Логика релевантности

Логика релевантности , также называемая релевантной логикой , представляет собой разновидность неклассической логики, требующей, чтобы и следствие последствий были антецедент релевантно связаны. Их можно рассматривать как семейство субструктурных или модальных логик. Обычно, но не повсеместно, называют ее релевантной логикой британские и особенно австралийские логики , а логикой релевантности американские логики — .

Логика релевантности стремится уловить аспекты импликации, которые игнорируются оператором « материальной импликации » в классической логике функциональной истинности , а именно понятие релевантности между антецедентом и условием истинной импликации. Эта идея не нова: К.И. Льюис был вынужден изобрести модальную логику и, в частности, строгую импликацию на том основании, что классическая логика допускает парадоксы материальной импликации, такие как принцип, согласно которому ложность подразумевает любое предложение . Следовательно, фраза «если я осел, то дважды два будет четыре» является истиной, если ее перевести как материальную импликацию, однако интуитивно она кажется ложной, поскольку истинная импликация должна связывать антецедент и консеквент вместе каким-то понятием релевантности. И то, является ли говорящий ослом, по-видимому, никоим образом не влияет на то, будет ли два плюс два четыре.

С точки зрения синтаксического ограничения для исчисления высказываний необходимо, но недостаточно, чтобы посылки и вывод имели общие атомарные формулы (формулы, которые не содержат никаких логических связок ). В исчислении предикатов релевантность требует совместного использования переменных и констант между посылками и заключением. Этого можно добиться (наряду с более сильными условиями), например, наложив определенные ограничения на правила системы естественной дедукции. в стиле Fitch В частности, естественный вывод можно адаптировать для обеспечения релевантности путем введения тегов в конце каждой строки применения вывода, указывающих на предпосылки, имеющие отношение к заключению вывода. Генцена в стиле Исчисление секвенций можно модифицировать, удалив правила ослабления, позволяющие вводить произвольные формулы в правой или левой части секвенций .

Примечательной особенностью логики релевантности является то, что она является паранепротиворечивой логикой : существование противоречия не обязательно вызовет « взрыв ». Это следует из того факта, что кондиционал с противоречивым антецедентом, который не имеет общих букв пропозиции или предиката с консеквентом, не может быть истинным (или выводимым).

История

Релевантная логика была предложена в 1928 году советским философом Иваном Евгеньевичем Орловым (1886 – около 1936) в его строго математической статье «Логика совместимости предложений», опубликованной в «Математическом сборнике » . Основная идея соответствующей импликации появляется в средневековой логике, а некоторые новаторские работы были выполнены Аккерманом . Мох , и церковь в 1950-е годы. Опираясь на них, Нуэль Белнап и Алан Росс Андерсон (вместе с другими) написали выдающееся произведение по этой теме « Последствия: логика релевантности и необходимости» в 1970-х годах (второй том был опубликован в девяностых). Они сосредоточили внимание как на системах следствия , так и на системах релевантности, где последствия первых видов предполагаются как релевантными, так и необходимыми.

Аксиомы

Ранние разработки в области логики релевантности были сосредоточены на более сильных системах. Развитие семантики Раутли-Мейера выявило ряд более слабых логик. Самой слабой из этих логик является логика релевантности B. Она аксиоматизируется следующими аксиомами и правилами.

1. $A\to A$
2. $A\land B\to A$
3. $A\land B\to B$
4. $(A\to B)\land (A\to C)\to (A\to B\land C)$
5. $A\to A\lor B$
6. $B\to A\lor B$
7. $(A\to C)\land (B\to C)\to (A\lor B\to C)$
8. $A\land (B\lor C)\to (A\land B)\lor (A\land C)$
9. $\lnot \lnot A\to A$

Правила следующие.

1. $A,A\to B\vdash B$
2. $A,B\vdash A\land B$
3. $A\to B\vdash (C\to A)\to (C\to B)$
4. $A\to B\vdash (B\to C)\to (A\to C)$
5. $A\to B\vdash \lnot B\to \lnot A$

Более сильную логику можно получить, добавив любую из следующих аксиом.

1. $(A\to B)\to (\lnot B\to \lnot A)$
2. $(A\to B)\land (B\to C)\to (A\to C)$
3. $(A\to B)\to ((B\to C)\to (A\to C))$
4. $(A\to B)\to ((C\to A)\to (C\to B))$
5. $(A\to (A\to B))\to (A\to B)$
6. $(A\land (A\to B))\to B$
7. $(A\to \lnot A)\to \lnot A$
8. $(A\to (B\to C))\to (B\to (A\to C))$
9. $A\to ((A\to B)\to B)$
10. $((A\to A)\to B)\to B$
11. $A\lor \lnot A$
12. $A\to (A\to A)$

Есть несколько примечательных логик, более сильных, чем B, которые можно получить, добавив к B аксиомы следующим образом.

• Для DW добавьте аксиому 1.
• Для DJ добавьте аксиомы 1, 2.
• Для TW добавьте аксиомы 1, 2, 3, 4.
• Для RW добавьте аксиомы 1, 2, 3, 4, 8, 9.
• Для T добавьте аксиомы 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11.
• Для R добавьте аксиомы 1–11.
• Для E добавьте аксиомы 1–7, 10, 11, $((A\to A)\land (B\to B)\to C)\to C$, и $\Box A\land \Box B\to \Box (A\land B)$, где $\Box A$ определяется как $(A\to A)\to A$.
• Для RM добавьте все дополнительные аксиомы.

Модели

Рутли

Стандартной теорией модели логики релевантности является троичная реляционная семантика Раутли-Мейера, разработанная Ричардом Раутли и Робертом Мейером . Фрейм Раутли–Мейера F для пропозиционального языка представляет собой четверку (W,R,*,0), где W — непустое множество, R — троичное отношение на W, а * — функция из W в W, и $0\in W$. Модель Рутли-Мейера M представляет собой фрейм Рутли-Мейера F вместе с оценкой, $\Vdash$, который присваивает истинностное значение каждому атомарному утверждению относительно каждой точки $a\in W$. Существуют некоторые условия, налагаемые на рамки Раутли-Мейера. Определять $a\leq b$ как $R0ab$.

• $a\leq a$.
• Если $a\leq b$ и $b\leq c$, затем $a\leq c$.
• Если $d\leq a$ и $Rabc$, затем $Rdbc$.
• $a^{**}=a$.
• Если $a\leq b$, затем $b^{*}\leq a^{*}$.

Писать $M,a\Vdash A$ и $M,a\nVdash A$ чтобы указать, что формула $A$ верно или не верно соответственно в точке $a$ в $M$. Одним из последних условий моделей Раутли-Мейера является условие наследственности.

• Если $M,a\Vdash p$ и $a\leq b$, затем $M,b\Vdash p$, для всех атомарных предложений $p$.

С помощью индуктивного аргумента можно показать, что наследственность распространяется на сложные формулы, используя приведенные ниже условия истинности.

• Если $M,a\Vdash A$ и $a\leq b$, затем $M,b\Vdash A$, для всех формул $A$.

Условия истинности сложных формул следующие.

• $M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A$ и $M,a\Vdash B$
• $M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A$ или $M,a\Vdash B$
• $M,a\Vdash A\to B\iff \forall b,c((Rabc\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,c\Vdash B)$
• $M,a\Vdash \lnot A\iff M,a^{*}\nVdash A$

Формула $A$ держится в модели $M$ на всякий случай $M,0\Vdash A$. Формула $A$ держится на раме $F$ тогда и только тогда, когда A выполняется в каждой модели $(F,\Vdash )$. Формула $A$ допустимо в классе кадров тогда и только тогда, когда A выполняется для каждого кадра этого класса. Класс всех фреймов Раутли-Мейера, удовлетворяющих вышеуказанным условиям, подтверждает правильность логики релевантности B. Можно получить фреймы Раутли-Мейера для других логик релевантности, наложив соответствующие ограничения на R и на *. Эти условия легче сформулировать, используя некоторые стандартные определения. Позволять $Rabcd$ быть определен как $\exists x(Rabx\land Rxcd)$, и пусть $Ra(bc)d$ быть определен как $\exists x(Rbcx\land Raxd)$. Ниже приведены некоторые из условий фрейма и аксиом, которые они подтверждают.

Имя	Состояние рамы	Аксиома
Ставим псевдорежим	$Raaa$	$(A\land (A\to B))\to B$
Префикс	$Rabcd\Rightarrow Ra(bc)d$	$(A\to B)\to ((C\to A)\to (C\to B))$
Суффикс	$Rabcd\Rightarrow Rb(ac)d$	$(A\to B)\to ((B\to C)\to (A\to C))$
Сокращение	$Rabc\Rightarrow Rabbc$	$(A\to (A\to B))\to (A\to B)$
Гипотетический силлогизм	$Rabc\Rightarrow Ra(ab)c$	$(A\to B)\land (B\to C)\to (A\to C)$
Утверждение	$Rabc\Rightarrow Rbac$	$A\to ((A\to B)\to B)$
Аксиомы	$Ra0a$	$((A\to A)\to B)\to B$
Аксиома смешивания	$Rabc\Rightarrow a\leq c$ или $b\leq c$	$A\to (A\to A)$
Снижение	$Raa^{*}a$	$(A\to \lnot A)\to \lnot A$
Противопоставление	$Rabc\Rightarrow Rac^{*}b^{*}$	$(A\to B)\to (\lnot B\to \lnot A)$
Исключено среднее	$0^{*}\leq 0$	$A\lor \lnot A$
Строгое ослабление импликации	$0\leq a$	$A\to (B\to B)$
Ослабление	$Rabc\Rightarrow b\leq c$	$A\to (B\to A)$

Последние два условия подтверждают формы ослабления, во избежание которых изначально была разработана логика релевантности. Они включены, чтобы показать гибкость моделей Раутли – Мейера.

Операционные модели

Модели

Операционные модели для фрагментов релевантной логики без отрицания были разработаны Аласдером Уркартом в его докторской диссертации и в последующих работах. Интуитивная идея, лежащая в основе операционных моделей, заключается в том, что точки в модели являются фрагментами информации, и объединение информации, подтверждающей условное выражение, с информацией, подтверждающей его антецедент, дает некоторую информацию, подтверждающую консеквент. Поскольку операционные модели обычно не интерпретируют отрицание, в этом разделе будут рассматриваться только языки с условным выражением, союзом и дизъюнкцией.

Операционная структура $F$ это тройка $(K,\cdot ,0)$, где $K$ непустое множество, $0\in K$, и $\cdot$ это бинарная операция над $K$. У фреймов есть условия, некоторые из которых можно отбросить для моделирования другой логики. Условия, предложенные Уркартом для моделирования условия логики релевантности R, следующие.

• $x\cdot x=x$
• $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$
• $x\cdot y=y\cdot x$
• $0\cdot x=x$

В этих условиях операционная структура представляет собой соединение-полурешетку .

Операционная модель $M$ это рамка $F$ с оценкой $V$ который отображает пары точек и атомарные предложения в значения истинности T или F. $V$ может быть распространено на оценку $\Vdash$ по сложным формулам следующим образом.

• $M,a\Vdash p\iff V(a,p)=T$, для атомарных предложений
• $M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A$ и $M,a\Vdash B$
• $M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A$ или $M,a\Vdash B$
• $M,a\Vdash A\to B\iff \forall b(M,b\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)$

Формула $A$ держится в модели $M$ если только $M,0\Vdash A$. Формула $A$ действительно в классе моделей $C$ если это справедливо для каждой модели $M\in C$.

Условный фрагмент R корректен и полон относительно класса полурешеточных моделей. Логика с конъюнкцией и дизъюнкцией, собственно, сильнее условного, конъюнкционного, дизъюнкционного фрагмента R. В частности, формула $(A\to (B\lor C))\land (B\to C)\to (A\to C)$ действительна для операционных моделей, но недействительна в R. Логика, генерируемая операционными моделями для R, имеет полную аксиоматическую систему доказательства, благодаря Киту Файну и Джеральду Чарлвуду. Чарлвуд также предложил естественную систему вывода логики, которая, как он доказал, эквивалентна аксиоматической системе. Чарлвуд показал, что его естественная система дедукции эквивалентна системе, предложенной Дагом Правицем .

Операционную семантику можно адаптировать для моделирования условия E, добавив непустой набор миров. $W$ и отношение доступности $\leq$ на $W\times W$ к кадрам. Отношение доступности должно быть рефлексивным и транзитивным, чтобы уловить идею о том, что условное выражение E имеет необходимость S4. Затем оценки отображают тройки атомарных предложений, точек и миров в значения истинности. Условие истинности условного условия меняется на следующее.

• $M,a,w\Vdash A\to B\iff \forall b,\forall w'\geq w(M,b,w'\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b,w'\Vdash B)$

Операционную семантику можно адаптировать для моделирования условного выражения T, добавив отношение $\leq$ на $K\times K$. Отношение должно подчиняться следующим условиям.

• $0\leq x$
• Если $x\leq y$ и $y\leq z$, затем $x\leq z$
• Если $x\leq y$, затем $x\cdot z\leq y\cdot z$

Условие истинности условного условия меняется на следующее.

• $M,a\Vdash A\to B\iff \forall b((a\leq b\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)$

Существует два способа смоделировать логику релевантности без сокращений TW и RW с помощью операционных моделей. Первый способ — отказаться от условия, согласно которому $x\cdot x=x$. Второй способ — сохранить условия полурешетки в кадрах и добавить бинарное отношение: $J$, непересекаемости с рамкой. Для этих моделей условия истинности условного условия изменены на следующие с добавлением порядка в случае TW.

• $M,a\Vdash A\to B\iff \forall b((Jab\land M,b\Vdash A)\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)$

Модели Хамберстона

Уркхарт показал, что полурешетчатая логика для R по существу сильнее, чем положительный фрагмент Р. Ллойд Хамберстон обеспечил обогащение операционных моделей, которые допускали другие условия истинности для дизъюнкции. Полученный класс моделей порождает именно положительный фрагмент R.

Операционная структура $F$ четверка $(K,\cdot ,+,0)$, где $K$ непустое множество, $0\in K$, и { $\cdot$, $+$} — это бинарные операции над $K$. Позволять $a\leq b$ быть определен как $\exists x(a+x=b)$. Условия кадра следующие.

1. $0\cdot x=x$
2. $x\cdot y=y\cdot x$
3. $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$
4. $x\leq x\cdot x$
5. $x+y=y+x$
6. $(x+y)+z=x+(y+z)$
7. $x+x=x$
8. $x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$
9. $x\leq y+z\Rightarrow \exists y',z'\in K(y'\leq y$, $z'\leq z$ и $x=y'+z')$

Операционная модель $M$ это рамка $F$ с оценкой $V$ который отображает пары точек и атомарные предложения в значения истинности T или F. $V$ может быть распространено на оценку $\Vdash$ по сложным формулам следующим образом.

• $M,a\Vdash p\iff V(a,p)=T$, для атомарных предложений
• $M,a+b\Vdash p\iff M,a\Vdash p$ и $M,b\Vdash p$
• $M,a\Vdash A\land B\iff M,a\Vdash A$ и $M,a\Vdash B$
• $M,a\Vdash A\lor B\iff M,a\Vdash A$ или $M,a\Vdash B$ или $\exists b,c(a=b+c$; $M,b\Vdash A$ и $M,c\Vdash B)$
• $M,a\Vdash A\to B\iff \forall b(M,b\Vdash A\Rightarrow M,a\cdot b\Vdash B)$

Формула $A$ держится в модели $M$ если только $M,0\Vdash A$. Формула $A$ действительно в классе моделей $C$ если это справедливо для каждой модели $M\in C$.

Положительный фрагмент R является обоснованным и полным по отношению к классу этих моделей. Семантику Хамберстоуна можно адаптировать для моделирования различной логики, удаляя или добавляя условия кадра следующим образом.

Система	Условия кадра
Б	1, 5-9, 14	$x\leq x\cdot 0$ $(x\cdot y)\cdot z\leq y\cdot (x\cdot z)$ $(x\cdot y)\cdot z\leq x\cdot (y\cdot z)$ $x\cdot y\leq (x\cdot y)\cdot y$ $(y+z)\cdot x=y\cdot x+z\cdot x$ $x\cdot x=x$
ТВ	1, 11, 12, 5-9, 14
ВОН ТОТ	1, 10, 11, 5-9, 14
RW	1-3, 5-9
Т	1, 11, 12, 13, 5-9, 14
И	1, 10, 11, 13, 5-9, 14
Р	1-9
РМ	1-3, 5-9, 15

Алгебраические модели

Некоторым логикам релевантности можно задать алгебраические модели, например логику R. Алгебраическими структурами для R являются моноиды де Моргана, которые представляют собой шестерки $(D,\land ,\lor ,\lnot ,\circ ,e)$ где

• $(D,\land ,\lor ,\lnot )$ — дистрибутивная решетка с унарной операцией, $\lnot$ подчиняясь законам $\lnot \lnot x=x$ и если $x\leq y$ затем $\lnot y\leq \lnot x$;
• $e\in D$, бинарная операция $\circ$ коммутативен ​ ( $x\circ y=y\circ x$) и ассоциативный ( $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$), и $e\circ x=x$, то есть $(D,\circ ,e)$ является абелевым моноидом с тождеством $e$;
• моноид решеточно упорядочен и удовлетворяет условиям $x\circ (y\lor z)=(x\circ y)\lor (x\circ z)$;
• $x\leq x\circ x$; и
• если $x\circ y\leq z$, затем $x\circ \lnot z\leq \lnot y$.

Операция $x\to y$ интерпретация условия R определяется как $\lnot (x\circ \lnot y)$. Моноид де Моргана представляет собой оставшуюся решетку , подчиняющуюся следующему условию вычета.

$x\circ y\leq z\iff x\leq y\to z$

Интерпретация $v$ является гомоморфизмом языка высказываний моноиду де Моргана. $M$ такой, что

• $v(p)\in D$ для всех атомарных предложений,
• $v(\lnot A)=\lnot v(A)$
• $v(A\lor B)=v(A)\lor v(B)$
• $v(A\land B)=v(A)\land v(B)$
• $v(A\to B)=v(A)\to v(B)$

Дан моноид де Моргана. $M$ и интерпретация $v$, можно сказать, что формула $A$ держится $v$ на всякий случай $e\leq v(A)$. Формула $A$ справедливо только в том случае, если оно справедливо для всех интерпретаций всех моноидов де Моргана. Логика R является корректной и полной для моноидов де Моргана.

См. также

• Связующая логика , иной подход к парадоксам материальной импликации.
• Нелогично (логика)
• Соответствующая система типов , субструктурная система типов.

Библиография

• Алан Росс Андерсон и Нуэль Белнап , 1975. Следствие: логика релевантности и необходимости, том. Я. ​Издательство Принстонского университета. ISBN   0-691-07192-6
• ------- и Дж. М. Данн, 1992. Следствие: логика релевантности и необходимости, том. II , Издательство Принстонского университета.
• Марес, Эдвин и Мейер, Р.К., 2001, «Соответствующая логика», в изд. Гобла Лу, «Руководство Блэквелла по философской логике» . Блэквелл.
• Ричард Рутли, Вэл Пламвуд, Роберт К. Мейер и Росс Т. Брэди. Соответствующие логики и их соперники . Риджвью, 1982 год.
• Р. Брэди (редактор), «Соответствующие логики и их соперники» (Том II) , Олдершот: Эшгейт, 2003.
• Уркхарт, Аласдер (1972). «Семантика соответствующей логики» (PDF) . Журнал символической логики . 37 : 159–169. дои : 10.2307/2272559 .
• Аласдер Уркарт. Семантика следствия . Докторская диссертация, Питтсбургский университет, 1972 г.
• Каталин Бимбо , Релевантная логика, в «Философии логики» , Д. Жакетт (ред.), (том 5 «Справочника по философии науки» , Д. Габбай, П. Тагард, Дж. Вудс (ред.)), Elsevier (Норт -Голландия), 2006, стр. 723–789.
• Дж. Майкл Данн и Грег Ресталл. Релевантная логика. В «Справочнике по философской логике» , том 6, Ф. Гюнтер и Д. Габбай (ред.), Дордрехт: Kluwer, 2002, стр. 1–136.
• Стивен Рид, Соответствующая логика , Оксфорд: Блэквелл, 1988.
• Хамберстон, Ллойд (1987). «Операционная семантика для положительного R» . Журнал формальной логики Нотр-Дама . 29 (1): 61–80. дои : 10.1305/ndjfl/1093637771 .

Внешние ссылки

• Стэнфордская энциклопедия философии : « Релевантная логика » - Эдвин Мэрес.
• Логика релевантности – Дж. Майкл Данн и Грег Рестолл
• Соответствующая логика - Стивен Рид