Операции с нечетким множеством
Операции с нечеткими множествами являются обобщением с четкими множествами операций для нечетких множеств . На самом деле существует более одного возможного обобщения. Наиболее широко используемые операции называются стандартными операциями с нечеткими множествами ; они включают в себя: нечеткие дополнения , нечеткие пересечения и нечеткие объединения .
Стандартные операции с нечеткими множествами [ править ]
Пусть A и B — нечеткие множества, такие, что A,B ⊆ U, u — любой элемент (например, значение) во вселенной U: u ∈ U.
- Стандартное дополнение
Дополнение иногда обозначается ∁ A или A. ∁ вместо ¬ А.
- Стандартный перекресток
- Стандартный союз
В общем случае тройка (i,u,n) называется Де Моргана тогда и только тогда, когда тройкой
- я Т-норма ,
- u — t-конорма (она же s-норма),
- n — сильный отрицатель ,
так что для всех x , y ∈ [0, 1] справедливо следующее:
- ты ( Икс , y ) знак равно п ( я ( п ( Икс ), п ( y ) ) )
(обобщенное соотношение Де Моргана). [1] Это подразумевает аксиомы, подробно изложенные ниже.
Нечеткие дополнения [ править ]
µ A ( x ) определяется как степень принадлежности x множеству A . Пусть ∁A обозначает нечеткое дополнение к A типа c . Тогда µ ∁A ( x ) — это степень, в которой принадлежит ∁A , и степень, в которой x не принадлежит A. x ( Таким образом, µ A ( x ) — это степень, в которой x не принадлежит ∁A .) Пусть дополнение ∁ A определяется функцией
- с : [0,1] → [0,1]
- Для всех x ∈ U : µ ∁A ( x ) знак равно c ( µ A ( x ))
Аксиомы нечетких дополнений [ править ]
- Аксиома c1. Граничное условие
- с (0) = 1 и с (1) = 0
- Аксиома c2. Монотонность
- Для всех a , b ∈ [0, 1], если a < b , то c ( a ) > c ( b )
- Аксиома c3. Непрерывность
- c — непрерывная функция.
- Аксиома c4. Инволюции
- c является инволюцией , что означает, что c ( c ( a )) = a для каждого a ∈ [0,1]
c — сильный отрицатель (он же нечеткое дополнение ).
Функция c, удовлетворяющая аксиомам c1 и c3, имеет хотя бы одну неподвижную точку a. * с c(a * ) = а * ,и если аксиома c2 также выполнена, то такая неподвижная точка ровно одна. Для стандартного отрицателя c(x) = 1-x единственной неподвижной точкой является * = 0.5 . [2]
Нечеткие пересечения [ править ]
Пересечение двух нечетких множеств A и B обычно задается бинарной операцией на единичном интервале, функцией вида
- я :[0,1]×[0,1] → [0,1].
- Для всех x ∈ U : µ A ∩ B ( x ) = i [ µ A ( x ), µ B ( x )].
Аксиомы нечеткого пересечения [ править ]
- Аксиома i1. Граничное условие
- я ( а , 1) = а
- Аксиома i2. Монотонность
- б ≤ d подразумевает я ( а , б ) ≤ я ( а , d )
- Аксиома i3. Коммутативность
- я ( а , б ) знак равно я ( б , а )
- Аксиома i4. Ассоциативность
- я ( а , я ( б , d )) знак равно я ( я ( а , б ), d )
- Аксиома i5. Непрерывность
- я непрерывная функция
- Аксиома i6. субидемпотентность
- я ( а , а ) < а для всех 0 < а < 1
- Аксиома i7. Строгая монотонность
- я ( а 1 , б 1 ) < я ( а 2 , б 2 ), если а 1 < а 2 и б 1 < б 2
Аксиомы от i1 до i4 определяют t-норму (так называемое нечеткое пересечение ). Стандартная t-норма min является единственной идемпотентной t-нормой (т. е. i ( a 1 , a 1 ) = a для всех a ∈ [0,1]). [2]
Нечеткие союзы [ править ]
Объединение двух нечетких множеств A и B, как правило, задается бинарной операцией над функцией единичного интервала вида
- в :[0,1]×[0,1] → [0,1].
- Для всех x ∈ U : µ A ∪ B ( x ) = u [ µ A ( x ), µ B ( x )].
Аксиомы нечеткого объединения [ править ]
- Аксиома u1. Граничное условие
- ты ( а , 0) знак равно ты (0 , а ) знак равно а
- Аксиома u2. Монотонность
- б ≤ d подразумевает ты ( а , б ) ≤ ты ( а , d )
- Аксиома u3. Коммутативность
- ты ( а , б ) знак равно ты ( б , а )
- Аксиома u4. Ассоциативность
- ты ( а , ты ( б , d )) знак равно ты ( ты ( а, б ), d )
- Аксиома u5. Непрерывность
- u — непрерывная функция
- Аксиома u6. Суперидемпотентность
- ты ( а , а ) > а для всех 0 < а < 1
- Аксиома u7. Строгая монотонность
- a 1 < a 2 и b 1 < b 2 влечет за собой u ( a 1 , b 1 ) < u ( a 2 , b 2 )
Аксиомы от u1 до u4 определяют t-конорму (также известную как s-норма или нечеткое объединение ). Стандартная t-конорма max является единственной идемпотентной t-конормой (т.е. u (a1, a1) = a для всех a ∈ [0,1]). [2]
Операции агрегирования [ править ]
Операции агрегирования нечетких множеств — это операции, с помощью которых несколько нечетких множеств объединяются желаемым образом для создания одного нечеткого множества.
Операция агрегирования на n нечетком множестве (2 ≤ n ) определяется функцией
- ч :[0,1] н → [0,1]
Аксиомы для операций агрегации нечетких множеств [ править ]
- Аксиома h1. Граничное условие
- h (0, 0, ..., 0) = 0 и h (1, 1, ..., 1) = один
- Аксиома h2. Монотонность
- Для любой пары < a 1 , a 2 , ..., an > и < b 1 , b 2 , ..., b n > из n -кортежей такой, что a i , b i ∈ [0,1] для все i ∈ N n , если a i ≤ b i для всех i ∈ N n , то h ( a 1 , a 2 , ..., a n ) ≤ h ( b 1 , b 2 , ..., b n ); то есть h монотонно возрастает по всем своим аргументам.
- Аксиома h3. Непрерывность
- h — непрерывная функция.
См. также [ править ]
Дальнейшее чтение [ править ]
- Клир, Джордж Дж .; Бо Юань (1995). Нечеткие множества и нечеткая логика: теория и приложения . Прентис Холл. ISBN 978-0131011717 .
Ссылки [ править ]
- ^ Исмат Бег, Самина Ашраф: Меры подобия для нечетких множеств , в: Applied and Computational Mathematics, март 2009 г., доступно на Research Gate с 23 ноября 2016 г.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б с Гюнтер Рудольф: Вычислительный интеллект (PPS) , Дортмундский технический университет, разработка алгоритмов LS11, зимний семестр 2009/10. Обратите внимание, что в этом листе Power Point могут возникнуть некоторые проблемы с рендерингом специальных символов.