Доксастическая логика

Доксастическая логика — это тип логики, связанной с рассуждениями об убеждениях .

Термин доксастик происходит от древнегреческого δόξα ( doxa английский термин doxa , «мнение, убеждение»), из которого также заимствован («популярное мнение или убеждение»). Обычно в доксастической логике используются обозначения ${\mathcal {B}}x$ означает «Считается, что $x$ это так", и набор $\mathbb {B} :\left\{b_{1},\ldots ,b_{n}\right\}$ обозначает набор убеждений . В доксастической логике убеждение рассматривается как модальный оператор .

Существует полный параллелизм между человеком, который верит в предположения , и формальной системой , которая выводит предложения. Используя доксастическую логику, можно выразить эпистемический аналог Гёделя о неполноте , теоремы металогики а также теоремы Леба и других металогических результатов в терминах убеждения.

Типы рассуждений

Чтобы продемонстрировать свойства наборов убеждений, Рэймонд Смалльян определяет следующие типы рассуждений:

• Точный аргумент : Точный мыслитель никогда не верит никакому ложному утверждению. (модальная аксиома T )

$\forall p:{\mathcal {B}}p\to p$

• Неверное рассуждение : Неточный мыслитель верит по крайней мере в одно ложное утверждение.

$\exists p:\neg p\wedge {\mathcal {B}}p$

• Последовательный аргумент : Последовательный мыслитель никогда не верит одновременно в утверждение и в его отрицание. (модальная аксиома D )

$\neg \exists p:{\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B}}\neg p\quad {\text{or}}\quad \forall p:{\mathcal {B}}p\to \neg {\mathcal {B}}\neg p$

• Нормальный резонатор : Нормальный мыслитель — это тот, кто, веря $p,$ также считает, что они верят p (модальная аксиома 4 ).

$\forall p:{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {BB}}p$

Вариантом этого может быть тот, кто, хотя и не верит $p,$ также считает, что они не верят p (модальная аксиома 5 ).

$\forall p:\neg {\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}(\neg {\mathcal {B}}p)$

• Своеобразный резонатор : Своеобразный мыслитель верит в предложение p, одновременно полагая, что он не верит. $p.$ Хотя необычный мыслитель может показаться странным психологическим феноменом (см. парадокс Мура ), необычный мыслитель обязательно неточен, но не обязательно непоследователен.

$\exists p:{\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B\neg B}}p$

• Обычный резонатор : Правильный мыслитель — это тот, кто, веря $p\to q$, тоже считает ${\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q$.

$\forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to {\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q)$

• Рефлексивное мышление : Рефлексивный мыслитель — это тот, для кого каждое предложение $p$ есть какое-то предложение $q$ такой, что мыслитель верит $q\equiv ({\mathcal {B}}q\to p)$.

$\forall p\exists q:{\mathcal {B}}(q\equiv ({\mathcal {B}}q\to p))$

Если рефлексивный мыслитель 4-го типа [см. ниже ] верит ${\mathcal {B}}p\to p$, они поверят п. Это параллелизм теоремы Лёба для рассуждений.

• Самодовольный мыслитель : Тщеславный мыслитель считает, что его убеждения никогда не бывают неточными.

${\mathcal {B}}[\neg \exists p(\neg p\wedge {\mathcal {B}}p)]\quad {\text{or}}\quad {\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}p\to p)]$

Переписанный в новой форме, это логически эквивалентно :

$\forall p[{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to p)]$

Это подразумевает, что:

$\forall p({\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}p)$

Это показывает, что тщеславный мыслитель всегда является устойчивым мыслителем (см. ниже).

• Нестабильный мыслитель : Нестабильный мыслитель — это тот, кто считает, что верит в какое-то утверждение, но на самом деле не верит в него. Это столь же странное психологическое явление, как и своеобразие; однако нестабильный мыслитель не обязательно непоследователен.

$\exists p:{\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p\wedge \neg {\mathcal {B}}p$

• Стабильный мыслитель : Стабильный мыслитель не является нестабильным. То есть для каждого $p,$ если они верят ${\mathcal {B}}p$ тогда они верят $p.$ Обратите внимание, что стабильность — это противоположность нормальности. Мы скажем, что мыслитель считает, что они стабильны, если для каждого предложения $p,$ они верят ${\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}p$ (полагая: «Если я когда-нибудь поверю, что верю $p,$ тогда я действительно поверю $p$"). Это соответствует наличию плотного отношения доступности в семантике Крипке , и любое точное рассуждение всегда стабильно.

$\forall p:{\mathcal {BB}}p\to {\mathcal {B}}p$

• Скромный резонатор : Скромный мыслитель — это тот, у кого на каждое убежденное положение $p$, ${\mathcal {B}}p\to p$ только если они верят $p$. Скромный мыслитель никогда не верит ${\mathcal {B}}p\to p$ если они не поверят $p$. Любой рефлексивный мыслитель четвертого типа скромен. ( Теорема Лёба )

$\forall p:{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to p)\to {\mathcal {B}}p$

• Странный рассуждатель : Странный мыслитель относится к типу G и считает, что они непоследовательны, но ошибается в этом убеждении.
• Робкий рассуждатель : Робкий мыслитель не верит $p$ [боится" поверить $p$] если они верят, что вера в $p$ приводит к противоречивому убеждению.

$\forall p:{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}\bot )\to \neg {\mathcal {B}}p$

уровня

• Рассуждение типа 1 : Рассуждающий типа 1 обладает полным знанием логики высказываний , т.е. он рано или поздно верит в каждую тавтологию /теорему (любое утверждение, доказуемое таблицами истинности ):

$\vdash _{PC}p\Rightarrow \ \vdash {\mathcal {B}}p$

Символ $\vdash _{PC}p$ означает $p$ — это тавтология/теорема, доказуемая в исчислении высказываний. Кроме того, их набор убеждений (прошлое, настоящее и будущее) логически замкнут в рамках modus ponens . Если они когда-нибудь поверят $p$ и $p\to q$ тогда они (рано или поздно) поверят $q$:

$\forall p\forall q:({\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B}}(p\to q))\to {\mathcal {B}}q)$

Это правило также можно рассматривать как утверждение, что убеждение распространяется на импликацию, поскольку это логически эквивалентно

$\forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to ({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q)$.

Обратите внимание, что в действительности даже предположение о рассуждении типа 1 может быть слишком сильным в некоторых случаях (см. Парадокс лотереи ).

• Тип 1* рассуждения : Мыслитель типа 1* верит всем тавтологиям; их набор убеждений (прошлое, настоящее и будущее) логически замкнут по modus ponens, и для любых пропозиций $p$ и $q,$ если они верят $p\to q,$ тогда они поверят, что если они поверят $p$ тогда они поверят $q$. Рассудитель типа 1* обладает «немного большим» самосознанием , чем рассуждатель типа 1.

$\forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to {\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q)$

• Рассуждение второго типа : Рассудитель относится к типу 2, если он относится к типу 1, и если для каждого $p$ и $q$ они (правильно) полагают: «Если я когда-нибудь поверю обоим $p$ и $p\to q,$, тогда я поверю $q$.» Будучи представителями типа 1, они также верят в логически эквивалентное утверждение: ${\mathcal {B}}(p\to q)\to ({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}q).$ Мыслитель второго типа знает, что его убеждения ограничены modus ponens.

$\forall p\forall q:{\mathcal {B}}(({\mathcal {B}}p\wedge {\mathcal {B}}(p\to q))\to {\mathcal {B}}q)$

• Рассуждение третьего типа : Рассудитель относится к типу 3, если он является обычным рассуждением типа 2.

$\forall p:{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p$

• Рассуждение четвертого типа : Человек, который мыслит, относится к типу 4, если он принадлежит к типу 3 и при этом считает себя нормальным.

${\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p)]$

• Рассуждение типа G : Рассудитель 4-го типа, считающий себя скромным.

${\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}({\mathcal {B}}p\to p)\to {\mathcal {B}}p)]$

Самореализующиеся убеждения

Для систем мы определяем рефлексивность как то, что для любого $p$ (на языке системы) есть некоторая $q$ такой, что $q\equiv {\mathcal {B}}q\to p$ доказуемо в системе. Теорема Лёба (в общей форме) состоит в том, что для любой рефлексивной системы типа 4, если ${\mathcal {B}}p\to p$ доказуемо в системе, так же как и $p.$

Непостоянство веры в свою стабильность

Если последовательный рефлексивный мыслитель 4-го типа считает, что они стабильны, то они станут нестабильными. Другими словами, если устойчивый рефлексивный мыслитель 4-го типа считает, что они стабильны, то они станут непоследовательными. Почему это? Предположим, что устойчивый рефлексивный мыслитель 4-го типа считает, что они стабильны. Мы покажем, что они (рано или поздно) поверят каждому предложению. $p$ (и, следовательно, быть непоследовательным). Возьмем любое предложение $p.$ Разумный считает ${\mathcal {B}}{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}p,$ следовательно, по теореме Лёба они поверят ${\mathcal {B}}p$ (потому что они верят ${\mathcal {B}}r\to r,$ где $r$ это предложение ${\mathcal {B}}p,$ и поэтому они поверят $r,$ какое предложение ${\mathcal {B}}p$). Будучи стабильными, они тогда поверят $p.$

См. также

• Эпистемическая модальная логика
• Пересмотр убеждений
• Общее знание (логика)
• Джордж Булос
• Яакко Хинтикка
• Модальная логика
• Раймонд Смалльян

Дальнейшее чтение

• Линдстрем, ул.; Рабинович, Вл. (1999). «DDL Unlimited. Динамическая доксастическая логика для интроспективных агентов». Эркеннтнис . 51 (2–3): 353–385. дои : 10.1023/А:1005577906029 . S2CID   116984078 .
• Лински, Л. (1968). «Об интерпретации доксастической логики». Журнал философии . 65 (17): 500–502. дои : 10.2307/2024352 . JSTOR   2024352 .
• Сегерберг, Кр. (1999). «Логика по умолчанию как динамическая доксастическая логика». Эркеннтнис . 50 (2–3): 333–352. дои : 10.1023/А:1005546526502 . S2CID   118747031 .
• Вансинг, Х. (2000). «Сведение доксастической логики к логике действия». Эркеннтнис . 53 (1–2): 267–283. дои : 10.1023/А:1005666218871 . S2CID   58939606 .