Теория нечеткой меры

В математике рассматривает теория нечеткой меры обобщенные меры , в которых аддитивное свойство заменяется более слабым свойством монотонности. Центральным понятием теории нечеткой меры является нечеткая мера (также емкость , см. ^[1]), который был введен Шоке в 1953 году и независимо определен Сугено в 1974 году в контексте нечетких интегралов . Существует ряд различных классов нечетких мер, включая меры правдоподобия/доверия , меры возможности/необходимости и меры вероятности , которые являются подмножеством классических мер.

Определения [ править ]

Позволять $\mathbf {X}$ быть вселенной дискурса , ${\mathcal {C}}$ быть классом подмножеств $\mathbf {X}$ , и $E,F\in {\mathcal {C}}$ . Функция $g:{\mathcal {C}}\to \mathbb {R}$ где

$\emptyset \in {\mathcal {C}}\Rightarrow g(\emptyset )=0$
$E\subseteq F\Rightarrow g(E)\leq g(F)$

называется нечеткой мерой . Нечеткая мера называется нормированной или регулярной , если $g(\mathbf {X} )=1$ .

Свойства нечетких мер [ править ]

Нечеткая мера – это:

добавка, если для любого $E,F\in {\mathcal {C}}$ такой, что $E\cap F=\emptyset$ , у нас есть $g(E\cup F)=g(E)+g(F).$ ;
супермодульный, если для любого $E,F\in {\mathcal {C}}$ , у нас есть $g(E\cup F)+g(E\cap F)\geq g(E)+g(F)$ ;
субмодульный, если для любого $E,F\in {\mathcal {C}}$ , у нас есть $g(E\cup F)+g(E\cap F)\leq g(E)+g(F)$ ;
супердобавка, если для любого $E,F\in {\mathcal {C}}$ такой, что $E\cap F=\emptyset$ , у нас есть $g(E\cup F)\geq g(E)+g(F)$ ;
субаддитивен, если для любого $E,F\in {\mathcal {C}}$ такой, что $E\cap F=\emptyset$ , у нас есть $g(E\cup F)\leq g(E)+g(F)$ ;
симметрично, если для любого $E,F\in {\mathcal {C}}$ , у нас есть $|E|=|F|$ подразумевает $g(E)=g(F)$ ;
Логическое значение, если для любого $E\in {\mathcal {C}}$ , у нас есть $g(E)=0$ или $g(E)=1$ .

Понимание свойств нечетких мер полезно при их применении. Когда нечеткая мера используется для определения такой функции, как интеграл Сугено или интеграл Шоке , эти свойства будут иметь решающее значение для понимания поведения функции. Например, интеграл Шоке по аддитивной нечеткой мере сводится к интегралу Лебега . В дискретных случаях симметричная нечеткая мера приведет к оператору упорядоченного взвешенного усреднения (OWA). Субмодулярные нечеткие меры приводят к выпуклым функциям, тогда как супермодулярные нечеткие меры приводят к вогнутым функциям при использовании для определения интеграла Шоке.

Представление Мёбиуса [ править ]

Пусть g — нечеткая мера. Представление Мёбиуса g задается функцией множества M , где для каждого $E,F\subseteq X$ ,

M(E)=\sum _{F\subseteq E}(-1)^{|E\backslash F|}g(F).

Эквивалентные аксиомы в представлении Мёбиуса:

$M(\emptyset )=0$ .
$\sum _{F\subseteq E|i\in F}M(F)\geq 0$ , для всех $E\subseteq \mathbf {X}$ и все $i\in E$

Нечеткая мера в представлении Мёбиуса M называется нормированной. если $\sum _{E\subseteq \mathbf {X} }M(E)=1.$

Представление Мёбиуса можно использовать, чтобы указать, какие подмножества X взаимодействуют друг с другом. Например, аддитивная нечеткая мера имеет все значения Мёбиуса, равные нулю, за исключением одиночных. Нечеткая мера g в стандартном представлении может быть восстановлена из формы Мёбиуса с помощью преобразования Дзета:

g(E)=\sum _{F\subseteq E}M(F),\forall E\subseteq \mathbf {X} .

мер для нечетких упрощения Предположения

Нечеткие меры определяются на полукольце множеств или монотонном классе , который может быть столь же гранулярным, как и степенной набор X , и даже в дискретных случаях число переменных может достигать 2. ^{| Х |}. По этой причине в контексте многокритериального анализа решений и других дисциплин были введены предположения упрощения нечеткой меры, чтобы ее определение и использование было менее затратным в вычислительном отношении. Например, если предполагается, что нечеткая мера аддитивна , то будет считаться, что $g(E)=\sum _{i\in E}g(\{i\})$ и значения нечеткой меры можно оценить по значениям X . Аналогично, симметричная нечеткая мера однозначно определяется формулой | Х | ценности. Двумя важными нечеткими мерами, которые можно использовать, являются Сугено- или $\lambda$ -нечеткая мера и k -аддитивные меры, введенные Сугено. ^[2] и Грабиш ^[3] соответственно.

Сугено λ -мера [ править ]

Сугено $\lambda$ -мера — это частный случай нечетких мер, определенных итеративно. Он имеет следующее определение:

Определение [ править ]

Позволять $\mathbf {X} =\left\lbrace x_{1},\dots ,x_{n}\right\rbrace$ конечное множество и пусть $\lambda \in (-1,+\infty )$ . В Сугено $\lambda$ -мера – это функция $g:2^{X}\to [0,1]$ такой, что

$g(X)=1$ .
если $A,B\subseteq \mathbf {X}$ (альтернативно $A,B\in 2^{\mathbf {X} }$ ) с $A\cap B=\emptyset$ затем $g(A\cup B)=g(A)+g(B)+\lambda g(A)g(B)$ .

По соглашению, значение g в одноэлементном наборе $\left\lbrace x_{i}\right\rbrace$ называется плотностью и обозначается $g_{i}=g(\left\lbrace x_{i}\right\rbrace )$ . Кроме того, у нас есть это $\lambda$ удовлетворяет свойство

\lambda +1=\prod _{i=1}^{n}(1+\lambda g_{i})

.

Тахани и Келлер ^[4] а также Ван и Клир показали, что, как только плотности известны, можно использовать предыдущий полином для получения значений $\lambda$ уникально.

k -аддитивная нечеткая мера [ править ]

k подмножествами -аддитивная нечеткая мера ограничивает взаимодействие между $E\subseteq X$ по размеру $|E|=k$ . Это резко сокращает количество переменных, необходимых для определения нечеткой меры, а поскольку k может принимать любое значение от 1 (в этом случае нечеткая мера является аддитивной) до X , это позволяет найти компромисс между возможностями моделирования и простотой.

Определение [ править ]

Дискретная нечеткая мера g на множестве X называется k-аддитивной ( $1\leq k\leq |\mathbf {X} |$ ), если его представление Мёбиуса проверяет $M(E)=0$ , в любое время $|E|>k$ для любого $E\subseteq \mathbf {X}$ , и существует подмножество F из k элементов такое, что $M(F)\neq 0$ .

и взаимодействия индексы Шепли

В теории игр значение Шепли или индекс Шепли используется для обозначения веса игры. Значения Шепли можно рассчитать для нечетких мер, чтобы дать некоторое представление о важности каждого синглтона. В случае аддитивных нечетких мер значение Шепли будет таким же, как и каждый синглтон.

Для данной нечеткой меры g и $|\mathbf {X} |=n$ , индекс Шепли для каждого $i,\dots ,n\in X$ является:

\phi (i)=\sum _{E\subseteq \mathbf {X} \backslash \{i\}}{\frac {(n-|E|-1)!|E|!}{n!}}[g(E\cup \{i\})-g(E)].

Значение Шепли — это вектор $\mathbf {\phi } (g)=(\psi (1),\dots ,\psi (n)).$

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Гюстав Шоке (1953). «Теория емкостей». Анналы Института Фурье . 5 : 131–295.
^ М. Сугено (1974). "Теория нечетких интегралов и ее приложения. Кандидатская диссертация". Токийский технологический институт , Токио, Япония .
^ М. Грабиш (1997). « k Аддитивные дискретные нечеткие меры -порядка и их представление». Нечеткие множества и системы . 92 (2): 167–189. дои : 10.1016/S0165-0114(97)00168-1 .
^ Х. Тахани и Дж. Келлер (1990). «Объединение информации в компьютерном зрении с использованием нечеткого интеграла». Транзакции IEEE по системам, человеку и кибернетике . 20 (3): 733–741. дои : 10.1109/21.57289 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Беляков, Прадера и Кальво, Функции агрегирования: Руководство для практиков , Springer, Нью-Йорк, 2007.
Ван, Чжэньюань и Джордж Дж. Клир , Теория нечеткой меры , Plenum Press, Нью-Йорк, 1991.

Внешние ссылки [ править ]

Теория нечеткой меры при обработке нечетких изображений. Архивировано 30 июня 2019 г. на Wayback Machine.

[1] Гюстав Шоке (1953). «Теория емкостей». Анналы Института Фурье . 5 : 131–295.

[2] М. Сугено (1974). "Теория нечетких интегралов и ее приложения. Кандидатская диссертация". Токийский технологический институт , Токио, Япония .

[3] М. Грабиш (1997). « k Аддитивные дискретные нечеткие меры -порядка и их представление». Нечеткие множества и системы . 92 (2): 167–189. дои : 10.1016/S0165-0114(97)00168-1 .

[4] Х. Тахани и Дж. Келлер (1990). «Объединение информации в компьютерном зрении с использованием нечеткого интеграла». Транзакции IEEE по системам, человеку и кибернетике . 20 (3): 733–741. дои : 10.1109/21.57289 .

[1]

[2]

[3]

[4]