеса
• Байесовская сеть
• GLS скоба
• Переносимая модель убеждений
• Теория принятия решений при информационном дефиците
• Субъективная логика
• Доксастическая логика
• Линейная функция доверия

Дальнейшее чтение

• Ян, Дж. Б. и Сюй, Д. Л. Правило доказательного обоснования для комбинации доказательств , Искусственный интеллект, том 205, стр. 1–29, 2013 г.
• Ягер Р.Р. и Лю Л. (2008). Классические работы теории функций доверия Демпстера – Шафера. Исследования нечеткости и мягких вычислений, т. 219. Берлин: Springer . ISBN   978-3-540-25381-5 .
• Джозеф К. Джарратано и Гэри Д. Райли (2005 г.); Экспертные системы: принципы и программирование , под ред. Томсон Курс Тех., ISBN   0-534-38447-1
• Бейнон М., Карри Б. и Морган П. Теория доказательств Демпстера – Шафера: альтернативный подход к моделированию многокритериальных решений , Омега, Том 28, стр. 37–50, 2000.

Внешние ссылки

• BFAS: Общество функций и приложений убеждений