Упорядоченное взвешенное усреднение

В прикладной математике, особенно в нечеткой логике , операторы упорядоченного взвешенного усреднения (OWA) предоставляют параметризованный класс операторов агрегирования среднего типа. Их представил Рональд Р. Ягер . ^[1]^[2]Многие известные средние операторы, такие как максимум, среднее арифметическое , медиана и минимум, являются членами этого класса. Они широко используются в вычислительном интеллекте из-за их способности моделировать лингвистически выраженные инструкции агрегации.

Определение

Оператор OWA измерения $\ n$ это отображение $F:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ который имеет связанный набор весов $\ W=[w_{1},\ldots ,w_{n}]$ лежащие в единичном интервале и суммирующиеся до единицы и с

F(a_{1},\ldots ,a_{n})=\sum _{j=1}^{n}w_{j}b_{j}

где $b_{j}$ это Дж ^й самый крупный из $a_{i}$ .

Выбирая разные W, можно реализовать разные операторы агрегации. Оператор OWA является нелинейным оператором в результате процесса определения b _j .

Известные операторы OWA

\ F(a_{1},\ldots ,a_{n})=\max(a_{1},\ldots ,a_{n})

если

\ w_{1}=1

и

\ w_{j}=0

для

j\neq 1

\ F(a_{1},\ldots ,a_{n})=\min(a_{1},\ldots ,a_{n})

если

\ w_{n}=1

и

\ w_{j}=0

для

j\neq n

\ F(a_{1},\ldots ,a_{n})=\mathrm {average} (a_{1},\ldots ,a_{n})

если

\ w_{j}={\frac {1}{n}}

для всех

j\in [1,n]

Характеристики

Оператор OWA является средним оператором. Он ограничен , монотонен , симметричен и идемпотент , как определено ниже.

Ограниченный	$\min(a_{1},\ldots ,a_{n})\leq F(a_{1},\ldots ,a_{n})\leq \max(a_{1},\ldots ,a_{n})$
монотонный	$F(a_{1},\ldots ,a_{n})\geq F(g_{1},\ldots ,g_{n})$ если $a_{i}\geq g_{i}$ для $\ i=1,2,\ldots ,n$
Симметричный	$F(a_{1},\ldots ,a_{n})=F(a_{\boldsymbol {\pi (1)}},\ldots ,a_{\boldsymbol {\pi (n)}})$ если ${\boldsymbol {\pi }}$ это карта перестановок
Идемпотент	$\ F(a_{1},\ldots ,a_{n})=a$ если все $\ a_{i}=a$

Характеристика особенностей

Для характеристики операторов OWA были использованы две особенности. Первый — это установочный характер, также называемый орнесс . ^[1] Это определяется как

A-C(W)={\frac {1}{n-1}}\sum _{j=1}^{n}(n-j)w_{j}.

Известно, что $A-C(W)\in [0,1]$ .

Кроме того, A - C (max) = 1, A - C(ave) = A - C(med) = 0,5 и A - C(min) = 0. Таким образом, A - C изменяется от 1 до 0 при переходе от Агрегация от Макса до Мина. Отношенческий характер характеризует сходство агрегации с операцией ИЛИ (ИЛИ определяется как Макс).

Вторая особенность – это дисперсия. Это определяется как

H(W)=-\sum _{j=1}^{n}w_{j}\ln(w_{j}).

Альтернативное определение $E(W)=\sum _{j=1}^{n}w_{j}^{2}.$ Дисперсия характеризует, насколько равномерно используются аргументы.

Операторы агрегации OWA типа 1

Вышеупомянутые операторы OWA Yager используются для агрегирования четких значений. Можем ли мы объединить нечеткие множества в механизме OWA? операторы OWA типа 1 . Для этой цели были предложены ^[3]^[4]Таким образом, операторы OWA типа 1 предоставляют нам новую технику для прямого агрегирования неопределенной информации с неопределенными весами с помощью механизма OWA при мягком принятии решений и интеллектуальном анализе данных, где эти неопределенные объекты моделируются нечеткими множествами.

Оператор OWA типа 1 определяется в соответствии с альфа-разрезами нечетких множеств следующим образом:

Учитывая n лингвистических весов $\left\{{W^{i}}\right\}_{i=1}^{n}$ в виде нечетких множеств, определенных в области дискурса $U=[0,\;\;1]$ , то для каждого $\alpha \in [0,\;1]$ , $\alpha$ -оператор OWA типа 1 с $\alpha$ - наборы уровней $\left\{{W_{\alpha }^{i}}\right\}_{i=1}^{n}$ агрегировать $\alpha$ -разрезы нечетких множеств $\left\{{A^{i}}\right\}_{i=1}^{n}$ дается как

\Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\ldots ,A_{\alpha }^{n}}\right)=\left\{{{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}a_{\sigma (i)}}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}}}}\left|{w_{i}\in W_{\alpha }^{i},\;a_{i}}\right.\in A_{\alpha }^{i},\;i=1,\ldots ,n}\right\}

где $W_{\alpha }^{i}=\{w|\mu _{W_{i}}(w)\geq \alpha \},A_{\alpha }^{i}=\{x|\mu _{A_{i}}(x)\geq \alpha \}$ , и $\sigma :\{\;1,\ldots ,n\;\}\to \{\;1,\ldots ,n\;\}$ является функцией перестановки такой, что $a_{\sigma (i)}\geq a_{\sigma (i+1)},\;\forall \;i=1,\ldots ,n-1$ , то есть, $a_{\sigma (i)}$ это $i$ й по величинеэлемент в наборе $\left\{{a_{1},\ldots ,a_{n}}\right\}$ .

Вычисление выходных данных OWA типа 1 реализуется путем вычисления левых и правых конечных точек интервалов. $\Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\ldots ,A_{\alpha }^{n}}\right)$ : $\Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\ldots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{-}$ и $\Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\ldots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{+},$ где $A_{\alpha }^{i}=[A_{\alpha -}^{i},A_{\alpha +}^{i}],W_{\alpha }^{i}=[W_{\alpha -}^{i},W_{\alpha +}^{i}]$ . Тогда функция принадлежности результирующего нечеткого множества агрегации равна:

\mu _{G}(x)=\mathop {\vee } _{\alpha :x\in \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{\alpha }}\alpha

Для левых конечных точек нам нужно решить следующую задачу программирования:

\Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{-}=\min \limits _{\begin{array}{l}W_{\alpha -}^{i}\leq w_{i}\leq W_{\alpha +}^{i}A_{\alpha -}^{i}\leq a_{i}\leq A_{\alpha +}^{i}\end{array}}\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}a_{\sigma (i)}/\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}}}

а для правильных конечных точек нам нужно решить следующую задачу программирования:

\Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{+}=\max \limits _{\begin{array}{l}W_{\alpha -}^{i}\leq w_{i}\leq W_{\alpha +}^{i}A_{\alpha -}^{i}\leq a_{i}\leq A_{\alpha +}^{i}\end{array}}\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}a_{\sigma (i)}/\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}}}

Этот документ ^[5] представил быстрый метод решения двух проблем программирования, позволяющий эффективно выполнять операцию агрегации OWA типа 1.

OWA для голосования в комитете

Аманатидис, Барро, Ланг, Маркакис и Райс ^[6] представляют правила голосования по нескольким вопросам , основанные на OWA и расстоянии Хэмминга . Барро, Ланг и Йоку ^[7] изучить возможность манипулирования этими правилами.

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Ягер, Р.Р., «Об операторах упорядоченного взвешенного усреднения при принятии многокритериальных решений», IEEE Transactions on Systems, Man и Cybernetics 18, 183–190, 1988.
^ * Ягер Р.Р. и Кацпшик Дж., Упорядоченные операторы взвешенного усреднения: теория и приложения , Kluwer: Norwell, MA, 1997.
^ С.-М. Чжоу, Ф. Чиклана, Р.И. Джон и Дж. М. Гарибальди, «Операторы OWA типа 1 для агрегирования неопределенной информации с неопределенными весами, индуцированными лингвистическими кванторами типа 2», « Нечеткие множества и системы», том 159, № 24, стр. 3281. –3296, 2008 г. [1]
^ С.-М. Чжоу, Р.И. Джон, Ф. Чиклана и Дж.М. Гарибальди, «Об агрегировании неопределенной информации операторами OWA типа 2 для принятия мягких решений», International Journal of Intelligent Systems, vol. 25, № 6, с. 540–558, 2010. [2]
^ С.-М. Чжоу, Ф. Чиклана, Р.И. Джон и Дж.М. Гарибальди, «Агрегация альфа-уровня: практический подход к работе OWA типа 1 для агрегирования неопределенной информации с применением в лечении рака молочной железы», IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering, vol. 23, № 10, 2011, стр. 1455–1468. [3]
^ Аманатидис, Георгиос; Барро, Натанаэль; Ланг, Жером; Маркакис, Евангелос; Райс, Бернард (4 мая 2015 г.). «Множественные референдумы и выборы с несколькими победителями с использованием расстояний Хэмминга: сложность и возможность манипулирования» . Материалы Международной конференции по автономным агентам и мультиагентным системам 2015 года . ААМАС '15. Ричленд, Южная Каролина: Международный фонд автономных агентов и мультиагентных систем: 715–723. ISBN 978-1-4503-3413-6 .
^ Барро, Натанаэль; Ланг, Жером; Ёко, Макото (08 мая 2017 г.). «Манипулирование голосованием за одобрение многократных референдумов и выборов в комитеты по принципу Хэмминга» . Материалы 16-й конференции по автономным агентам и мультиагентным системам . ААМАС '17. Ричленд, Южная Каролина: Международный фонд автономных агентов и мультиагентных систем: 597–605.

Лю, X., «Эквивалентность решения задач минимаксного несоответствия и минимальной дисперсии для операторов OWA», International Journal of Approximate Reasoning 45, 68–81, 2007.
Торра В. и Нарукава Ю. Решения по моделированию: операторы слияния и агрегирования информации, Springer: Берлин, 2007.
Майлендер П., «Операторы OWA с максимальной энтропией Реньи», Fuzzy Sets and Systems 155, 340–360, 2005.
Секели Г.Дж. и Буцолич З. «Когда средневзвешенное значение упорядоченных элементов выборки является оценкой максимального правдоподобия параметра местоположения?» Достижения в области прикладной математики 10, 1989, 439–456.

[:0-1] Перейти обратно: ^а ^б Ягер, Р.Р., «Об операторах упорядоченного взвешенного усреднения при принятии многокритериальных решений», IEEE Transactions on Systems, Man и Cybernetics 18, 183–190, 1988.

[2] * Ягер Р.Р. и Кацпшик Дж., Упорядоченные операторы взвешенного усреднения: теория и приложения , Kluwer: Norwell, MA, 1997.

[3] С.-М. Чжоу, Ф. Чиклана, Р.И. Джон и Дж. М. Гарибальди, «Операторы OWA типа 1 для агрегирования неопределенной информации с неопределенными весами, индуцированными лингвистическими кванторами типа 2», « Нечеткие множества и системы», том 159, № 24, стр. 3281. –3296, 2008 г. [1]

[4] С.-М. Чжоу, Р.И. Джон, Ф. Чиклана и Дж.М. Гарибальди, «Об агрегировании неопределенной информации операторами OWA типа 2 для принятия мягких решений», International Journal of Intelligent Systems, vol. 25, № 6, с. 540–558, 2010. [2]

[5] С.-М. Чжоу, Ф. Чиклана, Р.И. Джон и Дж.М. Гарибальди, «Агрегация альфа-уровня: практический подход к работе OWA типа 1 для агрегирования неопределенной информации с применением в лечении рака молочной железы», IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering, vol. 23, № 10, 2011, стр. 1455–1468. [3]

[6] Аманатидис, Георгиос; Барро, Натанаэль; Ланг, Жером; Маркакис, Евангелос; Райс, Бернард (4 мая 2015 г.). «Множественные референдумы и выборы с несколькими победителями с использованием расстояний Хэмминга: сложность и возможность манипулирования» . Материалы Международной конференции по автономным агентам и мультиагентным системам 2015 года . ААМАС '15. Ричленд, Южная Каролина: Международный фонд автономных агентов и мультиагентных систем: 715–723. ISBN 978-1-4503-3413-6 .

[7] Барро, Натанаэль; Ланг, Жером; Ёко, Макото (08 мая 2017 г.). «Манипулирование голосованием за одобрение многократных референдумов и выборов в комитеты по принципу Хэмминга» . Материалы 16-й конференции по автономным агентам и мультиагентным системам . ААМАС '17. Ричленд, Южная Каролина: Международный фонд автономных агентов и мультиагентных систем: 597–605.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]