Субъективная логика

Субъективная логика — это тип вероятностной логики , которая явно принимает во внимание эпистемическую неопределенность и доверие к источнику. В целом субъективная логика подходит для моделирования и анализа ситуаций, связанных с неопределенностью и относительно ненадежными источниками. ^[1]^[2]^[3] Например, его можно использовать для моделирования и анализа сетей доверия и байесовских сетей .

Аргументы в субъективной логике — это субъективные мнения о переменных состояния, которые могут принимать значения из домена (так называемого пространства состояний ), где значение состояния можно рассматривать как утверждение, которое может быть истинным или ложным. Биномиальное мнение применяется к бинарной переменной состояния и может быть представлено как бета-PDF (функция плотности вероятности). Полиномиальное мнение применяется к переменной состояния с несколькими возможными значениями и может быть представлено в виде PDF Дирихле (функция плотности вероятности). Благодаря соответствию между мнениями и распределениями Бета/Дирихле субъективная логика предоставляет алгебру для этих функций. Мнения также связаны с представлением убеждений в теории убеждений Демпстера-Шафера .

Фундаментальный аспект человеческого существования заключается в том, что никто никогда не может с абсолютной уверенностью определить, является ли утверждение о мире истинным или ложным. Кроме того, всякий раз, когда выражается истинность предложения, это всегда делается индивидуумом, и его никогда нельзя рассматривать как представляющее общее и объективное убеждение. Эти философские идеи непосредственно отражаются в математическом формализме субъективной логики.

Субъективные мнения [ править ]

Субъективные мнения выражают субъективные убеждения об истинности государственных ценностей/предложений со степенью эпистемической неопределенности и могут явно указывать источник убеждений, когда это необходимо. Мнение обычно обозначается как $\omega _{X}^{A}$ где $A\,\!$ является источником мнения и $X\,\!$ — переменная состояния, к которой применяется мнение. Переменная $X\,\!$ может принимать значения из домена (также называемого пространством состояний), например, обозначаемого как $\mathbb {X}$ . Предполагается, что значения домена являются исчерпывающими и непересекающимися, а источники имеют общую семантическую интерпретацию домена. Источник и переменная являются атрибутами мнения. Указание источника может быть опущено, если оно не имеет значения.

Биномиальные мнения

Позволять $x\,\!$ быть значением состояния в двоичной области. Биномиальное мнение об истинности государственной ценности $x\,\!$ это упорядоченная четверка $\omega _{x}=(b_{x},d_{x},u_{x},a_{x})\,\!$ где:

$b_{x}\,\!$ : масса убеждений	это вера в то, что $x\,\!$ правда.
$d_{x}\,\!$ : масса неверия	это вера в то, что $x\,\!$ является ложным.
$u_{x}\,\!$ : масса неопределенности	— это количество безоговорочных убеждений, также интерпретируемое как эпистемическая неопределенность.
$a_{x}\,\!$ : базовая ставка	— априорная вероятность при отсутствии веры или неверия.

Эти компоненты удовлетворяют $b_{x}+d_{x}+u_{x}=1\,\!$ и $b_{x},d_{x},u_{x},a_{x}\in [0,1]\,\!$ . Характеристики различных классов мнений перечислены ниже.

Мнение	где $b_{x}=1\,\!$	является абсолютным мнением, которое эквивалентно логическому значению ИСТИНА,
	где $d_{x}=1\,\!$	является абсолютным мнением, которое эквивалентно логическому значению FALSE,
	где $b_{x}+d_{x}=1\,\!$	— это догматическое мнение, эквивалентное традиционной вероятности,
	где $b_{x}+d_{x}<1\,\!$	это неопределенное мнение, которое выражает степень эпистемической неопределенности, и
	где $b_{x}+d_{x}=0\,\!$	— это пустое мнение, выражающее полную эпистемическую неопределенность или полную пустоту веры.

Прогнозируемая вероятность биномиального мнения определяется как $\mathrm {P} _{x}=b_{x}+a_{x}u_{x}\,\!$ .

Биномиальные мнения могут быть представлены в равностороннем треугольнике, как показано ниже. Точка внутри треугольника представляет собой $(b_{x},d_{x},u_{x})\,\!$ тройной. Оси b , d , u проходят от одного края к противоположной вершине, обозначенной меткой «Вера», «Неверие» или «Неопределенность». Например, сильное положительное мнение обозначается точкой в нижней правой вершине убеждения. Базовая ставка, также называемая априорной вероятностью, отображается в виде красного указателя вдоль базовой линии, а прогнозируемая вероятность — $\mathrm {P} _{x}\,\!$ , формируется путем проецирования мнения на базу параллельно линии проектора базовой ставки. Мнения о трех ценностях/предложениях X, Y и Z визуализируются на треугольнике слева, а их эквивалентные бета-PDF (функции плотности вероятности) визуализируются на графиках справа. Также показаны числовые значения и словесные качественные описания каждого мнения.

Бета -версия PDF обычно обозначается как $\mathrm {Beta} (p(x);\alpha ,\beta )\,\!$ где $\alpha \,\!$ и $\beta \,\!$ – два его прочностных параметра. Бета-PDF биномиального мнения $\omega _{x}=(b_{x},d_{x},u_{x},a_{x})\,\!$ это функция $\mathrm {Beta} (p(x);\alpha ,\beta ){\mbox{ where }}{\begin{cases}\alpha &={\frac {Wb_{x}}{u_{x}}}+Wa_{x}\\\beta &={\frac {Wd_{x}}{u_{x}}}+W(1-a_{x})\end{cases}}\,\!$ где $W$ неинформативный априорный вес, также называемый единицей доказательства, ^[4] обычно устанавливается на $W=2$ .

мнения Многочленные

Позволять $X\,\!$ быть переменной состояния, которая может принимать значения состояния $x\in \mathbb {X} \,\!$ . Многочленное мнение по поводу $X\,\!$ это композит кортеж $\omega _{X}=(b_{X},u_{X},a_{X})\,\!$ , где $b_{X}\,\!$ представляет собой распределение массы убеждений по возможным значениям состояния $X\,\!$ , $u_{X}\,\!$ – масса неопределенности, а $a_{X}\,\!$ - это априорное (базовое) распределение вероятностей по возможным значениям состояния $X\,\!$ . Эти параметры удовлетворяют $u_{X}+\sum b_{X}(x)=1\,\!$ и $\sum a_{X}(x)=1\,\!$ а также $b_{X}(x),u_{X},a_{X}(x)\in [0,1]\,\!$ .

Триномиальные мнения можно просто визуализировать как точки внутри тетраэдра , но мнения с размерами, превышающими трехчленные, не поддаются простой визуализации.

PDF-файлы Дирихле обычно обозначаются как $\mathrm {Dir} (p_{X};\alpha _{X})\,\!$ где $p_{X}\,\!$ представляет собой распределение вероятностей по значениям состояния $X$ , и $\alpha _{X}\,\!$ – прочностные параметры. PDF Дирихле полиномиального мнения $\omega _{X}=(b_{X},u_{X},a_{X})\,\!$ это функция $\mathrm {Dir} (p_{X};\alpha _{X})$ где параметры прочности определяются выражением $\alpha _{X}(x)={\frac {Wb_{X}(x)}{u_{X}}}+Wa_{X}(x)\,\!$ , где $W$ неинформативный априорный вес, также называемый единицей доказательства, ^[4] обычно устанавливается количество классов.

Операторы [ править ]

Большинство операторов в таблице ниже являются обобщениями бинарной логики и вероятностных операторов. Например, сложение — это просто обобщение сложения вероятностей. Некоторые операторы имеют смысл только для объединения биномиальных мнений, а некоторые также применимы к полиномиальному мнению. ^[5]Большинство операторов являются бинарными, но дополнение — унарным, а отведение — троичным. Математические подробности каждого оператора см. в ссылочных публикациях.

Операторы субъективной логики, обозначения и соответствующие операторы пропозициональной/бинарной логики.
Субъективный логический оператор	Обозначение оператора	Оператор пропозициональной/бинарной логики
Добавление ^[6]	$\omega _{x\cup y}^{A}=\omega _{x}^{A}+\omega _{y}^{A}\,\!$	Союз
Вычитание ^[6]	$\omega _{x\backslash y}^{A}=\omega _{x}^{A}-\omega _{y}^{A}\,\!$	Разница
Умножение ^[7]	$\omega _{x\land y}^{A}=\omega _{x}^{A}\cdot \omega _{y}^{A}\,\!$	Союз / И
Разделение ^[7]	$\omega _{x{\overline {\land }}y}^{A}=\omega _{x}^{A}/\omega _{y}^{A}\,\!$	Разъединение / ООН-И
коумножение ^[7]	$\omega _{x\lor y}^{A}=\omega _{x}^{A}\sqcup \omega _{y}^{A}\,\!$	Дизъюнкция / ИЛИ
Разделение ^[7]	$\omega _{x{\overline {\lor }}y}^{A}=\omega _{x}^{A}\;{\overline {\sqcup }}\;\omega _{y}^{A}\,\!$	Нерасхождение / UN-OR
Дополнить ^[2]^[3]	$\omega _{\overline {x}}^{A}\;\;=\lnot \omega _{x}^{A}\,\!$	НЕТ
Вычет ^[1]	$\omega _{Y\\|X}^{A}=\omega _{Y\|X}^{A}\circledcirc \omega _{X}^{A}\,\!$	Настройка настроения
Субъективная теорема Байеса ^[1]^[8]	$\omega _{X{\tilde {\|}}Y}^{A}=\omega _{Y\|X}^{A}\;{\widetilde {\phi \,}}\;a_{X}\,\!$	Противопоставление
Похищение ^[1]	$\omega _{X{\widetilde {\\|}}Y}^{A}=\omega _{Y\|X}^{A}\;{\widetilde {\circledcirc }}\;(a_{X},\omega _{Y}^{A})\,\!$	Модус толленс
Транзитивность/дисконтирование ^[1]	$\omega _{X}^{A;B}=\omega _{B}^{A}\otimes \omega _{X}^{B}\,\!$	нет
Кумулятивный синтез ^[1]	$\omega _{X}^{A\diamond B}=\omega _{X}^{A}\oplus \omega _{X}^{B}\,\!$	нет
Слияние ограничений ^[1]	$\omega _{X}^{A\&B}=\omega _{X}^{A}\;\odot \;\omega _{X}^{B}\,\!$	нет

Транзитивную исходную комбинацию можно обозначить в компактной или развернутой форме. Например, транзитивный путь доверия от аналитика/источника. $A\,\!$ через источник $B\,\!$ к переменной $X\,\!$ можно обозначить как $[A;B,X]\,\!$ в компактном виде или как $[A;B]:[B,X]\,\!$ в развернутом виде. Здесь, $[A;B]\,\!$ выражает это $A$ имеет некоторое доверие/недоверие к источнику $B$ , тогда как $[B,X]\,\!$ выражает это $B$ имеет мнение о состоянии переменной $X$ который дан в качестве совета $A$ . Расширенная форма является наиболее общей и напрямую соответствует способу формирования субъективных логических выражений с помощью операторов.

Свойства [ править ]

В случае, если мнения аргументов эквивалентны логическим значениям ИСТИНА или ЛОЖЬ, результат любого оператора субъективной логики всегда равен результату соответствующего оператора пропозициональной/бинарной логики. Точно так же, когда мнения аргументов эквивалентны традиционным вероятностям, результат любого оператора субъективной логики всегда равен результату соответствующего оператора вероятности (если он существует).

В случае, если мнения аргументов содержат степени неопределенности, операторы, включающие умножение и деление (включая вычет, абдукцию и теорему Байеса), будут давать производные мнения, которые всегда имеют правильную прогнозируемую вероятность , но, возможно, с приблизительной дисперсией, если рассматривать их как PDF-файлы Бета/Дирихле. ^[1] Все остальные операторы выдают заключения, в которых прогнозируемые вероятности и дисперсия всегда аналитически верны.

Различные логические формулы, которые традиционно эквивалентны в логике высказываний, не обязательно имеют одинаковые мнения. Например $\omega _{x\land (y\lor z)}\neq \omega _{(x\land y)\lor (x\land z)}\,\!$ в целом, хотя дистрибутивность конъюнкции над дизъюнкцией, выраженная как $x\land (y\lor z)\Leftrightarrow (x\land y)\lor (x\land z)\,\!$ , выполняется в бинарной логике высказываний. Это неудивительно, поскольку соответствующие операторы вероятности также не являются дистрибутивными. Однако умножение является распределительным по сравнению с сложением, что выражается формулой $\omega _{x\land (y\cup z)}=\omega _{(x\land y)\cup (x\land z)}\,\!$ . Законы де Моргана также выполняются, как, например, выражается формулой $\omega _{\overline {x\land y}}=\omega _{{\overline {x}}\lor {\overline {y}}}\,\!$ .

Субъективная логика позволяет очень эффективно рассчитывать математически сложные модели. Это возможно путем аппроксимации аналитически правильных функций. Хотя аналитически перемножить два бета-файла PDF в форме совместного бета-файла PDF относительно просто , все, что более сложно, быстро становится неразрешимым. При объединении двух бета-PDF с каким-либо оператором/связкой аналитический результат не всегда является бета-PDF и может включать гипергеометрические ряды . В таких случаях субъективная логика всегда аппроксимирует результат как мнение, эквивалентное бета-версии PDF.

Приложения [ править ]

Субъективная логика применима, когда анализируемая ситуация характеризуется значительной эпистемической неопределенностью из-за неполноты знаний. Таким образом, субъективная логика становится вероятностной логикой эпистемически-неопределенных вероятностей. Преимущество состоит в том, что неопределенность сохраняется на протяжении всего анализа и становится явной в результатах, так что можно различать определенные и неопределенные выводы.

Моделирование сетей доверия и байесовских сетей является типичным применением субъективной логики.

доверия Сети субъективного

Сети субъективного доверия можно моделировать с помощью комбинации операторов транзитивности и слияния. Позволять $[A;B]\,\!$ выразить преимущество доверия рефералов от $A\,\!$ к $B\,\!$ , и разреши $[B,X]\,\!$ выражать край убеждения от $B\,\!$ к $X\,\!$ . Сеть субъективного доверия может быть, например, выражена как $([A;B]:[B,X])\diamond ([A;C]:[C,X])\,\!$ как показано на рисунке ниже.

Индексы 1, 2 и 3 указывают хронологический порядок формирования ребер доверия и совета. Таким образом, учитывая набор ребер доверия с индексом 1, доверитель источника $A\,\!$ получает совет от $B\,\!$ и $C\,\!$ и, таким образом, способен получить веру в переменную $X\,\!$ . Выражая каждую границу доверия и границу убеждения как мнение, можно $A\,\!$ обрести веру в $X\,\!$ выражается как $\omega _{X}^{A}=\omega _{X}^{[A;B]\diamond [A;C]}=(\omega _{B}^{A}\otimes \omega _{X}^{B})\oplus (\omega _{C}^{A}\otimes \omega _{X}^{C})\,\!$ .

Сети доверия могут выражать надежность источников информации и использоваться для определения субъективных мнений о переменных, о которых источники предоставляют информацию.

Субъективная логика, основанная на фактических данных ( EBSL ) ^[4] описывает альтернативное вычисление сети доверия, в котором транзитивность мнений (дисконтирование) обрабатывается путем применения весов к доказательствам, лежащим в основе мнений.

байесовские сети Субъективные

В байесовской сети ниже: $X\,\!$ и $Y\,\!$ являются родительскими переменными и $Z\,\!$ является дочерней переменной. Аналитик должен усвоить набор совместных условных мнений. $\omega _{Z|XY}$ чтобы применить оператор дедукции и получить маргинальное мнение $\omega _{Z\|XY}$ по переменной $Z$ . Условные мнения выражают условную связь между родительскими переменными и дочерней переменной.

Выведенное мнение вычисляется как $\omega _{Z\|XY}=\omega _{Z|XY}\circledcirc \omega _{XY}$ . Совместное мнение о доказательствах $\omega _{XY}$ может быть рассчитана как произведение мнений независимых доказательств относительно $X\,\!$ и $Y\,\!$ или как совместный продукт частично зависимых мнений о доказательствах.

Субъективные сети [ править ]

Комбинация сети субъективного доверия и субъективной байесовской сети представляет собой субъективную сеть. Сеть субъективного доверия может использоваться для получения из различных источников мнений, которые будут использоваться в качестве входных мнений для субъективной байесовской сети, как показано на рисунке ниже.

Традиционная байесовская сеть обычно не учитывает надежность источников. В субъективных сетях явно учитывается доверие к источникам.

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час А. Йосанг. Субъективная логика: формализм рассуждений в условиях неопределенности . Спрингер Верлаг, 2016 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б А. Йосанг. Искусственное рассуждение с субъективной логикой. Материалы второго австралийского семинара по здравому смыслу , Перт, 1997. PDF
^ Перейти обратно: ^а ^б А. Йосанг. Логика неопределенных вероятностей. Международный журнал неопределенности, нечеткости и систем, основанных на знаниях . 9(3), стр. 279–311, июнь 2001 г. PDF
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Скорич, Б.; Занноне, Н. (2016). «Репутация, основанная на потоке, с неопределенностью: основанная на фактах субъективная логика». Международный журнал информационной безопасности . 15 (4): 381–402. arXiv : 1402.3319 . дои : 10.1007/s10207-015-0298-5 .
^ А. Ёсанг. Вероятностная логика в условиях неопределенности. Proceedings of Computing: Австралийский теоретический симпозиум (CATS'07) , Балларат, январь 2007 г. PDF
^ Перейти обратно: ^а ^б Д. Макэналли и А. Йосанг. Сложение и вычитание убеждений. Материалы конференции по обработке информации и управлению неопределенностью в системах, основанных на знаниях (IPMU2004) , Перуджа, июль 2004 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д А. Йосанг и Д. Макэналли. Умножение и умножение убеждений. Международный журнал приблизительного рассуждения , 38/1, стр. 19–51, 2004 г.
^ А. Ёсанг. Обобщение теоремы Байеса в субъективной логике . 2016 Международная конференция IEEE по мультисенсорному слиянию и интеграции для интеллектуальных систем (MFI 2016) , Баден-Баден, Германия, 2016.

Внешние ссылки [ править ]

Субъективная логика Аудуна Йосанга
Структура субъективного логического экспериментирования , основанная на субъективных логических операторах в оценке доверия: эмпирическое исследование Ф. Черутти, Л. М. Каплана, Т. Дж. Нормана, Н. Орена и А. Тониоло

[Jos16-Springer-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж ^г ^час А. Йосанг. Субъективная логика: формализм рассуждений в условиях неопределенности . Спрингер Верлаг, 2016 г.

[J97-2] Перейти обратно: ^а ^б А. Йосанг. Искусственное рассуждение с субъективной логикой. Материалы второго австралийского семинара по здравому смыслу , Перт, 1997. PDF

[J01-3] Перейти обратно: ^а ^б А. Йосанг. Логика неопределенных вероятностей. Международный журнал неопределенности, нечеткости и систем, основанных на знаниях . 9(3), стр. 279–311, июнь 2001 г. PDF

[SdHZ-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с Скорич, Б.; Занноне, Н. (2016). «Репутация, основанная на потоке, с неопределенностью: основанная на фактах субъективная логика». Международный журнал информационной безопасности . 15 (4): 381–402. arXiv : 1402.3319 . дои : 10.1007/s10207-015-0298-5 .

[J07-5] А. Ёсанг. Вероятностная логика в условиях неопределенности. Proceedings of Computing: Австралийский теоретический симпозиум (CATS'07) , Балларат, январь 2007 г. PDF

[MJ04-6] Перейти обратно: ^а ^б Д. Макэналли и А. Йосанг. Сложение и вычитание убеждений. Материалы конференции по обработке информации и управлению неопределенностью в системах, основанных на знаниях (IPMU2004) , Перуджа, июль 2004 г.

[JM03-7] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д А. Йосанг и Д. Макэналли. Умножение и умножение убеждений. Международный журнал приблизительного рассуждения , 38/1, стр. 19–51, 2004 г.

[Jos16-MFI-8] А. Ёсанг. Обобщение теоремы Байеса в субъективной логике . 2016 Международная конференция IEEE по мультисенсорному слиянию и интеграции для интеллектуальных систем (MFI 2016) , Баден-Баден, Германия, 2016.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]