Операторы OWA типа 1

Операторы OWA типа 1 представляют собой набор операторов агрегации, которые обобщают операторы OWA (упорядоченного взвешенного усреднения) Ягера) в интересах агрегирования нечетких множеств, а не четких значений при принятии мягких решений и интеллектуальном анализе данных.

Эти операторы предоставляют математический метод для прямого агрегирования неопределенной информации с неопределенными весами через механизм OWA при мягком принятии решений и интеллектуальном анализе данных, где эти неопределенные объекты моделируются нечеткими множествами .

Два определения операторов OWA типа 1 основаны на принципе расширения Заде и $\alpha$-разрезы нечетких множеств. Оба определения приводят к эквивалентным результатам.

Определения

Определение 1

Позволять $F(X)$ быть набором нечетких множеств с областью дискурса $X$, оператор OWA типа 1 определяется следующим образом:

Учитывая n лингвистических весов $\left\{{W^{i}}\right\}_{i=1}^{n}$ в виде нечетких множеств, определенных в области дискурса $U=[0,1]$, оператор OWA типа 1 — это отображение, $\Phi$,

$\Phi \colon F(X)\times \cdots \times F(X)\longrightarrow F(X)$

$(A^{1},\cdots ,A^{n})\mapsto Y$

такой, что

$\mu _{Y}(y)=\displaystyle \sup _{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\bar {w}}_{i}a_{\sigma (i)}=y}\left({\begin{array}{*{1}l}\mu _{W^{1}}(w_{1})\wedge \cdots \wedge \mu _{W^{n}}(w_{n})\wedge \mu _{A^{1}}(a_{1})\wedge \cdots \wedge \mu _{A^{n}}(a_{n})\end{array}}\right)$

где ${\bar {w}}_{i}={\frac {w_{i}}{\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}}}$, и $\sigma \colon \{1,\cdots ,n\}\longrightarrow \{1,\cdots ,n\}$ является функцией перестановки такой, что $a_{\sigma (i)}\geq a_{\sigma (i+1)},\ \forall i=1,\cdots ,n-1$, то есть, $a_{\sigma (i)}$ это $i$самый высокий элемент в наборе $\left\{{a_{1},\cdots ,a_{n}}\right\}$.

Определение 2

Использование альфа-разрезов нечетких множеств:

Учитывая n лингвистических весов $\left\{{W^{i}}\right\}_{i=1}^{n}$ в виде нечетких множеств, определенных в области дискурса $U=[0,\;\;1]$, то для каждого $\alpha \in [0,\;1]$, $\alpha$-оператор OWA типа 1 с $\alpha$- наборы уровней $\left\{{W_{\alpha }^{i}}\right\}_{i=1}^{n}$ агрегировать $\alpha$-разрезы нечетких множеств $\left\{{A^{i}}\right\}_{i=1}^{n}$ является:

$\Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\ldots ,A_{\alpha }^{n}}\right)=\left\{{{\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}a_{\sigma (i)}}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}}}}\left|{w_{i}\in W_{\alpha }^{i},\;a_{i}}\right.\in A_{\alpha }^{i},\;i=1,\ldots ,n}\right\}$

где $W_{\alpha }^{i}=\{w|\mu _{W_{i}}(w)\geq \alpha \},A_{\alpha }^{i}=\{x|\mu _{A_{i}}(x)\geq \alpha \}$, и $\sigma :\{\;1,\cdots ,n\;\}\to \{\;1,\cdots ,n\;\}$ является функцией перестановки такой, что $a_{\sigma (i)}\geq a_{\sigma (i+1)},\;\forall \;i=1,\cdots ,n-1$, то есть, $a_{\sigma (i)}$ это $i$самый большой элемент в наборе $\left\{{a_{1},\cdots ,a_{n}}\right\}$.

Теорема о представлении операторов OWA типа 1

Учитывая n лингвистических весов $\left\{{W^{i}}\right\}_{i=1}^{n}$ в виде нечетких множеств, определенных в области дискурса $U=[0,\;\;1]$, и нечеткие множества $A^{1},\cdots ,A^{n}$, тогда у нас есть это

$Y=G$

где $Y$ – результат агрегирования, полученный по определению 1, и $G$ — результат, полученный с помощью определения 2.

Проблемы программирования для операторов OWA типа 1

Согласно теореме о представлении операторов OWA типа 1, общий оператор OWA типа 1 можно разложить на ряд $\alpha$Операторы OWA уровня 1-го уровня. На практике эта серия $\alpha$Операторы OWA типа 1 используются для создания результирующего нечеткого набора агрегации. Таким образом, нам нужно только вычислить левые конечные точки и правые конечные точки интервалов. $\Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots ,A_{\alpha }^{n}}\right)$. Затем результирующее нечеткое множество агрегации строится с помощью функции принадлежности следующим образом:

$\mu _{G}(x)=\operatorname {\bigvee } \limits _{\alpha :x\in \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{\alpha }}\alpha$

Для левых конечных точек нам нужно решить следующую задачу программирования:

$\Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{-}=\operatorname {\min } \limits _{\begin{array}{l}W_{\alpha -}^{i}\leq w_{i}\leq W_{\alpha +}^{i}A_{\alpha -}^{i}\leq a_{i}\leq A_{\alpha +}^{i}\end{array}}\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}a_{\sigma (i)}/\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}}}$

а для правильных конечных точек нам нужно решить следующую задачу программирования:

$\Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\cdots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{+}=\operatorname {\max } \limits _{\begin{array}{l}W_{\alpha -}^{i}\leq w_{i}\leq W_{\alpha +}^{i}A_{\alpha -}^{i}\leq a_{i}\leq A_{\alpha +}^{i}\end{array}}\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}a_{\sigma (i)}/\sum \limits _{i=1}^{n}{w_{i}}}$

Был представлен быстрый метод решения двух задач программирования, позволяющий эффективно выполнять операцию агрегации OWA типа 1. Подробности см. в статье.

Подход альфа-уровня к работе OWA типа 1

Трехэтапный процесс:

• Шаг 1. Чтобы настроить $\alpha$- разрешение уровня в [0, 1].
• Шаг 2. Для каждого $\alpha \in [0,1]$,

• Шаг 2.1 — Рассчитать $\rho _{\alpha +}^{i_{0}^{\ast }}$

1. Позволять $i_{0}=1$;
2. Если $\rho _{\alpha +}^{i_{0}}\geq A_{\alpha +}^{\sigma (i_{0})}$, останавливаться, $\rho _{\alpha +}^{i_{0}}$ это решение; в противном случае перейдите к шагам 2.1–3.
3. $i_{0}\leftarrow i_{0}+1$, перейдите к шагу 2.1-2.

• Шаг 2.2. Для расчета $\rho _{\alpha -}^{i_{0}^{\ast }}$

1. Позволять $i_{0}=1$;
2. Если $\rho _{\alpha -}^{i_{0}}\geq A_{\alpha -}^{\sigma (i_{0})}$, останавливаться, $\rho _{\alpha -}^{i_{0}}$ это решение; в противном случае перейдите к шагу 2.2–3.
3. $i_{0}\leftarrow i_{0}+1$, перейдите к шагу 2.2-2.

• Шаг 3. Построить результирующее нечеткое множество агрегирования. $G$ на основе всех доступных интервалов $\left[{\rho _{\alpha -}^{i_{0}^{\ast }},\;\rho _{\alpha +}^{i_{0}^{\ast }}}\right]$:

$\mu _{G}(x)=\operatorname {\bigvee } \limits _{\alpha :x\in \left[{\rho _{\alpha -}^{i_{0}^{\ast }},\;\rho _{\alpha +}^{i_{0}^{\ast }}}\right]}\alpha$

Некоторые примеры

• Оператор OWA типа 1 с весами, показанными на верхнем рисунке, используется для агрегирования нечетких наборов (сплошные линии) на нижнем рисунке, а пунктирная линия — это результат агрегирования.

Особые случаи

• Любые операторы OWA, такие как операторы максимума, минимума и среднего;
• Операторы соединения нечетких множеств (типа 1), т.е. нечеткие операторы максимума;
• Познакомьтесь с операторами нечетких множеств (типа 1), т.е. нечеткие минимальные операторы;
• Операторы, подобные объединению нечетких множеств (типа 1);
• Операторы типа Meet для нечетких множеств (типа 1).

Обобщения

Операторы OWA типа 2 Было предложено агрегировать нечеткие множества типа 2 для принятия мягких решений.

Приложения

Операторы OWA типа 1 применялись в различных доменах для принятия мягких решений.

• Повышенная эффективность вычислительного подхода ;
• Редукция типа нечетких множеств типа 2 ;
• Групповое принятие решений ;
• Оценка кредитного риска ;
• Информационный синтез ;
• Лингвистические выражения и символический перевод ;
• Анализ настроений ;
• Выбор маршрута в условиях неопределенности ;
• Рекомендации по электронной коммерции .