Эпистемическая модальная логика

Эпистемическая модальная логика — это подполе модальной логики , которое занимается рассуждениями о знании . Хотя эпистемология имеет давнюю философскую традицию, восходящую к Древней Греции , эпистемическая логика является гораздо более поздней разработкой и находит применение во многих областях, включая философию , теоретическую информатику , искусственный интеллект , экономику и лингвистику . В то время как философы, начиная с Аристотеля, обсуждали модальную логику, а средневековые философы, такие как Авиценна , Оккам и Дунс Скот, развили многие из своих наблюдений, именно К.И. Льюис в 1912 году создал первый символический и систематический подход к этой теме. как поле, достигшее своей современной формы в 1963 году благодаря работе Крипке .

Историческое развитие

В 1950-х годах было написано множество статей, в которых вскользь говорилось о логике познания, но статья финского философа Г.Х. фон Райта 1951 года под названием «Очерк модальной логики» основополагающим документом считается . Лишь в 1962 году другой финн, Хинтикка , написал «Знание и убеждение» — первую книгу длиной в книгу, в которой предлагалось использовать модальности для отражения семантики знания, а не алетических утверждений, обычно обсуждаемых в модальной логике. Эта работа заложила большую часть основы для этой темы, но с тех пор было проведено множество исследований. Например, эпистемическая логика недавно была объединена с некоторыми идеями динамической логики для создания динамической эпистемической логики , которую можно использовать для определения и обоснования изменения информации и обмена информацией в многоагентных системах . Основополагающими работами в этой области являются Плаза, Ван Бентем , Балтаг, Мосс и Солецки.

модель

Большинство попыток моделирования знаний было основано на модели возможных миров . Чтобы сделать это, мы должны разделить множество возможных миров на те, которые совместимы со знаниями агента, и те, которые несовместимы. В целом это соответствует общепринятому использованию. Если я знаю, что сегодня пятница или суббота, то я точно знаю, что сегодня не четверг. Насколько мне известно, не существует возможного мира, в котором сейчас четверг, поскольку во всех этих мирах это либо пятница, либо суббота. Хотя мы в первую очередь будем обсуждать логический подход к решению этой задачи, стоит упомянуть здесь другой основной используемый метод — подход, основанный на событиях . В этом конкретном использовании события представляют собой наборы возможных миров, а знание — это оператор событий. Хотя эти стратегии тесно связаны между собой, между ними следует сделать два важных различия:

• Базовой математической моделью логического подхода является семантика Крипке , в то время как событийный подход использует соответствующие структуры Аумана, основанные на теории множеств .
• В событийном подходе полностью отказываются от логических формул, а в логическом подходе используется система модальной логики.

Обычно подход, основанный на логике, используется в таких областях, как философия, логика и искусственный интеллект, тогда как подход, основанный на событиях, чаще используется в таких областях, как теория игр и математическая экономика . В логическом подходе синтаксис и семантика построены с использованием языка модальной логики, который мы сейчас опишем.

Синтаксис

Базовый модальный оператор эпистемической логики, обычно записываемый K , можно прочитать как «известно, что», «эпистемически необходимо, что» или «это несовместимо с тем, что известно, что нет». Если существует более одного агента, чьи знания должны быть представлены, к оператору могут быть прикреплены индексы ( ${\mathit {K}}_{1}$, ${\mathit {K}}_{2}$и т. д.), чтобы указать, о каком агенте идет речь. Так ${\mathit {K}}_{a}\varphi$ можно прочитать как «Агент $a$ знает это $\varphi$Таким образом, эпистемическая логика может быть примером мультимодальной логики, применяемой для представления знаний . Двойственный K , который находился бы в том же отношении к K , что и $\Diamond$ это $\Box$, не имеет конкретного символа, но может быть представлено $\neg K_{a}\neg \varphi$, что можно прочитать как « $a$ не знает, что нет $\varphi$" или "Это соответствует $a$знание того, что $\varphi$ возможно". Заявление " $a$ не знает, есть или нет $\varphi$"можно выразить как $\neg K_{a}\varphi \land \neg K_{a}\neg \varphi$.

Чтобы учесть понятия общего знания (например, в « Загадке мутных детей ») и распределенного знания , в язык можно добавить три других модальных оператора. Это ${\mathit {E}}_{\mathit {G}}$, который гласит: «каждый агент в группе G знает» ( взаимное знание ); ${\mathit {C}}_{\mathit {G}}$, который гласит: «Это общеизвестно каждому агенту в G»; и ${\mathit {D}}_{\mathit {G}}$, который гласит: «Знания распространяются на всю группу G». Если $\varphi$ является формулой нашего языка, то и ${\mathit {E}}_{G}\varphi$, ${\mathit {C}}_{G}\varphi$, и ${\mathit {D}}_{G}\varphi$. Так же, как нижний индекс после ${\mathit {K}}$ можно опустить, если имеется только один агент, нижний индекс после модальных операторов ${\mathit {E}}$, ${\mathit {C}}$, и ${\mathit {D}}$ можно опустить, если группа представляет собой набор всех агентов.

Семантика

Как упоминалось выше, подход, основанный на логике, построен на модели возможных миров, семантика которой часто принимает определенную форму в структурах Крипке, также известных как модели Крипке. Структура Крипке ${\mathcal {M}}=\langle S,\pi ,K_{1},\dots ,K_{n}\rangle$ для n агентов более $\Phi$, множество всех примитивных предложений, является $(n+2)$-кортеж, где $S$ представляет собой непустое множество состояний или возможных миров , $\pi$ это интерпретация , которая ассоциируется с каждым состоянием $s\in S$ присвоение истинности примитивным предложениям в $\Phi$, и ${\mathcal {K}}_{1},...,{\mathcal {K}}_{n}$ являются бинарными отношениями на $S$ для n числа агентов. Здесь важно не перепутать $K_{i}$, наш модальный оператор, и ${\mathcal {K}}_{i}$, наше отношение доступности.

Присвоение истинности говорит нам, является ли предложение $p$ является истинным или ложным в определенном состоянии. Так $\pi (s)(p)$ говорит нам, является ли $p$ верно в штате $s$ в модели ${\mathcal {M}}$. Истина зависит не только от структуры, но и от текущего мира. То, что что-то верно в одном мире, не означает, что это верно и в другом. Сказать, что формула $\varphi$ верно в определенном мире, пишут $({\mathcal {M}},s)\models \varphi$, обычно читается как " $\varphi$ это правда в $({\mathcal {M}},s)$," или " $({\mathcal {M}},s)$ удовлетворяет $\varphi$".

Полезно подумать о нашем бинарном отношении ${\mathcal {K}}_{i}$ как отношение возможности , потому что оно призвано фиксировать, какие миры или состояния, агент, я считаю возможными; Другими словами, $w{\mathcal {K}}_{i}v$ тогда и только тогда, когда $\forall \varphi [(w\models K_{i}\varphi )\implies (v\models \varphi )]$и такое $v$называются эпистемическими альтернативами для агента i . В идеализированных описаниях знаний (например, при описании эпистемического статуса совершенных мыслителей с бесконечной емкостью памяти) имеет смысл ${\mathcal {K}}_{i}$ быть отношением эквивалентности , поскольку это самая сильная форма и наиболее подходящая для наибольшего числа приложений. Отношение эквивалентности — это бинарное отношение, которое является рефлексивным , симметричным и транзитивным . Отношение доступности не обязательно должно обладать этими качествами; безусловно, возможны и другие варианты, например те, которые используются при моделировании убеждений, а не знаний.

Свойства знаний

Предполагая, что ${\mathcal {K}}_{i}$ является отношением эквивалентности, и поскольку агенты являются совершенными мыслителями, можно вывести несколько свойств знания. Перечисленные здесь свойства часто называют «свойствами S5» по причинам, описанным в разделе «Системы аксиом» ниже.

Аксиома

аксиома традиционно известна как К. Эта В эпистемических терминах это утверждает, что если агент знает $\varphi$ и знает это $\varphi \implies \psi$, то агент также должен знать $\,\psi$. Так,

$(K_{i}\varphi \land K_{i}(\varphi \implies \psi ))\implies K_{i}\psi$

Эта аксиома справедлива для любого фрейма в реляционной семантике . Эта аксиома логически устанавливает modus ponens как правило вывода для каждого эпистемически возможного мира.

Правило обобщения знаний

Еще одно свойство, которое мы можем вывести, состоит в том, что если $\phi$ допустимо (т.е. тавтология ), то $K_{i}\phi$. Это не означает, что если $\phi$ это правда, тогда агент, которого я знаю $\phi$. Это означает, что если $\phi$ верно в каждом мире, который агент считает возможным, то агент должен знать $\phi$ во всех возможных мирах. Этот принцип традиционно называется N (правило необходимости).

${\text{if }}\models \varphi {\text{ then }}M\models K_{i}\varphi .\,$

Это правило всегда сохраняет истину в реляционной семантике .

знания

известна как Т. Эта аксиома также Он гласит, что если агент знает факты, они должны быть правдивыми. Это часто рассматривалось как главная отличительная черта между знанием и верой. Мы можем верить, что утверждение истинно, когда оно ложно, но было бы невозможно узнать ложное утверждение.

$K_{i}\varphi \implies \varphi$

Эту аксиому также можно выразить в ее противопоставлении , поскольку агенты не могут знать ложное утверждение:

$\varphi \implies \neg K_{i}\neg \varphi$

Эта аксиома справедлива для любой рефлексивной системы координат .

Аксиома

Это и следующее свойство утверждают, что агент занимается самоанализом своих знаний, и традиционно известны как 4 и 5 соответственно. Аксиома позитивного интроспекции, также известная как аксиома КК, конкретно утверждает, что агенты знают, что они знают то, что они знают . Эта аксиома может показаться менее очевидной, чем перечисленные ранее, и Тимоти Уильямсон решительно выступал против ее включения в свою книгу « Знание и его пределы» .

$K_{i}\varphi \implies K_{i}K_{i}\varphi$

Аналогичным образом, эта модальная аксиома 4 говорит, что агенты не знают того, чего они не знают, что они знают.

$\neg K_{i}K_{i}\varphi \implies \neg K_{i}\varphi$

Эта аксиома справедлива в любой транзитивной системе отсчета.

Аксиома

Аксиома негативной интроспекции гласит, что агенты знают, что они не знают того, чего они не знают .

$\neg K_{i}\varphi \implies K_{i}\neg K_{i}\varphi$

Или, что то же самое, эта модальная аксиома 5 гласит, что агенты знают то, чего они не знают, что они не знают.

$\neg K_{i}\neg K_{i}\varphi \implies K_{i}\varphi$

Эта аксиома справедлива в любой евклидовой системе отсчета.

Системы аксиом

Различные модальные логики могут быть получены из разных подмножеств этих аксиом, и эти логики обычно называются в честь используемых важных аксиом. Однако это не всегда так. KT45, модальная логика, возникающая в результате объединения K , T , 4 , 5 и правила обобщения знаний, в первую очередь известна как S5 . Вот почему описанные выше свойства знания часто называют Свойствами S5. Однако можно доказать, что модальная аксиома B является теоремой из S5 (т. $S5\vdash \mathbf {B}$), который говорит, что то, чего агент не знает, что он не знает, является правдой: $\neg K_{i}\neg K_{i}\varphi \implies \varphi$. Модальная аксиома B верна в любой симметричной системе координат, но она очень противоречива в эпистемической логике: как незнание собственного невежества может подразумевать истину? Поэтому остается спорным, описывает ли S4 эпистемическую логику лучше, чем S5.

Эпистемическая логика также имеет дело с убеждениями, а не только со знаниями. Основной модальный оператор обычно B вместо K. пишется Однако в этом случае аксиома знания больше не кажется верной — агенты лишь иногда верят в правду — поэтому ее обычно заменяют аксиомой непротиворечивости, традиционно называемой D :

$\neg B_{i}\bot$

который утверждает, что агент не верит в противоречие или в то, что является ложным. Когда D заменяет T в S5, полученная система известна как KD45. Это приводит к различным свойствам ${\mathcal {K}}_{i}$ также. Например, в системе, где агент «верит», что что-то истинно, но на самом деле это не так, отношение доступности будет нерефлексивным. Логику убеждения называют доксастической логикой .

Мультиагентные системы

имеется несколько агентов Когда в области дискурса , где каждый агент i соответствует отдельному эпистемическому модальному оператору. $K_{i}$Помимо перечисленных выше схем аксиом для каждого отдельного агента, описывающих рациональность каждого агента, обычно также предполагается, что рациональность каждого агента является общеизвестным явлением .

познания

Если мы примем к знанию подход возможных миров, из этого следует, что наш эпистемический агент а знает все логические следствия своих убеждений (известные как логическое всезнание). ). Если $Q$ является логическим следствием $P$, то не существует возможного мира, в котором $P$ это правда, но $Q$ нет. Итак, если кто-то знает это $P$ верно, отсюда следует, что все логические следствия $P$ верны для всех возможных миров, совместимых с его убеждениями. Следовательно, А знает $Q$. Эпистемически невозможно, не- чтобы $Q$ учитывая его знания, что $P$. Это соображение было частью того, что привело Роберта Сталнакера к разработке двумерности , которая, возможно, может объяснить, как мы можем не знать всех логических следствий наших убеждений, даже если не существует миров, в которых известные нам суждения оказываются истинными, а их последствия ложны. .

Даже когда мы игнорируем возможную семантику мира и придерживаемся аксиоматических систем, эта особенность сохраняется. С помощью K и N (правила распределения и правила обобщения знаний соответственно), которые являются аксиомами, минимально верными для всех нормальных модальных логик, мы можем доказать, что знаем все логические следствия наших убеждений. Если $Q$ является логическим следствием $P$ (т.е. мы имеем тавтологию $\models (P\rightarrow Q)$), то мы можем вывести $K_{a}(P\rightarrow Q)$ с N и используя условное доказательство с аксиомой K , мы можем затем вывести $K_{a}P\rightarrow K_{a}Q$ с К. ​Когда мы переводим это в эпистемические термины, это говорит о том, что если $Q$ является логическим следствием $P$, то a знает, что это так, и если a знает $P$, а знает $Q$. Другими словами, А знает все логические следствия каждого предложения. Это обязательно верно для всех классических модальных логик. Но тогда, например, если a знает, что простые числа делятся только на себя и на единицу, то a знает, что 8683317618811886495518194401279999999 является простым (поскольку это число делится только на себя и на единицу). То есть, согласно модальной интерпретации знания, когда а знает определение простого числа, а знает, что это число простое. Это обобщается на любую доказуемую теорему в любой аксиоматической теории (т.е. если a знает все аксиомы теории, то a знает все доказуемые теоремы в этой теории). На этом этапе должно быть ясно, что a не является человеком (иначе в математике не было бы нерешенных гипотез, таких как проблема P и NP или гипотеза Гольдбаха ). Это показывает, что эпистемическая модальная логика представляет собой идеализированное описание знания и объясняет объективное, а не субъективное знание (во всяком случае).

(заблуждение человека в маске

В философской логике ошибка человека в маске (также известная как интенсиональная ошибка или эпистемическая ошибка) совершается, когда кто-то незаконно использует закон Лейбница в аргументации. Это заблуждение является «эпистемическим», поскольку оно постулирует непосредственную идентичность между знанием субъектом объекта и самим объектом, не признавая, что закон Лейбница не способен учитывать интенсиональные контексты.

Примеры

Название заблуждения взято из примера:

• Посылка 1 : Я знаю, кто такой Боб.
• Посылка 2 : Я не знаю, кто этот человек в маске.
• Вывод : Следовательно, Боб — не человек в маске.

Посылки могут быть истинными , а вывод ложным, если Боб — человек в маске, а говорящий этого не знает. Таким образом, аргумент является ошибочным.

В символической форме приведенные выше аргументы таковы:

• Посылка 1: Я знаю, кто такой Х.
• Посылка 2: Я не знаю, кто такой Y.
• Вывод: Следовательно, X не есть Y.

Заметим, однако, что этот силлогизм встречается в рассуждениях говорящего «Я»; Следовательно, в формальной модальной логической форме это будет

• Посылка 1: говорящий полагает, что знает, кто такой Х.
• Посылка 2: говорящий считает, что не знает, кто такой Y.
• Вывод: Следовательно, говорящий считает, что X не есть Y.

Посылка 1 ${\mathcal {B}}_{s}\forall t(t=X\rightarrow K_{s}(t=X))$ является очень сильным, поскольку логически эквивалентен ${\mathcal {B_{s}}}\forall t(\neg K_{s}(t=X)\rightarrow t\not =X)$. Очень вероятно, что это ложное убеждение : $\forall t(\neg K_{s}(t=X)\rightarrow t\not =X)$ скорее всего, ложное суждение, поскольку незнание этого суждения $t=X$ не подразумевает отрицание того, что это правда.

Другой пример:

• Предпосылка 1: Лоис Лейн думает, что Супермен может летать.
• Предпосылка 2: Лоис Лейн думает, что Кларк Кент не умеет летать.
• Вывод: Следовательно, Супермен и Кларк Кент — не одно и то же лицо.

Выраженный в доксастической логике приведенный выше силлогизм таков:

• Предпосылка 1: ${\mathcal {B}}_{\text{Lois}}{\text{Fly}}_{\text{(Superman)}}$
• Предпосылка 2: ${\mathcal {B}}_{\text{Lois}}\neg {\text{Fly}}_{\text{(Clark)}}$
• Заключение: ${\text{Superman}}\neq {\text{Clark}}$

Приведенные выше рассуждения недействительны (не сохраняют истину). Правильный вывод, который следует сделать, ${\mathcal {B}}_{\text{Lois}}({\text{Superman}}\neq {\text{Clark}})$.

См. также

• Эпистемическое закрытие
• Эпистемология
• Динамическая эпистемическая логика
• Логика в информатике
• Философские объяснения

Ссылки

• Андерсон А. и Н.Д. Белнап. Следствие: логика значимости и необходимости. Принстон: Издательство Принстонского университета , 1975. ASIN B001NNPJL8.
• Браун, Бенджамин, Мысли и образ мышления: теория источников и ее приложения. Лондон: Ubiquity Press , 2017. [1] .
• ван Дитмарш Ханс, Халперн Джозеф Й., ван дер Хук Вибе и Куи Бартелд (ред.), Справочник по эпистемической логике , Лондон: College Publications, 2015.
• Феджин, Рональд; Халперн, Джозеф; Моисей, Йорам; Варди, Моше (2003). Рассуждения о Знании . Кембридж: MIT Press . ISBN  978-0-262-56200-3 . . Классическая ссылка.
• Рональд Фейджин, Джозеф Халперн, Моше Варди. «Нестандартный подход к проблеме логического всезнания». Искусственный интеллект , Том 79, Номер 2, 1995, с. 203-40.
• Хендрикс, В. Ф. Мейнстрим и формальная эпистемология. Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета , 2007.
• Хинтикка, Яакко (1962). Знание и убеждение. Введение в логику двух понятий . Итака: Издательство Корнельского университета . ISBN  978-1-904987-08-6 . .
• Мейер, Дж. Дж. К., 2001, «Эпистемическая логика», в издании Гобла Лу, « Руководство Блэквелла по философской логике» . Блэквелл .
• Монтегю, Р. «Универсальная грамматика». Теоретика , том 36, 1970, с. 373-398.
• Решер, Николас (2005). Эпистемическая логика: обзор логики познания . Издательство Питтсбургского университета . ISBN  978-0-8229-4246-7 . .
• Шохам, Йоав; Лейтон-Браун, Кевин (2009). Мультиагентные системы: алгоритмические, теоретико-игровые и логические основы . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-89943-7 . . См. главы 13 и 14; можно скачать бесплатно в Интернете .

Внешние ссылки

• «Динамическая эпистемическая логика» . Интернет-энциклопедия философии .
• Хендрикс, Винсент; Саймонс, Джон. «Эпистемическая логика» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Гарсон, Джеймс. «Модальная логика» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Вандершраф, Питер. «Общие знания» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Эпистемическая модальная логика в PhilPapers
• « Эпистемическая модальная логика » — Хо Нгок Дык.